Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

modeliert. Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g \approx 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird!

Um die maximal erreichte Höhe zu ermitteln, muss zunächst die Ortsfunktion abgeleitet werden - das liefert uns die Funktion der Geschwindigkeit

\(v(t) = \dot h(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left( -5\cdot t^2 + 5\cdot t +10\right) = -10\cdot t + 5\)

wobei bereits die Werte aus der Angabe eingesetzt wurden.

Am höchsten Punkt muss die Geschwindigkeit \(v(t) = \dot h(t) =0\) sein. Einsetzen liefert:

\(v(t_1)=-10\cdot t_1+5=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0,5\ s\)

Graphisch entspricht die Ableitung \(\dot h(t)=\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}\) der Steigung der Tangente an der Stelle \(t\). Eine Steigung mit dem Wert \(0\) entspricht daher einer waagrechten Tangente (diese ist in der Grafik rot dargestellt).

Das \(x(t)\)-Diagramm beschreibt den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit der Zeit.

Antwort 1:

Eine gleichförmige Bewegung bedeutet, dass in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. In der ersten Sekunde der Bewegung kann im Diagramm abgelesen werden, dass etwa \(\frac{1}{2}\, m\) zurückgelegt wird. Nach \(2\, s\) befindet sich der Körper aber bereits bei \(x(t=2\, s)=2\, m\). Es kann sich daher nicht um eine geradlinig gleichförmige Bewegung handeln. Die Bewegung muss beschleunigt sein.

Antwort 2:

Da zwischen den Zeiten \(t_1=4\, s\) und \(t_2=6\, s\) kein Weg zurückgelegt wird, steht der Körper still.

Antwort 3:

Da das \(x(t)\)-Diagramm den zurückgelegten Weg angibt und bei \(t_{Anfang}=0\, s\) und \(t_{Ende}=8\, s\) der selbe Funktionswert (nämlich \(x(0)=x(8)=0\, m\)) vorliegt, befindet sich der Körper nach \(8 \; \mathrm{Sekunden}\) am selben Wort wie zu Beginn der Beweung.

Antwort 4:

Die Bewegung des Körpers ist lediglich entlang einer Geraden. Der Körper bewegt sich in den letzten beiden Sekunden daher jedenfalls entgegen der Richtung der ersten vier Sekunden, also rückwärts. Da außerdem eine geradlinige und ebene Bewegung angenommen wird, muss die Bewegung "abwärts" ausgeschlossen werden.

Antwort 5:

Nach \(6\; \mathrm{Sekunden}\) befindet sich der Körper \(5\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Dieser Weg wird in den Zeiten von \(t_1=6\, s\) bis \(t_2=8\, s\) wieder zurückgelegt, allerdings in entgegengesetzer Richtung.

Die Strecke \(s\) die gefahren wird, wenn etwas sich mit der Geschwindigkeit \(v\) für die Zeit \(t\) bewegt:

\(s=v\cdot t\)

Somit ist \(s=s_1+s_2+s_3=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2+v_3\cdot t_3\).

Mit der Zeit in Sekunden ausgrdrückt ergibt sich:

\(s=20\cdot(5\cdot60)+40\cdot(10\cdot60)+10\cdot(20\cdot60)=42000\,m\)

Zunächst müssen die Werte auf SI-Basiseinheiten umgewandelt werden und dann in \(v=\frac{s}{t}\) einsetzen.

Also: \(v=\frac{700\, m}{1,3\cdot 60\, s}=8,97\ \frac{m}{s}\)

\(v=a\cdot t\)

Einsetzen ergibt:

\(v=3,9\ \frac{m}{s^2}\cdot 11\, s= 42,9\ \frac{m}{s}\)

In \(\frac{km}{h}\) umgerechnet ergibt das:

\(42,9\ \frac{m}{s}=42,9\cdot 3,6 \ \frac{km}{h} = 154,44\ \frac{km}{h}\)

Die Formel für die Geschwindigkeit ist bekannterweise \(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}\). Die Formel für den Impuls ist \(p=mv\). In Kombination erhalten wir somit \(p=m \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t}= 1,85 \cdot 10^{-3}kg \cdot \frac{16,98\, m}{4,46\, s}=7,04 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\). Das Ergebnis wurde 3 gültige Stellen gerundet.

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(17\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=35\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit höherer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(17\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\), also \(20\,min=\frac{1}{3}\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-\frac{1}{3}\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-\frac{1}{3})=v_L\cdot t_A - \frac{1}{3}\cdot v_L\)

Der Term \(-\frac{1}{3}\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(35\cdot t_A=60\cdot (t_A-\frac{1}{3})\qquad \Rightarrow \qquad 25\cdot t_A = 20\)

und damit:
\(t_A = 0,8\,h =48\, min\)

Leo holt Anna \(48\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(17\, : \, 48\mathrm{\ Uhr}\).

Um den Ort zu bestimmen, an dem er sie einholt, muss der Zeitpunkt \(t_A=0,8\,h\) noch in eine der Ortsfunktionen eingesetzt werden (Bonusfrage: Weshalb ist es egal, in welche Ortsfunktion eingesetzt wird?):
\(s(t_A=0,8)=35\ \frac{km}{h}\cdot 0,8\,h=28\, km\)

Gepard: \(3 \mathrm{\ Sekunden}\) um auf \(122\ \frac{km}{h}\) bzw. \(33,89\ \frac{m}{s}\) zu kommen:
\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{33,89-0}{3}\) =11,27\ \frac{m}{s^2}\)

Model S: \(2,4 \mathrm{\ Sekunden}\) um von \(0\) auf \(100\ \frac{km}{h}\) bzw. \(27,78\ \frac{m}{s}\) zu kommen:
\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{27,78-0}{2,4-0}\)=11,58\ \frac{m}{s^2} \)