Wir setzten \(\vec{U}:=\vec{A}\times\vec{B}\), \(\vec{V}:=\vec{C}\) und \(\vec{W}:=\vec{D}\). 

Damit folgt aber:

\((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=\vec{C}(\vec{D}\times(\vec{A}\times\vec{B}))\)

und somit

\((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=\vec{C}\left((\vec{D}\cdot\vec{B})\vec{A}-(\vec{D}\cdot\vec{A})\vec{B}\right)\)

und daher

\((\vec{A}\times\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})\)

Anmerkung: Das erhaltene Ergebnis wird als Lagrange Identität bezeichnet.

Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen den Punkten \(A=(A_x\mid A_y)\) und \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Hier \(A=(0\,\mid\, 9)\) und \(B=(9\,\mid\,4)\)

Daher ist \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}9\\-5\end{array} \right)\)

Der entstandene Vektor:

\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}32\\1\\23\end{array} \right)\)

dessen Absolutbetrag: \(\mid\vec{C}\mid=\sqrt{32^2+1^2+23^2}=39,42\)

Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) mit einem Skalar \(\lambda\) bedeutet:

\(\lambda\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}\lambda\cdot a_1\\\lambda\cdot a_2\\\lambda\cdot a_3\end{array} \right)\)

Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\)

\(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)

\(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\)

D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\)
Vektoren werden komponentenweise addiert.

Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\)

\(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)

\(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\)

D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\)
Vektoren werden komponentenweise addiert.

Das Resultat der Subtraktion ist der Vektor\(\vec{C}= \vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}66\\43\\2\end{array} \right)\)

 Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)

berechnet sich folgendermassen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

D.h. der Absolutbetrag  \( \mid \vec{C}\mid=\sqrt{66^2+43^2+2^2}=78,8\)

Für den Absoultbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:

\(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)