\(v=a\cdot t\)

Einsetzen ergibt:

\(v=3,9\ \frac{m}{s^2}\cdot 11\, s= 42,9\ \frac{m}{s}\)

In \(\frac{km}{h}\) umgerechnet ergibt das:

\(42,9\ \frac{m}{s}=42,9\cdot 3,6 \ \frac{km}{h} = 154,44\ \frac{km}{h}\)

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(8\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=25\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit größerer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\), also \(1,5\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-1,5\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-1,5)=v_L\cdot t_A - 1,5\cdot v_L\)

Der Term \(-1,5\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(25\cdot t_A=70\cdot (t_A-1,5)\qquad \Rightarrow \qquad 45\cdot t_A = 105\)

und damit:
\(t_A = 2,\dot 3\,h =140\, min\)

Leo holt Anna \(140\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).

Hinweg: \(s=8,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+13,\dot{8}\cdot 10\cdot 60=15833,\dot{3}\)

Zeit für die Rückfahrt:

\(t=\frac{15833,\dot{3}}{6,94}=2280\,s=38\,min\)

Sie gehen beide gleich lang, nur unterschiedlich weit, also gilt: \(t_{F}=t_{H}\)

D.h. \(s=v_F\cdot t_F+v_H\cdot t_H=2,7\cdot t+1,9\cdot t=4,6\cdot t=300\,m\)

Daraus folgt: \(t=65,22\,s\)

\(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3\,m}{5\,s}=\frac{3}{5} \cdot \frac{m}{s}=0,6 \ \frac{m}{s}\)

Antwort 2 ist korrekt!

Auch wenn der Körper nach unten geworfen wird, handelt es sich um einen senkrechten Wurf. Dieser wird mit einer quadratischen Ortsfunktion \(h(t)\) modelliert:

\(h(t)=-\frac{g}{2}\ t^2 -v_0\cdot t + h_0\)

Wobei \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper geworfen wird, beschreiben.

Die negativen Vorzeichen rühren daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Genauso wird der Körper auch nach unten geworfen, weshalb auch \(v_0\) mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist.

Da also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0=0\, s\) negativ ist, muss die entsprechende Ortsfunktion an dieser Stelle eine fallende Tangente besitzen (denn die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an einer Stelle \(t\)). Damit lässt sich Antwort 1 schon mal ausschließen.

Nach dem Loslassen wird der Körper weiter nach unten durch die Fallbeschleunigung beschleunigt. Das bedeutet, dass seine vorzeichenbehaftetete Geschwindigkeit stets abnehmen muss (der Betrag der Geschwindigkeit nimmt aber zu!). Anders ausgedrückt muss die Ortsfunktion mit der Zeit steiler abfallen.

Damit verbleibt nur mehr Antwort 2 als korrekte Antwort.

Im Bild sind die Tangenten zum Zeitpunkt \(t_0\) und beim Aufprall am Boden rot eingezeichnet. Dort ist ersichtlich, dass die Steigungen der Tangenten mit der Zeit steiler werden (abnehmen).

Die übrigen Ortsfunktionen haben zwar eine negative Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\), werden aber abgebremst (nach oben beschleunigt) oder verlaufen linear, also mit konstanter Geschwindigkeit.

Zunächst muss die Geschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) ausgedrückt werden:

\(v=100\ \frac{km}{h}=\frac{100}{3,6}\ \frac{m}{s}=27,\dot7\ \frac{m}{s}\)

Aus der Definition der Beschleunigung folgt dann:

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{27,\dot{7}-0}{15-0}=1,\bar{851}\ \frac{m}{s}\).
Für \(s\) gilt, mit \(v_0\) ist hier die Anfangsgeschwindigkeit gemeint:

\(s(t)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\qquad \Rightarrow\qquad s(15)=0+\frac{1,\bar{851}}{2}\cdot 15^2=208,\dot{3}\,m\)

Die Gexchwindigkeit \(v_1\) und \(v_2\) in SI-Einheiten umrechnen

\(v_1=30\ \frac{km}{h}=30\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\)

\(v_2=90\ \frac{km}{h}=25\ \frac{m}{s}\)

Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\).
Nach \(t\) umgeformt und eingesetzt \(t=\frac{v_2-v_1}{a}=\frac{25-8,\dot{3}}{2,9}=5,75\,s\)