Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\)

\(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)

\(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\)

D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\)
Vektoren werden komponentenweise addiert.

Man hat

\((\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}=\left(\begin{array}{c} (A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3})C_{1}\\ (A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3})C_{2}\\ (A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3})C_{3} \end{array}\right)\)

beziehungsweise

\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C})=\left(\begin{array}{c} A_{1}(B_{1}C_{1}+B_{2}C_{2}+B_{2}C_{2})\\ A_{2}(B_{1}C_{1}+B_{2}C_{2}+B_{2}C_{2})\\ A_{3}(B_{1}C_{1}+B_{2}C_{2}+B_{2}C_{2}) \end{array}\right)\).

Somit folgt aber sogleich  \((\vec{A}\cdot\vec{B})\cdot\vec{C}\neq\vec{A}\cdot(\vec{B}\cdot\vec{C})\).

Anmerkung: Da man also nicht beliebig Klammern setzen darf, bezeichnet man das Skalarprodukt zwischen Vektoren als nicht-assoziatives Produkt.

Das Resultat der Addition ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}+\vec{B}=\left( \begin{array}{c}18\\6\\13\end{array} \right)\)

 Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)

berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

D.h. der Absolutbetrag  \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{18^2+6^2+13^2}=23\)

\(\left(\begin{array}18\\9\\36\end{array}\right) \cdot2= \left(\begin{array}18 \cdot2\\9 \cdot2 \\36 \cdot2 \end{array}\right)\)

Der entstandene Vektor:

\(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}17\\28\\18\end{array} \right)\) 

Dessen Absolutbetrag: \( \mid \vec{C}\mid=\(\sqrt{17^2+28^2+18^2}\)=37,38\)

Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Hier \(A=(9\,\mid\, 4)\) und \(B=(0\,\mid\,5)\)

Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-9\\1\end{array} \right)\)

\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}8+2\\-13+9\\4+11\end{array} \right) \)

\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}10\\-4\\15\end{array} \right)\)

\(|\vec{C}|=\sqrt{10^2+4^2+15^2}=18,47\)

Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Hier \(A=(4\,\mid\, 2)\) und \(B=(0\,\mid\,1)\)

Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}-4\\-1\end{array} \right)\)