Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Zwei Autos sind $1800\, m$ voneinander entfernt. Sie fahren zum selben Zeitpunkt los. Auto A hat eine Geschwindigkeit $v_A=90\ \frac{km}{h}$ und Auto B fährt mit $v_B=50\ \frac{km}{h}$ . Wie lange brauchen die Fahrzeuge um aufeinander zu treffen? Hinweis: Die Beschleunigungsphase der Autos kann vernachlässigt werden. Nr. 3331
	$t=39,23\,s$
	$t=44,82\,s$
	$t=46,29\,s$
	$t=51,86\,s$
Lösungsweg Zuerst die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten umrechnen $v_A=90\ \frac{km}{h}=90\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=25\ \frac{m}{s}$ $v_B=50\ \frac{km}{h}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}$ Beide Fahrzeuge sind gleich lang unterwegs $t_A=t_B$ $25\cdot t+13,\dot{8}\cdot t=1800$ $t=46,29\,s$

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt $30\, s$ mit der Geschwindigkeit $72\, \frac{km}{h}$ geradeaus, und danach $48\, s$ mit $36\, \frac{km}{h}$ in die selbe Richtung. Im Anschluss fährt es mit $54\, \frac{km}{h}$ in entgegengesetzte Richtung zum Ausgangspunkt zurück. Wie lange dauert die Rückfahrt? Nr. 1592
	54 s
	64 s
	72 s
	80 s
	78 s
Lösungsweg Rechnen wir zunächst alle Geschwindigkeiten in die SI-Einheit $\frac{m}{s}$ um. Wir erhalten $72\, \frac{km}{h}=20\, \frac{m}{s}$ , $36\, \frac{km}{h}= 10\, \frac{m}{s}$ und $54\, \frac{km}{h}= 15\, \frac{m}{s}$ . Für die angegebenen Werte erhalten wir die zurückgelegte Strecke $\Delta s=20\, \frac{m}{s} \cdot 30\, s + 10\, \frac{m}{s} \cdot 48\, s = 1080\, m$ . Um diese Strecke mit der Geschwindigkeit $v=15\, \frac{m}{s}$ zurückzulegen, benötigt man $\Delta t= \frac{\Delta s}{v}=\frac{1080\, m}{15\, \frac{m}{s}}=72\, s$ .

5 erreichbare Punkte

Ein Gepard benötigt $3 \mathrm{\ Sekunden}$ , um aus dem Stand auf seine Höchstgeschwindigkeit von $122\ \frac{km}{h}$ zu kommen. Das neue Model S von Tesla benötigt $2,4 \mathrm{\ Sekunden}$ von $0$ auf $100\ \frac{km}{h}$ . Wer beschleunigt schneller? Nr. 3100
	Der Gepard
	Tesla Model S
	Sie beschleunigen gleich schnell
	Aufgrund der verschiedenen Höchstgeschwindigkeiten ist die Frage nicht zu beantworten
Lösungsweg Gepard: $3 \mathrm{\ Sekunden}$ um auf $122\ \frac{km}{h}$ bzw. $33,89\ \frac{m}{s}$ zu kommen: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=$\frac{33,89-0}{3}$ =11,27\ \frac{m}{s^2}$ Model S: $2,4 \mathrm{\ Sekunden}$ um von $0$ auf $100\ \frac{km}{h}$ bzw. $27,78\ \frac{m}{s}$ zu kommen: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=$\frac{27,78-0}{2,4-0}$=11,58\ \frac{m}{s^2}$

4 erreichbare Punkte

Auf den geöffneten Fallschirm eines Fallschirmspringers wirke infolge des Luftreibung eine Bremsbeschleunigung $a=-b v^2$ mit der Konstanten $b=0,2$ . Wie groß ist die konstante Endgeschwindigkeit $v_e$ des Springers? Nr. 4168
	$15,21 [km/h]$
	$25,21 [km/h]$
	$35,21 [km/h]$
	$45,21 [km/h]$
Lösungsweg Die konstante Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn die Gesamtbeschleunigung Null wird: $g-bv_{e}^{2}=0$ . Damit folgt aber sofort $v_{e}=\sqrt{\frac{g}{b}}$ .

4 erreichbare Punkte

Ein Körper der Masse $m=2\, kg$ wird aus einer Höhe $h_0=10\, m$ mit einer Geschwindigkeit $v_0=5\ \frac{m}{s}$ senkrecht nach oben geworfen. Welchen Impuls hat der Körper unmittelbar vor dem Auftreffen auf dem (Erd-)Boden? Rechne dabei mit $g= 10\ \frac{m}{s^2}$ . Nr. 4432
	$p=-30\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=-40\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=-15\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=30\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=50\; \frac{kg\cdot m}{s}$
Lösungsweg Der Impuls eines Körpers mit Masse $m$ ist definiert als: $p=m\cdot v$ Es muss also zunächst die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der der Körper am Boden ankommt. Beim senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion modelliert: $h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0$ Dabei bezeichnet $g$ die Erdbeschleunigung (wobei mit $g = 10 \ \frac{m}{s^2}$ zu rechnen war), $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $h_0$ die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird. Zuerst muss der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Körper am Boden auftrifft. Um dies zu ermitteln muss die Gleichung $h(t_2)=0$ gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert $0$ hat. Es muss also die quadratische Gleichung $h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0$ gelöst werden. Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor $t^2$ ist $1$ ), die kleine Lösungsformel: $-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad \| :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0$ Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel: $t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}$ Schließlich also: $t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s$ und $t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s$ Da offensichtlich nur eine Lösung $t\, \gt \, 0$ in Frage kommt, ist $t_2=t_b=2\ s$ Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt $t_2=2\ s$ hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik eingezeichnet). Ableiten ergibt: $v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+5$ Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_2=2\ s$ zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden: $v(t_2=2)= -10\cdot 2 + 5 =-20+5=-15\ \frac{m}{s}$ Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass der Körper nach unten fällt, bzw. die Ortsfunktion an der Stelle $t_2=2\ s$ streng monton fallend ist. Das ergibt einen Impuls von: $p=m\cdot v = 2\, kg \cdot \left(-15\ \frac{m}{s}\right)= -30\ \frac{kg\cdot m}{s}$

5 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt $t_1=15\,min$ mit $v_1=30\,\frac{km}{h}$ gerade aus. Danach fährt es $t_2=10\,min$ mit $v_2=50\,\frac{km}{h}$ . Nun fährt das Auto mit $v_3=25\,\frac{km}{h}$ zurück zum Ausgangsort. Wie lange dauert die Heimreise? Nr. 3338
	$t=38 \,min$
	$t=32\,min$
	$t=28\,min$
	$t=34\,min$
Lösungsweg Hinweg: $s=8,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+13,\dot{8}\cdot 10\cdot 60=15833,\dot{3}$ Zeit für die Rückfahrt: $t=\frac{15833,\dot{3}}{6,94}=2280\,s=38\,min$

4 erreichbare Punkte

Ein Auto braucht $t_1=6\,s$ um aus dem Stand eine Geschwindigkeit $v=100\ \frac{km}{h}$ zu erreichen. Mit dieser berechneten Beschleunigung $a$ beschleunigt das Fahrzeug gleichmäßig wiederum aus dem Stand für $t_2=5\,s$ . Welche Strecke $s$ hat das Auto zum Zeitpunkt $t_2$ zurückgelegt? Nr. 3491
	$s=57,87\,m$
	$s=52,14\,m$
	$s=63,87\,m$
	$s=83,33\,m$
	$s=49,58\,m$
Lösungsweg Die Beschleunigung $a$ ist das Verhältnis des Geschwindigkeitsintervalls $\Delta v=v_1-v_0$ zum Zeitintervall $\Delta t=t_1-t_0$ . Geschwindigkeit $v_1$ in SI-Einheiten: $v_1=100\ \frac{km}{h}=27,\dot{7}\ \frac{m}{s}$ Mit $t_0=0$ , $t_1=6$ und $v_0=0$ ergibt sich eine Beschleunigung von $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=$\frac{27,\dot{7}-0}{6-0}$=4,6293\ \frac{m}{s^2}$ Allgemein ist die Strecke $s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2$ , wo $s_0$ der Abstand vom Ursprung und $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$ ist. Da $s_0=0$ ist und "aus dem Stand beschleunigen" $v_0=0$ bedeutet, ist $s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{4,63}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(5)=57,87\,m$

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten $t \in \, [0,\ 25]$ (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4429
	In den ersten $10 \, \mathrm{Sekunden}$ ist die zugehörige Geschwindigkeits-Funktion $v(t)$ streng monoton steigend.
	$v(2) \, \gt\, v(6)$
	$v(12) = v(21)$
	Für $t\, > \, 18,5\, s$ gilt: $v(t)\, \leq \, 0$
	Für $t \, \in \, \left[0,\, 14\right]$ gilt: $v(t) \, \geq \, 0$
Lösungsweg Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion, bzw. ist die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit: $v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\dot x(t)$ . Im Bild sind die Tangenten an den Stellen $t_1 = 2\, s$ und $t_2 = 6\, s$ eingezeichnet. Antwort 1: Die Geschwindigkeit steigt zwar zunächst von $v(0)=0$ an und hat bei etwa $t_W \approx 7\, s$ ein Maximum. Danach fällt die Geschwindigkeit aber wieder ab, bis schließlich $v(10)=0$ gilt. Die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ kann daher nicht streng monoton sein. Antwort 2: Wie im Bild zu sehen ist, ist die Steigung der Tangente zum Zeitpunkt $t_1 = 2\, s$ (im Bild blau dargestellt) kleiner als die zum Zeitpunkt $t_2 = 6\, s$ (im Bild rot). Es muss daher $v(2) \, \lt\, v(6)$ gelten. Antwort 3: Zu den Zeiten $t_{max}=12\, s$ und $t_{min}=21\, s$ hat die Ortsfunktion Extremstellen. Dort sind die Tangenten waagrecht bzw. haben den Anstieg $0$ . Es muss also $v(12)=v(21)=0$ gelten. Antwort 4: Für $t\, > \, 18,5\, s$ gilt zwar $x(t) \, \leq \, 0$ , das gilt aber nicht zwangsläufig für die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\dot x(t)$ . Die Ortsfunktion hat bei $t_{min}=21\, s$ ein Minimum, es gilt also $v(21)=0$ . Für $t\, \gt\, 21 \, s$ nimmt die Geschwindigkeit aber wieder zu. Antwort 5: Da für alle $t \, \in \, \left[0,\, 14\right]$ die Ortsfunktion monoton steigend ist (achtung: nicht streng monoton!), ist die Steigung der Tangente dort stets positiv und damit gilt auch $t \, \in \, \left[0,\, 14\right] \quad \Rightarrow \quad v(t) \geq \, 0$ .

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