Schall legt in einer Sekunde \(s=342,2\,m\) zurück, dessen \(3600\mathrm{fach}\) in der Stunde,

dessen \(24\mathrm{igfache}\) am Tag und dessen \(365\mathrm{igfache}\) im Jahr:

\(s=342,2\cdot 3600\cdot 24\cdot 365=1,08\cdot 10^{10}\,m = 1,08\cdot 10^{7}\, km\)

\(\overline{v}=\frac{\left( 5\ min \cdot 100 \ \frac{km}{h}+ 15\ min \cdot 160 \ \frac{km}{h} \right)}{20\ min}=145 \ \frac{km}{h}\)

\(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\)

\(\Delta s =105\,m - 5\,m -10\,m = 90\,m\)

\(\Delta t = 1\,min=60\,s\)

\(\Rightarrow v=\frac{90\,m}{60\,s}=\frac{3}{2} \frac{m}{s} =1,5 \,\frac{m}{s}\)

Antwort 1:

In den ersten \(10\, s\) liegt eine beschleunigte Bewegung vor, danach ist die Ortsfunktion für \(4\, s\) konstant. Das bedeutet, der Anstieg der Tangente und damit die Momentangeschwindigkeit sind zwischen \(t_1=10\, s\) und \(t_2=14\, s\) gleich \(0\) - der Körper befindet sich im Stillstand.

Antwort 2:

Da sich der Körper, wie eben erläutert, im Stillstand befindet, kann er sich nicht fortbewegen.

Antwort 3:

Der Ausgangspunkt der Bewegung ist durch die Nullstellen der Ortsfunktion, also \(x(t_{0,\, i})=0\) (wobei \(i\) die i-te Nullstelle beschreibt) gegeben. In anderen Worten: Dort, wo der Graph der Ortsfunktion die \(t\mathrm{-Achse}\) berührt/schneidet, befindet sich der Körper am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung.

Zum Zeitpunkt \(t_{min}=21\, s\) hat die Ortsfunktion ein Minimum. Allerdings ist der Funktionswert \(x(t_{min}) \approx -2,3\, m\) und damit ist der Körper etwa \(2,3\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Mit Sicherheit befindet sich der Körper zum Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) aber weiter weg, nämlich \(8\, m\).

Antwort 4:

Nachdem die Ortsfunktion den Wert \(10\, m\) gar nicht annimmt (\(10\) ist somit kein Teil der Wertemenge), legt der Körper nie eine Strecke von \(s=10\, m\) zurück. Die Aussage gilt nur, wenn anstatt des Weges \(s=10\, m\) eine Zeit von \(t_1=10\, s\) angenommen wird. Auf diesen Unterschied ist besonders zu achten!

Antwort 5:

Nachdem, wie oben bereits ausgeführt, sich der Körper dort am Anfangsort befindet, wo der Graph die \(t\mathrm{-Achse}\) schneidet/berührt (Bemerkung: \(\mathrm{schneiden} \, \ne \, \mathrm{beruehren}\)), befindet sich der Körper tatsächlich \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(8\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=25\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit größerer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\), also \(1,5\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-1,5\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-1,5)=v_L\cdot t_A - 1,5\cdot v_L\)

Der Term \(-1,5\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(25\cdot t_A=70\cdot (t_A-1,5)\qquad \Rightarrow \qquad 45\cdot t_A = 105\)

und damit:
\(t_A = 2,\dot 3\,h =140\, min\)

Leo holt Anna \(140\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).

Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist \(\frac{m}{s}\).

\(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}= \frac{30\, \ km}{15\, min}= \frac{30 \cdot 1000\, m }{15 \cdot 60 \,s}=33,\overline{3}\, \frac{m}{s}\)

Auf zwei gültige Stellen gerundet erhalten wir also \(v=33 \, \frac{m}{s}\).

Die Geschwindigkeit ist \(v=a\cdot t\)

Eingesetzt ergibt:

\(v=4,7\cdot 9=42,3\ \frac{m}{s}\)

\(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3\,m}{5\,s}=\frac{3}{5} \cdot \frac{m}{s}=0,6 \ \frac{m}{s}\)