\(t_1=20 min=\frac{1}{3}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_1=v_1\cdot t_1=30\cdot \frac{1}{3}=10\,km\\\)

\(t_2=\qquad5 min=\frac{1}{12}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_2=v_2\cdot t_2=35\cdot \frac{1}{12}=2,91\dot{6}\,km\\\)

\(t_3=30 min=\frac{1}{2}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_3=v_3\cdot t_3=15\cdot \frac{1}{2}=7,5\,km\)

Daher ist die Gesamtstrecke: \(s=s_1+s_2+s_3=20.41\dot{6}\,km\)

Die gefahrene Gesamtzeit: \(t=t_1+t_2+t_3=55\,min\)

Daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}=0,37\bar{12}\ \frac{km}{min}=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}\).

Wir berechnen zunächst

\(\dot{x}(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t.\)

Beim Maximalausschlag gilt

\(\dot{x}(t_{0})=0, \ddot{x}(t_{0})<0\).

Man erhält folglich

\(t_{0}=\frac{1}{\omega}\arctan\frac{B}{A}\).

Benutzt man nun, dass

\( \cos\omega t_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

beziehungsweise

\( \sin\omega t_{0}=\frac{\tan\omega t_{0}}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

gilt, so folgt

\(x_{Max}=x(t_{0})=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\).

Da sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, gilt für den zurückgelegten Weg:

 \(s(t)= \frac{a}{2}\ t^2\)

Durch einsetzen der Beschleunigung \(a=4\ \frac{m}{s^2}\) und \(s=30\, m\) ergibt sich

\(30\, m=\frac{4\ \frac{m}{s^2}}{2}\ t^2 \qquad \Rightarrow \qquad t=\sqrt{\frac{30\, m \cdot 2}{4\ \frac{m}{s^2}}}=\frac{\sqrt{60}}{2}\ s^2} \ \approx\ 3,87\, s\)

\(t=3,87\,s\)

Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung zum Zeitpunkt \(t=0\) ist.

Strecke \(s_1\): \(s_0=0\), \(v_1=8\ \frac{m}{s}\) und \(a_1=0\), somit ist \(s_1(t)=8\cdot t\qquad \Rightarrow\qquad s(11)=8\cdot 11=88\,m\)

Für Strecke \(s_2\) kann man entweder \(s_0=s_1(11)=88\) annehmen oder man beginnt wieder mit \(s_0=0\) und muss anschliessend \(s_1\) und \(s_2\) zu \(s=s_1+s_2\) addieren

Strecke \(s_2\): \(s_0=0\), \(v_2=8\ \frac{m}{s}\) und \(a_2=2,2\ \frac{m}{s^2}\), somit ist

 \(s_2(t)=8\cdot t+\frac{2,2}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow\qquad s(5)=8\cdot 5+1,1\cdot 5^2=67,5\,m\)

Gesamtstrecke \(s=s_1+s_2\): 

\(s=88+67,5=155,5\,m\)

Schall legt in einer Sekunde \(s=342,2\,m\) zurück, dessen \(3600\mathrm{fach}\) in der Stunde,

dessen \(24\mathrm{igfache}\) am Tag und dessen \(365\mathrm{igfache}\) im Jahr:

\(s=342,2\cdot 3600\cdot 24\cdot 365=1,08\cdot 10^{10}\,m = 1,08\cdot 10^{7}\, km\)

Gemäß der Angabe gilt \(x(10\ s)=20\ m\) und somit

\(20\, m= 5\, \frac{m}{s} \cdot 10\ s + x_0 = 50\, m + x_0\)

Durch auflösen dieser Gleichung nach \(x_0\) (indem man auf beiden Seiten \(50\,m\) subtrahiert) erhält man

\(x_0=-30\, m\)

Der Weg, der in den Zeiten von \(t_a\) bis \(t_b \, \gt \, t_a\) zurückgelegt wird, entspricht dem Integral der Geschwindigkeitsfunktion, also:

\(s=\displaystyle\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\)

Graphisch entspricht das der Fläche, die der Graph der Funktion \(v(t)\) mit der \(t\mathrm{-Achse}\) einschließt.

Dabei tragen Flächen, die sich unterhalb der \(t\mathrm{-Achse}\) befinden, negativ zum Integral bei. Das bedeutet, der zurückgelegte Weg wird geringer bzw. verläuft die Bewegung in entgegengesetze Richtung (in Richtung des negativen Ortes \(x(t)\)).

Damit sich also der Körper wieder am Ausgangspunkt befinden kann, muss das Integral \(s=\displaystyle\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\, = \, 0\) sein.

Dafür müssen stückweise die Flächeninhalte bestimmt werden, wie im Bild zu sehen ist. Dabei ist der zurückgelegte Weg in die \(\mathrm{positive }\quad x\mathrm{-Richtung}\) rot und der Weg in \(\mathrm{negativer }\quad x\mathrm{-Richtung}\) blau dargestellt.

Das erste Flächenstück entspricht einem Dreieck (im Bild mit a bezeichnet), der Fächeninhalt ist \(a = \frac{2 \cdot 4}{2}= 4\). Fläche b entspricht einem Rechteck mit Seitenlängen \(6\, \& \, 4\), der Flächeninhalt ist also \(24\). Fläche c ist wiederum ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(8\). Nach \(12\, \mathrm{Sekunden}\) befindet sich der Körper also \(4\, m + \, 24\, m + \, 8\, m = 36\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt.

In den Zeiten von \(t_1=12\, s\) bis \(t_2=18\, s\) legt der Körper \(18\, m\) in die entgegengesetzte Richtung zurück. Damit er sich wieder am Anfangsort befindet, muss er weitere \(18\, m\) zurücklegen. Dafür benötigt er \(6 \cdot \Delta t = 18\, s \quad \Rightarrow \quad \Delta t = 3 \, s\). Zum Zeitpunkt \(t_n = 18\, s + \, \Delta t = 21\, s\) befindet sich der Körper also wieder am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung.

Der Impuls eines Körpers mit Masse \(m\) ist definiert als:

\(p=m\cdot v\)

Es muss also zunächst die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der der Körper am Boden ankommt.

Beim senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion modelliert:

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Zuerst muss der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Körper am Boden auftrifft.

Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\)

Schließlich also:

\(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und

\(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\)

Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist

\(t_2=t_b=2\ s\)

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik eingezeichnet).

Ableiten ergibt:

\(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+5\)

Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden:

\(v(t_2=2)= -10\cdot 2 + 5 =-20+5=-15\ \frac{m}{s}\)

Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass der Körper nach unten fällt, bzw. die Ortsfunktion an der Stelle \(t_2=2\ s\) streng monton fallend ist.

Das ergibt einen Impuls von:

\(p=m\cdot v = 2\, kg \cdot \left(-15\ \frac{m}{s}\right)= -30\ \frac{kg\cdot m}{s}\)