Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Vektoralgebra.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Normiere den Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} \) Nr. 2767
	\(\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/5\\1/5\\2/5\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}\) \(\vec{a} = \sqrt{6}\vec{e_a}\) \(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}\) 1) Normierung eines Vektors Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet: \(\vec{e_a} = \frac{1}{\|\vec{a}\|}\vec{a}\)

2 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt 4km nach Osten und anschließend 11km nach Nord-Osten. Wie weit hat sich das Auto vom Ausgangspunkt entfernt? Nr. 3350
	\(12,33km\)
	\(13,85km\)
	\(14,12km\)
	\(16,43km\)
Lösungsweg Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)\) beschrieben werden. Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind. d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=11\quad \Rightarrow v_x=7,78\) Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\7,78\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}7,78\\11,78\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(\|\vec{V_3}\|=\sqrt{7,78^2+11,78^2}\)=14,12\,km\)

4 erreichbare Punkte

Gib den Betrag \(\mid C\mid\) von Vektor \(\vec{C}= \left(\begin{array}33\\-42\\9,5\end{array}\right)\) an! Nr. 2549
	\(\mid C\mid= 0,5\)
	\(\mid C\mid= 13.167\)
	\(\mid C\mid= 54,25\)
	\(\mid C\mid= 84,5\)
	Der Betrag lässt sich nicht berechnen, da die Komponenten des Vektors unterschiedliche Vorzeichen aufweisen.
Lösungsweg \(\mid \vec{C}\mid = \sqrt{(C_1)^2+(C_2)^2+(C_3)^2}\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben sei das Skalarfeld \(2x^2+4y+3z\) Gesucht ist der Wert am Punkt \(P(5,2,3)\) Nr. 3314
	\(63\)
	\(72\)
	\(59\)
	\(67\)
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein \(2\cdot5^2+4\cdot2+3\cdot3=67\)

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt 8km nach Norden und danach 7km nach Nord-Osten. Wie weit ist die Distanz zwischen Ursprungsort und Ziel? Nr. 3349
	\(12,74km\)
	\(14,81km\)
	\(13,86km\)
	\(10,96km\)
Lösungsweg Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}0\\8\end{array} \right)\) beschrieben werden. Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind. d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=7\quad \Rightarrow v_x=4,95\) Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\4,95\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\12,95\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(\|\vec{V_3}\|=\sqrt{4,95^2+12,95^2}\)=13,86\,km\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei Punkte \(P_1(8\|6)\) und \(P_2(6\|6)\) Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3380
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=4\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=3\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=2\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(8-6)^2+(6-6)^2}=2\)

4 erreichbare Punkte

Bestimme die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P = (3;3;2) in Richtung des Vektors \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-2\\\end{pmatrix}\) um 10 Längeneinheiten entfernt liegt. Nr. 2775
	\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}13\\23\\-18\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}23\\10\\-10\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\-6.67\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\6.67\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{PQ}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{a}\), jedoch um 10 Längeneinheiten länger :\(\vec{PQ} = \vec{a} + 10\) Aus einer Skizze folgt, dass \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + \vec{PQ} = \vec{r}(P) + 10\vec{e_a}\) Zunächst die benötigten Vektoren berechnen: \(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix}\) \(\vec{e_a}= \frac {\vec{a}}{\|\vec{a\|}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix}\) Für den Ortsvektor erhält man: \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + 10\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix} + 10\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\-6.67\\\end{pmatrix}\) 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert \(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

4 erreichbare Punkte

Gib die Länge des Vektors \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}-18\\15\\-11\end{array} \right)\) an Nr. 3292
	\(\mid\vec{V}\mid=19,33\)
	\(\mid\vec{V}\mid=21,69\)
	\(\mid\vec{V}\mid=25,88\)
	\(\mid\vec{V}\mid=28,49\)
	\(\mid\vec{V}\mid=31,45\)
Lösungsweg Der Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)\)wird folgenermaßen berechnet: \(\|\vec{V}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)

5 erreichbare Punkte

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Gegeben seien zwei Punkte \(P_1(8\|6)\) und \(P_2(6\|6)\) Wie weit sind sie voneinander entfernt? Nr. 3380
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=4\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=3\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=2\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(8-6)^2+(6-6)^2}=2\)

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