Zunächst muss jeder Vektor mit dem angegeben Faktor multipliziert werden.

also \(5\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}10\\45\\40\end{array} \right)\quad , \quad 2\cdot\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-12\\-10\\14\end{array} \right) \) 

Das Resultat der Addition bzw. Subtraktion aller Vektoren: \(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\60\\21\end{array} \right)\)

Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz.

Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)

\( |\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(12-5)^2+(7-3)^2}=8,06\)

\(\vec{A} \cdot \vec{B}= \left(\begin{array} a_1 \cdot b_1 \\ a_2\cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_3 \end{array}\right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-4\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}5\\6\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\)

Die Länge (oder der Betrag) in einem kartesischen Koordinatensystem ist gegeben durch \(|\vec{v}|=\sqrt{ (5,3 \frac{m}{s})^2 + (2,6 \frac{m}{s})^2 } =5,9 \frac{m}{s}\).

Die vier Kräfte heben sich gegenseitig auf, wenn die Resultierende Kraft \vec{F_R} den Nullvektor ergibt: 

\(\vec{F_R} = \vec{F_1} +\vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = \)\(\begin{pmatrix}21\\-10\\-2\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}5\\9\\10\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}2\\-9\\-3\\\end{pmatrix} N + \begin{pmatrix}-28\\10\\-5\\\end{pmatrix} N = \)\(\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix} N\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren.

Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird.

Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: 

\(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\)

Daraus folgt: \(F=\sqrt{(4000N)^2+(6000N)^2+2\cdot 4000N \cdot 6000N \cdot cos(38,99)}=9450,3N\)

Vektoren werden komponentenweise subtrahiert, d.h. \(\left( \begin{array}8\\2\end{array} \right)-\left( \begin{array}7\\5\end{array} \right)=\left( \begin{array}8-7\\2-5\end{array} \right)=\left( \begin{array}1\\-3\end{array} \right)\).