Gegeben ist die Ortsfunktion

\(x(t)=9t^2+24\),

die den Ort, an dem sich der betrachtete Körper befindet, in Abhängigkeit der Zeit angibt.

Um zu bestimmen, wann sich der Körper bei \(x=60\,m\) befindet, müssen wir also den Zeitpunkt \(t_1\) bestimmen, an dem

\(x(t_1)=60\,m\) gilt. Dafür setzen wir den Funktionswert ein und nach Umformung erhalten wir die gesuchte Zeit \(t_1\):

\(x(t_1)=60=9t_1^2+24\)

\(9t_1^2=60-24=36\)

\(t_1^2=4 \ \Rightarrow \ t_1=\pm 2\)

\(t_1=20 min=\frac{1}{3}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_1=v_1\cdot t_1=30\cdot \frac{1}{3}=10\,km\\\)

\(t_2=\qquad5 min=\frac{1}{12}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_2=v_2\cdot t_2=35\cdot \frac{1}{12}=2,91\dot{6}\,km\\\)

\(t_3=30 min=\frac{1}{2}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_3=v_3\cdot t_3=15\cdot \frac{1}{2}=7,5\,km\)

Daher ist die Gesamtstrecke: \(s=s_1+s_2+s_3=20.41\dot{6}\,km\)

Die gefahrene Gesamtzeit: \(t=t_1+t_2+t_3=55\,min\)

Daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}=0,37\bar{12}\ \frac{km}{min}=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}\).

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v=v_2-v_1=100\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=100\ \frac{km}{h}=100\cdot1\ \frac{km}{h}=100\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=27,\overline7\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t=2,72\,s\)

\(\Rightarrow\, a=\frac{27,\overline7\ \frac{m}{s}}{2,72\ s}=\frac{27,\overline7}{2,72}\cdot\frac{\frac{m}{s}}{s}\approx10,21\ \frac{m}{s^2}\)

Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da wir nur den senkrechten Anteil der Geschwindigkeit betrachten).

Somit ist \(v(t)=v_0+a\cdot t\)

Da die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=0\) ist, ist \(v(t)=a\cdot t\)

und somit \(v(4)=9,81\ \frac{m}{s^2}\cdot 4\,s=39,24\ \frac{m}{s}\)

\(a= \frac{ \Delta v}{\Delta t}= \frac{v_1-v_0}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{m}{s} - 30 \ \frac{m}{s}}{5s}=4 \ \frac{m}{s^2}\)

Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der der Körper vom Erdboden aus geworfen hätte werden müssen, betrachten wir zunächst die Wurfparabel mit ihrer Erweiterung zur negativen Nullstelle (siehe Grafik). Der Abwurfzeitpunkt ist im Bild mit \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bezeichnet. Er entspricht genau der Zeit des Abwurfes, wenn der Körper vom Boden aus geworfen würde, um die Höhe \(h_{max}\) zu erreichen.

Es muss also zunächst die Nullstelle \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bestimmt werden.

Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_{\mathrm{Wurf}})=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - 2,4t -4,32 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = 1,2 \pm \underbrace{\sqrt{(1,2)^2 +4,32}}_{=2,4}\)

Schließlich also:

\(t_a=1,2\ s - 2,4\ s =-1,2\ s\) und

\(t_b=1,2\ s+2,4\ s = 3,6\ s\)

Da wir an der negativen Lösung interessiert sind, ist

\(t_{\mathrm{Wurf}}=t_b=-1,2\ s\)

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\, s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik rot eingezeichnet).

Anmerkung: Die selbe Geschwindigkeit, nur mit einem negativen Vorzeichen, würde man aus Symmetriegründen auch an der Stelle \(t_2=3,6\, s\) erhalten. Das bedeutet, dass der Körper mit dem selben Geschwindigkeitsbetrag am Boden wieder aufkommt, mit dem er zuvor hochgeworfen wurde. Auch dieser Lösungsweg wäre vollkommen korrekt - Bonusaufgabe: zeige, dass das selbe Ergebnis herauskommt!

Ableiten ergibt:

\(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+12\)

Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden:

\(v(t_{\mathrm{Wurf}}=-1\ s)= -10\cdot (-1,2) + 12 =12+12=24\ \frac{m}{s}\)

Die Abwurfgeschwindigkeit muss also

\(v_{\mathrm{Wurf}}=24\ \frac{m}{s}\) betragen, damit der Körper die Höhe \(h_{max}\) erreicht.

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v=\left|v_1-v_2\right|=\left|1,4\ \frac{m}{s}-5,4\ \frac{m}{s}\right|=4\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t=2s\)

\(\Rightarrow\, a=\frac{4\ \frac{m}{s}}{2\,s}=\frac{4}{2}\cdot\frac{\frac{m}{s}}{s}=2\ \frac{m}{s^2}\)

Zunächst muss die Geschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) ausgedrückt werden:

\(v=100\ \frac{km}{h}=\frac{100}{3,6}\ \frac{m}{s}=27,\dot7\ \frac{m}{s}\)

Aus der Definition der Beschleunigung folgt dann:

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{27,\dot{7}-0}{15-0}=1,\bar{851}\ \frac{m}{s}\).
Für \(s\) gilt, mit \(v_0\) ist hier die Anfangsgeschwindigkeit gemeint:

\(s(t)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\qquad \Rightarrow\qquad s(15)=0+\frac{1,\bar{851}}{2}\cdot 15^2=208,\dot{3}\,m\)