Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

\(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Definition und Berechnung

Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\)

2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi)\)

3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System

Es gilt:

\(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Aus der Beziehung

\((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\sin^{2}\theta,\)

deren Gültigkeit in einem vorangegangenen Beispiel aufgezeigt wurde, lässt sich leicht folgern, dass 

\((\vec{A}\times\vec{B})=AB\cdot\sin\theta\)

gilt. Für parallele Vektoren gilt aber stets \(\sin\theta = 0\), sodass sich

\(\vec{A}\times\vec{B}=0\)

 folgern lässt.

Anmerkung: Man spricht hier in diesem Kontext sehr oft von Kollinearität von Vektoren. 

Der Definition nach gilt

\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\left(\begin{array}{c} (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{3}\\ (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{1}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{2} \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{2}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{3}\\ (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{1} \end{array}\right)\)

beziehungsweise

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\left(\begin{array}{c} A_{2}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{3}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2})\\ A_{1}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3}) \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} A_{3}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3})\\ A_{1}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{2}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2}) \end{array}\right)\).

Somit folgt aber sogleich

\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\neq\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\).

Anmerkung: Da man also nicht beliebig Klammern setzen kann, handelt es sich beim Kreuz- alias Vektorprodukt um ein nicht-assoziatives Produkt.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Sei \(\vec{V}= \left( \begin{array}{c}a\\a\end{array} \right)\), dann gilt  \(|\vec{V}|=\sqrt[2]{2a^2}\), also \(65m^2=\sqrt[2]{2a^2}\)

Daraus folgt, dass \(a=45,96194m^2\).

Probe: \(65=\sqrt[2]{45,96194^2+45,96194^2}\)

Zunächste die Subtraktion von \(2\vec{A}-\vec{B\)

\(\vec{}= \left( \begin{array}{c}18-2\\10-3\\12-(-2)\end{array} \right)\) 

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Davon wird das Kreuzprodukt mit \(\vec{C}= \left( \begin{array}{c}4\\10\\9\end{array} \right)\) gebildet:

\( \left( \begin{array}{c}16\\7\\14\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}4\\10\\9\end{array} \right)=\vec{s}= \left( \begin{array}{c}-77\\-88\\132\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\).
Der resultierende Vektor \(\vec{C}=\vec{A}\times\vec{B}\) ist orthogonal auf beide Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\)-