Da es sich um einen senkrechten Wurf und damit um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, wird eine quadratische Ortsfunktion angenommen:

\(x(t)=-\frac{g}{2}\,t^2 + v_0\cdot t\)

Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt, während der Körper mit \(v_0\) nach oben geworfen wird. Diese Parabel ist schematisch in der Grafik dargestellt. Der Zeitpunkt, an dem der Körper wieder die ursprüngliche Höhe \(x_0\) erreicht hat, wird hier mit \(t_n\) bezeichnet.

Wenn beide Vorzeichen umgedreht würden, würde das am Ergebnis nichts ändern, die Parabel in der Grafik wäre allderings nach oben geöffnet (an der \(x\mathrm{-Achse}\) gespiegelt).

Es muss also - wie aus der Grafik ersichtlich - die Nullstelle \(x(t_n)=0\), wobei \(t_n>0\) gilt, gefunden werden.

\(-\frac{g}{2}\,{t}^2 + v_0\cdot t=0\)

\(t\cdot \,\left( -\frac{g}{2}\,t +v_0\right) =0\)

Nach dem Produkt-Null-Satz ist das Produkt zweier Faktoren dann \(0\), wenn einer der beiden Faktoren \(0\) ist. (Natürlich kann auch eine der Lösungsformeln angewendet werden, das Ergebnis ist das selbe. Die Faktorisierung erspart allerdings die Lösungsformel und ist generell für homogene quadratische Gleichungen zu empfehlen.)

Es ist also \(t_0=0\) eine Lösung. Allerdings interessiert uns eine Lösung \(t_n\ >\ 0\).

Daher muss gelten:

\(-\frac{g}{2}\,t_n +v_0=0 \qquad \Rightarrow \qquad t_n=\frac{2\,v_0}{g}\)

\(t_1=20 min=\frac{1}{3}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_1=v_1\cdot t_1=30\cdot \frac{1}{3}=10\,km\\\)

\(t_2=\qquad5 min=\frac{1}{12}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_2=v_2\cdot t_2=35\cdot \frac{1}{12}=2,91\dot{6}\,km\\\)

\(t_3=30 min=\frac{1}{2}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_3=v_3\cdot t_3=15\cdot \frac{1}{2}=7,5\,km\)

Daher ist die Gesamtstrecke: \(s=s_1+s_2+s_3=20.41\dot{6}\,km\)

Die gefahrene Gesamtzeit: \(t=t_1+t_2+t_3=55\,min\)

Daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}=0,37\bar{12}\ \frac{km}{min}=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}\).

Zuerst muss sichergestellt werden, dass alle Werte in der Formel in SI-Basiseinheiten angegeben sind.
\(8\,cm=0,08\,m\).

Nun muss nur noch die Formel umgeformt werden auf \(T_0\) und eingesetzt:

\(T_0=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot l}{g}}=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot 0,08\,m}{9,81\ \frac{m}{s^2}}}=0,567\,s \)

Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da wir nur den senkrechten Anteil der Geschwindigkeit betrachten).

Somit ist \(v(t)=v_0+a\cdot t\)

Da die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=0\) ist, ist \(v(t)=a\cdot t\)

und somit \(v(4)=9,81\ \frac{m}{s^2}\cdot 4\,s=39,24\ \frac{m}{s}\)

Die gegebene Zeit \(t\) entspricht der Zeit, die der Stein fällt, und der Zeit, die der Schall benötigt, um vom Boden des Brunnens nach oben zu gelangen. Anders ausgedrückt ist \(t\) die Summe aus der Fallzeit und der Laufzeit des Schalls.

Die Fallzeit \(t_f\) lässt sich aus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung herleiten:

\(h=\frac{g}{2}\ t_f}^2 \ \Rightarrow \ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Die Ausbreitung des Schalls hingegen entspricht einer gleichförmigen Bewegung, mit konstanter Geschwindigkeit \(c\). Die Laufzeit des schalls \(t_s\) lässt sich bestimmen durch:

\(h=c \cdot t_s \ \Rightarrow \ t_s=\frac{h}{c}\)

Es muss also \(t = t_f + t_s\) sein:

\(t= t_f+t_s = \sqrt{\frac{2h}{g}}+ \frac{h}{c}\)

Da aber in der Regel \(\left| c \right|\, \gg\, \left|h\right|\) gilt, ist

\(\frac{h}{c}\, \approx \, 0\)

Es kann also die Laufzeit des Schalls im Gegensatz zur Fallzeit des Steins vernachlässt werden.

Eine zulässige Näherungsformel ist daher:

\(t\, \approx \, \sqrt{\frac{2h}{g}}\) bzw. \(h\, \approx \, \frac{g}{2}\, t^2\) für den gleichmäßig beschleunigten Fall.

Da \(g\, \approx \, 10\ \frac{m}{s^2}\) lässt sich außerdem schreiben:

\(h\, \approx \, 5\ \frac{m}{s^2}\ t^2\)

Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der der Körper vom Erdboden aus geworfen hätte werden müssen, betrachten wir zunächst die Wurfparabel mit ihrer Erweiterung zur negativen Nullstelle (siehe Grafik). Der Abwurfzeitpunkt ist im Bild mit \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bezeichnet. Er entspricht genau der Zeit des Abwurfes, wenn der Körper vom Boden aus geworfen würde, um die Höhe \(h_{max}\) zu erreichen.

Es muss also zunächst die Nullstelle \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bestimmt werden.

Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_{\mathrm{Wurf}})=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - 2,4t -4,32 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = 1,2 \pm \underbrace{\sqrt{(1,2)^2 +4,32}}_{=2,4}\)

Schließlich also:

\(t_a=1,2\ s - 2,4\ s =-1,2\ s\) und

\(t_b=1,2\ s+2,4\ s = 3,6\ s\)

Da wir an der negativen Lösung interessiert sind, ist

\(t_{\mathrm{Wurf}}=t_b=-1,2\ s\)

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\, s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik rot eingezeichnet).

Anmerkung: Die selbe Geschwindigkeit, nur mit einem negativen Vorzeichen, würde man aus Symmetriegründen auch an der Stelle \(t_2=3,6\, s\) erhalten. Das bedeutet, dass der Körper mit dem selben Geschwindigkeitsbetrag am Boden wieder aufkommt, mit dem er zuvor hochgeworfen wurde. Auch dieser Lösungsweg wäre vollkommen korrekt - Bonusaufgabe: zeige, dass das selbe Ergebnis herauskommt!

Ableiten ergibt:

\(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+12\)

Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden:

\(v(t_{\mathrm{Wurf}}=-1\ s)= -10\cdot (-1,2) + 12 =12+12=24\ \frac{m}{s}\)

Die Abwurfgeschwindigkeit muss also

\(v_{\mathrm{Wurf}}=24\ \frac{m}{s}\) betragen, damit der Körper die Höhe \(h_{max}\) erreicht.

Die Formel für die Geschwindigkeit ist bekannterweise \(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}\). Die Formel für den Impuls ist \(p=mv\). In Kombination erhalten wir somit \(p=m \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t}= 1,85 \cdot 10^{-3}kg \cdot \frac{16,98\, m}{4,46\, s}=7,04 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\). Das Ergebnis wurde 3 gültige Stellen gerundet.

Zuerst müssen alle Werte in SI-Basiseinheiten umgewandelnt werden.

\(v_1=12\ \frac{km}{h}=12\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=3,\dot{3}\,\frac{m}{s}\)

\(v_2=25\ \frac{km}{h}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}\)

\(v_3=32\ \frac{km}{h}=8,\dot{8}\ \frac{m}{s}\)

Danach werden die Streckenabschnitte miteinander addiert:

\(s=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2+v_3\cdot t_3=3,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+6,9\dot{4}\cdot 30\cdot 60+8,\dot{8}\cdot 25\cdot 60=28,83\,km\)