Der Impuls  ist \(p=m\cdot v\).

Die Masse des LKW in \(kg\) bzw. die Geschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) umrechnen und dies in obige Formel eingesetzt, ergibt einen Impuls \(p=9300\,kg\cdot \frac{30}{3,6}\ \frac{m}{s}=77500\,\ \frac{kg\cdot m}{s}\).

Der Impuls eines Körpers mit Masse \(m\) ist definiert als:

\(p=m\cdot v\)

Es muss also zunächst die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der der Körper am Boden ankommt.

Beim senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion modelliert:

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Zuerst muss der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Körper am Boden auftrifft.

Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\)

Schließlich also:

\(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und

\(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\)

Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist

\(t_2=t_b=2\ s\)

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik eingezeichnet).

Ableiten ergibt:

\(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+5\)

Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden:

\(v(t_2=2)= -10\cdot 2 + 5 =-20+5=-15\ \frac{m}{s}\)

Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass der Körper nach unten fällt, bzw. die Ortsfunktion an der Stelle \(t_2=2\ s\) streng monton fallend ist.

Das ergibt einen Impuls von:

\(p=m\cdot v = 2\, kg \cdot \left(-15\ \frac{m}{s}\right)= -30\ \frac{kg\cdot m}{s}\)

Der senkrechte Wurf ist eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, die Beschleunigung ist also konstant und nicht gleich \(0\). Da - wie in der Abbildung zu sehen ist - die Wurfparabel nach unten geöffnet ist, muss die Beschleunigung negativ sein. Das ist eine häufige Konvention, um zu verdeutlichen, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt.

Die einzig wirksame Kraft beim senkrechten Wurf ist die Gravitationskraft (die Beschleuigung des Körpers vor dem Loslassen interressiert uns dabei nicht). Da die Gravitationskraft stets zur Erde, also "nach unten", wirkt, ist die Beschleunigung \(a=-9,81\ \frac{m}{s^2}\). Diese ändert auch nicht ihr Vorzeichen oder wird \(0\) bei Erreichen der maximalen Höhe \(x_{max}\).

Die einzig korrekte Antwort ist daher: Antwort 3!

Da sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, gilt für den zurückgelegten Weg:

 \(s(t)= \frac{a}{2}\ t^2\)

Durch einsetzen der Beschleunigung \(a=4\ \frac{m}{s^2}\) und \(s=30\, m\) ergibt sich

\(30\, m=\frac{4\ \frac{m}{s^2}}{2}\ t^2 \qquad \Rightarrow \qquad t=\sqrt{\frac{30\, m \cdot 2}{4\ \frac{m}{s^2}}}=\frac{\sqrt{60}}{2}\ s^2} \ \approx\ 3,87\, s\)

\(t=3,87\,s\)

Zuerst muss sichergestellt werden, dass alle Werte in der Formel in SI-Basiseinheiten angegeben sind.
\(8\,cm=0,08\,m\).

Nun muss nur noch die Formel umgeformt werden auf \(T_0\) und eingesetzt:

\(T_0=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot l}{g}}=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot 0,08\,m}{9,81\ \frac{m}{s^2}}}=0,567\,s \)

Rechnen wir zunächst alle Geschwindigkeiten in die SI-Einheit \(\frac{m}{s}\) um. Wir erhalten \(72\, \frac{km}{h}=20\, \frac{m}{s}\) , \(36\, \frac{km}{h}= 10\, \frac{m}{s}\) und \(54\, \frac{km}{h}= 15\, \frac{m}{s}\). Für die angegebenen Werte erhalten wir die zurückgelegte Strecke \(\Delta s=20\, \frac{m}{s} \cdot 30\, s + 10\, \frac{m}{s} \cdot 48\, s = 1080\, m\). Um diese Strecke mit der Geschwindigkeit \(v=15\, \frac{m}{s}\) zurückzulegen, benötigt man \(\Delta t= \frac{\Delta s}{v}=\frac{1080\, m}{15\, \frac{m}{s}}=72\, s\).

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v=v_2-v_1=100\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=100\ \frac{km}{h}=100\cdot1\ \frac{km}{h}=100\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=27,\overline7\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t=2,72\,s\)

\(\Rightarrow\, a=\frac{27,\overline7\ \frac{m}{s}}{2,72\ s}=\frac{27,\overline7}{2,72}\cdot\frac{\frac{m}{s}}{s}\approx10,21\ \frac{m}{s^2}\)

Gegeben ist die Ortsfunktion

\(x(t)=9t^2+24\),

die den Ort, an dem sich der betrachtete Körper befindet, in Abhängigkeit der Zeit angibt.

Um zu bestimmen, wann sich der Körper bei \(x=60\,m\) befindet, müssen wir also den Zeitpunkt \(t_1\) bestimmen, an dem

\(x(t_1)=60\,m\) gilt. Dafür setzen wir den Funktionswert ein und nach Umformung erhalten wir die gesuchte Zeit \(t_1\):

\(x(t_1)=60=9t_1^2+24\)

\(9t_1^2=60-24=36\)

\(t_1^2=4 \ \Rightarrow \ t_1=\pm 2\)