Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-2\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\2\\-6\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12\\-12\\6\\\end{pmatrix}\)

 \(A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + (-12)^2 + 6^2} = 18 m^2\)

Definition und Berechnung

Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\)

2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi)\)

3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System

Es gilt:

\(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}3\\3\end{array} \right)\) und \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}1\\4\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=12-3=9\)