\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}\)

\(\vec{a} = \sqrt{14}\vec{e_a}\)

\(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}2\\-1\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/7\\-1/14\\-3/14\\\end{pmatrix}\)

1) Normierung eines Vektors

Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet:

\(\vec{e_a} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(19+19)^2+(27-21)^2}=38.47\)

Der Defnition nach gilt

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\left(\begin{array}{c} \partial_{x}\\ \partial_{y}\\ \partial_{z} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} UF_{x}\\ UF_{y}\\ UF_{z} \end{array}\right)\)

und daher

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\partial_{x}(UF_{x})+\partial_{y}(UF_{y})+\partial_{z}(UF_{z})\)

was in Komponentenschreibweise kompakt in der Form 

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\underset{k=1}{\overset{3}{\sum}}\left\{ F_{k}\partial_{k}U+U\partial_{k}F_{k}\right\} \)

notiert werden kann. Dies bedeutet aber, dass

\(\vec{\nabla}(U\vec{F})=\vec{\nabla}U\cdot\vec{F}+U\cdot\vec{\nabla}\vec{F}\)

gilt.

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}3\\1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\-2\end{array} \right)\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(9-17)^2+(11-3)^2}=11,31\)

Die Summer zweier Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) ist \(\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}\)

\(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\)

\(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\)

D.h. \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_1+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\)
Vektoren werden komponentenweise addiert.

In diesem Beispiel ist \(\vec{C}=\left( \begin{array}{c}0\\0\\0\end{array} \right)\) der Nullvektor.

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(5\cdot 7\cdot 2^3\cdot4+2\cdot7^2-9\cdot\cdot2=1370\)

\(\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right) \)