Einfache Lösung hier: \(20 \mathrm{\ Minuten}\) entsprechen einem Drittel einer Stunde.

Somit \(s=v\cdot t=43\cdot \frac{1}{3}=14,\dot{3}\,km\).

Der Impuls  ist \(p=m\cdot v\).

Die Masse des LKW in \(kg\) bzw. die Geschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) umrechnen und dies in obige Formel eingesetzt, ergibt einen Impuls \(p=9300\,kg\cdot \frac{30}{3,6}\ \frac{m}{s}=77500\,\ \frac{kg\cdot m}{s}\).

Gegeben ist die Ortsfunktion

\(x(t)=9t^2+24\),

die den Ort, an dem sich der betrachtete Körper befindet, in Abhängigkeit der Zeit angibt.

Um zu bestimmen, wann sich der Körper bei \(x=60\,m\) befindet, müssen wir also den Zeitpunkt \(t_1\) bestimmen, an dem

\(x(t_1)=60\,m\) gilt. Dafür setzen wir den Funktionswert ein und nach Umformung erhalten wir die gesuchte Zeit \(t_1\):

\(x(t_1)=60=9t_1^2+24\)

\(9t_1^2=60-24=36\)

\(t_1^2=4 \ \Rightarrow \ t_1=\pm 2\)

\(v=a\cdot t\)

Einsetzen ergibt:

\(v=3,9\ \frac{m}{s^2}\cdot 11\, s= 42,9\ \frac{m}{s}\)

In \(\frac{km}{h}\) umgerechnet ergibt das:

\(42,9\ \frac{m}{s}=42,9\cdot 3,6 \ \frac{km}{h} = 154,44\ \frac{km}{h}\)

Die Beschleunigung ist definiert als \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\).

Mit \(\Delta v=v_1-v_0\) und \(\Delta t=t_1-t_0\).
In diesem Beispiel sind \(t_1=t\) und \(t_0=0\)

Somit ist \(t=\frac{\Delta v}{a}=\frac{25}{7,5}=3,\dot{3}\,s\)

Die Beschleunigung \(a\) ist das Verhältnis des Geschwindigkeitsintervalls \(\Delta v=v_1-v_0\) zum Zeitintervall \(\Delta t=t_1-t_0\).

Geschwindigkeit \(v_1\) in SI-Einheiten: \(v_1=100\ \frac{km}{h}=27,\dot{7}\ \frac{m}{s}\)

Mit \(t_0=0\),\(t_1=6\) und \(v_0=0\) ergibt sich eine Beschleunigung von \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{27,\dot{7}-0}{6-0}\)=4,6293\ \frac{m}{s^2}\)

Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung und \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) ist.

Da \(s_0=0\) ist und "aus dem Stand beschleunigen" \(v_0=0\) bedeutet, ist

 \(s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{4,63}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(5)=57,87\,m\)

Antwort 1:

In den ersten \(10\, s\) liegt eine beschleunigte Bewegung vor, danach ist die Ortsfunktion für \(4\, s\) konstant. Das bedeutet, der Anstieg der Tangente und damit die Momentangeschwindigkeit sind zwischen \(t_1=10\, s\) und \(t_2=14\, s\) gleich \(0\) - der Körper befindet sich im Stillstand.

Antwort 2:

Da sich der Körper, wie eben erläutert, im Stillstand befindet, kann er sich nicht fortbewegen.

Antwort 3:

Der Ausgangspunkt der Bewegung ist durch die Nullstellen der Ortsfunktion, also \(x(t_{0,\, i})=0\) (wobei \(i\) die i-te Nullstelle beschreibt) gegeben. In anderen Worten: Dort, wo der Graph der Ortsfunktion die \(t\mathrm{-Achse}\) berührt/schneidet, befindet sich der Körper am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung.

Zum Zeitpunkt \(t_{min}=21\, s\) hat die Ortsfunktion ein Minimum. Allerdings ist der Funktionswert \(x(t_{min}) \approx -2,3\, m\) und damit ist der Körper etwa \(2,3\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Mit Sicherheit befindet sich der Körper zum Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) aber weiter weg, nämlich \(8\, m\).

Antwort 4:

Nachdem die Ortsfunktion den Wert \(10\, m\) gar nicht annimmt (\(10\) ist somit kein Teil der Wertemenge), legt der Körper nie eine Strecke von \(s=10\, m\) zurück. Die Aussage gilt nur, wenn anstatt des Weges \(s=10\, m\) eine Zeit von \(t_1=10\, s\) angenommen wird. Auf diesen Unterschied ist besonders zu achten!

Antwort 5:

Nachdem, wie oben bereits ausgeführt, sich der Körper dort am Anfangsort befindet, wo der Graph die \(t\mathrm{-Achse}\) schneidet/berührt (Bemerkung: \(\mathrm{schneiden} \, \ne \, \mathrm{beruehren}\)), befindet sich der Körper tatsächlich \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v=v_2-v_1=36\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=36\ \frac{km}{h}=36\cdot1\ \frac{km}{h}=36\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=10\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t= 2s\)

\(\Rightarrow\ a=\frac{10\ \frac{m}{s}}{2s}=\frac{10}{2}\cdot\frac{\ \frac{m}{s}}{s}=5\ \frac{m}{s^2}\)