Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Kreuzprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gesucht ist das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): Nr. 3392
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 23\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 16\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 19\)
	\(\vec{u} \times \vec{v} = 11\)
Lösungsweg Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\) In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar. Hier: \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}3\\-2\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\vec{CD}= \left( \begin{array}{c}2\\5\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=15-(-4)=19\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben sind die Vektoren: \(\vec{A}=\left(\begin{array}1,34\\-1,5\\2,48\end{array}\right)\), \(\vec{B}=\left(\begin{array}5,25\\3,21\\3,41\end{array}\right)\), \(\vec{C}=\left(\begin{array}4,02\\-2,51\\4,72\end{array}\right)\), \(\vec{D}= \left(\begin{array}3,02\\3\\1,42\end{array}\right)\) und \(\vec{E}=\left(\begin{array}2,92\\-1,21\\6,42\end{array}\right)\). Mit welchen dieser Vektoren lässt sich wie das Kreuzprodukt \(\vec{F}=\left(\begin{array}8,71\\-1,94\\-5,88\end{array}\right) \)erreichen? Nr. 2632
	\(\vec{A} \times(\vec{D}+\vec{E})\)
	\(\vec{C} \times(\vec{F}-\vec{E})\)
	\(\vec{A} \times(\vec{C}-\vec{D})\)
	\(\vec{A}\times(\vec{B}+\vec{D})\)
	\(\vec{E} \times\vec{F}\)
Lösungsweg Allgemein gilt Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) und zwei Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\) werden subtrahiert indem ihre Komponenten subtrahiert werrden \(\vec{A}-\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1- b_1\\a_2- b_2\\a_3- b_3\end{array} \right)\).

5 erreichbare Punkte

Gesucht ist das Kreuzprodukt zwischen \(\vec{A}= \left( \begin{array}{c}2\\-3\\8\end{array} \right)\) und \(\vec{B}= \left( \begin{array}{c}11\\-7\\6\end{array} \right)\) Nr. 3214
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}23\\66\\36\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}83\\-67\\-19\end{array} \right)\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}38\\76\\19\end{array} \right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermassen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

3 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei parallele Vektoren \(\vec{A}\) und \(\vec{B}\), was gemeinhin mit \(\vec{A}\parallel\vec{B}\) bezeichnet wird. Welche der unten angeführten Aussagen ist korrekt? Nr. 4145
	\(\vec{A}\times\vec{B}=0\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}=\vec{A}\)
	\(\vec{A}\times\vec{B}=\vec{B}\)
Lösungsweg Aus der Beziehung \((\vec{A}\times\vec{B})^{2}=A^{2}B^{2}\cdot\sin^{2}\theta,\) deren Gültigkeit in einem vorangegangenen Beispiel aufgezeigt wurde, lässt sich leicht folgern, dass \((\vec{A}\times\vec{B})=AB\cdot\sin\theta\) gilt. Für parallele Vektoren gilt aber stets \(\sin\theta = 0\), sodass sich \(\vec{A}\times\vec{B}=0\) folgern lässt. Anmerkung: Man spricht hier in diesem Kontext sehr oft von Kollinearität von Vektoren.

3 erreichbare Punkte

Das Kreuzprodukt \(\left(\begin{array}5\\-32\\20\end{array}\right)\) kann durch die Kombination welcher zwei Vektoren erzeugt werden? Nr. 2589
	\(\left(\begin{array}8\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}2\\2,5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}16\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4\\5\\6\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}4\\5\\7\end{array}\right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\)

5 erreichbare Punkte

Berechne das Kreuzprodukt von \(\vec{A}\times (\vec{B} + \vec{C})\) mit den Vektoren: \(\vec{A}=\left(\begin{array}11\\23\\15\end{array}\right)\), \(\vec{B}=\left(\begin{array}0,5\\2\\0,7\end{array}\right)\) und \(\vec{C}=\left(\begin{array}0,9\\0,2\\3\end{array}\right)\) Nr. 2560
	\(\left(\begin{array}4,95\\9,2\\31,5\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}52,1\\-19,7\\-8\end{array}\right)\)
	\(121\)
	\(131\)
	keine dieser Lösungen ist richtig.
Lösungsweg Zwei Vektoren \(\vec{A}=\left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\) und \(\vec{B}=\left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) werden addiert indem sie komponentenweise addiert werden\(\)\(\vec{A}+\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{array} \right)\). Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) D.h. bei diesem Beispiel müssen wir zuerst die Vektoren \(\vec{B}\) und \(\vec{C}\) komponentenweise addieren und dann das Kreuzprodukt des Vektors \(\vec{A}\) mit dem resultierenden Vektor berechnen. \(\left.\vec{A}\right.\left.\times\right. \left(\vec{B}+\vec{C}\right)= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1+c_1\\b_2+c_2\\b_3+c_3\end{array} \right)\).

5 erreichbare Punkte

Das Kreuzprodukt aus den Einheitvektoren \(\vec{e_x}\) und \(\vec{e_y}\) ergibt: Nr. 3253
	Einen Nullvektor
	\(\vec{e_z}\)
	Einen beliebigen Vektor
	Einen Skalar
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen: \(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Für die Einheitsvektoren \(\vec{e_x}= \left( \begin{array}{c}1\\0\\0\end{array} \right)\) und \(\vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\\1\\0\end{array} \right)\) bedeutet das \(\vec{e_x}\times\vec{e_y}= \left( \begin{array}{c}0\cdot 0 - 1\cdot 0\\0\cdot 0-1\cdot 0\\1 \cdot 1-0 \cdot 0\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)=\vec{e_z}\)

4 erreichbare Punkte

Berechne des Kreuzprodukt von \(\vec{A} \) und \(-\vec{A} \) mit \(\vec{A}=\left(\begin{array}14\\-9\\13\end{array}\right)\) Nr. 2575
	\(0\)
	\(\left(\begin{array}0\\0\\0\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}196\\-81\\169\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}-196\\-81\\-169\end{array}\right)\)
	\(\left(\begin{array}-196\\81\\-169\end{array}\right)\)
Lösungsweg Das Kreuzprodukt zweier Vektoren\(\)\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array} \right)\times \left( \begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array} \right)\) berechnet sich folgendermaßen:\(\vec{A}\times\vec{B}= \left( \begin{array}{c}a_2\cdot b_3 - b_2\cdot a_3\\b_1\cdot a_3-a_1\cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-b_1 \cdot a_2\end{array} \right)\) Wenn \(\vec{A}=\left(\begin{array}14\\-9\\13\end{array}\right)\) gilt \(-\vec{A}=\left(\begin{array}-14\\9\\-13\end{array}\right)\). D.h. die Vektoren sind antiparallel zuseinander und so wie bei parallelen Vektoren ist deren Kreuzprodukt der Nullvektor \(\ve{A}\times(-\vec{A})=\left(\begin{array}0\\0\\0\end{array}\right)\)

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