\(g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}\)

\( g_2 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}3\\4\\1\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\-6\\0\\\end{pmatrix}\)

sind parallel, da ihre Richtungsvektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) kollineare Vektoren dastellen: \(2a_2 = a_1\)

Abstand d

\(\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3-1\\4 -2\\1 - 3\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\2\\-2\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\2\\-4\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})| = \sqrt{(6)^2 + (2)^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{14}\)

\(|\vec{a_1}| = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2 + (0)^2} = \sqrt{10}\)

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|} = \frac{2\sqrt{14} }{\sqrt{10}} = 2,4\)

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

2) Der Abstand zweier paralleler Geraden

\(\vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} \) und \(\vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a_1} \times (\vec{r_2} - \vec{r_1})|}{|\vec{a_1}|}\)

3) \(g_1\) und \(g_2\) sind genau dann parallel wenn \(\vec{a_1} \times \vec{a_2} = \vec{0}\)

Bestimme die Gerade g, die durch den Punkt \(P_1 \)in Richtung von  \(\vec{a}\) verläuft:

\( g: \vec{r}(\lambda) = \)\(\vec{r_1} + \lambda \vec{a} =\)\( \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\1\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}1 + 2\lambda\\ + 2 \lambda\\-1 + \lambda \\\end{pmatrix}\)

Für \(\lambda = 2 \) gilt für Punkt Q :

\(g: \vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = 2) = \begin{pmatrix}5\\4\\1\\\end{pmatrix}\)

\(--> Q = \begin{pmatrix}5\\4\\1\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}5\\4\\1\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} =\)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

Dabei bedeuten:

x,y,z: Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden

\(x_1,y_1,z_1\): Koordinaten des vorgegangenen Punktes P_1 der Geraden

\(a_x,a_y,a_z\): Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors \vec{a} der Geraden

\(\lambda\): Reeller Parameter

\(g : \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-3\\0\\-1\\\end{pmatrix}\)

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}-3\\0\\-1\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2 - 2\\1 + 1\\-3\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}-3\\0\\-1\\\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0\\2\\-3\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\-9\\-6\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|= \sqrt{(-2)^2 + (-9)^2 + (-6)^2} = 11\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + (0)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\)

\(d = \frac{11}{\sqrt{10}} = 3,5\)

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

Man hat

\(d(\sin (x) \sin (y)) = \cos (x) \sin (y) \; dx + \sin (x) \cos (y) \; dy\).

Allgemein hat das totale Differential einer von \(n\) Variablen abhängigen Funktion \(f\) die Form

\(df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i\)

\(g: \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1}) = \)\(\begin{pmatrix}5\\2\\1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}- 3 - 5\\1 - 2\\-2 - 1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \\-1\\-3\\\end{pmatrix} \)

Für \(\lambda = 1\) gilt für Punkt Q :

\(g: \vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = 1) = \begin{pmatrix}-8\\-1\\-3\\\end{pmatrix}\)

\(--> Q = \begin{pmatrix}-8\\-1\\-3\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}-8\\-1\\-3\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{P_1P_2} = \vec{r_1} + \lambda (\vec{r_2} - \vec{r_1})\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\ (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}x_1 + \lambda (x_2 - x_1)\\y_1 + \lambda (y_2 - y_1)\\z_1 + \lambda (z_2 - z_1)\\\end{pmatrix}\)

\(g : \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}\) 

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a} \) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

\(\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1}) = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} - 4 - 2\\1 -1\\-1\\\end{pmatrix} =\)\( \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-6\\0\\-1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\-18\\\end{pmatrix}\)

\(|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})| = \sqrt{(3)^2 + (1)^2 + (-18)^2} = \sqrt{334}\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}\)

\(d = \frac{\sqrt{334}}{\sqrt{6}} = 7,5\)

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

2) Abstand eines Punktes von einer Geraden

Der Abstand eines Punktes Q mi einem Ortsvektor \(\vec{r_Q}\) von einer Geraden g mit der Gleichung \(\vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\) lässt sich wie folgt berechnen:

\(d = \frac{|\vec{a} \times (\vec{r_Q} - \vec{r_1})|}{|\vec{a}|}\)

Bestimme die Gerade g, die durch den Punkt \(P_1 \)in Richtung von  \(\vec{a}\) verläuft:

\( g: \vec{r}(\lambda) =\)\( \vec{r_1} + \lambda \vec{a} =\)\(\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-2\\0\\1\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 - 2\lambda\\1\\-4 + \lambda \\\end{pmatrix}\)

Für \(\lambda = 1 \) gilt für Punkt Q :

\(\vec{r}(Q) = \vec{r}(\lambda = 1) = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\\\end{pmatrix}\)

 \(--> Q = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\\\end{pmatrix}\) Q = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\\\end{pmatrix}\) -->

1) Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

\(\vec{r}(P) = \vec{r}(\lambda) = \vec{r_1} + \lambda \vec{a}\)

oder (in der Komponentenschreibweise)

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\\\end{pmatrix} = \)\( \begin{pmatrix}x_1 + \lambda a_x\\y_1 + \lambda a_y\\z_1 + \lambda a_z\\\end{pmatrix}\)

Dabei bedeuten:

x,y,z: Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden

\(x_1,y_1,z_1\): Koordinaten des vorgegangenen Punktes P_1 der Geraden

\(a_x,a_y,a_z\): Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors \vec{a} der Geraden

\(\lambda\): Reeller Parameter

Gesucht sind die Parameter \(s\) und \(t\), für welche \(E_2\) mit \(E_1\) übereinstimmt. Die einzelnen Koordinaten von \(E_2\) sind:

\(x = 1+3s+6t\)

\(y = 4+2s+5t\)

\(z=5+2t\)

Setzt man diese Koordinaten nun in \(E_1\) ein, erhält man

\(s = \frac{32}{43} + \frac{15}{43}t\)

(man könnte genauso nach \(t\) auflösen).

Den erhaltenen Ausdruck für \(s\) kann man nun in die Ebenengleichung von \(E_2\) einsetzen, um eine Variable zu eliminieren. Wir erhalten

\(\vec x = \left(\begin{array}{c} 139/43 \\ 236/43 \\ 5 \end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{c} 303/43 \\ 245/43 \\ 2 \end{array}\right)\)