Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Vektoralgebra.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{C}\) an. Nr. 3466
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}-4\\4\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\6\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-6\end{array} \right)\)
	\( \vec{C}= \left( \begin{array}{c}6\\-4\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\) Hier sind die Vektoren \( \vec{A}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\) und \( \vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-3\end{array} \right)\), d.h. \( \vec{C}=\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}6\\-6\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben seien folgende Punkte: \(P_1(19\|27)\) und \(P_2(-19\|21)\). Wie weit sind diese voneinander entfernt? Nr. 3386
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=40,5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=35,6\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=38,5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=35,9\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(19+19)^2+(27-21)^2}=38.47\)

4 erreichbare Punkte

Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{u\) und \(\vec{v\) in der Zeichnung ab und addiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{w\) an. Nr. 3463
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)\)
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}3\\4\end{array} \right)\)
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}2\\6\end{array} \right)\)
	\(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}4\\8\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden addiert \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise addiert, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x+v_x\\u_y+v_y\end{array} \right)\) Hier. \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}3\\-1\end{array} \right)\), deshalb ist \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}6\\2\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Was ist die Differenz zwischen dem Vektor \(\vec{x}=\left( \begin{array}8\\2\end{array} \right)\) und dem Vektor \(\vec{y}=\left( \begin{array}7\\5\end{array} \right)\)? Nr. 1607
	\(-2\)
	\(\left( \begin{array}8\\2\\-7\\-5\end{array} \right)\)
	\(+2\)
	\(\left( \begin{array}1\\-3\end{array} \right)\)
Lösungsweg Vektoren werden komponentenweise subtrahiert, d.h. \(\left( \begin{array}8\\2\end{array} \right)-\left( \begin{array}7\\5\end{array} \right)=\left( \begin{array}8-7\\2-5\end{array} \right)=\left( \begin{array}1\\-3\end{array} \right)\).

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt 8km nach Norden und danach 7km nach Nord-Osten. Wie weit ist die Distanz zwischen Ursprungsort und Ziel? Nr. 3349
	\(12,74km\)
	\(14,81km\)
	\(13,86km\)
	\(10,96km\)
Lösungsweg Der erste Teil der Fahrt wird durch den Vektor \( \vec{V_1}= \left( \begin{array}{c}0\\8\end{array} \right)\) beschrieben werden. Vom zweiten Teil ist nur der Absolutbetrag \(\mid \vec{V_2}\mid\) bekannt und dadurch, dass das Auto nach Nord-Osten fährt, sind es 45° weg von der y-Achse. Das bedeutet auch dass die x-Komponente und Y-Komponente gleich gross sind. d.h \(\mid \vec{V_2}\mid=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2\cdot v_x^2}=7\quad \Rightarrow v_x=4,95\) Somit ist der Vektor \(\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\4,95\end{array} \right)\) die zweite Teilstrecke. Die Summe dieser Vektoren ergibt: \(\vec{V_3}=\vec{V_1}+\vec{V_2}= \left( \begin{array}{c}4,95\\12,95\end{array} \right)\) und dessen Länge ist \(\|\vec{V_3}\|=\sqrt{4,95^2+12,95^2}\)=13,86\,km\)

4 erreichbare Punkte

Lies die beiden gegebenen Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) in der Zeichnung ab und subtrahiere sie. Gib anschließend den entstandenen Vektor \(\vec{C}\) an. Nr. 3478
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-10\\-10\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}0\\0\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}-10\\0\end{array} \right)\)
	\(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}10\\10\end{array} \right)\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) Zwei beliebige Vektoren\(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}u_x\\u_y\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}v_x\\v_y\end{array} \right)\) werden subtrahiert \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{w}\), indem man sie komponentenweise voneinander abzieht, d.h. \(\vec{w}= \left( \begin{array}{c}u_x-v_x\\u_y-v_y\end{array} \right)\) Hier sind die Vektoren \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}-5\\-1\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}5\\-1\end{array} \right)\), das heisst \( \vec{C}=\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}-10\\0\end{array} \right)\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei das Skalarfeld \(9x^3y+5z-xyz+21\) in der Basis \((x,y,z)\) Bestimme seinen Wert beim Punkt \(P(4,7,3)\) Nr. 3312
	\(3257\)
	\(3688\)
	\(3423\)
	\(3984\)
Lösungsweg Man setzt im Skalarfeld \(f(x,y,z)\) den x-,y- und z-Wert des Punktes \(P\) für de jeweilgen Variablen ein \(9\cdot4^3\cdot7+5\cdot3-4\cdot7\cdot3+21=3984\)

4 erreichbare Punkte

Wie weit sind folgende Punkt voneinander entfernt: \(P_1(9\|16)\) und \(P_2(17\|9)\) Nr. 3385
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=10,63\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=12,52\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=11,98\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=9,74\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(9-17)^2+(16-9)^2}=10,63\)

4 erreichbare Punkte

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Gegeben seien folgende Punkte: \(P_1(19\|27)\) und \(P_2(-19\|21)\). Wie weit sind diese voneinander entfernt? Nr. 3386
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=40,5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=35,6\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=38,5\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=35,9\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(19+19)^2+(27-21)^2}=38.47\)

Wie weit sind folgende Punkt voneinander entfernt: \(P_1(9\|16)\) und \(P_2(17\|9)\) Nr. 3385
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=10,63\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=12,52\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=11,98\)
	\( \|\vec{P_1P_2}\|=9,74\)
Lösungsweg Für die Distanz zweier Punkte werden die beiden koordinatenweise subtrahiert \(\vec{P_1P_2}= \left( \begin{array}{c}p_{2x}-p_{1x}\\p_{2y}-p_{1y}\end{array} \right)\) der Absolutbetrag davon ergibt die Distanz. Der Absolutebtrag bzw. die Länge eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) \( \|\vec{P_1P_2}\|=\sqrt{(9-17)^2+(16-9)^2}=10,63\)

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