Gemäß der Angabe gilt \(x(10\ s)=20\ m\) und somit

\(20\, m= 5\, \frac{m}{s} \cdot 10\ s + x_0 = 50\, m + x_0\)

Durch auflösen dieser Gleichung nach \(x_0\) (indem man auf beiden Seiten \(50\,m\) subtrahiert) erhält man

\(x_0=-30\, m\)

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v = v_2-v_1=0\ \frac{km}{h}-180\ \frac{km}{h}=-180\ \frac{km}{h}=-180\cdot1\ \frac{km}{h}=-180\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=-50\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t= t_2-t_1=50\,s\)

\(\Rightarrow\, a=\frac{-50\,\frac{m}{s}}{50\,s}=\frac{-50}{50}\cdot\frac{\,\frac{m}{s}}{s}=-1\ \frac{m}{s^2}\)

Die Geschwindigkeit ist \(v=a\cdot t\)

Eingesetzt ergibt:

\(v=4,7\cdot 9=42,3\ \frac{m}{s}\)

Die Gexchwindigkeit \(v_1\) und \(v_2\) in SI-Einheiten umrechnen

\(v_1=30\ \frac{km}{h}=30\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\)

\(v_2=90\ \frac{km}{h}=25\ \frac{m}{s}\)

Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\).
Nach \(t\) umgeformt und eingesetzt \(t=\frac{v_2-v_1}{a}=\frac{25-8,\dot{3}}{2,9}=5,75\,s\)

Das \(x(t)\)-Diagramm beschreibt den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit der Zeit.

Antwort 1:

Eine gleichförmige Bewegung bedeutet, dass in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. In der ersten Sekunde der Bewegung kann im Diagramm abgelesen werden, dass etwa \(\frac{1}{2}\, m\) zurückgelegt wird. Nach \(2\, s\) befindet sich der Körper aber bereits bei \(x(t=2\, s)=2\, m\). Es kann sich daher nicht um eine geradlinig gleichförmige Bewegung handeln. Die Bewegung muss beschleunigt sein.

Antwort 2:

Da zwischen den Zeiten \(t_1=4\, s\) und \(t_2=6\, s\) kein Weg zurückgelegt wird, steht der Körper still.

Antwort 3:

Da das \(x(t)\)-Diagramm den zurückgelegten Weg angibt und bei \(t_{Anfang}=0\, s\) und \(t_{Ende}=8\, s\) der selbe Funktionswert (nämlich \(x(0)=x(8)=0\, m\)) vorliegt, befindet sich der Körper nach \(8 \; \mathrm{Sekunden}\) am selben Wort wie zu Beginn der Beweung.

Antwort 4:

Die Bewegung des Körpers ist lediglich entlang einer Geraden. Der Körper bewegt sich in den letzten beiden Sekunden daher jedenfalls entgegen der Richtung der ersten vier Sekunden, also rückwärts. Da außerdem eine geradlinige und ebene Bewegung angenommen wird, muss die Bewegung "abwärts" ausgeschlossen werden.

Antwort 5:

Nach \(6\; \mathrm{Sekunden}\) befindet sich der Körper \(5\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Dieser Weg wird in den Zeiten von \(t_1=6\, s\) bis \(t_2=8\, s\) wieder zurückgelegt, allerdings in entgegengesetzer Richtung.

Die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) zuerst in SI-Einheiten umrechnen

\(v_1=30\ \frac{km}{h}=30\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\,\frac{m}{s}\) und \(v_2=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\)

und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt:

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}=3,\dot{8}\frac{m}{s^2}\)

Der Weg, der in den Zeiten von \(t_a\) bis \(t_b \, \gt \, t_a\) zurückgelegt wird, entspricht dem Integral der Geschwindigkeitsfunktion, also:

\(s=\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\)

Graphisch entspricht das der Fläche, die der Graph der Funktion \(v(t)\) mit der \(t\mathrm{-Achse}\) einschließt. Im Bild wurde das Integral von \(t_a=0\) bis \(t_b=t_2\) als blaue Fläche dargestellt.

Dabei tragen Flächen, die sich unterhalb der \(t\mathrm{-Achse}\) befinden, negativ zum Integral bei. Das bedeutet, der zurückgelegte Weg wird geringer bzw. verläuft die Bewegung in entgegengesetze Richtung (in Richtung des negativen Ortes \(x(t)\)).

Daher ist der zurückgelegte Weg von \(t_0=0\) bis zum Zeitpunkt \(t_3\) maximal (\(t_3\) ist eine Nullstelle, also \(v(t_3)=0\)). Der Körper befindet sich also an dem Ort, der am weitesten vom Ausgangspunkt entfernt liegt.

Da Flächen unterhalb der \(t\mathrm{-Achse}\) den zurückgelegten Weg verringern, sich der Körper also wieder in Richtung des Ausgangsortes bewegt, hat das Integral bis zum Zeitpunkt \(t_4\) einen geringeren Wert (im Bild rot schraffiert). Der Körper befindet sich wieder näher am Startpunkt der Bewegung.

Wir berechnen zunächst

\(\dot{x}(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t.\)

Beim Maximalausschlag gilt

\(\dot{x}(t_{0})=0, \ddot{x}(t_{0})<0\).

Man erhält folglich

\(t_{0}=\frac{1}{\omega}\arctan\frac{B}{A}\).

Benutzt man nun, dass

\( \cos\omega t_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

beziehungsweise

\( \sin\omega t_{0}=\frac{\tan\omega t_{0}}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

gilt, so folgt

\(x_{Max}=x(t_{0})=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\).