Diversitas 2018 Preis Gefördert vom MA23 Wien

Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Anwendung in der Geometrie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Von einer Geraden g ist der Punkt P_1 = (2,1,1) und der Richtungsvektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-3\\0\\\end{pmatrix}

bekannt. Berechne den Abstand des Punktes Q = (-4,1,0) von dieser Geraden.

Nr. 2753
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Gegeben sei die Normalform einer Ebene

E: \left[\left(\begin{array}{c} x\\y\\z  \end{array}\right)

-\left(\begin{array}{c} 8\\-2\\5  \end{array}\right)\right] \cdot

\left(\begin{array}{c} 0\\1\\2  \end{array}\right) = 0

Berechnen Sie die Koordinatenform der Ebene.

Nr. 4106
Lösungsweg

4 erreichbare Punkte

Bestimme den Abstand der beiden windschiefen Geraden g_1 und g_2

g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}-2\\1\\-4\\\end{pmatrix}
g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}0\\2\\3\\\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}4\\2\\-3\\\end{pmatrix}

Nr. 2758
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden g durch den Punkt P_1, parallel zum Vektor \vec{a}? Welche Punkte gehören zu den Parameterwerten \lambda = -5?

P_1 = (5;1;-2)  

\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}

Nr. 2747
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Sei P_1 = (5;1;0) ein Punkt der Geraden g_1 und P_2 = (1;3;6) ein solcher der Geraden g_2.

Beide Geraden verlaufen außerdem parallel zum Vektor

\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}.
Welchen Abstand haben diese beiden Geraden voneinander?

Nr. 2756
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Gegeben seien zwei Ebenen

E_1:\qquad 5x-y-5z = 8

und

E_2: \vec r = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5  \end{array}\right) + 

s\cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 0  \end{array}\right) +
t\cdot \left(\begin{array}{c}  6 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right)

Berechnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Nr. 4107
Lösungsweg

4 erreichbare Punkte

Bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P_1 und P_2.

Welcher Punkt ergibt sich für \lambda = -2?

P_1 = \begin{pmatrix}5\\2\\1\\\end{pmatrix}
 P_2 = \begin{pmatrix}-3\\1\\-2\\\end{pmatrix}

Nr. 2750
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Berechne den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden g_1 und g_2

g_1 : \vec{r}(\lambda_1) = \vec{r_1} + \lambda_1 \vec{a_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix}2\\1\\1\\\end{pmatrix}

 g_2 : \vec{r}(\lambda_2) = \vec{r_2} + \lambda_2 \vec{a_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\2\\\end{pmatrix} + \lambda_2

\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\\end{pmatrix}

Nr. 2760
Lösungsweg

2 erreichbare Punkte


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