Wenn die von den Variablen \(x\) und \(y\) abhängige Funktion\(R\left(x,y\right)=\frac{y^3}{3x^2}\) partiell nach \(x\) abgeleiten werden soll, müssen wir die andere Variable \(y\) während des Ableitens als Konstante ansehen, d.h. \(R\left(x,y\right)\rightarrow R \left.\left(x\right)\right.\).

\(\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial \frac{y^3}{3x^2}}{\partial x}=\frac{y^3}{3}\frac{\partial \frac{1}{x^2}}{\partial x}=\frac{y^3}{3}\frac{\partial x^{-2}}{\partial x}\)\(=\frac{y^3}{3}\cdot(-2)\cdot x^{-3}=\frac{y^3}{3}\cdot(-2)\cdot \frac{1}{x^{3}}=-\frac{2y^3}{3x^{3}}\)

Da \(y\) eine "Konstante" ist, können wir sie vor die Ableitung ziehen und alles was für die Ableitung übrig bleibt ist \(\frac{1}{x^2}\).

Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) werden die anderen Variablen (in diesem Fall also \(y\) und \(\omega\) ) als Konstanten behandelt. Formal lässt sich das schreiben als:

\({\frac {\partial f(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\ y,\ \omega)-f(x,\ y,\ \omega)}{\Delta x}}\)

Es wird also nur die Abhängigkeit der Funktion in \(x\mathrm{-Richtung}\) betrachtet.

Da die Funktion \(F(x,\ y,\ \omega)\) als Produkt der Funktionen \(g(x,\ y,\ \omega)=\e^{-xy}\) und \(h(x,\ y,\ \omega) = sin(\omega \cdot x)\) aufgefasst werden kann, muss die Produktregel angewandt werden:

\(F'=g' \cdot h + g \cdot h'\)

Um die partielle Ableitung zu bilden, muss außerdem berücksichtigt werden, dass es sich bei \(g(x,\ y,\ \omega)\) und \(h(x,\ y,\ \omega)\) um Verkettungen von Funktionen handelt. Die partiellen Ableitungen ergeben somit:

\(\frac{\partial g(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{\e^{-y\cdot x}}_{\textit{Ableitung au\ss en}}\cdot \underbrace{ \left(\, -y\right)}_{\textit{Ableitung innen}}\) und

\(\frac{\partial h(x,\ y,\ \omega)}{\partial x}=\underbrace{cos(\omega\cdot x)}_{\textit{Ableitung au\ss en}} \cdot \underbrace{\omega}_{\textit{Ableitung innen}}\)

Somit ergibt sich

\(g' \cdot h=y\cdot \e^{-xy}\ \cdot \ sin(\omega x)\)

und in analoger Weise

\(g\cdot h'=- \e^{-xy}\cdot \omega\cdot cos({\omega x})\)

Das kann man noch schön zusammen fassen zu

\(\frac{\partial F(x,\ y,\ \omega)}{\partial x} = \e^{-xy}\, \left[\omega\cdot cos(\omega x) -y\cdot sin (\omega x)\right] \)

Wenn die von den Variablen \(x\), \(y\) und \(z\) abhängige Funktion\(F\left(x,y,z\right)=\frac{3xy}{z^2}\) partiell nach \(z\) abgeleiten werden soll, müssen wir die anderen Variablen \(x\) und \(y\) während des Ableitens als Konstanten ansehen, d.h. \(F\left(x,y,z\right)\rightarrow F \left.\left(z\right)\right.\).

\(\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial \frac{3xy}{z^2}}{\partial z}=3xy\frac{\partial \frac{1}{z^2}}{\partial z}=3xy\frac{\partial z^{-2}}{\partial z}\)\(=3xy\cdot(-2)\cdot z^{-3}=3xy\cdot(-2)\cdot \frac{1}{z^{3}}=-\frac{6xy}{z^{3}}\)

Da \(x\) und \(y\) "Konstanten" sind, können wir sie vor die Ableitung ziehen und alles was für die Ableitung übrig bleibt ist \(\frac{1}{z^2}\).