Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Auto hat die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 = 30,0 \ \frac{km}{h}\) und beschleunigt in \(20,0\) Sekunden gleichförmig auf die Geschwindigkeit \(v_1=50,0 \ \frac{km}{h}\). Berechne die in dieser Zeit zurückgelegte Stecke \(s\) (Beschleunigungsstecke). Nr. 1534
	\(s=111\ m\)
	\(s=222\ m\)
	\(s=333\ km\)
	\(s=444\ m\)
	\(s=75\ m\)
Lösungsweg Das Auto hat die Beschleunigung \(a= \frac{\Delta v}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{km}{h} - 30 \ \frac{km}{h}}{20 \ s}=0,278 \ \frac{m}{s^2}\) Für die zurückgelegte Stecke \(s\) gilt \(s=v_0 t +\frac{1}{2} a t^2\) und somit \(s=30 \ \frac{km}{h} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot (20s)^2=8,33 \frac{m}{s} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot 400s^2\) \( s=222m\)

5 erreichbare Punkte

Die Lichtgeschwindigkeit (welche üblicherweise das Formelzeichen \(c\) trägt) beträgt in etwa \(3,0 \cdot 10^8\ \frac{m}{s}\). Welche Strecke \(s\) (in Meter) legt demnach ein Lichtstrahl in einem Jahr zurück? (Hinweis: Es wird das sogenannte 'Lichtjahr' berechnet. Ein Lichtjahr ist somit keine Zeit wie der Name vermuten lassen könnte, sondern eine Länge bzw.Strecke) Nr. 1602
	\(s=2,6 \cdot 10^{12}\, m\)
	\(s=1,6 \cdot 10^{14} \, m\)
	\(s=9,5 \cdot 10^{15}\, m\)
	\(s=3,4 \cdot 10^{16}\, m\)
	\(s=1,1 \cdot 10^{11}\, m\)
Lösungsweg Ein Jahr hat 365 Tage. Ein Tag hat 24 Stunden. Eine Stunde hat 60 Minuten. Eine Minute hat 60 Sekunden. Somit erhalten wir \(s=3,0 \cdot 10^8 \,\frac{m}{s} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\, s = 9,5 \cdot 10^{15}\, m\). (Anmerkung: Schaltjahre haben 366 Tage, aber bei der Berechnung auf 2 Stellen genau irrelevant. Für die exakte Definition des Lichtjahres wird üblicherweise das 'Julianische Jahr' mit \(365,35 \ \mathrm{Tagen}\) Tagen verwendet, siehe dazu Wikipedia).

5 erreichbare Punkte

Ein Porsche Ruf 911 PDK beschleunigt in \(t=2,72\,s\) von \(v_1=0\ \frac{km}{h}\) auf \(v_2=100\ \frac{km}{h}\). Wie hoch ist die Beschleunigung \(a\) (unter der Annahme, dass eine gleichförmige Beschleunigung vorliegt)? Nr. 1841
	\(a\approx 36,76\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a\approx 10,21\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a\approx 56,29\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a\approx 7,65\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a\approx 5,08\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) \(\Delta v=v_2-v_1=100\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=100\ \frac{km}{h}=100\cdot1\ \frac{km}{h}=100\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=27,\overline7\ \frac{m}{s}\) \(\Delta t=2,72\,s\) \(\Rightarrow\, a=\frac{27,\overline7\ \frac{m}{s}}{2,72\ s}=\frac{27,\overline7}{2,72}\cdot\frac{\frac{m}{s}}{s}\approx10,21\ \frac{m}{s^2}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Körper der Masse \(m=2\, kg\) wird aus einer Höhe \(h_0=10\, m\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0=5\ \frac{m}{s}\) senkrecht nach oben geworfen. Welchen Impuls hat der Körper unmittelbar vor dem Auftreffen auf dem (Erd-)Boden? Rechne dabei mit \(g= 10\ \frac{m}{s^2}\). Nr. 4432
	\(p=-30\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=-40\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=-15\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=30\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=50\; \frac{kg\cdot m}{s}\)
Lösungsweg Der Impuls eines Körpers mit Masse \(m\) ist definiert als: \(p=m\cdot v\) Es muss also zunächst die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der der Körper am Boden ankommt. Beim senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion modelliert: \(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\) Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird. Zuerst muss der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Körper am Boden auftrifft. Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat. Es muss also die quadratische Gleichung \(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden. Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel: \(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad \| :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \) Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel: \(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\) Schließlich also: \(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und \(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\) Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist \(t_2=t_b=2\ s\) Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik eingezeichnet). Ableiten ergibt: \(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+5\) Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden: \(v(t_2=2)= -10\cdot 2 + 5 =-20+5=-15\ \frac{m}{s}\) Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass der Körper nach unten fällt, bzw. die Ortsfunktion an der Stelle \(t_2=2\ s\) streng monton fallend ist. Das ergibt einen Impuls von: \(p=m\cdot v = 2\, kg \cdot \left(-15\ \frac{m}{s}\right)= -30\ \frac{kg\cdot m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt \(5\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(100 \ \frac{km}{h}\) und anschließend für \(15\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(160 \ \frac{km}{h}\). Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto? (Hinweis: Die Beschleunigungsphase ist so kurz, dass sie vernachlässigt werden kann.) Nr. 1531
	\(130 \ \frac{km}{h} \)
	\(140 \ \frac{km}{h}\)
	\(145 \ \frac{km}{h}\)
	\(150 \ \frac{km}{h}\)
	\(125 \ \frac{km}{h}\)
Lösungsweg \(\overline{v}=\frac{\left( 5\ min \cdot 100 \ \frac{km}{h}+ 15\ min \cdot 160 \ \frac{km}{h} \right)}{20\ min}=145 \ \frac{km}{h}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Auto beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(a=2,3\ \frac{m}{s^2}\) für eine Zeit \(t=9\,s\). Welche Strecke \(s\) hat das Auto während der Beschleunigungsphase zurückgelegt? Nr. 3492
	\(s=93,15\,m\)
	\(s=105,4\,m\)
	\(s=87,66\,m\)
	\(s=99,04\,m\)
Lösungsweg Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung und \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) ist. Da \(s_0=0\) ist und "aus dem Stand beschleunigen" \(v_0=0\) bedeutet, ist \(s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{2,3}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(9)=1,15\cdot 9^2=93,15\,m\)

4 erreichbare Punkte

Ein Gepard benötigt \(3 \mathrm{\ Sekunden}\), um aus dem Stand auf seine Höchstgeschwindigkeit von \(122\ \frac{km}{h}\) zu kommen. Das neue Model S von Tesla benötigt \(2,4 \mathrm{\ Sekunden}\) von \(0\) auf \(100\ \frac{km}{h}\). Wer beschleunigt schneller? Nr. 3100
	Der Gepard
	Tesla Model S
	Sie beschleunigen gleich schnell
	Aufgrund der verschiedenen Höchstgeschwindigkeiten ist die Frage nicht zu beantworten
Lösungsweg Gepard: \(3 \mathrm{\ Sekunden}\) um auf \(122\ \frac{km}{h}\) bzw. \(33,89\ \frac{m}{s}\) zu kommen: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{33,89-0}{3}\) =11,27\ \frac{m}{s^2}\) Model S: \(2,4 \mathrm{\ Sekunden}\) um von \(0\) auf \(100\ \frac{km}{h}\) bzw. \(27,78\ \frac{m}{s}\) zu kommen: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{27,78-0}{2,4-0}\)=11,58\ \frac{m}{s^2} \)

4 erreichbare Punkte

Zwei Objekte sind \(s=650\,m\) voneinander entfernt und bewegen sich aufeinander zu. Objekt A bewegt sich mit \(v_A=8\ \frac{m}{s}\) fort und Objekt B mit \(v_B=5\ \frac{m}{s}\). Wie lange dauert es, bis sie aufeinander treffen? Nr. 3335
	\(t=50\,s\)
	\(t=60\,s\)
	\(t=70\,s\)
	\(t=80\,s\)
Lösungsweg \(s=v\cdot t=8\cdot t+5\cdot t=650\,m\) daher: \(t=50\,s\)

4 erreichbare Punkte

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