Zuerst müssen alle Werte in SI-Basiseinheiten umgewandelnt werden.

\(v_1=12\ \frac{km}{h}=12\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=3,\dot{3}\,\frac{m}{s}\)

\(v_2=25\ \frac{km}{h}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}\)

\(v_3=32\ \frac{km}{h}=8,\dot{8}\ \frac{m}{s}\)

Danach werden die Streckenabschnitte miteinander addiert:

\(s=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2+v_3\cdot t_3=3,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+6,9\dot{4}\cdot 30\cdot 60+8,\dot{8}\cdot 25\cdot 60=28,83\,km\)

Gemäß der Angabe gilt \(x(10\ s)=20\ m\) und somit

\(20\, m= 5\, \frac{m}{s} \cdot 10\ s + x_0 = 50\, m + x_0\)

Durch auflösen dieser Gleichung nach \(x_0\) (indem man auf beiden Seiten \(50\,m\) subtrahiert) erhält man

\(x_0=-30\, m\)

Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

modelliert. Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird!

Um zu ermitteln, wann der Körper am Boden aufkommt, muss die Gleichung

\(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\)

Schließlich also:

\(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und

\(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\)

Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist

\(t_2=t_b=2\ s\)

Die Geschwindigkeit \(v\) zuerst in SI-Einheiten umrechnen

 \(v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\)

und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt:

\(a=\frac{v}{t}=7,12\ \frac{m}{s^2}\)

Zuerst die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten umrechnen

\(v_A=90\ \frac{km}{h}=90\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=25\ \frac{m}{s}\)

\(v_B=50\ \frac{km}{h}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\)

Beide Fahrzeuge sind gleich lang unterwegs \(t_A=t_B\)

\(25\cdot t+13,\dot{8}\cdot t=1800\)

\(t=46,29\,s\)

\(v=a\cdot t\)

Die Geschwindigkeit muss zunächst in \(\frac{m}{s}\) umgerechnet werden:

\(90\ \frac{km}{h} = 90 \ \frac{1000\, m}{3600\, s}=\frac{90}{3,6}\ \frac{m}{s}=25\ \frac{m}{s}\)

Einsetzen ergibt:

\(25\ \frac{m}{s}= 6\ \frac{m}{s^2}\cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \frac{25}{6}\ s \ \approx \ 4,17\, s\)

\(v=\(\frac{s}{t}\) \qquad \Rightarrow\qquad \(\frac{8570\, m}{30\cdot 60\, s}\)=4,76\,\frac{m}{s}\)

Die Geschwindigkeit ist \(v=a\cdot t\)

Eingesetzt ergibt:

\(v=4,7\cdot 9=42,3\ \frac{m}{s}\)