Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Körper wird aus einer Höhe \(h_0\) mit einer Geschwindigkeit \(v_0\) senkrecht nach unten geworfen. Welches der folgenden Weg-Zeit-Diagramme beschreibt solch einen Fall? Nr. 4434





Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt! Auch wenn der Körper nach unten geworfen wird, handelt es sich um einen senkrechten Wurf. Dieser wird mit einer quadratischen Ortsfunktion \(h(t)\) modelliert: \(h(t)=-\frac{g}{2}\ t^2 -v_0\cdot t + h_0\) Wobei \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper geworfen wird, beschreiben. Die negativen Vorzeichen rühren daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Genauso wird der Körper auch nach unten geworfen, weshalb auch \(v_0\) mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist. Da also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0=0\, s\) negativ ist, muss die entsprechende Ortsfunktion an dieser Stelle eine fallende Tangente besitzen (denn die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an einer Stelle \(t\)). Damit lässt sich Antwort 1 schon mal ausschließen. Nach dem Loslassen wird der Körper weiter nach unten durch die Fallbeschleunigung beschleunigt. Das bedeutet, dass seine vorzeichenbehaftetete Geschwindigkeit stets abnehmen muss (der Betrag der Geschwindigkeit nimmt aber zu!). Anders ausgedrückt muss die Ortsfunktion mit der Zeit steiler abfallen. Damit verbleibt nur mehr Antwort 2 als korrekte Antwort. Im Bild sind die Tangenten zum Zeitpunkt \(t_0\) und beim Aufprall am Boden rot eingezeichnet. Dort ist ersichtlich, dass die Steigungen der Tangenten mit der Zeit steiler werden (abnehmen). Die übrigen Ortsfunktionen haben zwar eine negative Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\), werden aber abgebremst (nach oben beschleunigt) oder verlaufen linear, also mit konstanter Geschwindigkeit.

5 erreichbare Punkte

Florian und Hanna stehen sich \(300\,m\) gegenüber und gehen aufeinander zu. Flo geht mit \(v_F=2,7\ \frac{m}{s}\) und Hanna mit \(v_H=1,9\ \frac{m}{s}\). Wielange dauert es, bis sie sich treffen? Hinweis: Die "Beschleunigungsphase" kann vernachlässigt werden. Nr. 3333
	\(t=65,22\,s\)
	\(t=61,89\,s\)
	\(t=58,02\,s\)
	\(t=56,74\,s\)
Lösungsweg Sie gehen beide gleich lang, nur unterschiedlich weit, also gilt: \(t_{F}=t_{H}\) D.h. \(s=v_F\cdot t_F+v_H\cdot t_H=2,7\cdot t+1,9\cdot t=4,6\cdot t=300\,m\) Daraus folgt: \(t=65,22\,s\)

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt \(5\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(100 \ \frac{km}{h}\) und anschließend für \(15\quad \mathrm{Minuten}\) mit der Geschwindigkeit \(160 \ \frac{km}{h}\). Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat das Auto? (Hinweis: Die Beschleunigungsphase ist so kurz, dass sie vernachlässigt werden kann.) Nr. 1531
	\(130 \ \frac{km}{h} \)
	\(140 \ \frac{km}{h}\)
	\(145 \ \frac{km}{h}\)
	\(150 \ \frac{km}{h}\)
	\(125 \ \frac{km}{h}\)
Lösungsweg \(\overline{v}=\frac{\left( 5\ min \cdot 100 \ \frac{km}{h}+ 15\ min \cdot 160 \ \frac{km}{h} \right)}{20\ min}=145 \ \frac{km}{h}\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 25]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4429
	In den ersten \(10 \, \mathrm{Sekunden}\) ist die zugehörige Geschwindigkeits-Funktion \(v(t)\) streng monoton steigend.
	\(v(2) \, \gt\, v(6)\)
	\(v(12) = v(21)\)
	Für \(t\, > \, 18,5\, s\) gilt: \(v(t)\, \leq \, 0\)
	Für \(t \, \in \, \left[0,\, 14\right]\) gilt: \(v(t) \, \geq \, 0\)
Lösungsweg Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion, bzw. ist die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\dot x(t)\). Im Bild sind die Tangenten an den Stellen \(t_1 = 2\, s\) und \(t_2 = 6\, s\) eingezeichnet. Antwort 1: Die Geschwindigkeit steigt zwar zunächst von \(v(0)=0\) an und hat bei etwa \(t_W \approx 7\, s\) ein Maximum. Danach fällt die Geschwindigkeit aber wieder ab, bis schließlich \(v(10)=0\) gilt. Die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) kann daher nicht streng monoton sein. Antwort 2: Wie im Bild zu sehen ist, ist die Steigung der Tangente zum Zeitpunkt \(t_1 = 2\, s\) (im Bild blau dargestellt) kleiner als die zum Zeitpunkt \(t_2 = 6\, s\) (im Bild rot). Es muss daher \(v(2) \, \lt\, v(6)\) gelten. Antwort 3: Zu den Zeiten \(t_{max}=12\, s\) und \(t_{min}=21\, s\) hat die Ortsfunktion Extremstellen. Dort sind die Tangenten waagrecht bzw. haben den Anstieg \(0\). Es muss also \(v(12)=v(21)=0\) gelten. Antwort 4: Für \(t\, > \, 18,5\, s\) gilt zwar \(x(t) \, \leq \, 0\), das gilt aber nicht zwangsläufig für die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\dot x(t)\). Die Ortsfunktion hat bei \(t_{min}=21\, s\) ein Minimum, es gilt also \(v(21)=0\). Für \(t\, \gt\, 21 \, s\) nimmt die Geschwindigkeit aber wieder zu. Antwort 5: Da für alle \(t \, \in \, \left[0,\, 14\right]\) die Ortsfunktion monoton steigend ist (achtung: nicht streng monoton!), ist die Steigung der Tangente dort stets positiv und damit gilt auch \(t \, \in \, \left[0,\, 14\right] \quad \Rightarrow \quad v(t) \geq \, 0\).

5 erreichbare Punkte

Oft spricht man von einem Lichtjahr, die Distanz, die Licht in einem Jahr zurücklegt. Die Geschwindigkeit von Schall beträgt bei trockener Luft etwa \(v=342,2\ \frac{m}{s}\). Wie weit kommt also Schall in einem Jahr? Hinweis: Es gibt keinerlei Hindernisse und die Lufteigenschaften seien konstant. Nr. 3135
	\(s=1,08 \cdot 10^7\,km\)
	\(s=1,08\cdot 10^9\,m\)
	\(s=2,33\cdot 10^9\,m\)
	\(s=1,08 \cdot 10^{10}\,m\)
	\(s=2,33\cdot 10^5\,km\)
Lösungsweg Schall legt in einer Sekunde \(s=342,2\,m\) zurück, dessen \(3600\mathrm{fach}\) in der Stunde, dessen \(24\mathrm{igfache}\) am Tag und dessen \(365\mathrm{igfache}\) im Jahr: \(s=342,2\cdot 3600\cdot 24\cdot 365=1,08\cdot 10^{10}\,m = 1,08\cdot 10^{7}\, km\)

5 erreichbare Punkte

Zwei Autos sind \(s=900\,m\) von einander entfernt. Gleichzeitig beginnen sie aufeinander zuzufahren. Auto A fährt mit \(v_A=50\ \frac{km}{h}\) und Auto B mit \(v_B=30\ \frac{km}{h}\). Nach welcher Zeit \(t\) kollidieren die zwei Fahrzeuge? Nr. 3133
	\(t=45,23\,s\)
	\(t=63,44\,s\)
	\(t=40,50\,s\)
	\(t=46,25\,s\)
	\(t=37,21\,s\)
Lösungsweg Zu Beginn werden die Fahrzeuggeschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) umgerechnet: \(v_A=50\ \frac{km}{h}=\frac{50}{3,6}\ \frac{m}{s}=13,\dot{8}\ \frac{m}{s}\\ v_B=30\ \frac{km}{h}=\frac{30}{3,6}\ \frac{m}{s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\) Da zum Zeitpunkt des Aufpralles \(t\) folgendes gelten muss: \(v_A\cdot t + v_B\cdot t=900\, m\qquad \Rightarrow\qquad t=40,5\,s\)

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt erfährt eine Beschleunigung \(a=8,6\ \frac{m}{s^2}\) und beschleunigt von \(v_1=5\ \frac{m}{s}\) auf \(v_2=30\ \frac{m}{s}\). Wie lange braucht es dafür? Nr. 3328
	\(t=3,41\,s\)
	\(t=2,91\,s\)
	\(t=3,22\,s\)
	\(t=2,75\,s\)
	\(t=4,07\,s\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist folgerndermaßen definiert \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Nach \(t\) umgeformt und eingesetzt ergibt \(t=\frac{30-5}{8,6}=2,91\,s\)

5 erreichbare Punkte

Betrachte folgendes Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 25]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4426
	Ab dem Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) befindet sich der Körper für \(4\, s\) im Stillstand.
	Ab dem Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) bewegt sich der Körper für \(4\, s\) mit einer konstanten Geschwindigkeit fort.
	Nach \(21\, s\) befindet sich der Körper an dem Ort, der am weitesten vom Ausgangspunkt der Bewegung entfernt ist.
	Nachdem der Körper einen Weg von \(s=10\, m\) zurückgelegt hat, befindet sich der Körper in Ruhe.
	Der Körper befindet sich insgesamt \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.
Lösungsweg Antwort 1: In den ersten \(10\, s\) liegt eine beschleunigte Bewegung vor, danach ist die Ortsfunktion für \(4\, s\) konstant. Das bedeutet, der Anstieg der Tangente und damit die Momentangeschwindigkeit sind zwischen \(t_1=10\, s\) und \(t_2=14\, s\) gleich \(0\) - der Körper befindet sich im Stillstand. Antwort 2: Da sich der Körper, wie eben erläutert, im Stillstand befindet, kann er sich nicht fortbewegen. Antwort 3: Der Ausgangspunkt der Bewegung ist durch die Nullstellen der Ortsfunktion, also \(x(t_{0,\, i})=0\) (wobei \(i\) die i-te Nullstelle beschreibt) gegeben. In anderen Worten: Dort, wo der Graph der Ortsfunktion die \(t\mathrm{-Achse}\) berührt/schneidet, befindet sich der Körper am selben Ort, wie zu Beginn der Bewegung. Zum Zeitpunkt \(t_{min}=21\, s\) hat die Ortsfunktion ein Minimum. Allerdings ist der Funktionswert \(x(t_{min}) \approx -2,3\, m\) und damit ist der Körper etwa \(2,3\, m\) vom Ausgangspunkt entfernt. Mit Sicherheit befindet sich der Körper zum Zeitpunkt \(t_1=10\, s\) aber weiter weg, nämlich \(8\, m\). Antwort 4: Nachdem die Ortsfunktion den Wert \(10\, m\) gar nicht annimmt (\(10\) ist somit kein Teil der Wertemenge), legt der Körper nie eine Strecke von \(s=10\, m\) zurück. Die Aussage gilt nur, wenn anstatt des Weges \(s=10\, m\) eine Zeit von \(t_1=10\, s\) angenommen wird. Auf diesen Unterschied ist besonders zu achten! Antwort 5: Nachdem, wie oben bereits ausgeführt, sich der Körper dort am Anfangsort befindet, wo der Graph die \(t\mathrm{-Achse}\) schneidet/berührt (Bemerkung: \(\mathrm{schneiden} \, \ne \, \mathrm{beruehren}\)), befindet sich der Körper tatsächlich \(3 \qquad \mathrm{mal}\) am Anfangsort.

5 erreichbare Punkte

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