Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Betrachte folgende Situation: Zwei Züge sind \(2400\, m\) voneinander entfernt und fahren mit konstanter Geschwindigkeit direkt aufeinander zu. Dabei hat der erste Zug die Geschwindigkeit \(30\, \frac{m}{s}\), und der zweite \(50\, \frac{m}{s}\). Welche Strecke legen die beiden Züge jeweils bis zum Zusammenstoß zurück? Nr. 1591
	Der erste Zug legt \(900\, m\) zurück und der zweite \(1500\, m\).
	Der erste Zug legt \(960\, m\) zurück und der zweite \(1440\, m\).
	Der erste Zug legt \(1000\, m\) zurück und der zweite \(1400\, m\).
	Beide Züge legen \(1200\, m\) zurück.
	Der erste Zug legt \(1500\, m\) zurück und der zweite \(900\, m\).
Lösungsweg Der erste Zug kann beschrieben werden durch die Ortsfunktion \(x_1=30\, \frac{m}{s} \cdot t\), und der zweite durch \(x_2= 2400\, m - 50\, \frac{m}{s} \cdot t\). Durch Gleichsetzen der beiden Ortsfunktionen, d.h. \(x_1=x_2\), und Auflösen nach der Zeit \(t\) erhalten wir den Zeitpunkt des Zusammenstoßes. Im aktuellen Fall erhält man so \(t=30\, s\). Durch Einsetzen dieser Zeit in die Ortsfunktion erhalten wir wiederum den Ort (bzw. die Ortskoordinate) des Zusammenstoßes \(x_1=x_2=\, 900m\). Der zweite Zug legt somit \(2400\, m - 900\, m= 1500\, m\) bis zum Zusammenstoß zurück.

5 erreichbare Punkte

Ein Auto benötigt eine Zeit \(t=3,9\,s\) um von \(0-100\ \frac{km}h}\) kommen und beschleunigt dabei gleichförmig. Berechne die Beschleunigung \(a\). Nr. 3322
	\(a=6,43\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=6,97\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=7,66\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=7,12\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=25,64\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg Die Geschwindigkeit \(v\) zuerst in SI-Einheiten umrechnen \(v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\) und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt: \(a=\frac{v}{t}=7,12\ \frac{m}{s^2}\)

5 erreichbare Punkte

Zwei Objekte bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit aufeinander zu. Objekt A hat eine Geschwindigkeit \(v_A=20\ \frac{m}{s}\) und Objekt B hat die Geschwindigkeit \(v_B=30\ \frac{m}{s}\). Nach einer Zeit \(t=50\,s\) treffen sie aufeinander. Wie weit waren sie zu Beginn voneinander entfernt? Nr. 3332
	\(s=2\,km\)
	\(s=2,5\,km\)
	\(s=3\,km\)
	\(s=3,5\,km\)
Lösungsweg Beide fahren gleich lang (nur unterschiedlich weit), also gilt \(t_1=t_2\) Daraus folgt \(v_A\cdot t_A+v_a\cdot t_A=\left(v_A+v_B\right)\cdot t=s\) \(s=(20+30)\cdot 50=2500\,m\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei die Lösung \(x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t\) des linearen harmonischen Oszillators. Zu welcher Zeit \(t_1\) erreicht der Oszillator seine Maximalgeschwindigkeit\(\dot{x}_{Max}\)? Wie lauten die jeweiligen Ausdrücke für die Maximalgeschwindigkeit \(\dot{x}_{Max}\) und die Maximalbeschleunigung \(\ddot{x}_{Max}\). Nr. 4184
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A B }\), \(\ddot{x}_{Max}=\omega^2 \sqrt{A B }\)
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{B}{A})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A B }\), \(\ddot{x}_{Max}=\omega^2 \sqrt{A B }\)
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A^2 + B^2 }\), \(\ddot{x}_{Max}=\omega^2 \sqrt{A^2 + B^2 }\)
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A^2 + B^2 }\), \(\ddot{x}_{Max}=-\omega^2 \sqrt{A^2 + B^2 }\)
Lösungsweg Wir berechnen zunächst \(\dot{x}(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t\) und \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\) Für die Maximalgeschwindigkeit gilt \(\ddot{x}(t_{1})=0, \frac{d\ddot{x}}{dt}(t_{1})<0\). Durch Einsetzen in \(\ddot{x}(t)\) erhält man \(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\). Basierend darauf erhält man schließlich \(\dot{x}_{Max}=\dot{x}(t_{1})=\omega \sqrt{A^2 + B^2 } = \omega x_{Max}\), wobei \(x_{Max} := \sqrt{A^2 + B^2 }\) die in einem vorangegangenen Beispiel bestimmte Maximalauslenkung bezeichnet. Die Berechnung der Maximalbeschleunigung erfolgt völlig analog, wobei allerdings gefordert wird \(\frac{d\ddot{x}}{dt}(t_{2})=0, \frac{d^{2}\ddot{x}}{dt^{2}}(t_{2})<0\). Hier findet man \(\ddot{x}_{Max}=-\omega^2 \sqrt{A^2 + B^2 } =-\omega^2 x_{Max}\).

4 erreichbare Punkte

Ein Auto beschleunigt von \(v_1=30\ \frac{km}{h}\) auf \(v_2=90\ \frac{km}{h}\) gleichmäßig mit \(a=2,9\ \frac{m}{s^2}\). Wie lange braucht es dafür? Nr. 3325
	\(t=5,75\,s\)
	\(t=5,01\,s\)
	\(t=6,27\,s\)
	\(t=6,33\,s\)
	\(t=20,69\,s\)
Lösungsweg Die Gexchwindigkeit \(v_1\) und \(v_2\) in SI-Einheiten umrechnen \(v_1=30\ \frac{km}{h}=30\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\) \(v_2=90\ \frac{km}{h}=25\ \frac{m}{s}\) Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Nach \(t\) umgeformt und eingesetzt \(t=\frac{v_2-v_1}{a}=\frac{25-8,\dot{3}}{2,9}=5,75\,s\)

5 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt \(5\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(100 \ \frac{km}{h}\) und anschließend für \(15\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(160 \ \frac{km}{h}\). Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto? (Hinweis: Die Beschleunigungsphase ist so kurz, dass sie vernachlässigt werden kann.) Nr. 1531
	\(130 \ \frac{km}{h} \)
	\(140 \ \frac{km}{h}\)
	\(145 \ \frac{km}{h}\)
	\(150 \ \frac{km}{h}\)
	\(125 \ \frac{km}{h}\)
Lösungsweg \(\overline{v}=\frac{\left( 5\ min \cdot 100 \ \frac{km}{h}+ 15\ min \cdot 160 \ \frac{km}{h} \right)}{20\ min}=145 \ \frac{km}{h}\)

5 erreichbare Punkte

Gleichförmige Bewegung Ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und legt in einer Zeit von \(\Delta t=5\,s\) eine Strecke von \(\Delta s = 3\,m\) zurück. Welche mit welcher Geschwindigkeit \(v\) bewegt sich der Körper? Nr. 1833
	\(v=\frac{3}{5}\ \frac{m}{s}\)
	\(v=\frac{5}{3}\ \frac{m}{s}\)
	\(v=15\ \frac{m}{s}\)
	\(v=0,6\ \frac{m}{s}\)
	\(v=2\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3\,m}{5\,s}=\frac{3}{5} \cdot \frac{m}{s}=0,6 \ \frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben sei die Bewegungsgleichung: \(x(t)=9t^2+24\) Wann ist der Körper bei \(x=60\,m\)? Nr. 2037
	\(t=-2\,s\)
	\(t=0,5\,s\)
	\(t=1\,s\)
	\(t=1,5\,s\)
	\(t=2\,s\)
Lösungsweg Gegeben ist die Ortsfunktion \(x(t)=9t^2+24\), die den Ort, an dem sich der betrachtete Körper befindet, in Abhängigkeit der Zeit angibt. Um zu bestimmen, wann sich der Körper bei \(x=60\,m\) befindet, müssen wir also den Zeitpunkt \(t_1\) bestimmen, an dem \(x(t_1)=60\,m\) gilt. Dafür setzen wir den Funktionswert ein und nach Umformung erhalten wir die gesuchte Zeit \(t_1\): \(x(t_1)=60=9t_1^2+24\) \(9t_1^2=60-24=36\) \(t_1^2=4 \ \Rightarrow \ t_1=\pm 2\)

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