Ein Objekt fällt für eine Zeit \(t=4\,s\) aus einem Flugzeug, welches sich auf einer Höhe \(h=10\,\,000\,m\)befindet, und das Objekt beschleunigt mit der Erdbeschleunigung \(a=9,81\ \frac{m}{s^2}\). Auf welcher Höhe \(h\) befindet sich das Objekt nun? Nr. 3490
	\(h=9946,81\,m\)
	\(h=9921,52\,m\)
	\(h=9337,26\,m\)
	\(h=9298,63\,m\)
Lösungsweg Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da nur nach der Höhe von der Erdoberfläche gefragt wird). Somit ist \(s=\frac{a}{2}\cdot t^2\) Somit ist \(s=\frac{9,81\ \frac{m}{s^2}}{2}\cdot {4\,s}^2=78,48m\) Die gesuchte Höhe \(h=10000-s=9921,52\,m\)

Gegeben sei die Bewegungsgleichung: \(x(t)=9t^2+24\) Wann ist der Körper bei \(x=60\,m\)? Nr. 2037
	\(t=-2\,s\)
	\(t=0,5\,s\)
	\(t=1\,s\)
	\(t=1,5\,s\)
	\(t=2\,s\)
Lösungsweg Gegeben ist die Ortsfunktion \(x(t)=9t^2+24\), die den Ort, an dem sich der betrachtete Körper befindet, in Abhängigkeit der Zeit angibt. Um zu bestimmen, wann sich der Körper bei \(x=60\,m\) befindet, müssen wir also den Zeitpunkt \(t_1\) bestimmen, an dem \(x(t_1)=60\,m\) gilt. Dafür setzen wir den Funktionswert ein und nach Umformung erhalten wir die gesuchte Zeit \(t_1\): \(x(t_1)=60=9t_1^2+24\) \(9t_1^2=60-24=36\) \(t_1^2=4 \ \Rightarrow \ t_1=\pm 2\)

Ein Auto hat die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 = 30,0 \ \frac{km}{h}\) und beschleunigt in \(20,0\) Sekunden gleichförmig auf die Geschwindigkeit \(v_1=50,0 \ \frac{km}{h}\). Berechne die in dieser Zeit zurückgelegte Stecke \(s\) (Beschleunigungsstecke). Nr. 1534
	\(s=111\ m\)
	\(s=222\ m\)
	\(s=333\ km\)
	\(s=444\ m\)
	\(s=75\ m\)
Lösungsweg Das Auto hat die Beschleunigung \(a= \frac{\Delta v}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{km}{h} - 30 \ \frac{km}{h}}{20 \ s}=0,278 \ \frac{m}{s^2}\) Für die zurückgelegte Stecke \(s\) gilt \(s=v_0 t +\frac{1}{2} a t^2\) und somit \(s=30 \ \frac{km}{h} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot (20s)^2=8,33 \frac{m}{s} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot 400s^2\) \( s=222m\)

Ein Fahrradfahrer fährt für \(t_1=15\,min\)mit der Geschwindigkeit \(v_1=12\ \frac{km}{h}\) von seinem Haus weg. Danach fährt er mit der Geschwindigkeit \(v_2=25\ \frac{km}{h}\) für \(t_2=30\,min\). Zum Schluss fährt er mit \(v_3=32\ \frac{km}{h}\) für \(t_3=25\,min\). Wie weit ist er insgesamt gefahren? Hinweis: Die Straße, auf der er fährt, verläuft nur gerade aus und die Beschleunigungsphasen können vernachlässigt werden. Nr. 3337
	\(s=25,34\,km\)
	\(s=28,83\,km\)
	\(s=32,41\,km\)
	\(s=24,96\,km\)
Lösungsweg Zuerst müssen alle Werte in SI-Basiseinheiten umgewandelnt werden. \(v_1=12\ \frac{km}{h}=12\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=3,\dot{3}\,\frac{m}{s}\) \(v_2=25\ \frac{km}{h}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}\) \(v_3=32\ \frac{km}{h}=8,\dot{8}\ \frac{m}{s}\) Danach werden die Streckenabschnitte miteinander addiert: \(s=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2+v_3\cdot t_3=3,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+6,9\dot{4}\cdot 30\cdot 60+8,\dot{8}\cdot 25\cdot 60=28,83\,km\)

Die Lichtgeschwindigkeit (welche üblicherweise das Formelzeichen \(c\) trägt) beträgt in etwa \(3,0 \cdot 10^8\ \frac{m}{s}\). Welche Strecke \(s\) (in Meter) legt demnach ein Lichtstrahl in einem Jahr zurück? (Hinweis: Es wird das sogenannte 'Lichtjahr' berechnet. Ein Lichtjahr ist somit keine Zeit wie der Name vermuten lassen könnte, sondern eine Länge bzw.Strecke) Nr. 1602
	\(s=2,6 \cdot 10^{12}\, m\)
	\(s=1,6 \cdot 10^{14} \, m\)
	\(s=9,5 \cdot 10^{15}\, m\)
	\(s=3,4 \cdot 10^{16}\, m\)
	\(s=1,1 \cdot 10^{11}\, m\)
Lösungsweg Ein Jahr hat 365 Tage. Ein Tag hat 24 Stunden. Eine Stunde hat 60 Minuten. Eine Minute hat 60 Sekunden. Somit erhalten wir \(s=3,0 \cdot 10^8 \,\frac{m}{s} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\, s = 9,5 \cdot 10^{15}\, m\). (Anmerkung: Schaltjahre haben 366 Tage, aber bei der Berechnung auf 2 Stellen genau irrelevant. Für die exakte Definition des Lichtjahres wird üblicherweise das 'Julianische Jahr' mit \(365,35 \ \mathrm{Tagen}\) Tagen verwendet, siehe dazu Wikipedia).

Zwei Autos sind \(1800\, m\) voneinander entfernt. Sie fahren zum selben Zeitpunkt los. Auto A hat eine Geschwindigkeit \(v_A=90\ \frac{km}{h}\) und Auto B fährt mit \(v_B=50\ \frac{km}{h}\). Wie lange brauchen die Fahrzeuge um aufeinander zu treffen? Hinweis: Die Beschleunigungsphase der Autos kann vernachlässigt werden. Nr. 3331
	\(t=39,23\,s\)
	\(t=44,82\,s\)
	\(t=46,29\,s\)
	\(t=51,86\,s\)
Lösungsweg Zuerst die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten umrechnen \(v_A=90\ \frac{km}{h}=90\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=25\ \frac{m}{s}\) \(v_B=50\ \frac{km}{h}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\) Beide Fahrzeuge sind gleich lang unterwegs \(t_A=t_B\) \(25\cdot t+13,\dot{8}\cdot t=1800\) \(t=46,29\,s\)

Gegeben sei die Bahnkurve \(\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c} t\\ \frac{1}{\sqrt{2}}t^{2}\\ \frac{1}{3}t^{3} \end{array}\right)\). Wie lautet der Ausdruck für die Krümmung \(\kappa(t)\) der Bahnkurve? Nr. 4172
	\(\frac{2}{(1+t^{2})^{2}}\)
	\(\frac{\sqrt{2}}{(1+t^{2})^{2}}\)
	\(\frac{\sqrt{2}}{1+t^{2}}\)
	\(\frac{2}{1+t^{2}}\)
Lösungsweg Aus der Angabe folgt unmittelbar \( \dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c} 1\\ \sqrt{2}t\\ t^{2} \end{array}\right)\) und \(\mid\dot{\vec{r}}(t)\mid=1+t{}^{2}.\) Die Definition der Krümmung lautet \(\kappa(t)=\mid\frac{d\vec{\tau}}{ds}\mid\). Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich folglich schreiben \(\kappa(t)=\mid\frac{d\vec{\tau}}{ds}\mid=\mid\frac{d\vec{\tau}}{dt}\frac{dt}{ds}\mid=\frac{1}{\mid\dot{\vec{r}}(t)\mid}\mid\frac{d\vec{\tau}}{dt}\mid\). Durch Ableiten erhält man \(\frac{d\vec{\tau}}{dt}=\frac{1}{(1+t^{2})^{2}}\left(\begin{array}{c} -2t\\ \sqrt{2}(1-t^{2})\\ 2t \end{array}\right)\) und somit rhält man das Ergebnis \( \kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{(1+t^{2})^2}\).

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Derzeit kommt es beim Rendern der Formeln leider zu einem Problem. Wir sind bemüht das Problem zu lösen.

Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

https://www.technikum-wien.at/mathe-support/

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

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Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach unten geworfen. Welches der folgenden Weg-Zeit-Diagramme beschreibt solch einen Fall? Nr. 4434





Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt! Auch wenn der Körper nach unten geworfen wird, handelt es sich um einen senkrechten Wurf. Dieser wird mit einer quadratischen Ortsfunktion \(h(t)\) modelliert: \(h(t)=-\frac{g}{2}\ t^2 -v_0\cdot t + h_0\) Wobei \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper geworfen wird, beschreiben. Die negativen Vorzeichen rühren daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Genauso wird der Körper auch nach unten geworfen, weshalb auch \(v_0\) mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist. Da also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0=0\, s\) negativ ist, muss die entsprechende Ortsfunktion an dieser Stelle eine fallende Tangente besitzen (denn die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an einer Stelle \(t\)). Damit lässt sich Antwort 1 schon mal ausschließen. Nach dem Loslassen wird der Körper weiter nach unten durch die Fallbeschleunigung beschleunigt. Das bedeutet, dass seine vorzeichenbehaftetete Geschwindigkeit stets abnehmen muss (der Betrag der Geschwindigkeit nimmt aber zu!). Anders ausgedrückt muss die Ortsfunktion mit der Zeit steiler abfallen. Damit verbleibt nur mehr Antwort 2 als korrekte Antwort. Im Bild sind die Tangenten zum Zeitpunkt \(t_0\) und beim Aufprall am Boden rot eingezeichnet. Dort ist ersichtlich, dass die Steigungen der Tangenten mit der Zeit steiler werden (abnehmen). Die übrigen Ortsfunktionen haben zwar eine negative Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\), werden aber abgebremst (nach oben beschleunigt) oder verlaufen linear, also mit konstanter Geschwindigkeit.