Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Partielle Ableitungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Die Kettenregel... Nr. 2703
	trifft Aussagen über das Verhältnis von Rechengrößen.
	trifft Aussagen über die Ableitung einer Funktion.
	trifft Ausagen über das Verhältnis von Rechengrößenableitungen in einer Funktion.
	besagt, dass zwei miteinander verkettete Funktionen separat abgeleitet und anschließend miteinader multipliziert werden.
	besagt, dass zwei miteinander verkettete Funktionen separat abgeleitet und anschließend voneinander subtrahiert werden.

5 erreichbare Punkte

Bei der partiellen Ableitung wird eine Funktion mit mehreren Variablen nach einer Variablen abgeleitet. Wie werden die anderen Variablen dabei behandelt? Nr. 2705
	Als reelle Zahlen.
	Als Konstanten.
	Als Kehrwert der Variablen, nach der abgeleitet wird.
	Sie werden 1 gesetzt.
	Sie werden 0 gesetzt.

5 erreichbare Punkte

Leite folgende Funktion partiell nach $x$ ab: $F=\frac{3xy}{z^2}$ Nr. 2695
	$\frac{\partial F}{\partial x}= -\frac{3y}{z^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial x}= -\frac{3y^2}{z^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial x}= -\frac{3xy}{z^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{6y}{z^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{3y}{z^2}$

5 erreichbare Punkte

Ein wesentlicher Bestandteil der Fehlerfortpflanzung ist die partielle Ableitung. Leiten Sie folgende Formel nach x ab: $f(x,y,z)=3x^2y^2z^4$ Nr. 2676
	$x=9y^2z^4$
	$3xy^2z^4$
	$6xy^2z^4$
	$6x2y3z^2$
	$36cyz^2$
Lösungsweg Bei der partiellen Ableitung werden alle Größen nach denen nicht abgeleitet wird als Konstanten behandelt.

5 erreichbare Punkte

Leite nach $x$ ab. $F(x,\ y,\ \omega)=\e^{-xy}\,sin(\omega x)$ Nr. 4386
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} =\omega \cdot \e^{-xy}\cdot cos(\omega x) - y\cdot \e^{-xy}\cdot sin(\omega x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\, \left[\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)\right]$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\,\left[\omega\cdot sin(\omega x) -y \cdot cos (\omega x)\right]$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\,\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)$
	$\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\cdot cos(\omega x)$
Lösungsweg Bei der partiellen Ableitung nach $x$ werden die anderen Variablen (in diesem Fall also $y$ und $\omega$ ) als Konstanten behandelt. Formal lässt sich das schreiben als: ${\frac {\partial f(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\ y,\ \omega)-f(x,\ y,\ \omega)}{\Delta x}}$ Es wird also nur die Abhängigkeit der Funktion in $x\mathrm{-Richtung}$ betrachtet. Da die Funktion $F(x,\ y,\ \omega)$ als Produkt der Funktionen $g(x,\ y,\ \omega)=\e^{-xy}$ und $h(x,\ y,\ \omega) = sin(\omega \cdot x)$ aufgefasst werden kann, muss die Produktregel angewandt werden: $F'=g' \cdot h + g \cdot h'$ Um die partielle Ableitung zu bilden, muss außerdem berücksichtigt werden, dass es sich bei $g(x,\ y,\ \omega)$ und $h(x,\ y,\ \omega)$ um Verkettungen von Funktionen handelt. Die partiellen Ableitungen ergeben somit: $\frac{\partial g(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{\e^{-y\cdot x}}_{\textit{Ableitung au\ss en}}\cdot \underbrace{ \left(\, -y\right)}_{\textit{Ableitung innen}}$ und $\frac{\partial h(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{cos(\omega\cdot x)}_{\textit{Ableitung au\ss en}} \cdot \underbrace{\omega}_{\textit{Ableitung innen}}$ Somit ergibt sich $g' \cdot h=y\cdot \e^{-xy}\ \cdot \ sin(\omega x)$ und in analoger Weise $g\cdot h'=- \e^{-xy}\cdot \omega\cdot cos({\omega x})$ Das kann man noch schön zusammen fassen zu $\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\, \left[\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)\right]$

5 erreichbare Punkte

Es gilt $F=\frac{2b^3}{3c^2}$ . Leite partiell nach $c$ ab! Nr. 2693
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{2b^2}{3c^3}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{3c^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{6c^2}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{3c^3}$
	$\frac{\partial F}{\partial c}=-\frac{4b^2}{6c^3}$

5 erreichbare Punkte

Leite $\frac{3x^2}{4yz^2}$ nach $y$ ab. Nr. 2707
	$-\frac{3x^2}{2y^2z^2}$
	$-\frac{3x^2}{2(yz)^2}$
	$-\frac{3x^2}{4y^2z^3}$
	$\frac{3x^2}{4y^2z^2}$
	$-\frac{3x^2}{4y^2z^2}$
Lösungsweg Soll eine beliebige Funktion $f\left(x_1,x_2,x_3,\, ...)$ , die von mindestens zwei Variablen abhängig ist, partiell nach einer dieser Variablen abgeleitet werden, können die übrigen Variablen als Konstanten angesehen werden, z.B. $\frac{\partial f\left(x_1,x_2,x_3\right)}{\partial x_2}=\frac{\partial f\left(x_2\right)}{\partial x_2}$ D.h. $\frac{\partial \frac{3x^2}{4yz^2}}{\partial y}=\frac{3x^2}{4z^2}\frac{\partial y^{-1}}{\partial y}=\frac{3x^2}{4z^2}\cdot (-1)y^{-2}=-\frac{3 x^2}{4y^2z^2}$

5 erreichbare Punkte

Leite folgende Funktion partiell nach $z$ ab $F\left(x,y,z\right)=\frac{3xy}{z^2}$ Nr. 2697
	$\frac{\partial F}{\partial z}= \frac{9xy}{z^3}$
	$\frac{\partial F}{\partial z}= -\frac{9xy}{z^3}$
	$\frac{\partial F}{\partial z}= -\frac{6xy}{z^4}$
	$\frac{\partial F}{\partial z}= -\frac{9xy}{z^4}$
	$\frac{\partial F}{\partial z}=- \frac{6xy}{z^3}$
Lösungsweg Wenn die von den Variablen $x$ , $y$ und $z$ abhängige Funktion $F\left(x,y,z\right)=\frac{3xy}{z^2}$ partiell nach $z$ abgeleiten werden soll, müssen wir die anderen Variablen $x$ und $y$ während des Ableitens als Konstanten ansehen, d.h. $F\left(x,y,z\right)\rightarrow F \left.\left(z\right)\right.$ . $\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial \frac{3xy}{z^2}}{\partial z}=3xy\frac{\partial \frac{1}{z^2}}{\partial z}=3xy\frac{\partial z^{-2}}{\partial z}$ $=3xy\cdot(-2)\cdot z^{-3}=3xy\cdot(-2)\cdot \frac{1}{z^{3}}=-\frac{6xy}{z^{3}}$ Da $x$ und $y$ "Konstanten" sind, können wir sie vor die Ableitung ziehen und alles was für die Ableitung übrig bleibt ist $\frac{1}{z^2}$ .

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