Einfache Lösung hier: \(20 \mathrm{\ Minuten}\) entsprechen einem Drittel einer Stunde.

Somit \(s=v\cdot t=43\cdot \frac{1}{3}=14,\dot{3}\,km\).

\(t_1=20 min=\frac{1}{3}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_1=v_1\cdot t_1=30\cdot \frac{1}{3}=10\,km\\\)

\(t_2=\qquad5 min=\frac{1}{12}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_2=v_2\cdot t_2=35\cdot \frac{1}{12}=2,91\dot{6}\,km\\\)

\(t_3=30 min=\frac{1}{2}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_3=v_3\cdot t_3=15\cdot \frac{1}{2}=7,5\,km\)

Daher ist die Gesamtstrecke: \(s=s_1+s_2+s_3=20.41\dot{6}\,km\)

Die gefahrene Gesamtzeit: \(t=t_1+t_2+t_3=55\,min\)

Daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}=0,37\bar{12}\ \frac{km}{min}=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}\).

Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

modeliert. Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g \approx 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird!

Um die maximal erreichte Höhe zu ermitteln, muss zunächst die Ortsfunktion abgeleitet werden - das liefert uns die Funktion der Geschwindigkeit

\(v(t) = \dot h(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\left( -5\cdot t^2 + 5\cdot t +10\right) = -10\cdot t + 5\)

wobei bereits die Werte aus der Angabe eingesetzt wurden.

Am höchsten Punkt muss die Geschwindigkeit \(v(t) = \dot h(t) =0\) sein. Einsetzen liefert:

\(v(t_1)=-10\cdot t_1+5=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0,5\ s\)

Graphisch entspricht die Ableitung \(\dot h(t)=\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}\) der Steigung der Tangente an der Stelle \(t\). Eine Steigung mit dem Wert \(0\) entspricht daher einer waagrechten Tangente (diese ist in der Grafik rot dargestellt).

Die konstante Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn die Gesamtbeschleunigung Null wird:

\( g-bv_{e}^{2}=0\).

Damit folgt aber sofort 

\(v_{e}=\sqrt{\frac{g}{b}}\).

Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da wir nur den senkrechten Anteil der Geschwindigkeit betrachten).

Somit ist \(v(t)=v_0+a\cdot t\)

Da die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=0\) ist, ist \(v(t)=a\cdot t\)

und somit \(v(4)=9,81\ \frac{m}{s^2}\cdot 4\,s=39,24\ \frac{m}{s}\)

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(8\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=25\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit größerer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\), also \(1,5\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-1,5\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-1,5)=v_L\cdot t_A - 1,5\cdot v_L\)

Der Term \(-1,5\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(25\cdot t_A=70\cdot (t_A-1,5)\qquad \Rightarrow \qquad 45\cdot t_A = 105\)

und damit:
\(t_A = 2,\dot 3\,h =140\, min\)

Leo holt Anna \(140\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).

Zu Beginn werden die Fahrzeuggeschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) umgerechnet:

\(v_A=50\ \frac{km}{h}=\frac{50}{3,6}\ \frac{m}{s}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\\ v_B=30\ \frac{km}{h}=\frac{30}{3,6}\ \frac{m}{s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\)

Da zum Zeitpunkt des Aufpralles \(t\) folgendes gelten muss:
\(v_A\cdot t + v_B\cdot t=900\, m\qquad \Rightarrow\qquad t=40,5\,s\)

Die Strecke \(s\) die gefahren wird, wenn etwas sich mit der Geschwindigkeit \(v\) für die Zeit \(t\) bewegt:

\(s=v\cdot t\)

Somit ist \(s_H=s_1+s_2=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2\) also \(s_H=10\cdot 50+25\cdot 30=1250\,m\)

Somit ist die Zeit für den Rückweg \(t=\frac{s_H}{v_R}=\frac{1250}{20}=62,5\,s\)