Die Formel für die Geschwindigkeit ist bekannterweise \(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}\). Die Formel für den Impuls ist \(p=mv\). In Kombination erhalten wir somit \(p=m \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t}= 1,85 \cdot 10^{-3}kg \cdot \frac{16,98\, m}{4,46\, s}=7,04 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\). Das Ergebnis wurde 3 gültige Stellen gerundet.

\(v=a\cdot t\)

Die Geschwindigkeit muss zunächst in \(\frac{m}{s}\) umgerechnet werden:

\(90\ \frac{km}{h} = 90 \ \frac{1000\, m}{3600\, s}=\frac{90}{3,6}\ \frac{m}{s}=25\ \frac{m}{s}\)

Einsetzen ergibt:

\(25\ \frac{m}{s}= 6\ \frac{m}{s^2}\cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \frac{25}{6}\ s \ \approx \ 4,17\, s\)

Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(17\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=35\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit höherer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(17\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\), also \(20\,min=\frac{1}{3}\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-\frac{1}{3}\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-\frac{1}{3})=v_L\cdot t_A - \frac{1}{3}\cdot v_L\)

Der Term \(-\frac{1}{3}\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(35\cdot t_A=60\cdot (t_A-\frac{1}{3})\qquad \Rightarrow \qquad 25\cdot t_A = 20\)

und damit:
\(t_A = 0,8\,h =48\, min\)

Leo holt Anna \(48\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(17\, : \, 48\mathrm{\ Uhr}\).

Um den Ort zu bestimmen, an dem er sie einholt, muss der Zeitpunkt \(t_A=0,8\,h\) noch in eine der Ortsfunktionen eingesetzt werden (Bonusfrage: Weshalb ist es egal, in welche Ortsfunktion eingesetzt wird?):
\(s(t_A=0,8)=35\ \frac{km}{h}\cdot 0,8\,h=28\, km\)

Es gilt: \(v=\frac{s}{t} \ \Rightarrow \ s=v\cdot t\)

Der gesamte zurückgelegte Weg lässt sich durch die Summe der einzelnen Wege bestimmen: \(s_{ges}=s_1+s_2+s_3 = v_1\cdot t_1 + v_2\cdot t_2 + v_3\cdot t_3\)

\(\mathrm{Minuten}\) und km/h \(\frac{km}{h}\) in \(\mathrm{Sekunden}\) und \(\frac{m}{s}\) umgewandelt ergibt:

\(8,3\ \frac{m}{s}\cdot 1200\,s+22,2\ \frac{m}{s}\cdot 600\,s+13,89\ \frac{m}{s}\cdot 1800\,s=48.282m\)

Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da nur nach der Höhe von der Erdoberfläche gefragt wird).

Somit ist \(s=\frac{a}{2}\cdot t^2\)

Somit ist \(s=\frac{9,81\ \frac{m}{s^2}}{2}\cdot {4\,s}^2=78,48m\)

Die gesuchte Höhe \(h=10000-s=9921,52\,m\)

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v=v_2-v_1=36\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=36\ \frac{km}{h}=36\cdot1\ \frac{km}{h}=36\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=10\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t= 2s\)

\(\Rightarrow\ a=\frac{10\ \frac{m}{s}}{2s}=\frac{10}{2}\cdot\frac{\ \frac{m}{s}}{s}=5\ \frac{m}{s^2}\)

Die gegebene Zeit \(t\) entspricht der Zeit, die der Stein fällt, und der Zeit, die der Schall benötigt, um vom Boden des Brunnens nach oben zu gelangen. Anders ausgedrückt ist \(t\) die Summe aus der Fallzeit und der Laufzeit des Schalls.

Die Fallzeit \(t_f\) lässt sich aus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung herleiten:

\(h=\frac{g}{2}\ t_f}^2 \ \Rightarrow \ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Die Ausbreitung des Schalls hingegen entspricht einer gleichförmigen Bewegung, mit konstanter Geschwindigkeit \(c\). Die Laufzeit des schalls \(t_s\) lässt sich bestimmen durch:

\(h=c \cdot t_s \ \Rightarrow \ t_s=\frac{h}{c}\)

Es muss also \(t = t_f + t_s\) sein:

\(t= t_f+t_s = \sqrt{\frac{2h}{g}}+ \frac{h}{c}\)

Da aber in der Regel \(\left| c \right|\, \gg\, \left|h\right|\) gilt, ist

\(\frac{h}{c}\, \approx \, 0\)

Es kann also die Laufzeit des Schalls im Gegensatz zur Fallzeit des Steins vernachlässt werden.

Eine zulässige Näherungsformel ist daher:

\(t\, \approx \, \sqrt{\frac{2h}{g}}\) bzw. \(h\, \approx \, \frac{g}{2}\, t^2\) für den gleichmäßig beschleunigten Fall.

Da \(g\, \approx \, 10\ \frac{m}{s^2}\) lässt sich außerdem schreiben:

\(h\, \approx \, 5\ \frac{m}{s^2}\ t^2\)

\(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{8\,m}{2\,s}=\frac{8}{2} \cdot \frac{m}{s}=4\ \frac{m}{s}\)