Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Objekt beschleunigt innerhalb von $5$ Sekunden gleichförmig von der Geschwindigkeit $v_0 = 30 \ \frac{m}{s}$ $ auf die Geschwindigkeit $v_1= 50 \ \frac{m}{s}$. Berechne die Beschleunigung $a$ des Objekts. Nr. 1598
	$a=4 \ \frac{m}{s^2}$
	$a=6 \ \frac{m}{s^2}$
	$a=10 \ \frac{m}{s^2}$
	$a=16 \ \frac{m}{s^2}$
	$a=8,3 \ \frac{m}{s^2}$
Lösungsweg $a= \frac{ \Delta v}{\Delta t}= \frac{v_1-v_0}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{m}{s} - 30 \ \frac{m}{s}}{5s}=4 \ \frac{m}{s^2}$

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit $3,9\ \frac{m}{s^2}$. Damit beschleunigt es $11\mathrm{\ Sekunden}$. Welche Geschwindigkeit hat es nun erreicht? Nr. 3104
	$v=471,9 \ \frac{km}{h}$
	$v=42,9 \ \frac{m}{s}$
	$v=154,44 \ \frac{km}{h}$
	$v=154,44\ \frac{m}{s}$
	$v=11,92\ \frac{m}{s}$
Lösungsweg $v=a\cdot t$ Einsetzen ergibt: $v=3,9\ \frac{m}{s^2}\cdot 11\, s= 42,9\ \frac{m}{s}$ In $\frac{km}{h}$ umgerechnet ergibt das: $42,9\ \frac{m}{s}=42,9\cdot 3,6 \ \frac{km}{h} = 154,44\ \frac{km}{h}$

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt wird durch eine Kraft mit $a=6,22\ \frac{m}{s^2}$ aus dem Stand für eine Zeit $t=6\,s$ gleichförmig beschleunigt. Welche Geschwindigkeit $v$ erreicht das Objekt nach der Beschleunigungsphase. Nr. 3330
	$v=32,95\ \frac{m}{s}$
	$v=37,32\ \frac{m}{s}$
	$v=30,77\ \frac{m}{s}$
	$v=35,69\ \frac{m}{s}$
Lösungsweg Die Beschleunigung ist $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}$. Mit $v_1=0$ in diesem Beispiel ist $v=v_2$ die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist $a=\frac{v}{t}$. Dies wird nach $v$ umgeformt $v=a\cdot t=6,22\cdot6=37,32\ \frac{m}{s}$

4 erreichbare Punkte

Zwei Autos sind $1800\, m$ voneinander entfernt. Sie fahren zum selben Zeitpunkt los. Auto A hat eine Geschwindigkeit $v_A=90\ \frac{km}{h}$ und Auto B fährt mit $v_B=50\ \frac{km}{h}$. Wie lange brauchen die Fahrzeuge um aufeinander zu treffen? Hinweis: Die Beschleunigungsphase der Autos kann vernachlässigt werden. Nr. 3331
	$t=39,23\,s$
	$t=44,82\,s$
	$t=46,29\,s$
	$t=51,86\,s$
Lösungsweg Zuerst die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten umrechnen $v_A=90\ \frac{km}{h}=90\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=25\ \frac{m}{s}$ $v_B=50\ \frac{km}{h}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}$ Beide Fahrzeuge sind gleich lang unterwegs $t_A=t_B$ $25\cdot t+13,\dot{8}\cdot t=1800$ $t=46,29\,s$

4 erreichbare Punkte

Ein Auto benötigt eine Zeit $t=3,9\,s$ um von $0-100\ \frac{km}h}$ kommen und beschleunigt dabei gleichförmig. Berechne die Beschleunigung $a$. Nr. 3322
	$a=6,43\ \frac{m}{s^2}$
	$a=6,97\ \frac{m}{s^2}$
	$a=7,66\ \frac{m}{s^2}$
	$a=7,12\ \frac{m}{s^2}$
	$a=25,64\ \frac{m}{s^2}$
Lösungsweg Die Geschwindigkeit $v$ zuerst in SI-Einheiten umrechnen $v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}$ und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt: $a=\frac{v}{t}=7,12\ \frac{m}{s^2}$

5 erreichbare Punkte

Ein Körper wird aus einer Höhe $h_0=10\, m$ mit einer Geschwindigkeit $v_0=5\ \frac{m}{s}$ senkrecht nach oben geworfen. Zu welchem Zeitpunkt $t_1$ erreicht der Körper seine maximale Höhe? Rechne dabei mit $g= 10\ \frac{m}{s^2}$. Nr. 4430
	$t_1=2\, s$
	$t_1=0\, s$
	$t_1=0,5\ s$
	$t_1=0,25\ s$
	$t_1=1\ s$
Lösungsweg Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form $h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0$ modeliert. Dabei bezeichnet $g$ die Erdbeschleunigung (wobei mit $g \approx 10 \ \frac{m}{s^2}$ zu rechnen war), $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $h_0$ die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird. Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird! Um die maximal erreichte Höhe zu ermitteln, muss zunächst die Ortsfunktion abgeleitet werden - das liefert uns die Funktion der Geschwindigkeit $v(t) = \dot h(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left( -5\cdot t^2 + 5\cdot t +10\right) = -10\cdot t + 5$ wobei bereits die Werte aus der Angabe eingesetzt wurden. Am höchsten Punkt muss die Geschwindigkeit $v(t) = \dot h(t) =0$ sein. Einsetzen liefert: $v(t_1)=-10\cdot t_1+5=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0,5\ s$ Graphisch entspricht die Ableitung $\dot h(t)=\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}$ der Steigung der Tangente an der Stelle $t$. Eine Steigung mit dem Wert $0$ entspricht daher einer waagrechten Tangente (diese ist in der Grafik rot dargestellt).

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige und ebene Bewegung eines Körpers in den Zeiten $t \in \, [0,\ 8]$ (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4424
	Zu Beginn der Bewegung handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.
	Zwischen den Zeiten $t_1=4\, s$ und $t_2=6\, s$ befindet sich der Körper im Stillstand.
	Zum Zeitpunkt $t=8\, s$ befindet sich der Körper am selben Ort wie zu Beginn der Bewegung.
	In den letzten beiden Sekunden bewegt sich der Körper abwärts.
	In der Zeit von $t_0=0\,s$ bis $t_1=6\,s$ legt der Körper einen größeren Weg zurück als von $t_1=6\,s$ bis $t_2=8\,s$.
Lösungsweg Das $x(t)$-Diagramm beschreibt den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit der Zeit. Antwort 1: Eine gleichförmige Bewegung bedeutet, dass in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. In der ersten Sekunde der Bewegung kann im Diagramm abgelesen werden, dass etwa $\frac{1}{2}\, m$ zurückgelegt wird. Nach $2\, s$ befindet sich der Körper aber bereits bei $x(t=2\, s)=2\, m$. Es kann sich daher nicht um eine geradlinig gleichförmige Bewegung handeln. Die Bewegung muss beschleunigt sein. Antwort 2: Da zwischen den Zeiten $t_1=4\, s$ und $t_2=6\, s$ kein Weg zurückgelegt wird, steht der Körper still. Antwort 3: Da das $x(t)$-Diagramm den zurückgelegten Weg angibt und bei $t_{Anfang}=0\, s$ und $t_{Ende}=8\, s$ der selbe Funktionswert (nämlich $x(0)=x(8)=0\, m$) vorliegt, befindet sich der Körper nach $8 \; \mathrm{Sekunden}$ am selben Wort wie zu Beginn der Beweung. Antwort 4: Die Bewegung des Körpers ist lediglich entlang einer Geraden. Der Körper bewegt sich in den letzten beiden Sekunden daher jedenfalls entgegen der Richtung der ersten vier Sekunden, also rückwärts. Da außerdem eine geradlinige und ebene Bewegung angenommen wird, muss die Bewegung "abwärts" ausgeschlossen werden. Antwort 5: Nach $6\; \mathrm{Sekunden}$ befindet sich der Körper $5\, m$ vom Ausgangspunkt entfernt. Dieser Weg wird in den Zeiten von $t_1=6\, s$ bis $t_2=8\, s$ wieder zurückgelegt, allerdings in entgegengesetzer Richtung.

5 erreichbare Punkte

Ein Auto beschleunigt gleichförmig in der Zeit $t=5\,s$ von der Geschwinigkeit $v_1=30\ \frac{km}{h}$ auf $v_2=100\ \frac{km}{h}$. Berechne die durchschnittliche Beschleunigung $a$. Nr. 3321
	$a=4,2\ \frac{m}{s^2}$
	$a=3,\dot{8}\ \frac{m}{s^2}$
	$a=5,24\ \frac{m}{s^2}$
	$a=3,\dot{2}\ \frac{m}{s^2}$
	$a=2,82\ \frac{m}{s^2}$
Lösungsweg Die Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ zuerst in SI-Einheiten umrechnen $v_1=30\ \frac{km}{h}=30\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\,\frac{m}{s}$ und $v_2=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}$ und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}=3,\dot{8}\frac{m}{s^2}$

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Ein Objekt beschleunigt innerhalb von \(5\) Sekunden gleichförmig von der Geschwindigkeit \(v_0 = 30 \ \frac{m}{s}$ \) auf die Geschwindigkeit \(v_1= 50 \ \frac{m}{s}\). Berechne die Beschleunigung \(a\) des Objekts. Nr. 1598
	\(a=4 \ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=6 \ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=10 \ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=16 \ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=8,3 \ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg \(a= \frac{ \Delta v}{\Delta t}= \frac{v_1-v_0}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{m}{s} - 30 \ \frac{m}{s}}{5s}=4 \ \frac{m}{s^2}\)

Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(3,9\ \frac{m}{s^2}\). Damit beschleunigt es \(11\mathrm{\ Sekunden}\). Welche Geschwindigkeit hat es nun erreicht? Nr. 3104
	\(v=471,9 \ \frac{km}{h}\)
	\(v=42,9 \ \frac{m}{s}\)
	\(v=154,44 \ \frac{km}{h}\)
	\(v=154,44\ \frac{m}{s}\)
	\(v=11,92\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=a\cdot t\) Einsetzen ergibt: \(v=3,9\ \frac{m}{s^2}\cdot 11\, s= 42,9\ \frac{m}{s}\) In \(\frac{km}{h}\) umgerechnet ergibt das: \(42,9\ \frac{m}{s}=42,9\cdot 3,6 \ \frac{km}{h} = 154,44\ \frac{km}{h}\)

Ein Objekt wird durch eine Kraft mit \(a=6,22\ \frac{m}{s^2}\) aus dem Stand für eine Zeit \(t=6\,s\) gleichförmig beschleunigt. Welche Geschwindigkeit \(v\) erreicht das Objekt nach der Beschleunigungsphase. Nr. 3330
	\(v=32,95\ \frac{m}{s}\)
	\(v=37,32\ \frac{m}{s}\)
	\(v=30,77\ \frac{m}{s}\)
	\(v=35,69\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Mit \(v_1=0\) in diesem Beispiel ist \(v=v_2\) die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist \(a=\frac{v}{t}\). Dies wird nach \(v\) umgeformt \(v=a\cdot t=6,22\cdot6=37,32\ \frac{m}{s}\)

Zwei Autos sind \(1800\, m\) voneinander entfernt. Sie fahren zum selben Zeitpunkt los. Auto A hat eine Geschwindigkeit \(v_A=90\ \frac{km}{h}\) und Auto B fährt mit \(v_B=50\ \frac{km}{h}\). Wie lange brauchen die Fahrzeuge um aufeinander zu treffen? Hinweis: Die Beschleunigungsphase der Autos kann vernachlässigt werden. Nr. 3331
	\(t=39,23\,s\)
	\(t=44,82\,s\)
	\(t=46,29\,s\)
	\(t=51,86\,s\)
Lösungsweg Zuerst die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten umrechnen \(v_A=90\ \frac{km}{h}=90\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=25\ \frac{m}{s}\) \(v_B=50\ \frac{km}{h}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\) Beide Fahrzeuge sind gleich lang unterwegs \(t_A=t_B\) \(25\cdot t+13,\dot{8}\cdot t=1800\) \(t=46,29\,s\)

Ein Auto benötigt eine Zeit \(t=3,9\,s\) um von \(0-100\ \frac{km}h}\) kommen und beschleunigt dabei gleichförmig. Berechne die Beschleunigung \(a\). Nr. 3322
	\(a=6,43\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=6,97\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=7,66\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=7,12\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=25,64\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg Die Geschwindigkeit \(v\) zuerst in SI-Einheiten umrechnen \(v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\) und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt: \(a=\frac{v}{t}=7,12\ \frac{m}{s^2}\)

Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0=10\, m\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0=5\ \frac{m}{s}\) senkrecht nach oben geworfen. Zu welchem Zeitpunkt \(t_1\) erreicht der Körper seine maximale Höhe? Rechne dabei mit \(g= 10\ \frac{m}{s^2}\). Nr. 4430
	\(t_1=2\, s\)
	\(t_1=0\, s\)
	\(t_1=0,5\ s\)
	\(t_1=0,25\ s\)
	\(t_1=1\ s\)
Lösungsweg Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form \(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\) modeliert. Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g \approx 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird. Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird! Um die maximal erreichte Höhe zu ermitteln, muss zunächst die Ortsfunktion abgeleitet werden - das liefert uns die Funktion der Geschwindigkeit \(v(t) = \dot h(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left( -5\cdot t^2 + 5\cdot t +10\right) = -10\cdot t + 5\) wobei bereits die Werte aus der Angabe eingesetzt wurden. Am höchsten Punkt muss die Geschwindigkeit \(v(t) = \dot h(t) =0\) sein. Einsetzen liefert: \(v(t_1)=-10\cdot t_1+5=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0,5\ s\) Graphisch entspricht die Ableitung \(\dot h(t)=\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}\) der Steigung der Tangente an der Stelle \(t\). Eine Steigung mit dem Wert \(0\) entspricht daher einer waagrechten Tangente (diese ist in der Grafik rot dargestellt).

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige und ebene Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 8]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4424
	Zu Beginn der Bewegung handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.
	Zwischen den Zeiten \(t_1=4\, s\) und \(t_2=6\, s\) befindet sich der Körper im Stillstand.
	Zum Zeitpunkt \(t=8\, s\) befindet sich der Körper am selben Ort wie zu Beginn der Bewegung.
	In den letzten beiden Sekunden bewegt sich der Körper abwärts.
	In der Zeit von \(t_0=0\,s\) bis \(t_1=6\,s\) legt der Körper einen größeren Weg zurück als von \(t_1=6\,s\) bis \(t_2=8\,s\).
Lösungsweg Das \(x(t)\)-Diagramm beschreibt den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit der Zeit. Antwort 1: Eine gleichförmige Bewegung bedeutet, dass in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. In der ersten Sekunde der Bewegung kann im Diagramm abgelesen werden, dass etwa \(\frac{1}{2}\, m\) zurückgelegt wird. Nach \(2\, s\) befindet sich der Körper aber bereits bei \(x(t=2\, s)=2\, m\). Es kann sich daher nicht um eine geradlinig gleichförmige Bewegung handeln. Die Bewegung muss beschleunigt sein. Antwort 2: Da zwischen den Zeiten \(t_1=4\, s\) und \(t_2=6\, s\) kein Weg zurückgelegt wird, steht der Körper still. Antwort 3: Da das \(x(t)\)-Diagramm den zurückgelegten Weg angibt und bei \(t_{Anfang}=0\, s\) und \(t_{Ende}=8\, s\) der selbe Funktionswert (nämlich \(x(0)=x(8)=0\, m\)) vorliegt, befindet sich der Körper nach \(8 \; \mathrm{Sekunden}\) am selben Wort wie zu Beginn der Beweung. Antwort 4: Die Bewegung des Körpers ist lediglich entlang einer Geraden. Der Körper bewegt sich in den letzten beiden Sekunden daher jedenfalls entgegen der Richtung der ersten vier Sekunden, also rückwärts. Da außerdem eine geradlinige und ebene Bewegung angenommen wird, muss die Bewegung "abwärts" ausgeschlossen werden. Antwort 5: Nach \(6\; \mathrm{Sekunden}\) befindet sich der Körper \(5\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Dieser Weg wird in den Zeiten von \(t_1=6\, s\) bis \(t_2=8\, s\) wieder zurückgelegt, allerdings in entgegengesetzer Richtung.

Ein Auto beschleunigt gleichförmig in der Zeit \(t=5\,s\) von der Geschwinigkeit \(v_1=30\ \frac{km}{h}\) auf \(v_2=100\ \frac{km}{h}\). Berechne die durchschnittliche Beschleunigung \(a\). Nr. 3321
	\(a=4,2\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=3,\dot{8}\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=5,24\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=3,\dot{2}\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=2,82\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg Die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) zuerst in SI-Einheiten umrechnen \(v_1=30\ \frac{km}{h}=30\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\,\frac{m}{s}\) und \(v_2=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\) und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}=3,\dot{8}\frac{m}{s^2}\)

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