Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Anna fährt um \(17\mathrm{\ Uhr}\) mit dem Moped von zu Hause los, um ihre Großmutter zu besuchen. Sie fährt dabei mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit \(v_A=35\ \frac{km}{h}\). Da sie ihr Handy vergessen hat - und das während der Fahrt auch nicht bemerkt - fährt ihr ihr Bruder Leo um \(17\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\) mit dem Auto nach. Er fährt dabei mit einer durchschnittlichen Geschwindkeit von \(v_L=60\ \frac{km}{h}\). Wie weit entfernt von zu Hause holt Leo seine Schwester Anna ein? Nr. 4441
	\(28\,km\)
	\(24\,km\)
	\(35\,km\)
	\(18\,km\)
	\(42\,km\)
Lösungsweg Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(17\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\). Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung: \(s_A(t)=v_A\cdot t_A=35\cdot t_A\). (Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!) Leo fährt mit höherer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion: \(s_L=v_L\cdot t_L\) Da Leo um \(17\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\), also \(20\,min=\frac{1}{3}\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-\frac{1}{3}\) und es ergibt sich: \(s_L=v_L\cdot (t_A-\frac{1}{3})=v_L\cdot t_A - \frac{1}{3}\cdot v_L\) Der Term \(-\frac{1}{3}\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)). Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet. Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt: \(s_A=s_L\) und mit den eingesetzten Werten: \(35\cdot t_A=60\cdot (t_A-\frac{1}{3})\qquad \Rightarrow \qquad 25\cdot t_A = 20\) und damit: \(t_A = 0,8\,h =48\, min\) Leo holt Anna \(48\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(17\, : \, 48\mathrm{\ Uhr}\). Um den Ort zu bestimmen, an dem er sie einholt, muss der Zeitpunkt \(t_A=0,8\,h\) noch in eine der Ortsfunktionen eingesetzt werden (Bonusfrage: Weshalb ist es egal, in welche Ortsfunktion eingesetzt wird?): \(s(t_A=0,8)=35\ \frac{km}{h}\cdot 0,8\,h=28\, km\)

5 erreichbare Punkte

Zwei Objekte bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit aufeinander zu. Objekt A hat eine Geschwindigkeit \(v_A=20\ \frac{m}{s}\) und Objekt B hat die Geschwindigkeit \(v_B=30\ \frac{m}{s}\). Nach einer Zeit \(t=50\,s\) treffen sie aufeinander. Wie weit waren sie zu Beginn voneinander entfernt? Nr. 3332
	\(s=2\,km\)
	\(s=2,5\,km\)
	\(s=3\,km\)
	\(s=3,5\,km\)
Lösungsweg Beide fahren gleich lang (nur unterschiedlich weit), also gilt \(t_1=t_2\) Daraus folgt \(v_A\cdot t_A+v_a\cdot t_A=\left(v_A+v_B\right)\cdot t=s\) \(s=(20+30)\cdot 50=2500\,m\)

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig in \(t=5,35\,s\) von \(v_1=10\ \frac{km}{h}\) auf \(v_2=100\ \frac{km}{h}\). Berechne die durchschnittliche Beschleunigung \(a\). Nr. 3326
	\(a=16,82\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=5,18\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=4,67\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=5,71\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg Die Gexchwindigkeit \(v_1\) und \(v_2\) in SI-Einheiten umrechnen \(v_1=10\,\frac{km}{h}=10\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=2,\dot{7}\,\frac{m}{s}\) \(v_2=100\ \frac{km}{h}=27,\dot{7}\ \frac{m}{s}\) Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Das ergibt eingesetzt \(a=\frac{v_2-v_1}{t}=\frac{27,\dot{7}-2,\dot{7}}{5,35}=4,67\ \frac{m}{s^2}\)

4 erreichbare Punkte

Fußballer Marko A. verliert in Spielminute \(36\,:\,00\) den Ball \(5\,m\) vor dem gegnerischen Tor und beginnt mit konstanter Geschwindigkeit (parallel zur Seitenoutlinie) zurückzu"laufen". In Minute \(37\,:\,00\) kommt er \(10\,m\) vor der eigenen Torlinie zu einem Eckball an. Das Fußballfeld ist genau \(105\,m\) lang. Wie schnell ist er "gelaufen"? Nr. 1834
	\(v=10\,\frac{m}{s}\)
	\(v=6,8\,\frac{m}{s}\)
	\(v=1,5\,\frac{m}{s}\)
	\(v=3\,\frac{m}{s}\)
	\(v=1,75\,\frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\) \(\Delta s =105\,m - 5\,m -10\,m = 90\,m\) \(\Delta t = 1\,min=60\,s\) \(\Rightarrow v=\frac{90\,m}{60\,s}=\frac{3}{2} \frac{m}{s} =1,5 \,\frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben sei folgendes \(v(t)\mathrm{-Diagramm}\) (\(t \, \mathrm{in}\, s\) und \(v(t) \, \mathrm{in}\; \frac{m}{s}\)), das die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit für einen geradlinig bewegten Körper beschreibt. Nach welcher Zeit \(t_n\, >\, 0\) befindet sich der Körper wieder am Ausgangort seiner Bewegung? Nr. 4428
	\(t_n=18\, s\)
	\(t_n=26\, s\)
	\(t_n=28\, s\)
	\(t_n=21\, s\)
	\(t_n=23\, s\)
Lösungsweg Der Weg, der in den Zeiten von \(t_a\) bis \(t_b \, \gt \, t_a\) zurückgelegt wird, entspricht dem Integral der Geschwindigkeitsfunktion, also: \(s=\displaystyle\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\) Graphisch entspricht das der Fläche, die der Graph der Funktion \(v(t)\) mit der \(t\mathrm{-Achse}\) einschließt. Dabei tragen Flächen, die sich unterhalb der \(t\mathrm{-Achse}\) befinden, negativ zum Integral bei. Das bedeutet, der zurückgelegte Weg wird geringer bzw. verläuft die Bewegung in entgegengesetze Richtung (in Richtung des negativen Ortes \(x(t)\)). Damit sich also der Körper wieder am Ausgangspunkt befinden kann, muss das Integral \(s=\displaystyle\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\, = \, 0\) sein. Dafür müssen stückweise die Flächeninhalte bestimmt werden, wie im Bild zu sehen ist. Dabei ist der zurückgelegte Weg in die \(\mathrm{positive }\quad x\mathrm{-Richtung}\) rot und der Weg in \(\mathrm{negativer }\quad x\mathrm{-Richtung}\) blau dargestellt. Das erste Flächenstück entspricht einem Dreieck (im Bild mit a bezeichnet), der Fächeninhalt ist \(a = \frac{2 \cdot 4}{2}= 4\). Fläche b entspricht einem Rechteck mit Seitenlängen \(6\, \& \, 4\), der Flächeninhalt ist also \(24\). Fläche c ist wiederum ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(8\). Nach \(12\, \mathrm{Sekunden}\) befindet sich der Körper also \(4\, m + \, 24\, m + \, 8\, m = 36\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. In den Zeiten von \(t_1=12\, s\) bis \(t_2=18\, s\) legt der Körper \(18\, m\) in die entgegengesetzte Richtung zurück. Damit er sich wieder am Anfangsort befindet, muss er weitere \(18\, m\) zurücklegen. Dafür benötigt er \(6 \cdot \Delta t = 18\, s \quad \Rightarrow \quad \Delta t = 3 \, s\). Zum Zeitpunkt \(t_n = 18\, s + \, \Delta t = 21\, s\) befindet sich der Körper also wieder am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung.

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt legt in der Zeit \(t=30\,min\) einen Weg \(s=8,57\,km\) zurück. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit \(v\) bewegt sich das Objekt fort? Nr. 3123
	\(v=4,76\,\frac{m}{s}\)
	\(v=5,74\,\frac{m}{s}\)
	\(v=4,32\,\frac{m}{s}\)
	\(v=6,03\,\frac{m}{s}\)
	\(v= 0,28\,\frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\(\frac{s}{t}\) \qquad \Rightarrow\qquad \(\frac{8570\, m}{30\cdot 60\, s}\)=4,76\,\frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt mit \(a=7,5\ \frac{m}{s^2}\). Wie lange braucht das Objekt, um von \(v_0=10\ \frac{m}{s}\) auf \(v_1=35\ \frac{m}{s}\) gleichförmig zu beschleunigen? Nr. 3323
	\(t=3,\dot{7}s\)
	\(t=3,\dot{3}\,s\)
	\(t=4,\dot{1}\,s\)
	\(t=4,\dot{8}\,s\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist definiert als \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\). Mit \(\Delta v=v_1-v_0\) und \(\Delta t=t_1-t_0\). In diesem Beispiel sind \(t_1=t\) und \(t_0=0\) Somit ist \(t=\frac{\Delta v}{a}=\frac{25}{7,5}=3,\dot{3}\,s\)

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v=43\ \frac{km}{h}\) gerade aus. Wie weit ist das Auto nach \(t=20\,min\) gefahren? Nr. 3137
	\(s =14,4 \,km\)
	\(s=14,\dot{3}\,km\)
	\(s=16,2\,km\)
	\(s=14,9\,km\)
	\(s =8,6 \,km\)
Lösungsweg Einfache Lösung hier: \(20 \mathrm{\ Minuten}\) entsprechen einem Drittel einer Stunde. Somit \(s=v\cdot t=43\cdot \frac{1}{3}=14,\dot{3}\,km\).

5 erreichbare Punkte

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