Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Vektoralgebra.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Normiere den Vektor \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} \) Nr. 2767
	\(\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}\)
	\(\vec{e_a} = \begin{pmatrix}1/5\\1/5\\2/5\\\end{pmatrix}\)
Lösungsweg \(\|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}\) \(\vec{a} = \sqrt{6}\vec{e_a}\) \(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}\) 1) Normierung eines Vektors Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet: \(\vec{e_a} = \frac{1}{\|\vec{a}\|}\vec{a}\)

2 erreichbare Punkte

Bestimme ob die Aussage wahr oder falsch ist: An einem Massenpunkt in dem die angreifenden Kräfte wirken hebt sich die physikalische Wirkung auf: \(\vec{F_1} = \begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N,\) \(\vec{F_2} = \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N,\) \(\vec{F_3} = \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N,\) \(\vec{F_4} = \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N\) Nr. 2772
	wahr
	falsch
Lösungsweg Die vier Kräfte heben sich gegenseitig auf, wenn die Resultierende Kraft \vec{F_R} den Nullvektor ergibt: \(\vec{F_R} = \vec{F_1} +\vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = \)\(\begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N = \)\(\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix} N\) 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert \(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Bestimme ob die Aussage wahr oder falsch ist:

An einem Massenpunkt in dem die angreifenden Kräfte wirken hebt sich die physikalische Wirkung auf:

\(\vec{F_1} = \begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N,\)

\(\vec{F_2} = \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N,\)

\(\vec{F_3} = \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N,\)

\(\vec{F_4} = \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N\)

Nr. 2772

wahr

falsch

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Ließ die Komponenten der gegebenen Vektoren ab und addiere sie. Gib anschließend die Komponenten des entstandenen Vektors \(\vec{C \) an. Nr. 3467
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\5\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\1\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\-1\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\) Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei ein Vektorfeld \(\vec{v}=\vec{v}(x,y,z)\). WIe lautet seine Zerlegung \(\vec{v}=\vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_{\perp}\) bezüglich eines Referrenzvektorfeldes \(\vec{u}=\vec{u}(x,y,z)\)? Nr. 4159
	\(\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u} \times \vec{v})\times \vec{u}\) und \(\vec{v}_{\perp}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\)
	\(\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\) und \(\vec{v}_{\perp}=\frac{1}{v^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})\)
	\(\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\) und \(\vec{v}_{\perp}=\frac{1}{v^{2}}(\vec{u}\times\vec{v})\times\vec{u}\)
	\(\vec{v}_{\parallel}=\frac{1}{u^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\) und \( \vec{v}_{\perp}=\frac{1}{u^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})\)
Lösungsweg Verwendet man den Entwicklungssatz \(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\vec{B)}\) und setzt \(\vec{B} := \vec{v}\), \(\vec{A} , \vec{C} := \vec{u}\), so erhält man das Resultat \( \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})=u^{2}\vec{v}-(\vec{u}\vec{v})\vec{u}\). Infolgedessen gilt aber auch \(\vec{v}=\frac{1}{u^{2}}(\vec{u}\vec{v})\vec{u}+\frac{1}{u^{2}}\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{u})\).

4 erreichbare Punkte

Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{C}\) an. Nr. 3471
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}2\\4\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}2\\-4\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-6\\4\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\) Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Eine Masse \(m=14kg\) erfährt eine Beschleunigung \(\vec{a}\), die durch den Vektor \(\vec{a}= \left( \begin{array}{c}5\\-2\\9\end{array} \right)\) ausgedrückt wird. Wie sieht die Komponentendarstellung der einwirkenden Kraft \(\vec{F}\) aus? Nr. 3296
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}70\\28\\126\end{array} \right)\)
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}70\\-28\\126\end{array} \right)\)
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}19\\12\\23\end{array} \right)\)
	\(\vec{F}= \left( \begin{array}{c}-9\\12\\12\end{array} \right)\)
Lösungsweg Die Kraft \(\vec{F}\) ist definiert wie folgt \(\vec{F}=m\cdot \vec{a}\), wo \(\vec{a}\) die Beschleunigung ist. Somit ist \(\vec{F}=m\cdot\vec{a}=14\cdot \left( \begin{array}{c}5\\-2\\9\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}14\cdot5\\14\cdot(-2)\\9\cdot14\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

In einem Raum befinden sich zwei Punkte \(P_1 = (-4, 2, 1) \) und \( P_2 = (1,3,4)\). Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, welcher die Strecke zwischen diesen beiden Punkten halbiert? Nr. 2774
	\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}\) \( Q= (-1.5,2.5,2.5)\)
	\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-2,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}\) \( Q= (-2.5,2.5,2.5)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{P_1Q}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{P_1P_2}\), jedoch nur von halber Länge:\(\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\) Aus einer Skizze folgt, dass \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\) Zunächst die benötigten Vektoren berechnen: \(\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix}\) \(\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-4)\\3 - 2\\4 - 1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix}\) Für den Ortsvektor erhält man: \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}\) 1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert \(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

In einem Raum befinden sich zwei Punkte

\(P_1 = (-4, 2, 1) \) und \( P_2 = (1,3,4)\).

Welche Koordinaten besitzt der Punkt Q, welcher die Strecke zwischen diesen beiden Punkten halbiert?

Nr. 2774

\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}\)

\( Q= (-1.5,2.5,2.5)\)

\(\vec{r}(Q) = \begin{pmatrix}-2,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}\)

\( Q= (-2.5,2.5,2.5)\)

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Berechne \(5 \cdot \left(\left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)\right)\) Nr. 2562
	\(\left(\begin{array}25\\25\\25\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}35\\25\\25\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}10\\5\\15\end{array}\right)+ \left(\begin{array}25\\20\\10\end{array}\right)\)
	75
	85
Lösungsweg \(5 \cdot (\left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right) + \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)) \)\(= 5 \cdot \left(\begin{array}2\\1\\3\end{array}\right)+ 5\cdot \left(\begin{array}5\\4\\2\end{array}\right)\)

5 erreichbare Punkte

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