Einfache Lösung hier: \(20 \mathrm{\ Minuten}\) entsprechen einem Drittel einer Stunde.

Somit \(s=v\cdot t=43\cdot \frac{1}{3}=14,\dot{3}\,km\).

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v=v_2-v_1=100\ \frac{km}{h}-0\ \frac{km}{h}=100\ \frac{km}{h}=100\cdot1\ \frac{km}{h}=100\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=27,\overline7\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t=2,72\,s\)

\(\Rightarrow\, a=\frac{27,\overline7\ \frac{m}{s}}{2,72\ s}=\frac{27,\overline7}{2,72}\cdot\frac{\frac{m}{s}}{s}\approx10,21\ \frac{m}{s^2}\)

\(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{8\,m}{2\,s}=\frac{8}{2} \cdot \frac{m}{s}=4\ \frac{m}{s}\)

Antwort 1:

In den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) ist die Ortsfunktion linear, beziehungsweise deren Anstieg ist konstant und \(> \, 0\). Der Anstieg (der Tangente) der Ortsfunktion entspricht der Geschwindigkeit, der Körper bewegt sich also mit konstanter Geschwindigkeit fort.

Antwort 2:

Der Körper befindet sich nach \(4\, s\) in Ruhe, es wurde bis dahin ein Weg von \(5\, m\) zurückgelegt. Die Antwort ist daher falsch.

Antwort 3:

Die Geschwindigkeit entspricht dem Anstieg der Tangente an die Ortsfunktion. Sie hat in den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) zwar ein lokales Maximum, zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ist der Verlauf jedoch sichtlich steiler. Der Betrag der Geschwindigkeit muss also bei \(t_3=7\, s\) maximal sein.

Antwort 4:

In den ersten \(4 \qquad \mathrm{Sekunden}\) bewegt sich der Körper vorwärts, die Geschwindigkeit ist positiv. In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist die Steigung der Tangente negativ, der Körper bewegt sich also in die entgegengesetzte Richtung. Dafür muss sich das Vorzeichen der Geschwindigkeitsfunktion ändern.

Antwort 5:

In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist zwar die Ortsfunktion streng monoton fallend, die Geschwindigkeit nimmt allerdings bis zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ab und steigt danach wieder an. Die Ortsfunktion hat also ein Minimum und ist daher nicht streng monoton (weder fallend noch steigend).

Die Gexchwindigkeit \(v_1\) und \(v_2\) in SI-Einheiten umrechnen

\(v_1=30\ \frac{km}{h}=30\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=8,\dot{3}\ \frac{m}{s}\)

\(v_2=90\ \frac{km}{h}=25\ \frac{m}{s}\)

Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\).
Nach \(t\) umgeformt und eingesetzt \(t=\frac{v_2-v_1}{a}=\frac{25-8,\dot{3}}{2,9}=5,75\,s\)

Die Ortsfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit \(t\)) des ersten Autos kann beschrieben werden durch \(x_1= 10\, \frac{m}{s} \cdot t\). Das zweite Auto ist zu Beginn 600m entfernt und bewegt sich in gegensätzlicher Geschwindigkeit auf das erste Auto zu. Die Ortsfunktion des zweiten Autos lautet somit \(x_2= 600\, m - 20\, \frac{m}{s} \cdot t\). Durch Gleichsetzen der beiden Ortsfunktionen, d.h. \(x_1=x_2\), und Auflösen nach der Zeit \(t\) erhält man \(t=20\, s\).  

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)

\(\Delta v = v_2-v_1=0\ \frac{km}{h}-180\ \frac{km}{h}=-180\ \frac{km}{h}=-180\cdot1\ \frac{km}{h}=-180\cdot\frac{1}{3,6}\ \frac{m}{s}=-50\ \frac{m}{s}\)

\(\Delta t= t_2-t_1=50\,s\)

\(\Rightarrow\, a=\frac{-50\,\frac{m}{s}}{50\,s}=\frac{-50}{50}\cdot\frac{\,\frac{m}{s}}{s}=-1\ \frac{m}{s^2}\)

Wir berechnen zunächst

\(\dot{x}(t)=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t.\)

Beim Maximalausschlag gilt

\(\dot{x}(t_{0})=0, \ddot{x}(t_{0})<0\).

Man erhält folglich

\(t_{0}=\frac{1}{\omega}\arctan\frac{B}{A}\).

Benutzt man nun, dass

\( \cos\omega t_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

beziehungsweise

\( \sin\omega t_{0}=\frac{\tan\omega t_{0}}{\sqrt{1+\tan^{2}\omega t_{0}}}\)

gilt, so folgt

\(x_{Max}=x(t_{0})=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\).