\(t_1=20 min=\frac{1}{3}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_1=v_1\cdot t_1=30\cdot \frac{1}{3}=10\,km\\\)

\(t_2=\qquad5 min=\frac{1}{12}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_2=v_2\cdot t_2=35\cdot \frac{1}{12}=2,91\dot{6}\,km\\\)

\(t_3=30 min=\frac{1}{2}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_3=v_3\cdot t_3=15\cdot \frac{1}{2}=7,5\,km\)

Daher ist die Gesamtstrecke: \(s=s_1+s_2+s_3=20.41\dot{6}\,km\)

Die gefahrene Gesamtzeit: \(t=t_1+t_2+t_3=55\,min\)

Daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}=0,37\bar{12}\ \frac{km}{min}=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}\).

\(v=\(\frac{s}{t}\) \qquad \Rightarrow\qquad \(\frac{8570\, m}{30\cdot 60\, s}\)=4,76\,\frac{m}{s}\)

Die Geschwindigkeit \(v\) zuerst in SI-Einheiten umrechnen

 \(v=100\ \frac{km}{h}=100\cdot \frac{1000\,m}{3600\,s}=27,\dot{7}\,\frac{m}{s}\)

und diese dann in die Beschleunigung einsetzen ergibt:

\(a=\frac{v}{t}=7,12\ \frac{m}{s^2}\)

Die Ortsfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit \(t\)) des ersten Autos kann beschrieben werden durch \(x_1= 10\, \frac{m}{s} \cdot t\). Das zweite Auto ist zu Beginn 600m entfernt und bewegt sich in gegensätzlicher Geschwindigkeit auf das erste Auto zu. Die Ortsfunktion des zweiten Autos lautet somit \(x_2= 600\, m - 20\, \frac{m}{s} \cdot t\). Durch Gleichsetzen der beiden Ortsfunktionen, d.h. \(x_1=x_2\), und Auflösen nach der Zeit \(t\) erhält man \(t=20\, s\).  

Ein Jahr hat 365 Tage. Ein Tag hat 24 Stunden. Eine Stunde hat 60 Minuten. Eine Minute hat 60 Sekunden. Somit erhalten wir \(s=3,0 \cdot 10^8 \,\frac{m}{s} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\, s = 9,5 \cdot 10^{15}\, m\).

(Anmerkung: Schaltjahre haben 366 Tage, aber bei der Berechnung auf 2 Stellen genau irrelevant. Für die exakte Definition des Lichtjahres wird üblicherweise das 'Julianische Jahr' mit \(365,35 \ \mathrm{Tagen}\) Tagen verwendet, siehe dazu Wikipedia).

\(a= \frac{ \Delta v}{\Delta t}= \frac{v_1-v_0}{\Delta t}= \frac{60 \ \frac{m}{s} - 10 \ \frac{m}{s}}{10s}=5 \ \frac{m}{s^2}\)

Hinweg: \(s=8,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+13,\dot{8}\cdot 10\cdot 60=15833,\dot{3}\)

Zeit für die Rückfahrt:

\(t=\frac{15833,\dot{3}}{6,94}=2280\,s=38\,min\)

Antwort 1:

In den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) ist die Ortsfunktion linear, beziehungsweise deren Anstieg ist konstant und \(> \, 0\). Der Anstieg (der Tangente) der Ortsfunktion entspricht der Geschwindigkeit, der Körper bewegt sich also mit konstanter Geschwindigkeit fort.

Antwort 2:

Der Körper befindet sich nach \(4\, s\) in Ruhe, es wurde bis dahin ein Weg von \(5\, m\) zurückgelegt. Die Antwort ist daher falsch.

Antwort 3:

Die Geschwindigkeit entspricht dem Anstieg der Tangente an die Ortsfunktion. Sie hat in den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) zwar ein lokales Maximum, zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ist der Verlauf jedoch sichtlich steiler. Der Betrag der Geschwindigkeit muss also bei \(t_3=7\, s\) maximal sein.

Antwort 4:

In den ersten \(4 \qquad \mathrm{Sekunden}\) bewegt sich der Körper vorwärts, die Geschwindigkeit ist positiv. In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist die Steigung der Tangente negativ, der Körper bewegt sich also in die entgegengesetzte Richtung. Dafür muss sich das Vorzeichen der Geschwindigkeitsfunktion ändern.

Antwort 5:

In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist zwar die Ortsfunktion streng monoton fallend, die Geschwindigkeit nimmt allerdings bis zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ab und steigt danach wieder an. Die Ortsfunktion hat also ein Minimum und ist daher nicht streng monoton (weder fallend noch steigend).