Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Objekt wird durch eine Kraft mit \(a=6,22\ \frac{m}{s^2}\) aus dem Stand für eine Zeit \(t=6\,s\) gleichförmig beschleunigt. Welche Geschwindigkeit \(v\) erreicht das Objekt nach der Beschleunigungsphase. Nr. 3330
	\(v=32,95\ \frac{m}{s}\)
	\(v=37,32\ \frac{m}{s}\)
	\(v=30,77\ \frac{m}{s}\)
	\(v=35,69\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Mit \(v_1=0\) in diesem Beispiel ist \(v=v_2\) die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist \(a=\frac{v}{t}\). Dies wird nach \(v\) umgeformt \(v=a\cdot t=6,22\cdot6=37,32\ \frac{m}{s}\)

4 erreichbare Punkte

Wie lange braucht ein Auto mit einer konstanten Beschleunigung \(a=4,9\ \frac{m}{s^2}\) um von \(v_1=15\ \frac{m}{s}\) auf \(v_2=30\ \frac{m}{s}\) zu kommen? Nr. 3327
	\(t=3,84\,s\)
	\(t=3,06\,s\)
	\(t=2,98\,s\)
	\(t=3,42\,s\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist das Verhältnis des Geschwindigkeitsunterschiedes \(\Delta v=v_2-v_1\) und des Zeitintervalles \(\Delta t= t_2-t_1\qquad \Rightarrow\qquad \Delta t=t-0=t\) Daher \(a=\frac{\Delta v}{t}\). Dies wird nun nach \(t\) umgeformt und die Angabe eingesetzt: \(t=\frac{30-15}{4,9}=3,06s\)

4 erreichbare Punkte

Ein Auto beschleunigt gleichförmig in \(t=15\,s\) von \(0-100\ \frac{km}{h}\). Welche Strecke \(s\) legt das Auto während der Beschleunigungsphase zurück? Nr. 3134
	\(s=253m\)
	\(s=237m\)
	\(s=198,3m\)
	\(s=208,\dot{3}\,m\)
	\(s=205,2m\)
Lösungsweg Zunächst muss die Geschwindigkeit in \(\frac{m}{s}\) ausgedrückt werden: \(v=100\ \frac{km}{h}=\frac{100}{3,6}\ \frac{m}{s}=27,\dot7\ \frac{m}{s}\) Aus der Definition der Beschleunigung folgt dann: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{27,\dot{7}-0}{15-0}=1,\bar{851}\ \frac{m}{s}\). Für \(s\) gilt, mit \(v_0\) ist hier die Anfangsgeschwindigkeit gemeint: \(s(t)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\qquad \Rightarrow\qquad s(15)=0+\frac{1,\bar{851}}{2}\cdot 15^2=208,\dot{3}\,m\)

5 erreichbare Punkte

Gleichförmige Bewegung Ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und legt in einer Zeit von \(\Delta t=2\, s\) eine Strecke von \(\Delta s = 8\, m\) zurück. Welche mit welcher Geschwindigkeit \(v\) bewegt sich der Körper? Nr. 1832
	\(v=4\ \frac{km}{h}\)
	\(v=4\)
	\(v=4\ \frac{m}{s}\)
	\(v=16 \ \frac{m}{s}\)
	\(v=6 \ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{8\,m}{2\,s}=\frac{8}{2} \cdot \frac{m}{s}=4\ \frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben sei folgendes Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, das die geradlinige Bewegung eines Körpers beschreibt. Wann ist der betrachtete Körper am weitesten entfernt vom Anfangsort? Nr. 4427
	Zum Zeitpunkt \(t_1\).
	Zum Zeitpunkt \(t_2\).
	Zum Zeitpunkt \(t_3\).
	Zum Zeitpunkt \(t_4\).
	Zum Zeitpunkt \(t_5\).
Lösungsweg Der Weg, der in den Zeiten von \(t_a\) bis \(t_b \, \gt \, t_a\) zurückgelegt wird, entspricht dem Integral der Geschwindigkeitsfunktion, also: \(s=\int_{t_a}^{t_b}\, v(t) \, \mathrm{d}t\) Graphisch entspricht das der Fläche, die der Graph der Funktion \(v(t)\) mit der \(t\mathrm{-Achse}\) einschließt. Im Bild wurde das Integral von \(t_a=0\) bis \(t_b=t_2\) als blaue Fläche dargestellt. Dabei tragen Flächen, die sich unterhalb der \(t\mathrm{-Achse}\) befinden, negativ zum Integral bei. Das bedeutet, der zurückgelegte Weg wird geringer bzw. verläuft die Bewegung in entgegengesetze Richtung (in Richtung des negativen Ortes \(x(t)\)). Daher ist der zurückgelegte Weg von \(t_0=0\) bis zum Zeitpunkt \(t_3\) maximal (\(t_3\) ist eine Nullstelle, also \(v(t_3)=0\)). Der Körper befindet sich also an dem Ort, der am weitesten vom Ausgangspunkt entfernt liegt. Da Flächen unterhalb der \(t\mathrm{-Achse}\) den zurückgelegten Weg verringern, sich der Körper also wieder in Richtung des Ausgangsortes bewegt, hat das Integral bis zum Zeitpunkt \(t_4\) einen geringeren Wert (im Bild rot schraffiert). Der Körper befindet sich wieder näher am Startpunkt der Bewegung.

5 erreichbare Punkte

Anna fährt um \(8\mathrm{\ Uhr}\) mit dem Fahrrad von zu Hause los, um ihre Großmutter zu besuchen. Sie fährt dabei mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit \(v_A=25\ \frac{km}{h}\). Da sie ihr Handy vergessen hat - und das während der Fahrt auch nicht bemerkt - fährt ihr ihr Bruder Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\) mit dem Auto nach. Er fährt dabei mit einer durchschnittlichen Geschwindkeit von \(v_L=70\ \frac{km}{h}\). Wann hat Leo seine Schwester Anna eingeholt? Nr. 4440
	Um \(10\, : \, 40\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(11\, : \, 00\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(11\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).
	Um \(9\, : \, 50\mathrm{\ Uhr}\).
Lösungsweg Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(8\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\). Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung: \(s_A(t)=v_A\cdot t_A=25\cdot t_A\). (Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!) Leo fährt mit größerer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion: \(s_L=v_L\cdot t_L\) Da Leo um \(9\, : \, 30\mathrm{\ Uhr}\), also \(1,5\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-1,5\) und es ergibt sich: \(s_L=v_L\cdot (t_A-1,5)=v_L\cdot t_A - 1,5\cdot v_L\) Der Term \(-1,5\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)). Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet. Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt: \(s_A=s_L\) und mit den eingesetzten Werten: \(25\cdot t_A=70\cdot (t_A-1,5)\qquad \Rightarrow \qquad 45\cdot t_A = 105\) und damit: \(t_A = 2,\dot 3\,h =140\, min\) Leo holt Anna \(140\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(10\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\).

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt braucht genau \(t=1,3\,min\), um eine Strecke \(s=0,7\,km\) zurückzulegen. Mit welcher Geschwindigkeit \(v\) ist das Objekt unterwegs? Nr. 3346
	\(v= 8,97\ \frac{m}{s}\)
	\(v=8,21\ \frac{m}{s}\)
	\(v=9,43\ \frac{m}{s}\)
	\(v=6,97\ \frac{m}{s}\)
	\(v=1,86\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Zunächst müssen die Werte auf SI-Basiseinheiten umgewandelt werden und dann in \(v=\frac{s}{t}\) einsetzen. Also: \(v=\frac{700\, m}{1,3\cdot 60\, s}=8,97\ \frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Gleichförmig beschleunigte Bewegung Ein Student,der mit \(1,4\ \frac{m}{s}\) geht, sieht, dass seine Straßenbahn kommt und beginnt zu laufen. Dabei beschleunigt er (gleichförmig) in \(2\,s\) auf \(5,4\ \frac{m}{s}\). Wie groß ist die Beschleunigung \(a\) des Studenten? Nr. 1838
	\(a=2,7\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=8\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=10,8\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=2\ \frac{m}{s^2}\)
	\(a=3,4\ \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) \(\Delta v=\left\|v_1-v_2\right\|=\left\|1,4\ \frac{m}{s}-5,4\ \frac{m}{s}\right\|=4\ \frac{m}{s}\) \(\Delta t=2s\) \(\Rightarrow\, a=\frac{4\ \frac{m}{s}}{2\,s}=\frac{4}{2}\cdot\frac{\frac{m}{s}}{s}=2\ \frac{m}{s^2}\)

5 erreichbare Punkte

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