In Komponentenschreibweise gilt

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}\),

wobei der total antisymmetrische Ausdruck \(\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}=-\varepsilon_{ikj}\) gemeinhin als \(\varepsilon\)-Tensor bezeichnet wird. Da nach dem Satz von Schwarz für jede Komponente \(F_{k}\) des Vektors \(\vec{F}\) gilt \(\partial_{i}\partial_{j}F_{k}=\partial_{j}\partial_{i}F_{k}\), lässt sich demnach folgern

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{jik}\partial_{j}\partial_{i}F_{k}.\)

Da die Bennenung von Summationsindizes jedoch völlig beliebig ist, lässt sich der gefundene Ausdruck auch als

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=-\underset{i,j,k=1}{\overset{3}{\sum}}\varepsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}F_{k}.\)

schreiben. Somit muss aber zwingend gelten 

\(\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\times\vec{F})=0.\)

Ein solcher Widerspruch lässt sich ferner für beliebige Ausdrücke aus der Beobachtung folgern, dass das Produkt eines symmetrischen und eines total antisymmetrischen Ausdrucks stets null ist.

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(9-17)^2+(16-9)^2}=10,63\)

Die Kraft \(\vec{F}\) ist definiert wie folgt \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}\), wo \(\vec{a}\) die Beschleunigung ist.

Somit ist \(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}25*(-8)\\25*3\\25*(-2)\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}-200\\75\\-50\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-3\\-8\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}2\\-5\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-5\\-3\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-10\\0\end{array} \right)\)

Verwendet man den Entwicklungssatz 

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B)}\)

und setzt \(\vec{B} := \vec{v}\), \(\vec{A} , \vec{C} := \vec{u}\), so erhält man das Resultat

\( \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})=u^{2}\vec{v}-(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\).

Infolgedessen gilt aber auch

\(\vec{v}=\frac{1}{u^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}+\frac{1}{u^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})\).

Die Kraft wird folgendermaßen berechnet \(\vec{F}=m\cdot\vec{a}\).

Die Masse \(m\) wird mit jeder Komponenten des Vektors \(\vec{a}\) multipliziert.

\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}20\cdot 650\\5\cdot 650\\35\cdot 650\end{array} \right)\)

\(3x^2z-xy^3+5\)  im Punkt \(P(1,-2,2)\)

\(3\cdot 1^2\cdot 2-1\cdot(-2)^3+5=19\)