Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(3,9\ \frac{m}{s^2}\). Damit beschleunigt es \(11\mathrm{\ Sekunden}\). Welche Geschwindigkeit hat es nun erreicht? Nr. 3104
	\(v=471,9 \ \frac{km}{h}\)
	\(v=42,9 \ \frac{m}{s}\)
	\(v=154,44 \ \frac{km}{h}\)
	\(v=154,44\ \frac{m}{s}\)
	\(v=11,92\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=a\cdot t\) Einsetzen ergibt: \(v=3,9\ \frac{m}{s^2}\cdot 11\, s= 42,9\ \frac{m}{s}\) In \(\frac{km}{h}\) umgerechnet ergibt das: \(42,9\ \frac{m}{s}=42,9\cdot 3,6 \ \frac{km}{h} = 154,44\ \frac{km}{h}\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 8]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4425
	In den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort.
	Nachdem der Körper eine Strecke von \(s=4\, m\) zurückgelegt hat, befindet er sich in Ruhe.
	Den größten Betrag hat die Geschwindigkeit des Körpers zwischen \(t_1=2\, s\) und \(t_2=3\, s\).
	Die Geschwindigkeitsfunktion ändert im Laufe der Zeit ihr Vorzeichen.
	Für \(t \in \left[ 6,\, 8 \right]\) ist die Geschwindigkeitsfunktion streng monoton fallend.
Lösungsweg Antwort 1: In den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) ist die Ortsfunktion linear, beziehungsweise deren Anstieg ist konstant und \(> \, 0\). Der Anstieg (der Tangente) der Ortsfunktion entspricht der Geschwindigkeit, der Körper bewegt sich also mit konstanter Geschwindigkeit fort. Antwort 2: Der Körper befindet sich nach \(4\, s\) in Ruhe, es wurde bis dahin ein Weg von \(5\, m\) zurückgelegt. Die Antwort ist daher falsch. Antwort 3: Die Geschwindigkeit entspricht dem Anstieg der Tangente an die Ortsfunktion. Sie hat in den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) zwar ein lokales Maximum, zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ist der Verlauf jedoch sichtlich steiler. Der Betrag der Geschwindigkeit muss also bei \(t_3=7\, s\) maximal sein. Antwort 4: In den ersten \(4 \qquad \mathrm{Sekunden}\) bewegt sich der Körper vorwärts, die Geschwindigkeit ist positiv. In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist die Steigung der Tangente negativ, der Körper bewegt sich also in die entgegengesetzte Richtung. Dafür muss sich das Vorzeichen der Geschwindigkeitsfunktion ändern. Antwort 5: In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist zwar die Ortsfunktion streng monoton fallend, die Geschwindigkeit nimmt allerdings bis zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ab und steigt danach wieder an. Die Ortsfunktion hat also ein Minimum und ist daher nicht streng monoton (weder fallend noch steigend).

5 erreichbare Punkte

Gleichförmige Bewegung Ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und legt in einer Zeit von \(\Delta t=2\, s\) eine Strecke von \(\Delta s = 8\, m\) zurück. Welche mit welcher Geschwindigkeit \(v\) bewegt sich der Körper? Nr. 1832
	\(v=4\ \frac{km}{h}\)
	\(v=4\)
	\(v=4\ \frac{m}{s}\)
	\(v=16 \ \frac{m}{s}\)
	\(v=6 \ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{8\,m}{2\,s}=\frac{8}{2} \cdot \frac{m}{s}=4\ \frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt bewegt sich mit einer Geschwindigkeit \(v=0,5\ \frac{m}{s}\). Wie lange braucht es also für eine Strecke mit einer Länge \(s=132\,mm\) ? Nr. 3348
	\(t=0,264\,s\)
	\(t=2,6\,s\)
	\(t=0,0264\,s\)
	\(t=0,634\,s\)
Lösungsweg In SI-Basiseinheiten umrechnen: \(s=132\,mm=0,132\,m\) Um die Zeit zu erhalten muss in folgende Umformung der Geschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{s}{v}\) \(t=\frac{0,132}{0,5}=0,264\,s\)

4 erreichbare Punkte

Betrachte folgendes Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 25]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4426
	Ab dem Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) befindet sich der Körper für \(4\, s\) im Stillstand.
	Ab dem Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) bewegt sich der Körper für \(4\, s\) mit einer konstanten Geschwindigkeit fort.
	Nach \(21\, s\) befindet sich der Körper an dem Ort, der am weitesten vom Ausgangspunkt der Bewegung entfernt ist.
	Nachdem der Körper einen Weg von \(s=10\, m\) zurückgelegt hat, befindet sich der Körper in Ruhe.
	Der Körper befindet sich insgesamt \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.
Lösungsweg Antwort 1: In den ersten \(10\, s\) liegt eine beschleunigte Bewegung vor, danach ist die Ortsfunktion für \(4\, s\) konstant. Das bedeutet, der Anstieg der Tangente und damit die Momentangeschwindigkeit sind zwischen \(t_1=10\, s\) und \(t_2=14\, s\) gleich \(0\) - der Körper befindet sich im Stillstand. Antwort 2: Da sich der Körper, wie eben erläutert, im Stillstand befindet, kann er sich nicht fortbewegen. Antwort 3: Der Ausgangspunkt der Bewegung ist durch die Nullstellen der Ortsfunktion, also \(x(t_{0,\, i})=0\) (wobei \(i\) die i-te Nullstelle beschreibt) gegeben. In anderen Worten: Dort, wo der Graph der Ortsfunktion die \(t\mathrm{-Achse}\) berührt/schneidet, befindet sich der Körper am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung. Zum Zeitpunkt \(t_{min}=21\, s\) hat die Ortsfunktion ein Minimum. Allerdings ist der Funktionswert \(x(t_{min}) \approx -2,3\, m\) und damit ist der Körper etwa \(2,3\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Mit Sicherheit befindet sich der Körper zum Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) aber weiter weg, nämlich \(8\, m\). Antwort 4: Nachdem die Ortsfunktion den Wert \(10\, m\) gar nicht annimmt (\(10\) ist somit kein Teil der Wertemenge), legt der Körper nie eine Strecke von \(s=10\, m\) zurück. Die Aussage gilt nur, wenn anstatt des Weges \(s=10\, m\) eine Zeit von \(t_1=10\, s\) angenommen wird. Auf diesen Unterschied ist besonders zu achten! Antwort 5: Nachdem, wie oben bereits ausgeführt, sich der Körper dort am Anfangsort befindet, wo der Graph die \(t\mathrm{-Achse}\) schneidet/berührt (Bemerkung: \(\mathrm{schneiden} \, \ne \, \mathrm{beruehren}\)), befindet sich der Körper tatsächlich \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.

5 erreichbare Punkte

Ein Auto braucht \(t_1=6\,s\) um aus dem Stand eine Geschwindigkeit \(v=100\ \frac{km}{h}\) zu erreichen. Mit dieser berechneten Beschleunigung \(a\) beschleunigt das Fahrzeug gleichmäßig wiederum aus dem Stand für \(t_2=5\,s\). Welche Strecke \(s\) hat das Auto zum Zeitpunkt \(t_2\) zurückgelegt? Nr. 3491
	\(s=57,87\,m\)
	\(s=52,14\,m\)
	\(s=63,87\,m\)
	\(s=83,33\,m\)
	\(s=49,58\,m\)
Lösungsweg Die Beschleunigung \(a\) ist das Verhältnis des Geschwindigkeitsintervalls \(\Delta v=v_1-v_0\) zum Zeitintervall \(\Delta t=t_1-t_0\). Geschwindigkeit \(v_1\) in SI-Einheiten: \(v_1=100\ \frac{km}{h}=27,\dot{7}\ \frac{m}{s}\) Mit \(t_0=0\),\(t_1=6\) und \(v_0=0\) ergibt sich eine Beschleunigung von \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{27,\dot{7}-0}{6-0}\)=4,6293\ \frac{m}{s^2}\) Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung und \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) ist. Da \(s_0=0\) ist und "aus dem Stand beschleunigen" \(v_0=0\) bedeutet, ist \(s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{4,63}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(5)=57,87\,m\)

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt fällt für eine Zeit \(t=4\,s\) aus einem Flugzeug, welches sich auf einer Höhe \(h=10\,\,000\,m\)befindet, und das Objekt beschleunigt mit der Erdbeschleunigung \(a=9,81\ \frac{m}{s^2}\). Auf welcher Höhe \(h\) befindet sich das Objekt nun? Nr. 3490
	\(h=9946,81\,m\)
	\(h=9921,52\,m\)
	\(h=9337,26\,m\)
	\(h=9298,63\,m\)
Lösungsweg Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da nur nach der Höhe von der Erdoberfläche gefragt wird). Somit ist \(s=\frac{a}{2}\cdot t^2\) Somit ist \(s=\frac{9,81\ \frac{m}{s^2}}{2}\cdot {4\,s}^2=78,48m\) Die gesuchte Höhe \(h=10000-s=9921,52\,m\)

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt legt in der Zeit \(t=30\,min\) einen Weg \(s=8,57\,km\) zurück. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit \(v\) bewegt sich das Objekt fort? Nr. 3123
	\(v=4,76\,\frac{m}{s}\)
	\(v=5,74\,\frac{m}{s}\)
	\(v=4,32\,\frac{m}{s}\)
	\(v=6,03\,\frac{m}{s}\)
	\(v= 0,28\,\frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\(\frac{s}{t}\) \qquad \Rightarrow\qquad \(\frac{8570\, m}{30\cdot 60\, s}\)=4,76\,\frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

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