\(\vec{s} \cdot \vec{F} = \begin{pmatrix}2\\3\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix} N = -12 N\)
 

\(|\vec{s}|^2 =(2)^2 + (3)^2 = 11\)

\(\vec{F_s} = \left(\frac{\vec{s} \cdot \vec{F}}{|\vec{s}|^2}\right) = \frac{-12}{11} \begin{pmatrix}2\\3\\0\\\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2,1\\-3,1\\0\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

\(\vec{s} \cdot \vec{F} = \begin{pmatrix}4\\2\\2\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix} N = 6 N\)
 

\(|\vec{s}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 2^2= 6\)

\(\vec{F_s} = \left(\frac{\vec{s} \cdot \vec{F}}{|\vec{s}|^2}\right) = \frac{6}{6} \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

\(\vec{s} \cdot \vec{F} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\1\\\end{pmatrix} N = 1 N\) 

\(|\vec{s}|^2 = (-1)^2 = 1\)

\(\vec{F_s} = \left(\frac{\vec{s} \cdot \vec{F}}{|\vec{s}|^2}\right) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\\end{pmatrix}\)

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Durch Projektion des Vektors \( \vec{b} \) auf den Vektor \(\vec{a}\)  entsteht der Vektor

\(\vec{b_a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}^2|}\right) \vec{a}\)

Er wird als Komponente des Vektors \(\vec{b}\)  in Richtung des Vektors \( \vec{a} \) bezeichnet.

1. Schritt: Vektoren von beiden gefahrenen Strecken \(s_1\) und \(s_2\) ermitteln:

Strecke \(s_1=3\,km\) nördlich (entlang der positiven y-Achse) gefahren: \( \vec{s_1}= \left( \begin{array}{c}0\\3\end{array} \right)\) 

Strecke \(s_2\): Nord-östlich bedeute das Auto fährt entland der Diagonale im ersten Quadranten bzw. auf einer Geraden im Winkel \(\alpha=45^\circ\). 

Wir wissen:  \(\vec{s_2}= \left( \begin{array}{c}a\\a\end{array} \right)\) und \(\mid \vec{s_2}\mid=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=5\), daraus folgt \(a=\pm \frac{5}{\sqrt{2}}\), richtig ist  \(a>0\) Antwort, da \(a\) eine Länge ist.

Somit ist \(\vec{s_2}= \left( \begin{array}{c}3,54\\3,54\end{array} \right)\). Der Vektor vom Ursprung zum Endpunkt \(\vec{s}=\vec{s_1}+\vec{s_2}=\left( \begin{array}{c}3,54\\6,54\end{array} \right)\).

Daher ist die gefragte Distanz \(d\) die Länge des Vektors \(\vec{s}\): \(d=\mid \vec{s}\mid=\sqrt{3,54^2+6,54^2}=7,43\,km\)

Dadurch, dass \(|\vec{V_2}|=150km\) und der Winkel zur y-Achse \(\alpha=60^\circ\), kann man ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren und mit \(cos(60^\circ)=\(\frac{AK}{H=150km}\) \) die Ankathete \(AK=75km\) berechnen (die Strecke zwischen B und D). Somit lässt sich die Höhe ausrechnen, und mit \(GK=\(\sqrt{(150km)^2-(75km)^2}\)=129,9km\) die Distanz auf der x-Achse (sprich nach Westen). 

Da nun alle Komponenten des Vektors \(\vec{V_3}=\left( \begin{array}{c}129,9km\\275km\end{array} \right)\) bekannt sind, kann man sich den Absolutbetrag, sprich die Länge, ausrechnen mit \(\sqrt{(129,9km)^2+(275km)^2}\)=304,14km

Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) :

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}|\cdot |\vec{s}| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\)

Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(| \vec{F_s}| = F_s = | \vec{F}| \cdot \cos(\phi)\).

Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\)

Verschiebungsvektor \(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix}\)

Die dabei verrichtete Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}4\\8\\0\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\8\\-1\\\end{pmatrix} = (-4 + 60 + 0) Nm = 60 Nm\)

Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 8^2 + 0^2} N = 4\sqrt{5} N\)

\(|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + (-1)^2} m = \sqrt{66} m\) Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}||\vec{s}| \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{W}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{60 Nm}{4\sqrt{5} N \sqrt{66} m} = 0,82572\) und daher \(\phi = \arccos(0,82572) = 34,34^\circ\)

Es handelt sich hierbei um ein Kräfteparallelogramm und die Kraft, mit der die kleinen Schiffe ziehen, ist die Länge der abgebildeten Vektoren.

Das bedeutet, dass die Diagonale des Parallelogramms der Vektor ist, der die Kraft darstellt, mit der das große Schiff gezogen wird.

Für die (längere) Diagonale \(e\) eines Parallelogramms gilt: 

\(e=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cdot cos(\alpha)}\)

\(F=\sqrt{(5000N)^2+(13000N)^2+2 \cdot 5000N \cdot 13000N \cdot cos(71,57)}=15 \; 333N\)

Der beliebige Vektor \(\vec{u}\) zwischen dem Anfangspunkt \(A=(A_x\mid A_y)\) und dem Endpunkt \(B=(B_x\mid B_y)\) errechnet sich

folgendermaßen \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}B_x - A_x\\B_y-A_y\end{array} \right)\)

In Fall von zweidimensionalen Vektoren entspricht das Kreuzprodukt \(\vec{u}\times \vec{v}\) der Determinante \(det\left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)= \mid \begin{array}{c}u_x \qquad v_x\\u_y\qquad v_y\end{array} \mid=u_x\cdot v_y -v_x\cdot u_y\). Somit is das Kreuzprodukt im \(R^2\) ein Skalar.

Hier: \(\vec{u}=\vec{AB}= \left( \begin{array}{c}6\\0\end{array} \right)\) und \(\vec{v}=\vec{CD}= \left( \begin{array}{c}0\\10\end{array} \right)\) daraus folgend ist \(\vec{u}\times \vec{v}=60-0\cdot 0=60\)