Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach unten geworfen. Welches der folgenden Weg-Zeit-Diagramme beschreibt solch einen Fall? Nr. 4434





Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt! Auch wenn der Körper nach unten geworfen wird, handelt es sich um einen senkrechten Wurf. Dieser wird mit einer quadratischen Ortsfunktion \(h(t)\) modelliert: \(h(t)=-\frac{g}{2}\ t^2 -v_0\cdot t + h_0\) Wobei \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper geworfen wird, beschreiben. Die negativen Vorzeichen rühren daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Genauso wird der Körper auch nach unten geworfen, weshalb auch \(v_0\) mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist. Da also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0=0\, s\) negativ ist, muss die entsprechende Ortsfunktion an dieser Stelle eine fallende Tangente besitzen (denn die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an einer Stelle \(t\)). Damit lässt sich Antwort 1 schon mal ausschließen. Nach dem Loslassen wird der Körper weiter nach unten durch die Fallbeschleunigung beschleunigt. Das bedeutet, dass seine vorzeichenbehaftetete Geschwindigkeit stets abnehmen muss (der Betrag der Geschwindigkeit nimmt aber zu!). Anders ausgedrückt muss die Ortsfunktion mit der Zeit steiler abfallen. Damit verbleibt nur mehr Antwort 2 als korrekte Antwort. Im Bild sind die Tangenten zum Zeitpunkt \(t_0\) und beim Aufprall am Boden rot eingezeichnet. Dort ist ersichtlich, dass die Steigungen der Tangenten mit der Zeit steiler werden (abnehmen). Die übrigen Ortsfunktionen haben zwar eine negative Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\), werden aber abgebremst (nach oben beschleunigt) oder verlaufen linear, also mit konstanter Geschwindigkeit.

5 erreichbare Punkte

Die Bewegung eines Objekts kann durch die Bewegungsgleichung \(s(t)=8t^2+5t+9\) beschrieben werden. Wie weit ist das Objekt nach \(60\mathrm{\ Sekunden}\) gekommen? Nr. 3341
	\(s(60)=31455\)
	\(s(60)=26530\)
	\(s(60)=23841\)
	\(s(60)=29109\)
Lösungsweg \(t=60\) in \(s(t)\) einsetzen: \(s(60)=8\cdot 60^2+5\cdot60+9=29109\)

4 erreichbare Punkte

Welche Näherungsformel kann verwendet werden, um die Tiefe \(h\) eines Brunnens abzuschätzen? Dabei ist \(t\) die Zeit, die vergeht zwischen dem Loslassen eines Steines, den man in den Brunnen fallen lässt, und dem Hören des Aufprallgeräusches, \(g\) ist die Erdbeschleunigung, \(c\) die Schallgeschwindigkeit. Nr. 2105
	\(h = g \: t\)
	\(h\, \approx\, \frac{g}{2} \: t^{2}\)
	\(h\, \approx\, 5\ \frac{m}{s^{2}}\: t^{2}\)
	Auflösen folgender (quadratischer) Gleichung nach \(h\): \(t \: = \: \sqrt{\frac{2 \: h}{g}} \: + \: \frac{h}{c}\)
	\(h \, \approx\, \frac{c}{2}\ t^2\)
Lösungsweg Die gegebene Zeit \(t\) entspricht der Zeit, die der Stein fällt, und der Zeit, die der Schall benötigt, um vom Boden des Brunnens nach oben zu gelangen. Anders ausgedrückt ist \(t\) die Summe aus der Fallzeit und der Laufzeit des Schalls. Die Fallzeit \(t_f\) lässt sich aus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung herleiten: \(h=\frac{g}{2}\ t_f}^2 \ \Rightarrow \ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) Die Ausbreitung des Schalls hingegen entspricht einer gleichförmigen Bewegung, mit konstanter Geschwindigkeit \(c\). Die Laufzeit des schalls \(t_s\) lässt sich bestimmen durch: \(h=c \cdot t_s \ \Rightarrow \ t_s=\frac{h}{c}\) Es muss also \(t = t_f + t_s\) sein: \(t= t_f+t_s = \sqrt{\frac{2h}{g}}+ \frac{h}{c}\) Da aber in der Regel \(\left\| c \right\|\, \gg\, \left\|h\right\|\) gilt, ist \(\frac{h}{c}\, \approx \, 0\) Es kann also die Laufzeit des Schalls im Gegensatz zur Fallzeit des Steins vernachlässt werden. Eine zulässige Näherungsformel ist daher: \(t\, \approx \, \sqrt{\frac{2h}{g}}\) bzw. \(h\, \approx \, \frac{g}{2}\, t^2\) für den gleichmäßig beschleunigten Fall. Da \(g\, \approx \, 10\ \frac{m}{s^2}\) lässt sich außerdem schreiben: \(h\, \approx \, 5\ \frac{m}{s^2}\ t^2\)

5 erreichbare Punkte

Zwei Objekte bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit aufeinander zu. Objekt A hat eine Geschwindigkeit \(v_A=20\ \frac{m}{s}\) und Objekt B hat die Geschwindigkeit \(v_B=30\ \frac{m}{s}\). Nach einer Zeit \(t=50\,s\) treffen sie aufeinander. Wie weit waren sie zu Beginn voneinander entfernt? Nr. 3332
	\(s=2\,km\)
	\(s=2,5\,km\)
	\(s=3\,km\)
	\(s=3,5\,km\)
Lösungsweg Beide fahren gleich lang (nur unterschiedlich weit), also gilt \(t_1=t_2\) Daraus folgt \(v_A\cdot t_A+v_a\cdot t_A=\left(v_A+v_B\right)\cdot t=s\) \(s=(20+30)\cdot 50=2500\,m\)

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt \(30\, s\) mit der Geschwindigkeit \(72\, \frac{km}{h}\) geradeaus, und danach \(48\, s\) mit \(36\, \frac{km}{h}\) in die selbe Richtung. Im Anschluss fährt es mit \(54\, \frac{km}{h}\) in entgegengesetzte Richtung zum Ausgangspunkt zurück. Wie lange dauert die Rückfahrt? Nr. 1592
	54 s
	64 s
	72 s
	80 s
	78 s
Lösungsweg Rechnen wir zunächst alle Geschwindigkeiten in die SI-Einheit \(\frac{m}{s}\) um. Wir erhalten \(72\, \frac{km}{h}=20\, \frac{m}{s}\) , \(36\, \frac{km}{h}= 10\, \frac{m}{s}\) und \(54\, \frac{km}{h}= 15\, \frac{m}{s}\). Für die angegebenen Werte erhalten wir die zurückgelegte Strecke \(\Delta s=20\, \frac{m}{s} \cdot 30\, s + 10\, \frac{m}{s} \cdot 48\, s = 1080\, m\). Um diese Strecke mit der Geschwindigkeit \(v=15\, \frac{m}{s}\) zurückzulegen, benötigt man \(\Delta t= \frac{\Delta s}{v}=\frac{1080\, m}{15\, \frac{m}{s}}=72\, s\).

5 erreichbare Punkte

Ein Motorrad beschleunigt gleichförmig aus dem Stand mit \(a=5,97\ \frac{m}{s^2}\) für die Zeit \(t=5\,s\). Welche Geschwindigkeit \(v\) hat das Motorrad zum Zeitpunkt \(t=5\,s\) erreicht? Nr. 3329
	\(v=22,63\ \frac{m}{s}\)
	\(v=29,85\ \frac{m}{s}\)
	\(v=30,51\ \frac{m}{s}\)
	\(v=29\ \frac{km}{h}\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Mit \(v_1=0\) in diesem Beispiel ist \(v=v_2\) die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist \(a=\frac{v}{t}\). Dies wird nach \(v\) umgeformt \(v=a\cdot t=5,97\cdot5=29,85\ \frac{m}{s}\)

4 erreichbare Punkte

Fußballer Marko A. verliert in Spielminute \(36\,:\,00\) den Ball \(5\,m\) vor dem gegnerischen Tor und beginnt mit konstanter Geschwindigkeit (parallel zur Seitenoutlinie) zurückzu"laufen". In Minute \(37\,:\,00\) kommt er \(10\,m\) vor der eigenen Torlinie zu einem Eckball an. Das Fußballfeld ist genau \(105\,m\) lang. Wie schnell ist er "gelaufen"? Nr. 1834
	\(v=10\,\frac{m}{s}\)
	\(v=6,8\,\frac{m}{s}\)
	\(v=1,5\,\frac{m}{s}\)
	\(v=3\,\frac{m}{s}\)
	\(v=1,75\,\frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\) \(\Delta s =105\,m - 5\,m -10\,m = 90\,m\) \(\Delta t = 1\,min=60\,s\) \(\Rightarrow v=\frac{90\,m}{60\,s}=\frac{3}{2} \frac{m}{s} =1,5 \,\frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Die Lichtgeschwindigkeit (welche üblicherweise das Formelzeichen \(c\) trägt) beträgt in etwa \(3,0 \cdot 10^8\ \frac{m}{s}\). Welche Strecke \(s\) (in Meter) legt demnach ein Lichtstrahl in einem Jahr zurück? (Hinweis: Es wird das sogenannte 'Lichtjahr' berechnet. Ein Lichtjahr ist somit keine Zeit wie der Name vermuten lassen könnte, sondern eine Länge bzw.Strecke) Nr. 1602
	\(s=2,6 \cdot 10^{12}\, m\)
	\(s=1,6 \cdot 10^{14} \, m\)
	\(s=9,5 \cdot 10^{15}\, m\)
	\(s=3,4 \cdot 10^{16}\, m\)
	\(s=1,1 \cdot 10^{11}\, m\)
Lösungsweg Ein Jahr hat 365 Tage. Ein Tag hat 24 Stunden. Eine Stunde hat 60 Minuten. Eine Minute hat 60 Sekunden. Somit erhalten wir \(s=3,0 \cdot 10^8 \,\frac{m}{s} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\, s = 9,5 \cdot 10^{15}\, m\). (Anmerkung: Schaltjahre haben 366 Tage, aber bei der Berechnung auf 2 Stellen genau irrelevant. Für die exakte Definition des Lichtjahres wird üblicherweise das 'Julianische Jahr' mit \(365,35 \ \mathrm{Tagen}\) Tagen verwendet, siehe dazu Wikipedia).

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