Der Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array} \right)\)wird folgenermaßen berechnet:

\(|\vec{V}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(5\cdot8^2-2\cdot3+6\cdot9^4\cdot8+8\cdot9+2=315316\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}\)

\(\vec{a} = \sqrt{14}\vec{e_a}\)

\(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}2\\-1\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/7\\-1/14\\-3/14\\\end{pmatrix}\)

1) Normierung eines Vektors

Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet:

\(\vec{e_a} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\)

Verwendet man den Entwicklungssatz 

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B)}\)

und setzt \(\vec{B} := \vec{v}\), \(\vec{A} , \vec{C} := \vec{u}\), so erhält man das Resultat

\( \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})=u^{2}\vec{v}-(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\).

Infolgedessen gilt aber auch

\(\vec{v}=\frac{1}{u^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}+\frac{1}{u^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})\).

Die Länge (oder der Betrag) in einem kartesischen Koordinatensystem ist gegeben durch \(|\vec{v}|=\sqrt{ (5,3 \frac{m}{s})^2 + (2,6 \frac{m}{s})^2 } =5,9 \frac{m}{s}\).

Der Vektor \(\vec{P_1Q}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{P_1P_2}\), jedoch nur von halber Länge:\(\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Aus einer Skizze folgt, dass  \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Zunächst die benötigten Vektoren berechnen:

\(\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-3)\\-1 - 3\\1 - 3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix}\)

Für den Ortsvektor erhält man:

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-3\\3\\3\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}4\\-4\\-2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\1\\2\\\end{pmatrix}\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(7-9)^2+(5-5)^2}=2\) 

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(4\cdot3^2+9\cdot3\cdot4+2\cdot3=150\)