Das Auto hat die Beschleunigung

\(a= \frac{\Delta v}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{km}{h} - 30 \ \frac{km}{h}}{20 \ s}=0,278 \ \frac{m}{s^2}\)

Für die zurückgelegte Stecke \(s\) gilt

\(s=v_0 t +\frac{1}{2} a t^2\)

und somit

\(s=30 \ \frac{km}{h} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot (20s)^2=8,33 \frac{m}{s} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot 400s^2\)

\( s=222m\)

Die Gexchwindigkeit \(v_1\) und \(v_2\) in SI-Einheiten umrechnen

\(v_1=30\ \frac{km}{h}=30\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\)

\(v_2=90\ \frac{km}{h}=25\ \frac{m}{s}\)

Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\).
Nach \(t\) umgeformt und eingesetzt \(t=\frac{v_2-v_1}{a}=\frac{25-8,\dot{3}}{2,9}=5,75\,s\)

Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung zum Zeitpunkt \(t=0\) ist.

Strecke \(s_1\): \(s_0=0\), \(v_1=8\ \frac{m}{s}\) und \(a_1=0\), somit ist \(s_1(t)=8\cdot t\qquad \Rightarrow\qquad s(11)=8\cdot 11=88\,m\)

Für Strecke \(s_2\) kann man entweder \(s_0=s_1(11)=88\) annehmen oder man beginnt wieder mit \(s_0=0\) und muss anschliessend \(s_1\) und \(s_2\) zu \(s=s_1+s_2\) addieren

Strecke \(s_2\): \(s_0=0\), \(v_2=8\ \frac{m}{s}\) und \(a_2=2,2\ \frac{m}{s^2}\), somit ist

 \(s_2(t)=8\cdot t+\frac{2,2}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow\qquad s(5)=8\cdot 5+1,1\cdot 5^2=67,5\,m\)

Gesamtstrecke \(s=s_1+s_2\): 

\(s=88+67,5=155,5\,m\)

Die Geschwindkeit \(v\) in SI-Einheiten umrechnen \(v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\)

Der Impuls ist \(p=m\cdot v\) und folglich

\(m=\frac{16000}{27,\dot{7}}=576\,kg\)

\(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3\,m}{5\,s}=\frac{3}{5} \cdot \frac{m}{s}=0,6 \ \frac{m}{s}\)

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(8\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=25\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit größerer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\), also \(1,5\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-1,5\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-1,5)=v_L\cdot t_A - 1,5\cdot v_L\)

Der Term \(-1,5\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(25\cdot t_A=70\cdot (t_A-1,5)\qquad \Rightarrow \qquad 45\cdot t_A = 105\)

und damit:
\(t_A = 2,\dot 3\,h =140\, min\)

Leo holt Anna \(140\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).

Zuerst müssen alle Werte in SI-Basiseinheiten umgewandelnt werden.

\(v_1=12\ \frac{km}{h}=12\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=3,\dot{3}\,\frac{m}{s}\)

\(v_2=25\ \frac{km}{h}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}\)

\(v_3=32\ \frac{km}{h}=8,\dot{8}\ \frac{m}{s}\)

Danach werden die Streckenabschnitte miteinander addiert:

\(s=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2+v_3\cdot t_3=3,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+6,9\dot{4}\cdot 30\cdot 60+8,\dot{8}\cdot 25\cdot 60=28,83\,km\)

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(17\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=35\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit höherer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(17\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\), also \(20\,min=\frac{1}{3}\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-\frac{1}{3}\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-\frac{1}{3})=v_L\cdot t_A - \frac{1}{3}\cdot v_L\)

Der Term \(-\frac{1}{3}\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(35\cdot t_A=60\cdot (t_A-\frac{1}{3})\qquad \Rightarrow \qquad 25\cdot t_A = 20\)

und damit:
\(t_A = 0,8\,h =48\, min\)

Leo holt Anna \(48\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(17\, : \, 48\mathrm{\ Uhr}\).

Um den Ort zu bestimmen, an dem er sie einholt, muss der Zeitpunkt \(t_A=0,8\,h\) noch in eine der Ortsfunktionen eingesetzt werden (Bonusfrage: Weshalb ist es egal, in welche Ortsfunktion eingesetzt wird?):
\(s(t_A=0,8)=35\ \frac{km}{h}\cdot 0,8\,h=28\, km\)