Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Zwei Objekte sind \(s=650\,m\) voneinander entfernt und bewegen sich aufeinander zu. Objekt A bewegt sich mit \(v_A=8\ \frac{m}{s}\) fort und Objekt B mit \(v_B=5\ \frac{m}{s}\). Wie lange dauert es, bis sie aufeinander treffen? Nr. 3335
	\(t=50\,s\)
	\(t=60\,s\)
	\(t=70\,s\)
	\(t=80\,s\)
Lösungsweg \(s=v\cdot t=8\cdot t+5\cdot t=650\,m\) daher: \(t=50\,s\)

4 erreichbare Punkte

Betrachte folgende Situation: Zwei Autos sind \(600\, m\) voneinander entfernt und fahren mit konstanter Geschwindigkeit direkt aufeinander zu. Die Geschwindigkeiten der jeweiligen Autos betragen hierbei \(10\, \frac{m}{s}\) (Geschwindigkeit des 1.Fahrzeugs) und \(20\, \frac{m}{s}\) (Geschwindigkeit des 2. Fahrzeugs). Nach wieviel Sekunden treffen die Autos aufeinander? Nr. 1588
	5 Sekunden
	10 Sekunden
	20 Sekunden
	30 Sekunden
	60 Sekunden
Lösungsweg Die Ortsfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit \(t\)) des ersten Autos kann beschrieben werden durch \(x_1= 10\, \frac{m}{s} \cdot t\). Das zweite Auto ist zu Beginn 600m entfernt und bewegt sich in gegensätzlicher Geschwindigkeit auf das erste Auto zu. Die Ortsfunktion des zweiten Autos lautet somit \(x_2= 600\, m - 20\, \frac{m}{s} \cdot t\). Durch Gleichsetzen der beiden Ortsfunktionen, d.h. \(x_1=x_2\), und Auflösen nach der Zeit \(t\) erhält man \(t=20\, s\).

5 erreichbare Punkte

Ein Auto hat die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 = 30,0 \ \frac{km}{h}\) und beschleunigt in \(20,0\) Sekunden gleichförmig auf die Geschwindigkeit \(v_1=50,0 \ \frac{km}{h}\). Berechne die in dieser Zeit zurückgelegte Stecke \(s\) (Beschleunigungsstecke). Nr. 1534
	\(s=111\ m\)
	\(s=222\ m\)
	\(s=333\ km\)
	\(s=444\ m\)
	\(s=75\ m\)
Lösungsweg Das Auto hat die Beschleunigung \(a= \frac{\Delta v}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{km}{h} - 30 \ \frac{km}{h}}{20 \ s}=0,278 \ \frac{m}{s^2}\) Für die zurückgelegte Stecke \(s\) gilt \(s=v_0 t +\frac{1}{2} a t^2\) und somit \(s=30 \ \frac{km}{h} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot (20s)^2=8,33 \frac{m}{s} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot 400s^2\) \( s=222m\)

5 erreichbare Punkte

Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0=21,6\, m\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0=12\ \frac{m}{s}\) senkrecht nach oben geworfen. Nach der Zeit \(t_1\) hat der Körper seine maximale Höhe \(h_{max}\) erreicht. Mit welcher Geschwindigkeit hätte der Körper vom (Erd-)Boden aus geworfen werden müssen, um die selbe Höhe \(h_{max}\) zu erreichen? Rechne dabei mit \(g=10\ \frac{m}{s^2}\). Nr. 4433
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=33,6\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=28,8\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=24\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=22\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{\mathrm{Wurf}}=36\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der der Körper vom Erdboden aus geworfen hätte werden müssen, betrachten wir zunächst die Wurfparabel mit ihrer Erweiterung zur negativen Nullstelle (siehe Grafik). Der Abwurfzeitpunkt ist im Bild mit \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bezeichnet. Er entspricht genau der Zeit des Abwurfes, wenn der Körper vom Boden aus geworfen würde, um die Höhe \(h_{max}\) zu erreichen. Es muss also zunächst die Nullstelle \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bestimmt werden. Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_{\mathrm{Wurf}})=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat. Es muss also die quadratische Gleichung \(h(t)=-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6=0\) gelöst werden. Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel: \(-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6 =0 \quad \| :\ (-5) \\ t^2 - 2,4t -4,32 =0 \) Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel: \(t_{a,b} = 1,2 \pm \underbrace{\sqrt{(1,2)^2 +4,32}}_{=2,4}\) Schließlich also: \(t_a=1,2\ s - 2,4\ s =-1,2\ s\) und \(t_b=1,2\ s+2,4\ s = 3,6\ s\) Da wir an der negativen Lösung interessiert sind, ist \(t_{\mathrm{Wurf}}=t_b=-1,2\ s\) Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\, s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik rot eingezeichnet). Anmerkung: Die selbe Geschwindigkeit, nur mit einem negativen Vorzeichen, würde man aus Symmetriegründen auch an der Stelle \(t_2=3,6\, s\) erhalten. Das bedeutet, dass der Körper mit dem selben Geschwindigkeitsbetrag am Boden wieder aufkommt, mit dem er zuvor hochgeworfen wurde. Auch dieser Lösungsweg wäre vollkommen korrekt - Bonusaufgabe: zeige, dass das selbe Ergebnis herauskommt! Ableiten ergibt: \(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+12\) Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden: \(v(t_{\mathrm{Wurf}}=-1\ s)= -10\cdot (-1,2) + 12 =12+12=24\ \frac{m}{s}\) Die Abwurfgeschwindigkeit muss also \(v_{\mathrm{Wurf}}=24\ \frac{m}{s}\) betragen, damit der Körper die Höhe \(h_{max}\) erreicht.

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v=100\ \frac {km}{h}\). Welche Masse \(m \) benötigt das Objekt um einen Impuls \(p=1,6\cdot 10^4 \quad\frac{kg\cdot m}{s}\) mitzubringen? Nr. 3295
	\(m=575\,kg\)
	\(m=576\,kg\)
	\(m=577\,kg\)
	\(m=578\,kg\)
Lösungsweg Die Geschwindkeit \(v\) in SI-Einheiten umrechnen \(v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\) Der Impuls ist \(p=m\cdot v\) und folglich \(m=\frac{16000}{27,\dot{7}}=576\,kg\)

4 erreichbare Punkte

Welchen Impuls hat ein LKW mit einer Masse \(m=9,3\,t\) wenn er mit einer Geschwindigkeit \(v=30\ \frac{km}{h}\)gegen eine Wand fährt? Nr. 3125
	\(p=2,79\cdot 10^5\ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p=77,5\cdot 10^3\ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p=74688\ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p=354000 \ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p=27,9\cdot 10^3\ \frac{kg \cdot m}{s}\)
Lösungsweg Der Impuls ist \(p=m\cdot v\). Die Masse des LKW in \(kg\) bzw. die Geschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) umrechnen und dies in obige Formel eingesetzt, ergibt einen Impuls \(p=9300\,kg\cdot \frac{30}{3,6}\ \frac{m}{s}=77500\,\ \frac{kg\cdot m}{s}\).

5 erreichbare Punkte

Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach unten geworfen. Welches der folgenden Weg-Zeit-Diagramme beschreibt solch einen Fall? Nr. 4434





Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt! Auch wenn der Körper nach unten geworfen wird, handelt es sich um einen senkrechten Wurf. Dieser wird mit einer quadratischen Ortsfunktion \(h(t)\) modelliert: \(h(t)=-\frac{g}{2}\ t^2 -v_0\cdot t + h_0\) Wobei \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper geworfen wird, beschreiben. Die negativen Vorzeichen rühren daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Genauso wird der Körper auch nach unten geworfen, weshalb auch \(v_0\) mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist. Da also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0=0\, s\) negativ ist, muss die entsprechende Ortsfunktion an dieser Stelle eine fallende Tangente besitzen (denn die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an einer Stelle \(t\)). Damit lässt sich Antwort 1 schon mal ausschließen. Nach dem Loslassen wird der Körper weiter nach unten durch die Fallbeschleunigung beschleunigt. Das bedeutet, dass seine vorzeichenbehaftetete Geschwindigkeit stets abnehmen muss (der Betrag der Geschwindigkeit nimmt aber zu!). Anders ausgedrückt muss die Ortsfunktion mit der Zeit steiler abfallen. Damit verbleibt nur mehr Antwort 2 als korrekte Antwort. Im Bild sind die Tangenten zum Zeitpunkt \(t_0\) und beim Aufprall am Boden rot eingezeichnet. Dort ist ersichtlich, dass die Steigungen der Tangenten mit der Zeit steiler werden (abnehmen). Die übrigen Ortsfunktionen haben zwar eine negative Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\), werden aber abgebremst (nach oben beschleunigt) oder verlaufen linear, also mit konstanter Geschwindigkeit.

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige und ebene Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 8]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4424
	Zu Beginn der Bewegung handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.
	Zwischen den Zeiten \(t_1=4\, s\) und \(t_2=6\, s\) befindet sich der Körper im Stillstand.
	Zum Zeitpunkt \(t=8\, s\) befindet sich der Körper am selben Ort wie zu Beginn der Bewegung.
	In den letzten beiden Sekunden bewegt sich der Körper abwärts.
	In der Zeit von \(t_0=0\,s\) bis \(t_1=6\,s\) legt der Körper einen größeren Weg zurück als von \(t_1=6\,s\) bis \(t_2=8\,s\).
Lösungsweg Das \(x(t)\)-Diagramm beschreibt den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit der Zeit. Antwort 1: Eine gleichförmige Bewegung bedeutet, dass in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden. In der ersten Sekunde der Bewegung kann im Diagramm abgelesen werden, dass etwa \(\frac{1}{2}\, m\) zurückgelegt wird. Nach \(2\, s\) befindet sich der Körper aber bereits bei \(x(t=2\, s)=2\, m\). Es kann sich daher nicht um eine geradlinig gleichförmige Bewegung handeln. Die Bewegung muss beschleunigt sein. Antwort 2: Da zwischen den Zeiten \(t_1=4\, s\) und \(t_2=6\, s\) kein Weg zurückgelegt wird, steht der Körper still. Antwort 3: Da das \(x(t)\)-Diagramm den zurückgelegten Weg angibt und bei \(t_{Anfang}=0\, s\) und \(t_{Ende}=8\, s\) der selbe Funktionswert (nämlich \(x(0)=x(8)=0\, m\)) vorliegt, befindet sich der Körper nach \(8 \; \mathrm{Sekunden}\) am selben Wort wie zu Beginn der Beweung. Antwort 4: Die Bewegung des Körpers ist lediglich entlang einer Geraden. Der Körper bewegt sich in den letzten beiden Sekunden daher jedenfalls entgegen der Richtung der ersten vier Sekunden, also rückwärts. Da außerdem eine geradlinige und ebene Bewegung angenommen wird, muss die Bewegung "abwärts" ausgeschlossen werden. Antwort 5: Nach \(6\; \mathrm{Sekunden}\) befindet sich der Körper \(5\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Dieser Weg wird in den Zeiten von \(t_1=6\, s\) bis \(t_2=8\, s\) wieder zurückgelegt, allerdings in entgegengesetzer Richtung.

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