Zunächst muss jeder Vektor mit dem angegeben Faktor multipliziert werden.

also \(5\cdot \vec{A}= \left( \begin{array}{c}10\\45\\40\end{array} \right)\quad , \quad 2\cdot\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-12\\-10\\14\end{array} \right) \) 

Das Resultat der Addition bzw. Subtraktion aller Vektoren: \(\vec{s}= \left( \begin{array}{c}27\\60\\21\end{array} \right)\)

\(\vec{s} = 3 \begin{pmatrix}0\\3\\5\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}1\\4\\2\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\-2\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-15\\19\\\end{pmatrix} \)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}\)

\(\vec{a} = \sqrt{6}\vec{e_a}\)

\(\vec{e_a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/6\\1/6\\1/3\\\end{pmatrix}\)

1) Normierung eines Vektors

Durch die Normierung erhält man aus einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor \(\vec{a}\) einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lautet:

\(\vec{e_a} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\)

Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}0\\8\end{array} \right)\) beschrieben werden. 
Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind.

d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=7\quad \Rightarrow v_x=4,95\)

Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\4,95\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. 

Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\12,95\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(|\vec{V_3}|=\sqrt{4,95^2+12,95^2}\)=13,86\,km\)

Der Vektor \(\vec{P_1Q}\) ist parallel zum Vektor \(\vec{P_1P_2}\), jedoch nur von halber Länge:\(\vec{P_1Q} = \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Aus einer Skizze folgt, dass  \(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \vec{P_1Q} = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2}\)

Zunächst die benötigten Vektoren berechnen:

\(\vec{r}(P_1) = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix}\)

\(\vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-4)\\3 - 2\\4 - 1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix}\)

Für den Ortsvektor erhält man:

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(P_1) + \frac{1}{2} \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}-4\\2\\1\\\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}5\\1\\3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,5\\2,5\\2,5\\\end{pmatrix}\)

1) Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b} \) werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert

\(\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x \pm b_x\\a_y \pm b_y\\a_z \pm b_z\\\end{pmatrix}\)

Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein

\(4\cdot3^2+9\cdot3\cdot4+2\cdot3=150\)

Die Länge der Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_x\\a_y\end{array} \right)\) ist der der Absolutbetrag: \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

Zurückgelegte Strecke: \(s= |\vec{s_1}|+ |\vec{V_2}|=\sqrt{s_1_x^2+s_1_y^2}+\sqrt{s_2_x^2+s_2_y^2}\)

\(s=20+15,8114=35,8114\,km\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\),

indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\)

Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}4\\0\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}4\\2\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}8\\2\end{array} \right)\)