Gepard: \(3 \mathrm{\ Sekunden}\) um auf \(122\ \frac{km}{h}\) bzw. \(33,89\ \frac{m}{s}\) zu kommen:
\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{33,89-0}{3}\) =11,27\ \frac{m}{s^2}\)

Model S: \(2,4 \mathrm{\ Sekunden}\) um von \(0\) auf \(100\ \frac{km}{h}\) bzw. \(27,78\ \frac{m}{s}\) zu kommen:
\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{27,78-0}{2,4-0}\)=11,58\ \frac{m}{s^2} \)

Der Impuls ist gegeben durch die Formel \(p=mv\). Stellen wir nach \(v\) um, so bekommen wir \(v=\frac{p}{m}\). Für die gegebenen Zahlenwerte ergibt sich \(v=\frac{p}{m}=\frac{170 \cdot 10^3 \, \frac{kg \cdot m}{s}}{8,5 \cdot 10^3\, kg}=20\, \frac{m}{s}\).

Hinweg: \(s=8,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+13,\dot{8}\cdot 10\cdot 60=15833,\dot{3}\)

Zeit für die Rückfahrt:

\(t=\frac{15833,\dot{3}}{6,94}=2280\,s=38\,min\)

Wir berechnen zunächst

\(\dot{x}(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t\)

und

\(\ddot{x}=-\omega^{2}x\)

Für die Maximalgeschwindigkeit gilt

\(\ddot{x}(t_{1})=0, \frac{d\ddot{x}}{dt}(t_{1})<0\).

Durch Einsetzen in \(\ddot{x}(t)\) erhält man

\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\).

Basierend darauf erhält man schließlich

\(\dot{x}_{Max}=\dot{x}(t_{1})=\omega \sqrt{A^2 + B^2 } = \omega x_{Max}\),

wobei \(x_{Max} := \sqrt{A^2 + B^2 }\) die in einem vorangegangenen Beispiel bestimmte Maximalauslenkung bezeichnet.

Die Berechnung der Maximalbeschleunigung erfolgt völlig analog, wobei allerdings gefordert wird

\(\frac{d\ddot{x}}{dt}(t_{2})=0, \frac{d^{2}\ddot{x}}{dt^{2}}(t_{2})<0\).

Hier findet man

\(\ddot{x}_{Max}=-\omega^2 \sqrt{A^2 + B^2 } =-\omega^2 x_{Max}\).

Beide fahren gleich lang (nur unterschiedlich weit), also gilt \(t_1=t_2\)

Daraus folgt \(v_A\cdot t_A+v_a\cdot t_A=\left(v_A+v_B\right)\cdot t=s\)

\(s=(20+30)\cdot 50=2500\,m\)

Die gegebene Zeit \(t\) entspricht der Zeit, die der Stein fällt, und der Zeit, die der Schall benötigt, um vom Boden des Brunnens nach oben zu gelangen. Anders ausgedrückt ist \(t\) die Summe aus der Fallzeit und der Laufzeit des Schalls.

Die Fallzeit \(t_f\) lässt sich aus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung herleiten:

\(h=\frac{g}{2}\ t_f}^2 \ \Rightarrow \ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Die Ausbreitung des Schalls hingegen entspricht einer gleichförmigen Bewegung, mit konstanter Geschwindigkeit \(c\). Die Laufzeit des schalls \(t_s\) lässt sich bestimmen durch:

\(h=c \cdot t_s \ \Rightarrow \ t_s=\frac{h}{c}\)

Es muss also \(t = t_f + t_s\) sein:

\(t= t_f+t_s = \sqrt{\frac{2h}{g}}+ \frac{h}{c}\)

Da aber in der Regel \(\left| c \right|\, \gg\, \left|h\right|\) gilt, ist

\(\frac{h}{c}\, \approx \, 0\)

Es kann also die Laufzeit des Schalls im Gegensatz zur Fallzeit des Steins vernachlässt werden.

Eine zulässige Näherungsformel ist daher:

\(t\, \approx \, \sqrt{\frac{2h}{g}}\) bzw. \(h\, \approx \, \frac{g}{2}\, t^2\) für den gleichmäßig beschleunigten Fall.

Da \(g\, \approx \, 10\ \frac{m}{s^2}\) lässt sich außerdem schreiben:

\(h\, \approx \, 5\ \frac{m}{s^2}\ t^2\)

Die Beschleunigung ist definiert als \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\).

Mit \(\Delta v=v_1-v_0\) und \(\Delta t=t_1-t_0\).
In diesem Beispiel sind \(t_1=t\) und \(t_0=0\)

Somit ist \(t=\frac{\Delta v}{a}=\frac{25}{7,5}=3,\dot{3}\,s\)

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(8\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=25\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit größerer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\), also \(1,5\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-1,5\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-1,5)=v_L\cdot t_A - 1,5\cdot v_L\)

Der Term \(-1,5\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(25\cdot t_A=70\cdot (t_A-1,5)\qquad \Rightarrow \qquad 45\cdot t_A = 105\)

und damit:
\(t_A = 2,\dot 3\,h =140\, min\)

Leo holt Anna \(140\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).