Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Usain Bolt beschleunigt beim Start eines Sprints in \(t=2\,s\) von \(v_1=0\ \frac{km}{h}\) auf \(v_2=36\ \frac{km}{h}\). Wie hoch ist seine Beschleunigung \(a\) (in der Annahme, dass er gleichförmig beschleunigt)? Nr. 1839
	\(a=5\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=20\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=10\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=15\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) \(\Delta v=v_2-v_1=36\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=36\ \frac{km}{h}=36\cdot1\ \frac{km}{h}=36\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=10\ \frac{m}{s}\) \(\Delta t= 2s\) \(\Rightarrow\ a=\frac{10\ \frac{m}{s}}{2s}=\frac{10}{2}\cdot\frac{\ \frac{m}{s}}{s}=5\ \frac{m}{s^2}\)

4 erreichbare Punkte

Zwei Autos sind \(s=900\,m\) von einander entfernt. Gleichzeitig beginnen sie aufeinander zuzufahren. Auto A fährt mit \(v_A=50\ \frac{km}{h}\) und Auto B mit \(v_B=30\ \frac{km}{h}\). Nach welcher Zeit \(t\) kollidieren die zwei Fahrzeuge? Nr. 3133
	\(t=45,23\,s\)
	\(t=63,44\,s\)
	\(t=40,50\,s\)
	\(t=46,25\,s\)
	\(t=37,21\,s\)
Lösungsweg Zu Beginn werden die Fahrzeuggeschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) umgerechnet: \(v_A=50\ \frac{km}{h}=\frac{50}{3,6}\ \frac{m}{s}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\\ v_B=30\ \frac{km}{h}=\frac{30}{3,6}\ \frac{m}{s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\) Da zum Zeitpunkt des Aufpralles \(t\) folgendes gelten muss: \(v_A\cdot t + v_B\cdot t=900\, m\qquad \Rightarrow\qquad t=40,5\,s\)

5 erreichbare Punkte

Ein Auto beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(a=2,3\ \frac{m}{s^2}\) für eine Zeit \(t=9\,s\). Welche Strecke \(s\) hat das Auto während der Beschleunigungsphase zurückgelegt? Nr. 3492
	\(s=93,15\,m\)
	\(s=105,4\,m\)
	\(s=87,66\,m\)
	\(s=99,04\,m\)
Lösungsweg Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung und \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) ist. Da \(s_0=0\) ist und "aus dem Stand beschleunigen" \(v_0=0\) bedeutet, ist \(s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{2,3}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(9)=1,15\cdot 9^2=93,15\,m\)

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt \(30\, s\) mit der Geschwindigkeit \(72\, \frac{km}{h}\) geradeaus, und danach \(48\, s\) mit \(36\, \frac{km}{h}\) in die selbe Richtung. Im Anschluss fährt es mit \(54\, \frac{km}{h}\) in entgegengesetzte Richtung zum Ausgangspunkt zurück. Wie lange dauert die Rückfahrt? Nr. 1592
	54 s
	64 s
	72 s
	80 s
	78 s
Lösungsweg Rechnen wir zunächst alle Geschwindigkeiten in die SI-Einheit \(\frac{m}{s}\) um. Wir erhalten \(72\, \frac{km}{h}=20\, \frac{m}{s}\) , \(36\, \frac{km}{h}= 10\, \frac{m}{s}\) und \(54\, \frac{km}{h}= 15\, \frac{m}{s}\). Für die angegebenen Werte erhalten wir die zurückgelegte Strecke \(\Delta s=20\, \frac{m}{s} \cdot 30\, s + 10\, \frac{m}{s} \cdot 48\, s = 1080\, m\). Um diese Strecke mit der Geschwindigkeit \(v=15\, \frac{m}{s}\) zurückzulegen, benötigt man \(\Delta t= \frac{\Delta s}{v}=\frac{1080\, m}{15\, \frac{m}{s}}=72\, s\).

5 erreichbare Punkte

Florian und Hanna stehen sich \(300\,m\) gegenüber und gehen aufeinander zu. Flo geht mit \(v_F=2,7\ \frac{m}{s}\) und Hanna mit \(v_H=1,9\ \frac{m}{s}\). Wielange dauert es, bis sie sich treffen? Hinweis: Die "Beschleunigungsphase" kann vernachlässigt werden. Nr. 3333
	\(t=65,22\,s\)
	\(t=61,89\,s\)
	\(t=58,02\,s\)
	\(t=56,74\,s\)
Lösungsweg Sie gehen beide gleich lang, nur unterschiedlich weit, also gilt: \(t_{F}=t_{H}\) D.h. \(s=v_F\cdot t_F+v_H\cdot t_H=2,7\cdot t+1,9\cdot t=4,6\cdot t=300\,m\) Daraus folgt: \(t=65,22\,s\)

4 erreichbare Punkte

Gleichförmig beschleunigte Bewegung Ein Student,der mit \(1,4\ \frac{m}{s}\) geht, sieht, dass seine Straßenbahn kommt und beginnt zu laufen. Dabei beschleunigt er (gleichförmig) in \(2\,s\) auf \(5,4\ \frac{m}{s}\). Wie groß ist die Beschleunigung \(a\) des Studenten? Nr. 1838
	\(a=2,7\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=8\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=10,8\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=2\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=3,4\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) \(\Delta v=\left\|v_1-v_2\right\|=\left\|1,4\ \frac{m}{s}-5,4\ \frac{m}{s}\right\|=4\ \frac{m}{s}\) \(\Delta t=2s\) \(\Rightarrow\, a=\frac{4\ \frac{m}{s}}{2\,s}=\frac{4}{2}\cdot\frac{\frac{m}{s}}{s}=2\ \frac{m}{s^2}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0=21,6\, m\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0=12\ \frac{m}{s}\) senkrecht nach oben geworfen. Nach der Zeit \(t_1\) hat der Körper seine maximale Höhe \(h_{max}\) erreicht. Mit welcher Geschwindigkeit hätte der Körper vom (Erd-)Boden aus geworfen werden müssen, um die selbe Höhe \(h_{max}\) zu erreichen? Rechne dabei mit \(g=10\ \frac{m}{s^2}\). Nr. 4433
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=33,6\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=28,8\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=24\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=22\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=36\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der der Körper vom Erdboden aus geworfen hätte werden müssen, betrachten wir zunächst die Wurfparabel mit ihrer Erweiterung zur negativen Nullstelle (siehe Grafik). Der Abwurfzeitpunkt ist im Bild mit \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bezeichnet. Er entspricht genau der Zeit des Abwurfes, wenn der Körper vom Boden aus geworfen würde, um die Höhe \(h_{max}\) zu erreichen. Es muss also zunächst die Nullstelle \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bestimmt werden. Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_{\mathrm{Wurf}})=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat. Es muss also die quadratische Gleichung \(h(t)=-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6=0\) gelöst werden. Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel: \(-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6 =0 \quad \| :\ (-5) \\ t^2 - 2,4t -4,32 =0 \) Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel: \(t_{a,b} = 1,2 \pm \underbrace{\sqrt{(1,2)^2 +4,32}}_{=2,4}\) Schließlich also: \(t_a=1,2\ s - 2,4\ s =-1,2\ s\) und \(t_b=1,2\ s+2,4\ s = 3,6\ s\) Da wir an der negativen Lösung interessiert sind, ist \(t_{\mathrm{Wurf}}=t_b=-1,2\ s\) Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\, s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik rot eingezeichnet). Anmerkung: Die selbe Geschwindigkeit, nur mit einem negativen Vorzeichen, würde man aus Symmetriegründen auch an der Stelle \(t_2=3,6\, s\) erhalten. Das bedeutet, dass der Körper mit dem selben Geschwindigkeitsbetrag am Boden wieder aufkommt, mit dem er zuvor hochgeworfen wurde. Auch dieser Lösungsweg wäre vollkommen korrekt - Bonusaufgabe: zeige, dass das selbe Ergebnis herauskommt! Ableiten ergibt: \(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+12\) Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden: \(v(t_{\mathrm{Wurf}}=-1\ s)= -10\cdot (-1,2) + 12 =12+12=24\ \frac{m}{s}\) Die Abwurfgeschwindigkeit muss also \(v_{\mathrm{Wurf}}=24\ \frac{m}{s}\) betragen, damit der Körper die Höhe \(h_{max}\) erreicht.

5 erreichbare Punkte

Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0=10\, m\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0=5\ \frac{m}{s}\) senkrecht nach oben geworfen. Zu welchem Zeitpunkt \(t_1\) erreicht der Körper seine maximale Höhe? Rechne dabei mit \(g= 10\ \frac{m}{s^2}\). Nr. 4430
	\(t_1=2\, s\)
	\(t_1=0\, s\)
	\(t_1=0,5\ s\)
	\(t_1=0,25\ s\)
	\(t_1=1\ s\)
Lösungsweg Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form \(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\) modeliert. Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g \approx 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird. Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird! Um die maximal erreichte Höhe zu ermitteln, muss zunächst die Ortsfunktion abgeleitet werden - das liefert uns die Funktion der Geschwindigkeit \(v(t) = \dot h(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left( -5\cdot t^2 + 5\cdot t +10\right) = -10\cdot t + 5\) wobei bereits die Werte aus der Angabe eingesetzt wurden. Am höchsten Punkt muss die Geschwindigkeit \(v(t) = \dot h(t) =0\) sein. Einsetzen liefert: \(v(t_1)=-10\cdot t_1+5=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0,5\ s\) Graphisch entspricht die Ableitung \(\dot h(t)=\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}\) der Steigung der Tangente an der Stelle \(t\). Eine Steigung mit dem Wert \(0\) entspricht daher einer waagrechten Tangente (diese ist in der Grafik rot dargestellt).

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