Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}= \left( \begin{array}{c}1\\-3\end{array} \right)\)  und  \(\vec{v}= \left( \begin{array}{c}4\\-1\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=-1-(-12)=11\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\).

\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix}0\\4\\-3\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\2\\5\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26\\-3\\-4\\\end{pmatrix}\)

 \(A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{26^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{701} = 26,5 m^2\)

Definition und Berechnung

Unter dem Vektorprodukt \( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \) zweier Vektoren \(\vec{a} \) und \(\vec{b}\) versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:

1. \(\vec{c}\) ist sowohl zu \(\vec{a}\) als auch zu \(\vec{b}\) orthogonal:\( \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\)

2. Der Betrag von \(\vec{c}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\phi: |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\phi)\)

3. Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c} \) bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System

Es gilt:

\(\begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} y_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot y_2\\ - (x_1 \cdot z_2 - z_1 \cdot x_2)\\ x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2\\ \end{pmatrix}\)

Der Definition nach gilt

\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}=\left(\begin{array}{c} (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{3}\\ (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{1}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{2} \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} (A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})C_{2}\\ (A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})C_{3}\\ (A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})C_{1} \end{array}\right)\)

beziehungsweise

\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\left(\begin{array}{c} A_{2}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{3}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2})\\ A_{1}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3}) \end{array}\right)\)\(-\left(\begin{array}{c} A_{3}(B_{3}C_{1}-B_{1}C_{3})\\ A_{1}(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1})\\ A_{2}(B_{2}C_{3}-B_{3}C_{2}) \end{array}\right)\).

Somit folgt aber sogleich

\((\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}\neq\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\).

Anmerkung: Da man also nicht beliebig Klammern setzen kann, handelt es sich beim Kreuz- alias Vektorprodukt um ein nicht-assoziatives Produkt.

Allgemein gilt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen:

 \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

Hinweis: \(\vec{D}\) ist das Produkt aus zwei der angegebenen Vektoren.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{D}=\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{D}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)