Aus der Angabe folgt unmittelbar

\( \dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c} 1\\ \sqrt{2}t\\ t^{2} \end{array}\right)\)

und

Wir berechnen zunächst

\(\dot{x}(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t.\)

Beim Maximalausschlag gilt

\(\dot{x}(t_{0})=0, \ddot{x}(t_{0})<0\).

Man erhält folglich

\(t_{0}=\frac{1}{\omega}\arctan\frac{B}{A}\).

Benutzt man nun, dass

\( \cos\omega t_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

beziehungsweise

\( \sin\omega t_{0}=\frac{\tan\omega t_{0}}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

gilt, so folgt

\(x_{Max}=x(t_{0})=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\).

Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da wir nur den senkrechten Anteil der Geschwindigkeit betrachten).

Somit ist \(v(t)=v_0+a\cdot t\)

Da die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=0\) ist, ist \(v(t)=a\cdot t\)

und somit \(v(4)=9,81\ \frac{m}{s^2}\cdot 4\,s=39,24\ \frac{m}{s}\)

Die Ortsfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit \(t\)) des ersten Autos kann beschrieben werden durch \(x_1= 10\, \frac{m}{s} \cdot t\). Das zweite Auto ist zu Beginn 600m entfernt und bewegt sich in gegensätzlicher Geschwindigkeit auf das erste Auto zu. Die Ortsfunktion des zweiten Autos lautet somit \(x_2= 600\, m - 20\, \frac{m}{s} \cdot t\). Durch Gleichsetzen der beiden Ortsfunktionen, d.h. \(x_1=x_2\), und Auflösen nach der Zeit \(t\) erhält man \(t=20\, s\).  

Die Geschwindkeit \(v\) in SI-Einheiten umrechnen \(v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\)

Der Impuls ist \(p=m\cdot v\) und folglich

\(m=\frac{16000}{27,\dot{7}}=576\,kg\)

Zuerst muss sichergestellt werden, dass alle Werte in der Formel in SI-Basiseinheiten angegeben sind.
\(8\,cm=0,08\,m\).

Nun muss nur noch die Formel umgeformt werden auf \(T_0\) und eingesetzt:

\(T_0=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot l}{g}}=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot 0,08\,m}{9,81\ \frac{m}{s^2}}}=0,567\,s \)

\(a= \frac{ \Delta v}{\Delta t}= \frac{v_1-v_0}{\Delta t}= \frac{60 \ \frac{m}{s} - 10 \ \frac{m}{s}}{10s}=5 \ \frac{m}{s^2}\)

Der Weg, der in den Zeiten von \(t_a\) bis \(t_b \, \gt \, t_a\) zurückgelegt wird, entspricht dem Integral der Geschwindigkeitsfunktion, also:

\(s=\displaystyle\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\)

Graphisch entspricht das der Fläche, die der Graph der Funktion \(v(t)\) mit der \(t\mathrm{-Achse}\) einschließt.

Dabei tragen Flächen, die sich unterhalb der \(t\mathrm{-Achse}\) befinden, negativ zum Integral bei. Das bedeutet, der zurückgelegte Weg wird geringer bzw. verläuft die Bewegung in entgegengesetze Richtung (in Richtung des negativen Ortes \(x(t)\)).

Damit sich also der Körper wieder am Ausgangspunkt befinden kann, muss das Integral \(s=\displaystyle\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\, = \, 0\) sein.

Dafür müssen stückweise die Flächeninhalte bestimmt werden, wie im Bild zu sehen ist. Dabei ist der zurückgelegte Weg in die \(\mathrm{positive }\quad x\mathrm{-Richtung}\) rot und der Weg in \(\mathrm{negativer }\quad x\mathrm{-Richtung}\) blau dargestellt.

Das erste Flächenstück entspricht einem Dreieck (im Bild mit a bezeichnet), der Fächeninhalt ist \(a = \frac{2 \cdot 4}{2}= 4\). Fläche b entspricht einem Rechteck mit Seitenlängen \(6\, \& \, 4\), der Flächeninhalt ist also \(24\). Fläche c ist wiederum ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(8\). Nach \(12\, \mathrm{Sekunden}\) befindet sich der Körper also \(4\, m + \, 24\, m + \, 8\, m = 36\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt.

In den Zeiten von \(t_1=12\, s\) bis \(t_2=18\, s\) legt der Körper \(18\, m\) in die entgegengesetzte Richtung zurück. Damit er sich wieder am Anfangsort befindet, muss er weitere \(18\, m\) zurücklegen. Dafür benötigt er \(6 \cdot \Delta t = 18\, s \quad \Rightarrow \quad \Delta t = 3 \, s\). Zum Zeitpunkt \(t_n = 18\, s + \, \Delta t = 21\, s\) befindet sich der Körper also wieder am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung.