Dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das zwischen zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)aufgespannt wird,

entspricht der Länge des Kreuzpoduktes \(\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid\).

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Für den Absolutbetrag eines Vektors \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) gilt:    \(\mid \vec{A}\mid=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

Der Flächeninhalt eines Parallelograms, welches durch zwei Vektoren begrenzt wird, ergibt sich durch den Absolutbetrag des Kreuzproduktes beider Vektooren.  

Alos \(\vec{A} \times \vec{B}=\left( \begin{array}{c}44\\39\\-9\end{array} \right)\)und davon der Absolutbetrag: \(A=\mid \vec{A}\times \vec{B}\mid=\sqrt{44^2+39^2+(-9)^2}=59,4811\)

\(\vec{s} = (- \begin{pmatrix}1\\4\\3\\\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}0\\-3\\4\\\end{pmatrix} )\times \begin{pmatrix}-4\\1\\1\\\end{pmatrix} \)\(= \begin{pmatrix}-1\\-10\\1\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\1\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\2\\18\\\end{pmatrix} \)

Definition und Berechnung

Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\)

2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi)\)

3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System

Es gilt:

\(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Hinweis: \(\vec{D}\) ist das Produkt aus zwei der angegebenen Vektoren.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{D}=\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{D}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Der Definition nach gilt

\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\left(\begin{array}{c} (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{3}\\ (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{1}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{2} \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{2}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{3}\\ (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{1} \end{array}\right)\)

beziehungsweise

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\left(\begin{array}{c} A_{2}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{3}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2})\\ A_{1}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3}) \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} A_{3}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3})\\ A_{1}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{2}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2}) \end{array}\right)\).

Somit folgt aber sogleich

\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\neq\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\).

Anmerkung: Da man also nicht beliebig Klammern setzen kann, handelt es sich beim Kreuz- alias Vektorprodukt um ein nicht-assoziatives Produkt.

Allgemein gilt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)