Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, das heißt \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\).

In diesem Fall sind die Vektoren \(\vec{a}= \left( \begin{array}{c}-6\\-7\end{array} \right)\) und \(\vec{b}= \left( \begin{array}{c}1\\1\end{array} \right)\), wie in der Grafik zu sehen ist. Die \(x\mathrm{-Komponenten}\) sind dabei rot und die \(y\mathrm{-Komponenten}\) blau eingezeichnet. Die Richtung, in die der Pfeil, der den Vektor repräsentiert, zeigt, legt das Vorzeichen der Komponenten fest.

Es ergibt sich also \( \vec{c}=\vec{a}-\vec{b}= \left( \begin{array}{c}-6-1\\-7-1\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}-7\\-8\end{array} \right)\).

Graphisch gesehen ergibt das den Vektor, der von der Spitze von \(\vec b\) zur Spitze von \(\vec a\) zeigt, wenn die beiden Vektoren beim selben Anfangspunkt ansetzen.

Zunächst werden die Komponenten der Vektoren abgelesen. Dabei beginnt man beim Schaft des Pfeiles, der den Vektor repräsentiert. In der Grafik sind die \(y\mathrm{-Komponenten}\) rot und die \(x\mathrm{-Komponenten}\) blau dargestellt. Der Vektor \(\vec b\) ist parallel zur \(y\mathrm{-Achse}\) orientiert, seine \(x\mathrm{-Komponente}\) ist daher \(0\).

\( \vec{a}= \left( \begin{array}{c}2\\-3\end{array} \right)\)
 

\( \vec{b}= \left( \begin{array}{c}0\\5\end{array} \right)\)

Die Summe der beiden Vektoren ergibt wieder einen Vektor! Dabei werden die \(x\mathrm{-Komponenten}\) und die \(y\mathrm{-Komponenten}\) addiert:

\( \vec{c}= \left( \begin{array}{c}a_x+b_x\\a_y+b_y\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}2+0\\-3+5\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}2\\2\end{array} \right)\)

Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert.

\(4\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}36\\-16\\8\end{array} \right)\quad,\)     \(2\cdot \vec{B}= \left( \begin{array}{c}-6\\16\\-168\end{array} \right)\quad ,\)   \(-\)\(-\)\(-\) \(0,5\cdot \vec{C}= \left( \begin{array}{c}3\\0,5\\1,5\end{array} \right)\)

Nun werden alle drei Vektoren komponentenweise addiert bzw. subtrahiert, also:

\(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\-0,5\\-161,5\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(2\cdot5^2+4\cdot2+3\cdot3=67\)

\(\vec{D}-\vec{E}= \left(\begin{array}8\\-3\\5\end{array}\right) - \left(\begin{array}-3\\4\\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}8-(-3)\\-3-4\\5-3\end{array}\right) \)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(9-17)^2+(11-3)^2}=11,31\)

Hierbei berechnet man 

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =(\vec{A}-\vec{B})\left\{ \vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}\right\} \)\(=\vec{A}(\vec{A}\times\vec{C})+\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{A}\times\vec{C})-\vec{B}(\vec{B}\times\vec{C})\).

Benützt man nun die Identitäten

\(\vec{X}(\vec{Y}\times\vec{Z})=\vec{Z}(\vec{X}\times\vec{Y})=\vec{Y}(\vec{Z}\times\vec{X})\)

beziehungsweise 

\(\vec{X}\times\vec{Y}=-\vec{Y}\times\vec{X}\),

die für beliebige Vektorfelder\(\vec{X}\), \(\vec{Y}\) und \(\vec{Z}\) gelten, so erhält man

\((\vec{A}-\vec{B})\left\{ (\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}\right\} =2\vec{A}(\vec{B}\times\vec{C})\)\(=2\vec{C}(\vec{A}\times\vec{B})\)\(=2\vec{B}(\vec{C}\times\vec{A})\).