Aus der Angabe folgt unmittelbar

\( \dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c} 1\\ \sqrt{2}t\\ t^{2} \end{array}\right)\)

und

Zuerst die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten umrechnen

\(v_A=90\ \frac{km}{h}=90\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=25\ \frac{m}{s}\)

\(v_B=50\ \frac{km}{h}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\)

Beide Fahrzeuge sind gleich lang unterwegs \(t_A=t_B\)

\(25\cdot t+13,\dot{8}\cdot t=1800\)

\(t=46,29\,s\)

Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

modelliert. Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird!

Um zu ermitteln, wann der Körper am Boden aufkommt, muss die Gleichung

\(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\)

Schließlich also:

\(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und

\(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\)

Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist

\(t_2=t_b=2\ s\)

Die Beschleunigung \(a\) ist das Verhältnis des Geschwindigkeitsintervalls \(\Delta v=v_1-v_0\) zum Zeitintervall \(\Delta t=t_1-t_0\).

Geschwindigkeit \(v_1\) in SI-Einheiten: \(v_1=100\ \frac{km}{h}=27,\dot{7}\ \frac{m}{s}\)

Mit \(t_0=0\),\(t_1=6\) und \(v_0=0\) ergibt sich eine Beschleunigung von \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{27,\dot{7}-0}{6-0}\)=4,6293\ \frac{m}{s^2}\)

Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung und \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) ist.

Da \(s_0=0\) ist und "aus dem Stand beschleunigen" \(v_0=0\) bedeutet, ist

 \(s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{4,63}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(5)=57,87\,m\)

Die konstante Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn die Gesamtbeschleunigung Null wird:

\( g-bv_{e}^{2}=0\).

Damit folgt aber sofort 

\(v_{e}=\sqrt{\frac{g}{b}}\).

Gegeben ist und in SI Einheiten umgerechnet

• \(s=8000m\)
• \(v_{H}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}\)
• \(t=180\,s\)

Hans und Katrin sind gleich lange gefahren, nur unterschiedich weit, also gilt zeitlich gesehn \(t_{Hans}=t_{Katrin}\). Also darf man sie gleichsetzen.

\(v_H\cdot t + v_K\cdot t=s\)

Also gilt:

\(v_{K}=\frac{8000-180\cdot 6,9\dot{4}}{180}=37,5\ \frac{m}{s}\)

Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Mit \(v_1=0\) in diesem Beispiel ist \(v=v_2\) die gesuchte Geschwindigkeit,

daher ist \(a=\frac{v}{t}\). Dies wird nach  \(v\) umgeformt

\(v=a\cdot t=6,22\cdot6=37,32\ \frac{m}{s}\)

Der Impuls eines Körpers mit Masse \(m\) ist definiert als:

\(p=m\cdot v\)

Es muss also zunächst die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der der Körper am Boden ankommt.

Beim senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion modelliert:

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Zuerst muss der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Körper am Boden auftrifft.

Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\)

Schließlich also:

\(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und

\(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\)

Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist

\(t_2=t_b=2\ s\)

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik eingezeichnet).

Ableiten ergibt:

\(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+5\)

Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_2=2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden:

\(v(t_2=2)= -10\cdot 2 + 5 =-20+5=-15\ \frac{m}{s}\)

Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass der Körper nach unten fällt, bzw. die Ortsfunktion an der Stelle \(t_2=2\ s\) streng monton fallend ist.

Das ergibt einen Impuls von:

\(p=m\cdot v = 2\, kg \cdot \left(-15\ \frac{m}{s}\right)= -30\ \frac{kg\cdot m}{s}\)