Zunächst muss jeder Vektor mit dem angegeben Faktor multipliziert werden.

also \(5\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}10\\45\\40\end{array} \right)\quad , \quad 2\cdot\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-12\\-10\\14\end{array} \right) \) 

Das Resultat der Addition bzw. Subtraktion aller Vektoren: \(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\60\\21\end{array} \right)\)

Jeder Vektor wird mit seinem Faktor multipliziert und anschließend werden die zwei Vektoren subtrahiert bzw. addiert:

\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}18\\12\\-6\end{array} \right)- \left( \begin{array}{c}-24\\15\\-18\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}42\\-3\\12\end{array} \right)\)

Vektoren werden komponentenweise subtrahiert, d.h. \(\left( \begin{array}8\\2\end{array} \right)-\left( \begin{array}7\\5\end{array} \right)=\left( \begin{array}8-7\\2-5\end{array} \right)=\left( \begin{array}1\\-3\end{array} \right)\).

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren  \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-3\end{array} \right)\), d.h. \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-6\end{array} \right)\)

\(\vec{s} = 3 \begin{pmatrix}0\\3\\5\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}1\\4\\2\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\-2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-15\\19\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Die Multiplikation eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) mit einem Skalar \(\lambda\) bedeutet:

\(\lambda\cdot\vec{A}= \left( \begin{array}{c}\lambda\cdot a_1\\\lambda\cdot a_2\\\lambda\cdot a_3\end{array} \right)\)

Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren.

Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird.

Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: 

\(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\)

Daraus folgt: \(F=\sqrt{(4000N)^2+(6000N)^2+2\cdot 4000N \cdot 6000N \cdot cos(38,99)}=9450,3N\)