Gegeben sei die Lösung \(x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t\) des linearen harmonischen Oszillators. Zu welcher Zeit \(t_1\) erreicht der Oszillator seine Maximalgeschwindigkeit\(\dot{x}_{Max}\)? Wie lauten die jeweiligen Ausdrücke für die Maximalgeschwindigkeit \(\dot{x}_{Max}\) und die Maximalbeschleunigung \(\ddot{x}_{Max}\). Nr. 4184
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A B }\), \(\ddot{x}_{Max}=\omega^2 \sqrt{A B }\)
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{B}{A})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A B }\), \(\ddot{x}_{Max}=\omega^2 \sqrt{A B }\)
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A^2 + B^2 }\), \(\ddot{x}_{Max}=\omega^2 \sqrt{A^2 + B^2 }\)
	\(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\), \(\dot{x}_{Max}=\omega \sqrt{A^2 + B^2 }\), \(\ddot{x}_{Max}=-\omega^2 \sqrt{A^2 + B^2 }\)
Lösungsweg Wir berechnen zunächst \(\dot{x}(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t\) und \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\) Für die Maximalgeschwindigkeit gilt \(\ddot{x}(t_{1})=0, \frac{d\ddot{x}}{dt}(t_{1})<0\). Durch Einsetzen in \(\ddot{x}(t)\) erhält man \(t_{1}=\frac{1}{\omega}\arctan(-\frac{A}{B})\). Basierend darauf erhält man schließlich \(\dot{x}_{Max}=\dot{x}(t_{1})=\omega \sqrt{A^2 + B^2 } = \omega x_{Max}\), wobei \(x_{Max} := \sqrt{A^2 + B^2 }\) die in einem vorangegangenen Beispiel bestimmte Maximalauslenkung bezeichnet. Die Berechnung der Maximalbeschleunigung erfolgt völlig analog, wobei allerdings gefordert wird \(\frac{d\ddot{x}}{dt}(t_{2})=0, \frac{d^{2}\ddot{x}}{dt^{2}}(t_{2})<0\). Hier findet man \(\ddot{x}_{Max}=-\omega^2 \sqrt{A^2 + B^2 } =-\omega^2 x_{Max}\).

Gegeben sei die Bahnkurve \(\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c} t\\ \frac{1}{\sqrt{2}}t^{2}\\ \frac{1}{3}t^{3} \end{array}\right)\). Wie lautet der Ausdruck für die Krümmung \(\kappa(t)\) der Bahnkurve? Nr. 4172
	\(\frac{2}{(1+t^{2})^{2}}\)
	\(\frac{\sqrt{2}}{(1+t^{2})^{2}}\)
	\(\frac{\sqrt{2}}{1+t^{2}}\)
	\(\frac{2}{1+t^{2}}\)
Lösungsweg Aus der Angabe folgt unmittelbar \( \dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c} 1\\ \sqrt{2}t\\ t^{2} \end{array}\right)\) und \(\mid\dot{\vec{r}}(t)\mid=1+t{}^{2}.\) Die Definition der Krümmung lautet \(\kappa(t)=\mid\frac{d\vec{\tau}}{ds}\mid\). Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich folglich schreiben \(\kappa(t)=\mid\frac{d\vec{\tau}}{ds}\mid=\mid\frac{d\vec{\tau}}{dt}\frac{dt}{ds}\mid=\frac{1}{\mid\dot{\vec{r}}(t)\mid}\mid\frac{d\vec{\tau}}{dt}\mid\). Durch Ableiten erhält man \(\frac{d\vec{\tau}}{dt}=\frac{1}{(1+t^{2})^{2}}\left(\begin{array}{c} -2t\\ \sqrt{2}(1-t^{2})\\ 2t \end{array}\right)\) und somit rhält man das Ergebnis \( \kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{(1+t^{2})^2}\).

Wir betrachten die Bewegung in einer Dimension. Ein Objekt der Masse \(m=1,85\, g\) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und legt dabei in \(4,46 \, s\) Sekunden eine Strecke von \(16,98\, m\) zurück. Welchen Impuls \(p\) hat das Objekt? Runde auf drei signifikante Stellen genau (Wie immer in der entsprechenden SI-Einheit)! Nr. 1600
	\(p=7,04 \ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p=7,04 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p= 7 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p= 6,77 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\)
	\(p= 6,77 \ \frac{kg \cdot m}{s}\)
Lösungsweg Die Formel für die Geschwindigkeit ist bekannterweise \(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}\). Die Formel für den Impuls ist \(p=mv\). In Kombination erhalten wir somit \(p=m \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t}= 1,85 \cdot 10^{-3}kg \cdot \frac{16,98\, m}{4,46\, s}=7,04 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\). Das Ergebnis wurde 3 gültige Stellen gerundet.

Ein Auto fährt \(5\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(100 \ \frac{km}{h}\) und anschließend für \(15\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(160 \ \frac{km}{h}\). Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto? (Hinweis: Die Beschleunigungsphase ist so kurz, dass sie vernachlässigt werden kann.) Nr. 1531
	\(130 \ \frac{km}{h} \)
	\(140 \ \frac{km}{h}\)
	\(145 \ \frac{km}{h}\)
	\(150 \ \frac{km}{h}\)
	\(125 \ \frac{km}{h}\)
Lösungsweg \(\overline{v}=\frac{\left( 5\ min \cdot 100 \ \frac{km}{h}+ 15\ min \cdot 160 \ \frac{km}{h} \right)}{20\ min}=145 \ \frac{km}{h}\)

Ein Auto hat die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0 = 30,0 \ \frac{km}{h}\) und beschleunigt in \(20,0\) Sekunden gleichförmig auf die Geschwindigkeit \(v_1=50,0 \ \frac{km}{h}\). Berechne die in dieser Zeit zurückgelegte Stecke \(s\) (Beschleunigungsstecke). Nr. 1534
	\(s=111\ m\)
	\(s=222\ m\)
	\(s=333\ km\)
	\(s=444\ m\)
	\(s=75\ m\)
Lösungsweg Das Auto hat die Beschleunigung \(a= \frac{\Delta v}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{km}{h} - 30 \ \frac{km}{h}}{20 \ s}=0,278 \ \frac{m}{s^2}\) Für die zurückgelegte Stecke \(s\) gilt \(s=v_0 t +\frac{1}{2} a t^2\) und somit \(s=30 \ \frac{km}{h} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot (20s)^2=8,33 \frac{m}{s} \cdot 20s +\frac{1}{2} \cdot 0,278 \frac{m}{s^2} \cdot 400s^2\) \( s=222m\)

Zwei Autos sind \(1800\, m\) voneinander entfernt. Sie fahren zum selben Zeitpunkt los. Auto A hat eine Geschwindigkeit \(v_A=90\ \frac{km}{h}\) und Auto B fährt mit \(v_B=50\ \frac{km}{h}\). Wie lange brauchen die Fahrzeuge um aufeinander zu treffen? Hinweis: Die Beschleunigungsphase der Autos kann vernachlässigt werden. Nr. 3331
	\(t=39,23\,s\)
	\(t=44,82\,s\)
	\(t=46,29\,s\)
	\(t=51,86\,s\)
Lösungsweg Zuerst die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten umrechnen \(v_A=90\ \frac{km}{h}=90\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=25\ \frac{m}{s}\) \(v_B=50\ \frac{km}{h}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\) Beide Fahrzeuge sind gleich lang unterwegs \(t_A=t_B\) \(25\cdot t+13,\dot{8}\cdot t=1800\) \(t=46,29\,s\)

Hans und Katrin wohnen \(s=8\,km\) voneinander entfernt. Sie beschließen gleichzeitig mit ihren Fahrzeugen aufeinander zu zufahren - Hans mit dem Fahrrad und Katrin mit dem Auto. Nach \(t=3\,min\) treffen sie sich und Hans erzählt, dass er konstant mit \(v_H=25\ \frac{km}{h}\) gefahren ist. Katrin ist sich nicht mehr sicher. Wie schnell ist Katrin gefahren? Hinweis: Beschleunigungsphasen können vernachlässigt werden. Nr. 3334
	\(v_{K}=37,5\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{K}=31,88\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{K}=40,15\ \frac{m}{s}\)
	\(v_{K}=42,74\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Gegeben ist und in SI Einheiten umgerechnet \(s=8000m\) \(v_{H}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}\) \(t=180\,s\) Hans und Katrin sind gleich lange gefahren, nur unterschiedich weit, also gilt zeitlich gesehn \(t_{Hans}=t_{Katrin}\). Also darf man sie gleichsetzen. \(v_H\cdot t + v_K\cdot t=s\) Also gilt: \(v_{K}=\frac{8000-180\cdot 6,9\dot{4}}{180}=37,5\ \frac{m}{s}\)

Ein Motorrad beschleunigt gleichförmig aus dem Stand mit \(a=5,97\ \frac{m}{s^2}\) für die Zeit \(t=5\,s\). Welche Geschwindigkeit \(v\) hat das Motorrad zum Zeitpunkt \(t=5\,s\) erreicht? Nr. 3329
	\(v=22,63\ \frac{m}{s}\)
	\(v=29,85\ \frac{m}{s}\)
	\(v=30,51\ \frac{m}{s}\)
	\(v=29\ \frac{km}{h}\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Mit \(v_1=0\) in diesem Beispiel ist \(v=v_2\) die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist \(a=\frac{v}{t}\). Dies wird nach \(v\) umgeformt \(v=a\cdot t=5,97\cdot5=29,85\ \frac{m}{s}\)

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