Zunächst müssen die beiden Ortsfunktionen bestimmt werden, am Besten mit Skizze dazu. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig wählbar ist, wählen wir für \(17\mathrm{\ Uhr}\) den Zeitpunkt \(t_0=0\,h\).

Damit ergibt sich für Anna eine homogene Ortsfunktion für eine gleichförmig unbeschleunigte Bewegung:

\(s_A(t)=v_A\cdot t_A=35\cdot t_A\).

(Anm.: In diesem Fall muss nicht unbedingt in SI-Einheiten umgerechnet werden, da das Ergebnis in Stunden sinnvoller ist für die Bestimmung der Uhrzeit, zu der Leo Anna einholt. Bonusaufgabe: mit SI-Einheiten rechnen!)

Leo fährt mit höherer Geschwindigkeit als Anna, daher hat seine Ortsfunktion eine größere Steigung. Wir gehen wiederum von einer mittleren Geschwindigkeit aus, also von einer gleichförmig unbeschleunigten Bewegung und entsprechend einer linearen Ortsfunktion:

\(s_L=v_L\cdot t_L\)

Da Leo um \(17\, : \, 20\mathrm{\ Uhr}\), also \(20\,min=\frac{1}{3}\, h\) später als Anna, losfährt muss gelten \(t_L=t_A-\frac{1}{3}\) und es ergibt sich:

\(s_L=v_L\cdot (t_A-\frac{1}{3})=v_L\cdot t_A - \frac{1}{3}\cdot v_L\)

Der Term \(-\frac{1}{3}\cdot v_L\) entspricht also dem Offset der linearen Ortsfunktion von Leo (dem Parameter \(d\) der linearen Funktion \(y=k\cdot x +d\)).

Die beiden Ortsfunktionen sind in der Grafik rechts abgebildet.

Um den Zeitpunkt, an dem Leo Anna einholt, zu ermitteln, werden die beiden Ortsfunktionen gleichgesetzt:

\(s_A=s_L\)

und mit den eingesetzten Werten:

\(35\cdot t_A=60\cdot (t_A-\frac{1}{3})\qquad \Rightarrow \qquad 25\cdot t_A = 20\)

und damit:
\(t_A = 0,8\,h =48\, min\)

Leo holt Anna \(48\, min\) nach ihrer Abfahrt ein, erreicht sie also um \(17\, : \, 48\mathrm{\ Uhr}\).

Um den Ort zu bestimmen, an dem er sie einholt, muss der Zeitpunkt \(t_A=0,8\,h\) noch in eine der Ortsfunktionen eingesetzt werden (Bonusfrage: Weshalb ist es egal, in welche Ortsfunktion eingesetzt wird?):
\(s(t_A=0,8)=35\ \frac{km}{h}\cdot 0,8\,h=28\, km\)

Rechnen wir zunächst alle Geschwindigkeiten in die SI-Einheit \(\frac{m}{s}\) um. Wir erhalten \(72\, \frac{km}{h}=20\, \frac{m}{s}\) , \(36\, \frac{km}{h}= 10\, \frac{m}{s}\) und \(54\, \frac{km}{h}= 15\, \frac{m}{s}\). Für die angegebenen Werte erhalten wir die zurückgelegte Strecke \(\Delta s=20\, \frac{m}{s} \cdot 30\, s + 10\, \frac{m}{s} \cdot 48\, s = 1080\, m\). Um diese Strecke mit der Geschwindigkeit \(v=15\, \frac{m}{s}\) zurückzulegen, benötigt man \(\Delta t= \frac{\Delta s}{v}=\frac{1080\, m}{15\, \frac{m}{s}}=72\, s\).

Zunächst müssen die Werte auf SI-Basiseinheiten umgewandelt werden und dann in \(v=\frac{s}{t}\) einsetzen.

Also: \(v=\frac{700\, m}{1,3\cdot 60\, s}=8,97\ \frac{m}{s}\)

Ein Jahr hat 365 Tage. Ein Tag hat 24 Stunden. Eine Stunde hat 60 Minuten. Eine Minute hat 60 Sekunden. Somit erhalten wir \(s=3,0 \cdot 10^8 \,\frac{m}{s} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\, s = 9,5 \cdot 10^{15}\, m\).

(Anmerkung: Schaltjahre haben 366 Tage, aber bei der Berechnung auf 2 Stellen genau irrelevant. Für die exakte Definition des Lichtjahres wird üblicherweise das 'Julianische Jahr' mit \(365,35 \ \mathrm{Tagen}\) Tagen verwendet, siehe dazu Wikipedia).

Um die Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der der Körper vom Erdboden aus geworfen hätte werden müssen, betrachten wir zunächst die Wurfparabel mit ihrer Erweiterung zur negativen Nullstelle (siehe Grafik). Der Abwurfzeitpunkt ist im Bild mit \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bezeichnet. Er entspricht genau der Zeit des Abwurfes, wenn der Körper vom Boden aus geworfen würde, um die Höhe \(h_{max}\) zu erreichen.

Es muss also zunächst die Nullstelle \(t_{\mathrm{Wurf}}\) bestimmt werden.

Um dies zu ermitteln muss die Gleichung \(h(t_{\mathrm{Wurf}})=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +12\cdot t +21,6 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - 2,4t -4,32 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = 1,2 \pm \underbrace{\sqrt{(1,2)^2 +4,32}}_{=2,4}\)

Schließlich also:

\(t_a=1,2\ s - 2,4\ s =-1,2\ s\) und

\(t_b=1,2\ s+2,4\ s = 3,6\ s\)

Da wir an der negativen Lösung interessiert sind, ist

\(t_{\mathrm{Wurf}}=t_b=-1,2\ s\)

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\, s\) hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik rot eingezeichnet).

Anmerkung: Die selbe Geschwindigkeit, nur mit einem negativen Vorzeichen, würde man aus Symmetriegründen auch an der Stelle \(t_2=3,6\, s\) erhalten. Das bedeutet, dass der Körper mit dem selben Geschwindigkeitsbetrag am Boden wieder aufkommt, mit dem er zuvor hochgeworfen wurde. Auch dieser Lösungsweg wäre vollkommen korrekt - Bonusaufgabe: zeige, dass das selbe Ergebnis herauskommt!

Ableiten ergibt:

\(v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+12\)

Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_{\mathrm{Wurf}}=-1,2\ s\) zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden:

\(v(t_{\mathrm{Wurf}}=-1\ s)= -10\cdot (-1,2) + 12 =12+12=24\ \frac{m}{s}\)

Die Abwurfgeschwindigkeit muss also

\(v_{\mathrm{Wurf}}=24\ \frac{m}{s}\) betragen, damit der Körper die Höhe \(h_{max}\) erreicht.

Für den senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion der Form

\(h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0\)

modelliert. Dabei bezeichnet \(g\) die Erdbeschleunigung (wobei mit \(g = 10 \ \frac{m}{s^2}\) zu rechnen war), \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird.

Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, bzw. die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Dabei ist darauf zu achten, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) positiv sein muss, da ja der Körper nach oben geworfen wird!

Um zu ermitteln, wann der Körper am Boden aufkommt, muss die Gleichung

\(h(t_2)=0\) gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert \(0\) hat.

Es muss also die quadratische Gleichung

\(h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0\) gelöst werden.

Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor \(t^2\) ist \(1\)), die kleine Lösungsformel:

\(-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad | :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0 \)

Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel:

\(t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}\)

Schließlich also:

\(t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s\) und

\(t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s\)

Da offensichtlich nur eine Lösung \(t\, \gt \, 0\) in Frage kommt, ist

\(t_2=t_b=2\ s\)

Antwort 2 ist korrekt!

Auch wenn der Körper nach unten geworfen wird, handelt es sich um einen senkrechten Wurf. Dieser wird mit einer quadratischen Ortsfunktion \(h(t)\) modelliert:

\(h(t)=-\frac{g}{2}\ t^2 -v_0\cdot t + h_0\)

Wobei \(g=9,81\ \frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung, \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und \(h_0\) die Höhe, aus der der Körper geworfen wird, beschreiben.

Die negativen Vorzeichen rühren daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Genauso wird der Körper auch nach unten geworfen, weshalb auch \(v_0\) mit einem negativen Vorzeichen zu versehen ist.

Da also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0=0\, s\) negativ ist, muss die entsprechende Ortsfunktion an dieser Stelle eine fallende Tangente besitzen (denn die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen an einer Stelle \(t\)). Damit lässt sich Antwort 1 schon mal ausschließen.

Nach dem Loslassen wird der Körper weiter nach unten durch die Fallbeschleunigung beschleunigt. Das bedeutet, dass seine vorzeichenbehaftetete Geschwindigkeit stets abnehmen muss (der Betrag der Geschwindigkeit nimmt aber zu!). Anders ausgedrückt muss die Ortsfunktion mit der Zeit steiler abfallen.

Damit verbleibt nur mehr Antwort 2 als korrekte Antwort.

Im Bild sind die Tangenten zum Zeitpunkt \(t_0\) und beim Aufprall am Boden rot eingezeichnet. Dort ist ersichtlich, dass die Steigungen der Tangenten mit der Zeit steiler werden (abnehmen).

Die übrigen Ortsfunktionen haben zwar eine negative Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t_0\), werden aber abgebremst (nach oben beschleunigt) oder verlaufen linear, also mit konstanter Geschwindigkeit.

Die Formel für die Geschwindigkeit ist bekannterweise \(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}\). Die Formel für den Impuls ist \(p=mv\). In Kombination erhalten wir somit \(p=m \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t}= 1,85 \cdot 10^{-3}kg \cdot \frac{16,98\, m}{4,46\, s}=7,04 \cdot 10^{-3} \ \frac{kg \cdot m}{s}\). Das Ergebnis wurde 3 gültige Stellen gerundet.