Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Partielle Ableitungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Leite folgende Gleichung nach $x$ ab. $F(x,\ y)=cos(x)+sin(yx)$ Nr. 4385
	$\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x}=cos(xy)-sin(x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x}=-sin(xy)-sin(x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x}=y\cdot cos(xy)-sin(x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x}=y\cdot sin(xy)+cos(x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x}=-sin(x)$
Lösungsweg Bei der partiellen Ableitung nach $x$ werden die anderen Variablen (in diesem Fall also $y$ ) als Konstanten behandelt. Formal lässt sich das schreiben als: ${\frac {\partial f(x,\ y)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\ y)-f(x,\ y)}{\Delta x}}$ Es wird also nur die Abhängigkeit der Funktion in $x\mathrm{-Richtung}$ betrachtet. Da die Funktion $F(x,y)=cos(x)+sin(yx)$ als Summe von zwei Funktionen $g(x,\ y)=cos(x)$ und $h(x,\ y)=sin(yx)$ aufgefasst werden kann, ist die Summenregel anzuwenden: $\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x} = \frac{\partial g\, (x,\ y)}{\partial x} + \frac{\partial h(x,\ y)}{\partial x}$ . Da $g(x,y)=cos(x)$ nicht von $y$ abhängt, ergibt die Ableitung nach $x$ den bekannten Ableitungsregeln entsprechend $-sin(x)$ . $h(x,y)=sin(yx)$ hängt von $x$ und $y$ ab, wobei es sich außerdem um eine Verkettung von zwei Funktionen handelt. Das Argument der Sinus-Funktion stellt wiederum eine Funktion in $x$ dar, es muss also die Kettenregel angewandt werden. $\frac{\partial h(x,\ y)}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}sin(y\cdot x) = \underbrace{cos(y\cdot x)}_{\textit{Ableitung au\ss en}} \cdot \underbrace{y}_{\textit{Ableitung innen}}$ Somit ergibt sich $\frac{\partial F(x,\ y)}{\partial x}=y\cdot cos(xy)-sin(x)$

5 erreichbare Punkte

Bilde die Divergenz des Vektorfeldes $\vec{A}(\vec{r})= \left( \begin{array}{c} x^2y \\ y^2xz \\ x^2+y \end{array}\right)$ Nr. 4529
	$\mathrm{div} \vec{A}(\vec{r})= 2x^2+z$
	$\mathrm{div} \vec{A}(\vec{r})= \left(\begin{array}{centering} 2xy \\2xyz \\ \end{array}\right)$
	$\mathrm{div} \vec{A}(\vec{r})=2xy+2xyz$
	$\mathrm{div} \vec{A}(\vec{r})= 2xy \cdot (1+z)$
	$\mathrm{div} \vec{A}(\vec{r})=xy$
Lösungsweg Bilde das Skalarprodukt aus $\left( \begin{array}{c} \partial / \partial x \\ \partial / \partial y \\ \partial / \partial z \end{array}\right) \, \cdot \, \left( \begin{array}{c} x^2y \\ y^2xz \\ x^2+y \end{array}\right)=$ $=2xy+2xyz+0=2xy \cdot (1+z)$

5 erreichbare Punkte

Gegeben sind folgende Größen: $b$ mit $\bar{b}=39,21$ und $\sigma_{b}=7,21$ sowie $c$ mit $\bar{c}=12,45$ und $\sigma_{c}=3,14$ . Es gilt $A=\frac{2b^3}{3c^2}$ . Leite partiell nach $b$ ab! Nr. 2691
	$\frac{\partial A}{\partial b}=\frac{6b^2}{3c^2}$
	$\frac{\partial A}{\partial b}=\frac{12b}{3c^2}$
	$\frac{\partial A}{\partial b}=\frac{3b^2}{3c^2}$
	$\partial b= 6b^2$
	$\partial b= 12b$

5 erreichbare Punkte

Leite nach $x$ ab. $F(x,\ y,\ \omega)=\e^{-xy}\,sin(\omega x)$ Nr. 4386
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} =\omega \cdot \e^{-xy}\cdot cos(\omega x) - y\cdot \e^{-xy}\cdot sin(\omega x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\, \left[\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)\right]$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\,\left[\omega\cdot sin(\omega x) -y \cdot cos (\omega x)\right]$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\,\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\cdot cos(\omega x)$
Lösungsweg Bei der partiellen Ableitung nach $x$ werden die anderen Variablen (in diesem Fall also $y$ und $\omega$ ) als Konstanten behandelt. Formal lässt sich das schreiben als: ${\frac {\partial f(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\ y,\ \omega)-f(x,\ y,\ \omega)}{\Delta x}}$ Es wird also nur die Abhängigkeit der Funktion in $x\mathrm{-Richtung}$ betrachtet. Da die Funktion $F(x,\ y,\ \omega)$ als Produkt der Funktionen $g(x,\ y,\ \omega)=\e^{-xy}$ und $h(x,\ y,\ \omega) = sin(\omega \cdot x)$ aufgefasst werden kann, muss die Produktregel angewandt werden: $F'=g' \cdot h + g \cdot h'$ Um die partielle Ableitung zu bilden, muss außerdem berücksichtigt werden, dass es sich bei $g(x,\ y,\ \omega)$ und $h(x,\ y,\ \omega)$ um Verkettungen von Funktionen handelt. Die partiellen Ableitungen ergeben somit: $\frac{\partial g(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{\e^{-y\cdot x}}_{\textit{Ableitung au\ss en}}\cdot \underbrace{ \left(\, -y\right)}_{\textit{Ableitung innen}}$ und $\frac{\partial h(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{cos(\omega\cdot x)}_{\textit{Ableitung au\ss en}} \cdot \underbrace{\omega}_{\textit{Ableitung innen}}$ Somit ergibt sich $g' \cdot h=y\cdot \e^{-xy}\ \cdot \ sin(\omega x)$ und in analoger Weise $g\cdot h'=- \e^{-xy}\cdot \omega\cdot cos({\omega x})$ Das kann man noch schön zusammen fassen zu $\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\, \left[\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)\right]$

5 erreichbare Punkte

Es gilt $F=\frac{2b^3}{3c^2}$ . Leite partiell nach $c$ ab! Nr. 2693
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{2b^2}{3c^3}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{3c^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{6c^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{3c^3}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{6c^3}$

5 erreichbare Punkte

Die Kettenregel... Nr. 2703
	trifft Aussagen über das Verhältnis von Rechengrößen.
	trifft Aussagen über die Ableitung einer Funktion.
	trifft Ausagen über das Verhältnis von Rechengrößenableitungen in einer Funktion.
	besagt, dass zwei miteinander verkettete Funktionen separat abgeleitet und anschließend miteinader multipliziert werden.
	besagt, dass zwei miteinander verkettete Funktionen separat abgeleitet und anschließend voneinander subtrahiert werden.

5 erreichbare Punkte

Leite $\frac{3x^2}{4yz^2}$ nach $y$ ab. Nr. 2707
	$-\frac{3x^2}{2y^2z^2}$
	$-\frac{3x^2}{2(yz)^2}$
	$-\frac{3x^2}{4y^2z^3}$
	$\frac{3x^2}{4y^2z^2}$
	$-\frac{3x^2}{4y^2z^2}$
Lösungsweg Soll eine beliebige Funktion $f\left(x_1,x_2,x_3,\, ...)$ , die von mindestens zwei Variablen abhängig ist, partiell nach einer dieser Variablen abgeleitet werden, können die übrigen Variablen als Konstanten angesehen werden, z.B. $\frac{\partial f\left(x_1,x_2,x_3\right)}{\partial x_2}=\frac{\partial f\left(x_2\right)}{\partial x_2}$ D.h. $\frac{\partial \frac{3x^2}{4yz^2}}{\partial y}=\frac{3x^2}{4z^2}\frac{\partial y^{-1}}{\partial y}=\frac{3x^2}{4z^2}\cdot (-1)y^{-2}=-\frac{3 x^2}{4y^2z^2}$

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Leite $\frac{3x^2}{4yz^2}$ nach $x$ ab. Nr. 2706
	$\frac{3x}{2yz^2}$
	$-\frac{6x}{4yz^2}$
	$\frac{6x}{4yz^2$
	$\frac{6x}{8yz}$
	$-\frac{6x}{8yz}$
Lösungsweg Soll eine beliebige Funktion $f\left(x_1,x_2,x_3,\, ...)$ , die von mindestens zwei Variablen abhängig ist, partiell nach einer dieser Variablen abgeleitet werden, können die übrigen Variablen als Konstanten angesehen werden, z.B. $\frac{\partial f\left(x_1,x_2,x_3\right)}{\partial x_2}=\frac{\partial f\left(x_2\right)}{\partial x_2}$ D.h. $\frac{\partial \frac{3x^2}{4yz^2}}{\partial x}=\frac{3}{4yz^2}\frac{\partial x^2}{\partial x}=\frac{3}{4yz^2}\cdot 2x=\frac{6x}{4yz^2}=\frac{3x}{2yz^2}$

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