Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Vektoralgebra.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{C}\) an. Nr. 3476
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\2\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\-6\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\8\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\) Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-2\\-3\end{array} \right)\) und\( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-8\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-2\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{C}\) an. Nr. 3470
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}8\\2\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\6\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\4\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\-6\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\) Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\-2\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}8\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\4\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Normiere den Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\1\\0\\\end{pmatrix} \) Nr. 2766
	\(\vec{a} = \begin{pmatrix}3/10\\1/10\\0\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{a} = \begin{pmatrix}3/11\\1/11\\0\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{10}\) \(\vec{a} = \sqrt{10}\vec{e_a}\) \(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{10}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix}3\\1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/10\\1/10\\0\\\end{pmatrix}\) 1) Normierung eines Vektors Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet: \(\vec{e_a} = \frac{1}{\|\vec{a}\|}\vec{a}\)

2 erreichbare Punkte

Gegeben sei das Skalarfeld \(f(x,y,z)=4x^2+yxz+2x\) in der Basis \((x,y,z)\). Bestimme seinen Wert am Punkt \(P(3,9,4)\) Nr. 3315
	\(f(3,9,4)=130\)
	\(f(3,9,4)=140\)
	\(f(3,9,4)=150\)
	\(f(3,9,4)=160\)
	\(f(3,9,4)=170\)
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein \(4\cdot3^2+9\cdot3\cdot4+2\cdot3=150\)

5 erreichbare Punkte

Eine Masse \(m=25kg\) erfährt eine Beschleunigung, die durch den Vektor \(\vec{a}= \left( \begin{array}{c}-8\\3\\-2\end{array} \right)\)ausgedrückt wird. Wie sieht die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft \(\vec{F}\)aus? Nr. 3307
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}-200\\75\\-50\end{array} \right)\)
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}200\\-75\\50\end{array} \right)\)
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}17\\28\\23\end{array} \right)\)
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}-220\\85\\-40\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Kraft \(\vec{F}\) ist definiert wie folgt \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}\), wo \(\vec{a}\) die Beschleunigung ist. Somit ist \(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}25(-8)\\253\\25*(-2)\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}-200\\75\\-50\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei Punkte \(P_1(1\|3)\) und \(P_2(-5\|8)\). Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3381
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=7,81\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=9,63\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=8,32\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=6,78\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=10,53\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(-5-1)^2+(8-3)^2}=7,81\)

5 erreichbare Punkte

Wir betrachten ein kartesisches Koordinatensystem. Welche Länge hat der Geschwindigkeitsvektor \(\vec{v}=\left( \begin{array} 5,3 \frac{m}{s} \\ 2,6 \frac{m}{s} \end{array} \right) \)? Nr. 1608
	\(5,9 m\)
	\(5,9 \frac{m}{s}\)
	\(34,9 m\)
	\(34,9 \frac{m^2}{s^2}\)
Lösungsweg Die Länge (oder der Betrag) in einem kartesischen Koordinatensystem ist gegeben durch \(\|\vec{v}\|=\sqrt{ (5,3 \frac{m}{s})^2 + (2,6 \frac{m}{s})^2 } =5,9 \frac{m}{s}\).

4 erreichbare Punkte

In welchem Verhältnis stehen Zeilen- und Spaltenvektoren? Nr. 2541
	Es handelt sich um unterschiedliche Schreibweisen derselben Vektoren.
	Zeilenvektoren sind die Kehrwerte der Spaltenvektoren und umgekehrt.
	Zeilenvektoren sind Ableitungen von Spaltenvektoren.
	Spaltenvektoren sind Ableitungen von Zeilenvektoren.
	Keine dieser Aussagen trifft zu.

5 erreichbare Punkte

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Gegeben seien zwei Punkte \(P_1(1\|3)\) und \(P_2(-5\|8)\). Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3381
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=7,81\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=9,63\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=8,32\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=6,78\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=10,53\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(-5-1)^2+(8-3)^2}=7,81\)

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