Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Betrachte folgende Situation: Zwei Züge sind \(2400\, m\) voneinander entfernt und fahren mit konstanter Geschwindigkeit direkt aufeinander zu. Dabei hat der erste Zug die Geschwindigkeit \(30\, \frac{m}{s}\), und der zweite \(50\, \frac{m}{s}\). Welche Strecke legen die beiden Züge jeweils bis zum Zusammenstoß zurück? Nr. 1591
	Der erste Zug legt \(900\, m\) zurück und der zweite \(1500\, m\).
	Der erste Zug legt \(960\, m\) zurück und der zweite \(1440\, m\).
	Der erste Zug legt \(1000\, m\) zurück und der zweite \(1400\, m\).
	Beide Züge legen \(1200\, m\) zurück.
	Der erste Zug legt \(1500\, m\) zurück und der zweite \(900\, m\).
Lösungsweg Der erste Zug kann beschrieben werden durch die Ortsfunktion \(x_1=30\, \frac{m}{s} \cdot t\), und der zweite durch \(x_2= 2400\, m - 50\, \frac{m}{s} \cdot t\). Durch Gleichsetzen der beiden Ortsfunktionen, d.h. \(x_1=x_2\), und Auflösen nach der Zeit \(t\) erhalten wir den Zeitpunkt des Zusammenstoßes. Im aktuellen Fall erhält man so \(t=30\, s\). Durch Einsetzen dieser Zeit in die Ortsfunktion erhalten wir wiederum den Ort (bzw. die Ortskoordinate) des Zusammenstoßes \(x_1=x_2=\, 900m\). Der zweite Zug legt somit \(2400\, m - 900\, m= 1500\, m\) bis zum Zusammenstoß zurück.

5 erreichbare Punkte

Anna fährt um \(8\mathrm{\ Uhr}\) mit dem Fahrrad von zu Hause los, um ihre Großmutter zu besuchen. Sie fährt dabei mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit \(v_A=25\ \frac{km}{h}\). Da sie ihr Handy vergessen hat - und das während der Fahrt auch nicht bemerkt - fährt ihr ihr Bruder Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\) mit dem Auto nach. Er fährt dabei mit einer durchschnittlichen Geschwindkeit von \(v_L=70\ \frac{km}{h}\). Wann hat Leo seine Schwester Anna eingeholt? Nr. 4440
	Um \(10\, : \, 40\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(11\, : \, 00\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(11\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(9\, : \, 50\mathrm{\ Uhr}\).
Lösungsweg Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(8\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\). Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung: \(s_A(t)=v_A\cdot t_A=25\cdot t_A\). (Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!) Leo fährt mit größerer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion: \(s_L=v_L\cdot t_L\) Da Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\), also \(1,5\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-1,5\) und es ergibt sich: \(s_L=v_L\cdot (t_A-1,5)=v_L\cdot t_A - 1,5\cdot v_L\) Der Term \(-1,5\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)). Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet. Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt: \(s_A=s_L\) und mit den eingesetzten Werten: \(25\cdot t_A=70\cdot (t_A-1,5)\qquad \Rightarrow \qquad 45\cdot t_A = 105\) und damit: \(t_A = 2,\dot 3\,h =140\, min\) Leo holt Anna \(140\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt mit \(a=7,5\ \frac{m}{s^2}\). Wie lange braucht das Objekt, um von \(v_0=10\ \frac{m}{s}\) auf \(v_1=35\ \frac{m}{s}\) gleichförmig zu beschleunigen? Nr. 3323
	\(t=3,\dot{7}s\)
	\(t=3,\dot{3}\,s\)
	\(t=4,\dot{1}\,s\)
	\(t=4,\dot{8}\,s\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist definiert als \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\). Mit \(\Delta v=v_1-v_0\) und \(\Delta t=t_1-t_0\). In diesem Beispiel sind \(t_1=t\) und \(t_0=0\) Somit ist \(t=\frac{\Delta v}{a}=\frac{25}{7,5}=3,\dot{3}\,s\)

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt wird durch eine Kraft mit \(a=6,22\ \frac{m}{s^2}\) aus dem Stand für eine Zeit \(t=6\,s\) gleichförmig beschleunigt. Welche Geschwindigkeit \(v\) erreicht das Objekt nach der Beschleunigungsphase. Nr. 3330
	\(v=32,95\ \frac{m}{s}\)
	\(v=37,32\ \frac{m}{s}\)
	\(v=30,77\ \frac{m}{s}\)
	\(v=35,69\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Mit \(v_1=0\) in diesem Beispiel ist \(v=v_2\) die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist \(a=\frac{v}{t}\). Dies wird nach \(v\) umgeformt \(v=a\cdot t=6,22\cdot6=37,32\ \frac{m}{s}\)

4 erreichbare Punkte

Florian und Hanna stehen sich \(300\,m\) gegenüber und gehen aufeinander zu. Flo geht mit \(v_F=2,7\ \frac{m}{s}\) und Hanna mit \(v_H=1,9\ \frac{m}{s}\). Wielange dauert es, bis sie sich treffen? Hinweis: Die "Beschleunigungsphase" kann vernachlässigt werden. Nr. 3333
	\(t=65,22\,s\)
	\(t=61,89\,s\)
	\(t=58,02\,s\)
	\(t=56,74\,s\)
Lösungsweg Sie gehen beide gleich lang, nur unterschiedlich weit, also gilt: \(t_{F}=t_{H}\) D.h. \(s=v_F\cdot t_F+v_H\cdot t_H=2,7\cdot t+1,9\cdot t=4,6\cdot t=300\,m\) Daraus folgt: \(t=65,22\,s\)

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(4\ \frac{m}{s^2}\) und das auf einer Strecke von \(30\, m\). Wie lange braucht das Objekt für diese Strecke? Nr. 3102
	\(t=2,74\, s\)
	\(t=3,87\, s\)
	\(t=3,28 \,s\)
	\(t=2,89\,s\)
	\(t=7,5\,s\)
Lösungsweg Da sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, gilt für den zurückgelegten Weg: \(s(t)= \frac{a}{2}\ t^2\) Durch einsetzen der Beschleunigung \(a=4\ \frac{m}{s^2}\) und \(s=30\, m\) ergibt sich \(30\, m=\frac{4\ \frac{m}{s^2}}{2}\ t^2 \qquad \Rightarrow \qquad t=\sqrt{\frac{30\, m \cdot 2}{4\ \frac{m}{s^2}}}=\frac{\sqrt{60}}{2}\ s^2} \ \approx\ 3,87\, s\) \(t=3,87\,s\)

5 erreichbare Punkte

Ein Gepard benötigt \(3 \mathrm{\ Sekunden}\), um aus dem Stand auf seine Höchstgeschwindigkeit von \(122\ \frac{km}{h}\) zu kommen. Das neue Model S von Tesla benötigt \(2,4 \mathrm{\ Sekunden}\) von \(0\) auf \(100\ \frac{km}{h}\). Wer beschleunigt schneller? Nr. 3100
	Der Gepard
	Tesla Model S
	Sie beschleunigen gleich schnell
	Aufgrund der verschiedenen Höchstgeschwindigkeiten ist die Frage nicht zu beantworten
Lösungsweg Gepard: \(3 \mathrm{\ Sekunden}\) um auf \(122\ \frac{km}{h}\) bzw. \(33,89\ \frac{m}{s}\) zu kommen: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{33,89-0}{3}\) =11,27\ \frac{m}{s^2}\) Model S: \(2,4 \mathrm{\ Sekunden}\) um von \(0\) auf \(100\ \frac{km}{h}\) bzw. \(27,78\ \frac{m}{s}\) zu kommen: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{27,78-0}{2,4-0}\)=11,58\ \frac{m}{s^2} \)

4 erreichbare Punkte

Herr X fährt mit seinem Auto von Zuhause weg. Er fährt zunächst \(20\mathrm{\ Minuten}\) mit \(30\ \frac{km}{h}\), dann \(10\mathrm{\ Minuten}\) mit \(80\ \frac{km}{h}\) und danach \(30\mathrm{\ Minuten}\) mit \(50\ \frac{km}{h}\). Wie weit ist er insgesamt gefahren? Hinweis: Die Beschleunigungszeiten dazwischen sind als so gering angenommen, dass sie vernachlässigt werden. Nr. 3101
	\(37 492\, m \)
	\(48 282 \,m\)
	\(48,282\, km\)
	\(36,83\, km\)
	\(36 830\, m\)
Lösungsweg Es gilt: \(v=\frac{s}{t} \ \Rightarrow \ s=v\cdot t\) Der gesamte zurückgelegte Weg lässt sich durch die Summe der einzelnen Wege bestimmen: \(s_{ges}=s_1+s_2+s_3 = v_1\cdot t_1 + v_2\cdot t_2 + v_3\cdot t_3\) \(\mathrm{Minuten}\) und km/h \(\frac{km}{h}\) in \(\mathrm{Sekunden}\) und \(\frac{m}{s}\) umgewandelt ergibt: \(8,3\ \frac{m}{s}\cdot 1200\,s+22,2\ \frac{m}{s}\cdot 600\,s+13,89\ \frac{m}{s}\cdot 1800\,s=48.282m\)

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