Die Länge der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array} \right)\) ist der der Absolutbetrag: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

Zurückgelegte Strecke: \(s= |\vec{s_1}|+ |\vec{V_2}|=\sqrt{s_1_x^2+s_1_y^2}+\sqrt{s_2_x^2+s_2_y^2}\)

\(s=20+15,8114=35,8114\,km\)

\(5 \cdot (\left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)) \)\(= 5 \cdot \left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right)+ 5\cdot \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(5\cdot8^2-2\cdot3+6\cdot9^4\cdot8+8\cdot9+2=315316\)

Der Vektor \(\vec{PQ}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{a}\), jedoch um 10 Längeneinheiten länger :\(\vec{PQ} = \vec{a} + 10\)

Aus einer Skizze folgt, dass  \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + \vec{PQ} = \vec{r}(P) + 10\vec{e_a}\)

Zunächst die benötigten Vektoren berechnen:

\(\vec{r}(P) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{e_a}= \frac {\vec{a}}{|\vec{a|}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix}\)

Für den Ortsvektor erhält man:

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P) + 10\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\3\\2\\\end{pmatrix} + 10\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3.34\\9.67\\-6.67\\\end{pmatrix}\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Der Defnition nach gilt

\(\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} A_{1}\\ A_{2}\\ A_{3} \end{array}\right)\)

und somit

\(\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left(\begin{array}{c} \partial_{y}A_{3}-\partial_{z}A_{2}\\ \partial_{z}A_{1}-\partial_{x}A_{3}\\ \partial_{x}A_{2}-\partial_{y}A_{1} \end{array}\right)\).

Hierbei berechnet man 

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =(\vec{A}-\vec{B})\left\{ \vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}\right\} \)\(=\vec{A}(\vec{A}\times\vec{C})+\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{A}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{B}\times\vec{C})\).

Benützt man nun die Identitäten

\(\vec{X}(\vec{Y}\times\vec{Z})=\vec{Z}(\vec{X}\times\vec{Y})=\vec{Y}(\vec{Z}\times\vec{X})\)

beziehungsweise 

\(\vec{X}\times\vec{Y}=-\vec{Y}\times\vec{X}\),

die für beliebige Vektorfelder\(\vec{X}\), \(\vec{Y}\) und \(\vec{Z}\) gelten, so erhält man

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})\)\(=2\vec{C}(\vec{A}\times\vec{B})\)\(=2\vec{B}(\vec{C}\times\vec{A})\).