Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach unten geworfen. Welches der folgenden Weg-Zeit-Diagramme beschreibt solch einen Fall? Nr. 4434





Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt! Auch wenn der Körper nach unten geworfen wird, handelt es sich um einen senkrechten Wurf. Dieser wird mit einer quadratischen Ortsfunktion \(h(t)\) modelliert: \(h(t)=-\frac{g}{2}\ t^2 -v_0\cdot t + h_0\) Wobei \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper geworfen wird, beschreiben. Die negativen Vorzeichen rühren daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Genauso wird der Körper auch nach unten geworfen, weshalb auch \(v_0\) mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist. Da also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0=0\, s\) negativ ist, muss die entsprechende Ortsfunktion an dieser Stelle eine fallende Tangente besitzen (denn die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an einer Stelle \(t\)). Damit lässt sich Antwort 1 schon mal ausschließen. Nach dem Loslassen wird der Körper weiter nach unten durch die Fallbeschleunigung beschleunigt. Das bedeutet, dass seine vorzeichenbehaftetete Geschwindigkeit stets abnehmen muss (der Betrag der Geschwindigkeit nimmt aber zu!). Anders ausgedrückt muss die Ortsfunktion mit der Zeit steiler abfallen. Damit verbleibt nur mehr Antwort 2 als korrekte Antwort. Im Bild sind die Tangenten zum Zeitpunkt \(t_0\) und beim Aufprall am Boden rot eingezeichnet. Dort ist ersichtlich, dass die Steigungen der Tangenten mit der Zeit steiler werden (abnehmen). Die übrigen Ortsfunktionen haben zwar eine negative Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\), werden aber abgebremst (nach oben beschleunigt) oder verlaufen linear, also mit konstanter Geschwindigkeit.

5 erreichbare Punkte

Usain Bolt beschleunigt beim Start eines Sprints in \(t=2\,s\) von \(v_1=0\ \frac{km}{h}\) auf \(v_2=36\ \frac{km}{h}\). Wie hoch ist seine Beschleunigung \(a\) (in der Annahme, dass er gleichförmig beschleunigt)? Nr. 1839
	\(a=5\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=20\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=10\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=15\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) \(\Delta v=v_2-v_1=36\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=36\ \frac{km}{h}=36\cdot1\ \frac{km}{h}=36\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=10\ \frac{m}{s}\) \(\Delta t= 2s\) \(\Rightarrow\ a=\frac{10\ \frac{m}{s}}{2s}=\frac{10}{2}\cdot\frac{\ \frac{m}{s}}{s}=5\ \frac{m}{s^2}\)

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(3,9\ \frac{m}{s^2}\). Damit beschleunigt es \(11\mathrm{\ Sekunden}\). Welche Geschwindigkeit hat es nun erreicht? Nr. 3104
	\(v=471,9 \ \frac{km}{h}\)
	\(v=42,9 \ \frac{m}{s}\)
	\(v=154,44 \ \frac{km}{h}\)
	\(v=154,44\ \frac{m}{s}\)
	\(v=11,92\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=a\cdot t\) Einsetzen ergibt: \(v=3,9\ \frac{m}{s^2}\cdot 11\, s= 42,9\ \frac{m}{s}\) In \(\frac{km}{h}\) umgerechnet ergibt das: \(42,9\ \frac{m}{s}=42,9\cdot 3,6 \ \frac{km}{h} = 154,44\ \frac{km}{h}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Auto beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(a=2,3\ \frac{m}{s^2}\) für eine Zeit \(t=9\,s\). Welche Strecke \(s\) hat das Auto während der Beschleunigungsphase zurückgelegt? Nr. 3492
	\(s=93,15\,m\)
	\(s=105,4\,m\)
	\(s=87,66\,m\)
	\(s=99,04\,m\)
Lösungsweg Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung und \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) ist. Da \(s_0=0\) ist und "aus dem Stand beschleunigen" \(v_0=0\) bedeutet, ist \(s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{2,3}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(9)=1,15\cdot 9^2=93,15\,m\)

4 erreichbare Punkte

Betrachte folgendes Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 25]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4426
	Ab dem Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) befindet sich der Körper für \(4\, s\) im Stillstand.
	Ab dem Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) bewegt sich der Körper für \(4\, s\) mit einer konstanten Geschwindigkeit fort.
	Nach \(21\, s\) befindet sich der Körper an dem Ort, der am weitesten vom Ausgangspunkt der Bewegung entfernt ist.
	Nachdem der Körper einen Weg von \(s=10\, m\) zurückgelegt hat, befindet sich der Körper in Ruhe.
	Der Körper befindet sich insgesamt \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.
Lösungsweg Antwort 1: In den ersten \(10\, s\) liegt eine beschleunigte Bewegung vor, danach ist die Ortsfunktion für \(4\, s\) konstant. Das bedeutet, der Anstieg der Tangente und damit die Momentangeschwindigkeit sind zwischen \(t_1=10\, s\) und \(t_2=14\, s\) gleich \(0\) - der Körper befindet sich im Stillstand. Antwort 2: Da sich der Körper, wie eben erläutert, im Stillstand befindet, kann er sich nicht fortbewegen. Antwort 3: Der Ausgangspunkt der Bewegung ist durch die Nullstellen der Ortsfunktion, also \(x(t_{0,\, i})=0\) (wobei \(i\) die i-te Nullstelle beschreibt) gegeben. In anderen Worten: Dort, wo der Graph der Ortsfunktion die \(t\mathrm{-Achse}\) berührt/schneidet, befindet sich der Körper am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung. Zum Zeitpunkt \(t_{min}=21\, s\) hat die Ortsfunktion ein Minimum. Allerdings ist der Funktionswert \(x(t_{min}) \approx -2,3\, m\) und damit ist der Körper etwa \(2,3\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Mit Sicherheit befindet sich der Körper zum Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) aber weiter weg, nämlich \(8\, m\). Antwort 4: Nachdem die Ortsfunktion den Wert \(10\, m\) gar nicht annimmt (\(10\) ist somit kein Teil der Wertemenge), legt der Körper nie eine Strecke von \(s=10\, m\) zurück. Die Aussage gilt nur, wenn anstatt des Weges \(s=10\, m\) eine Zeit von \(t_1=10\, s\) angenommen wird. Auf diesen Unterschied ist besonders zu achten! Antwort 5: Nachdem, wie oben bereits ausgeführt, sich der Körper dort am Anfangsort befindet, wo der Graph die \(t\mathrm{-Achse}\) schneidet/berührt (Bemerkung: \(\mathrm{schneiden} \, \ne \, \mathrm{beruehren}\)), befindet sich der Körper tatsächlich \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.

5 erreichbare Punkte

Ein Körper der Masse \(m=2\, kg\) wird aus einer Höhe \(h_0=10\, m\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0=5\ \frac{m}{s}\) senkrecht nach oben geworfen. Welchen Impuls hat der Körper unmittelbar vor dem Auftreffen auf dem (Erd-)Boden? Rechne dabei mit \(g= 10\ \frac{m}{s^2}\). Nr. 4432
	\(p=-30\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=-40\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=-15\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=30\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=50\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
Lösungsweg Der Impuls eines Körpers mit Masse \(m\) ist definiert als: \(p=m\cdot v\) Es muss also zunächst die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der der Körper am Boden ankommt. Beim senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion modelliert: \(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\) Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird. Zuerst muss der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Körper am Boden auftrifft. Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat. Es muss also die quadratische Gleichung \(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden. Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel: \(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad \| :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \) Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel: \(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\) Schließlich also: \(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und \(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\) Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist \(t_2=t_b=2\ s\) Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik eingezeichnet). Ableiten ergibt: \(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+5\) Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden: \(v(t_2=2)= -10\cdot 2 + 5 =-20+5=-15\ \frac{m}{s}\) Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass der Körper nach unten fällt, bzw. die Ortsfunktion an der Stelle \(t_2=2\ s\) streng monton fallend ist. Das ergibt einen Impuls von: \(p=m\cdot v = 2\, kg \cdot \left(-15\ \frac{m}{s}\right)= -30\ \frac{kg\cdot m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Auf den geöffneten Fallschirm eines Fallschirmspringers wirke infolge des Luftreibung eine Bremsbeschleunigung \(a=-b v^2\) mit der Konstanten \(b=0,2\) . Wie groß ist die konstante Endgeschwindigkeit \(v_e\) des Springers? Nr. 4168
	\(15,21 [km/h]\)
	\(25,21 [km/h]\)
	\(35,21 [km/h]\)
	\(45,21 [km/h]\)
Lösungsweg Die konstante Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn die Gesamtbeschleunigung Null wird: \( g-bv_{e}^{2}=0\). Damit folgt aber sofort \(v_{e}=\sqrt{\frac{g}{b}}\).

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in eine beliebige, jedoch fixierte Richtung. Es legt dabei in \(15\quad \mathrm{Minuten}\) eine Strecke von \(30\, km\) zurück. Welche Geschwindigkeit hat das Objekt in der entsprechenden SI-Einheit? Runde dabei sinnvoll. Nr. 1599
	\(v=2\, \frac{km}{min}\)
	\(v=33\, \frac{m}{s}\)
	\(v=120\, \frac{km}{h}\)
	\(v=45\, \frac{km}{h}\)
	\(v=45\, \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist \(\frac{m}{s}\). \(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}= \frac{30\, \ km}{15\, min}= \frac{30 \cdot 1000\, m }{15 \cdot 60 \,s}=33,\overline{3}\, \frac{m}{s}\) Auf zwei gültige Stellen gerundet erhalten wir also \(v=33 \, \frac{m}{s}\).

5 erreichbare Punkte

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