Für den Mittelwert der Rechengröße \(R\) muß man die Mittelwerte der Meßgrössen \(x\), \(y\) und \(z\) in \(R\) einsetzen \(\bar{R}=\frac{3\bar{x}^2}{4\bar{y}\bar{z}^2}\).

Die Rechengröße F wird aus seinem Mittelwert und seiner Standardabweichung berechnet.

Der Mittelwert wird über die Formel \(\bar{F}=\frac{3\bar{k}^2}{\bar{p}^3} \)ermittelt.

Die Standardabweichung wird berechnet mittels:\( \sigma_{F}= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial k} \cdot \sigma_{k} \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial p} \cdot \sigma_{p}\right )^2}\).

Die Rechengröße \(F\) entspricht dem Mittelwert und dem umliegenden Vertrauensinterall, als \(\bar{F} \pm \sigma_{F}\)

Durch Einsetzen in die Formel erhält man 

\(g=8.70048 \frac{m}{s^2}\)

Die Unsicherheit muss aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ermittelt werden.

\(\Delta g= \sqrt{\left ( \frac{\partial g}{\partial l} \Delta l \right)^2 + \left ( \frac{\partial g}{\partial T} \Delta T \right )^2 }=\)

\(=\sqrt{\left ( 4 \pi^2 \frac{1}{T^2} \Delta l \right )^2+ \left ( -2 \cdot 4 \pi^2 \frac{l}{T^3} \Delta T \right )^2}=\)

\(=4 \pi^2 \sqrt{\left ( \frac{\Delta l}{T^2} \right )^2 + \left ( -2 \cdot \frac{l \cdot \Delta T}{T^3} \right )^2}=\)

\(=0.2 \, \frac{m}{s^2}\)

Sind die absoluten Fehler \(\Delta R_i\) der einzelnen Messgrößen gegeben, so lässt sich der absolute Größtfehler des Gesamtwiderstandes berechnen. Dabei wird von einem "worst-case" ausgegangen, in dem sich alle Fehler zu einem größtmöglichen Gesamtfehler zusammenzählen. Daher ist der maximale Fehler auch als Betrag definiert, also stets positiv.

Der maximale Fehler des Gesamtwiderstandes lässt sich berechnen durch:

\(\Delta R=\left|\frac{\partial R}{\partial R_1}\right|\, \cdot \Delta R_1 + \left|\frac{\partial R}{\partial R_2}\right|\, \cdot \Delta R_2\)

(Diesen Ausdruck erhält man durch Taylor-Reihenentwicklung für eine Größe \(R=R(R_1,\, R_2)\) bis zum linearen Glied.)

Die partiellen Ableitungen können mit der Produkt- und Kettenregel berechnet werden (alternativ auch mit der Quotientenregel):

\(\frac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{\partial}{\partial R_1}\,\left(\frac{R_1\cdot R_2}{R_1 + R_2}\right)= \frac{\partial}{\partial R_1}\,\left[R_1\cdot R_2 \cdot (R_1+R_2)^{-1}\right]\)

\(=R_2\cdot (R_1+R_2)^{-1} \, - \, R_1\cdot R_2\cdot (R_1+R_2)^{-2}\)

\(=\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_1\cdot R_2}{(R_1+R_2)^2}=\frac{R_2\cdot (R_1+R_2)-R_1\cdot R_2}{(R_1+R_2)^2}=\frac{R_2^{\ 2}}{(R_1+R_2)^2}\)

Analog ergibt sich die Ableitung nach \(R_2\) zu:

\(\frac{\partial R}{\partial R_2}= \frac{R_1 ^2}{(R_1+R_2)^{\, 2}}\)
 

Somit ergibt sich für den maximalen Fehler:

\(\Delta R= \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^{\,2}} \cdot \Delta R_1 + \frac{R_1 ^2}{(R_1+R_2)^{\,2}} \cdot \Delta R_2\)

Mit den Widerstandswerten

\(R_1 = 4700\, \Omega\) und \(R_2 = 6800\, \Omega\)

und den Fehlergrenzen

\(\Delta R_1=150\Omega\)

\(\Delta R_2=200\Omega\)

 ergibt sich

\(\Delta R\approx 85,85\, \Omega\)

Benötigt werden die partiellen Ableitungen nach b und c, \(\frac{\partial \bar{A}}{\partial \bar{b}}=\frac{6\bar{b}^2}{3\bar{c}^2}\) und \(\frac{\partial \bar{A}}{\partial \bar{c}}=-\frac{4\bar{b}^3}{3\bar{c}^3}\)

Alle diese Werte werden schließlich in die folgende Formel eingesetzt:

\(\sigma_{A}= \sqrt{\left(\frac{\partial \bar{A}}{\partial \bar{b}}\cdot \sigma_{b} \right)^2 + \left(\frac{\partial \bar{A}}{\partial \bar{c}}\cdot \sigma_{c}\right )^2}\)

Benötigt werden die partiellen Ableitungen nach x, y und z: 

\(\frac{3x}{2yz^2}\),  \(-\frac{3x^2}{4y^2z^2}\) und \(-\frac{3x^2}{2yz^3}\)

Das Ganze wird eingesetzt in folgende Formel:

 \(\sigma_{R}= \sqrt{(\frac{\partial R}{\partial x} \cdot \sigma_{x})^2 + (\frac{\partial R}{\partial y} \cdot \sigma_{y})^2+ (\frac{\partial R}{\partial z} \cdot \sigma_{z})^2 }\)

Allgemein gilt \(R=\bar{R}\pm\sigma_R\).

\(\bar{F}=\frac{\bar{n}^3}{7\bar{m}^2}\)

\(\bar{F}=\frac{100,2^3}{7\cdot 9,78^2}\)

\(\sigma_F = \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial n} \cdot \sigma^{2}_{n} \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial m} \cdot \sigma_{m}^{2}\right )^2}\)

\(\sigma_F = \sqrt{\left(\frac{3n^2}{7m^2} \cdot 0,079\right )^2 + \left(-\frac{2n^3}{7m^3} \cdot 0,160\right )^2}\)

\(\sigma_F = \sqrt{\left(\frac{90360,36}{669.5388} \cdot 0,079\right )^2 + \left(\frac{20120240.016}{6568.196173} \cdot 0,160\right )^2}\)

\(F= \bar{F} \pm \sigma_F\)

Die relative Messunsicherheit \(\delta V=\frac{\Delta V}{V}\) ergibt sich mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz zu 

\(\delta V=\frac{\sqrt{ \left (\frac{\partial V}{\partial a} \Delta a \right )^2}}{V}=\frac{3a^2\, \Delta a}{a^3}= \frac{3 \,\Delta a}{a}=3\, \delta a\)

Diese Unsicherheit soll nun kleiner gleich 3% sein.

\(3\, \delta a \, \leq \, 0.03\)

\(\delta a\, \leq\, 0.01\)