Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Die Abbildung zeigt das Weg-Zeit-Diagramm eines Körpers, der im Schwerefeld der Erde senkrecht nach oben geworfen wird. Welche Aussagen(n) ist/sind korrekt? Nr. 4439
	Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung.
	Die Beschleunigung hat stets die selbe Richtung wie die Geschwindigkeit.
	Die Beschleunigung ist immer negativ.
	Wenn der Körper seine maximale Höhe \(x_{max}\) erreicht, ist die Beschleunigung \(a=0\).
	Zum Zeitpunkt \(t_{max}\) ändert die Beschleunigung ihr Vorzeichen.
Lösungsweg Der senkrechte Wurf ist eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, die Beschleunigung ist also konstant und nicht gleich \(0\). Da - wie in der Abbildung zu sehen ist - die Wurfparabel nach unten geöffnet ist, muss die Beschleunigung negativ sein. Das ist eine häufige Konvention, um zu verdeutlichen, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Die einzig wirksame Kraft beim senkrechten Wurf ist die Gravitationskraft (die Beschleuigung des Körpers vor dem Loslassen interressiert uns dabei nicht). Da die Gravitationskraft stets zur Erde, also "nach unten", wirkt, ist die Beschleunigung \(a=-9,81\ \frac{m}{s^2}\). Diese ändert auch nicht ihr Vorzeichen oder wird \(0\) bei Erreichen der maximalen Höhe \(x_{max}\). Die einzig korrekte Antwort ist daher: Antwort 3!

5 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v_1=30\,\frac{km}{h} \) für eine Zeit \(t_1=20\,min\) gerade aus und danach für \(t_2=10\,min\) mit \(v_2=50\,\frac{km}{h}\). Nun kehrt das Auto zurück zum Ausgangspunkt mit einer Geschwindigkeit \(v_3=20\,\frac{km}{h}\). Wie lange dauert die Rückfahrt? Hinweis: Beschleunigungsphasen dazwischen können vernachlässigt werden Nr. 3336
	\(t=3300\,s\)
	\(t=55\,min\)
	\(t=330\,s\)
	\(t=30\,h\)
Lösungsweg \(v_1=30\,\frac{km}{h}=8,\dot{3}\,\frac{m}{s}\) \(v_2=50\,\frac{km}{h}=13,\dot{8}\,\frac{m}{s}\) \(v_3=20\,\frac{km}{h}=5,\dot{5}\,\frac{m}{s}\) Hinweg: \(s=8,\dot{3}\cdot 1200+13,\dot{8}\cdot 600=18333,\dot{3}\,m\) Zeit für den Rückweg: \(t=\frac{s}{v}=\frac{18333,\dot{3}}{5,\dot{5}}=3300\,s\) das entspricht \(t=55\,min\)

4 erreichbare Punkte

Die Erdbeschleunigung \(g\) kann man mithilfe eines mathematischen Pendels überprüfen. Sie ist definiert als \(g=\(\frac{4\cdot \pi^2\cdot l}{T_0^2}\)\). Wie lange dauert also ein Pendelschwung \(T_0\), wenn die Fadenlänge \(l=8\,cm\) beträgt? Nr. 3294
	\(T_0=0,384\,s\)
	\(T_0=0,862\,s\)
	\(T_0=0,512\,s\)
	\(T_0=0,567\,s\)
Lösungsweg Zuerst muss sichergestellt werden, dass alle Werte in der Formel in SI-Basiseinheiten angegeben sind. \(8\,cm=0,08\,m\). Nun muss nur noch die Formel umgeformt werden auf \(T_0\) und eingesetzt: \(T_0=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot l}{g}}=\sqrt{\frac{4\cdot\pi^2\cdot 0,08\,m}{9,81\ \frac{m}{s^2}}}=0,567\,s \)

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei die Bewegungsgleichung: \(x(t)=9t^2+24\) Wann ist der Körper bei \(x=60\,m\)? Nr. 2037
	\(t=-2\,s\)
	\(t=0,5\,s\)
	\(t=1\,s\)
	\(t=1,5\,s\)
	\(t=2\,s\)
Lösungsweg Gegeben ist die Ortsfunktion \(x(t)=9t^2+24\), die den Ort, an dem sich der betrachtete Körper befindet, in Abhängigkeit der Zeit angibt. Um zu bestimmen, wann sich der Körper bei \(x=60\,m\) befindet, müssen wir also den Zeitpunkt \(t_1\) bestimmen, an dem \(x(t_1)=60\,m\) gilt. Dafür setzen wir den Funktionswert ein und nach Umformung erhalten wir die gesuchte Zeit \(t_1\): \(x(t_1)=60=9t_1^2+24\) \(9t_1^2=60-24=36\) \(t_1^2=4 \ \Rightarrow \ t_1=\pm 2\)

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in eine beliebige, jedoch fixierte Richtung. Es legt dabei in \(15\quad \mathrm{Minuten}\) eine Strecke von \(30\, km\) zurück. Welche Geschwindigkeit hat das Objekt in der entsprechenden SI-Einheit? Runde dabei sinnvoll. Nr. 1599
	\(v=2\, \frac{km}{min}\)
	\(v=33\, \frac{m}{s}\)
	\(v=120\, \frac{km}{h}\)
	\(v=45\, \frac{km}{h}\)
	\(v=45\, \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Die SI-Einheit der Geschwindigkeit ist \(\frac{m}{s}\). \(v= \frac{ \Delta s}{\Delta t}= \frac{30\, \ km}{15\, min}= \frac{30 \cdot 1000\, m }{15 \cdot 60 \,s}=33,\overline{3}\, \frac{m}{s}\) Auf zwei gültige Stellen gerundet erhalten wir also \(v=33 \, \frac{m}{s}\).

5 erreichbare Punkte

Ein Auto beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit \(a=2,3\ \frac{m}{s^2}\) für eine Zeit \(t=9\,s\). Welche Strecke \(s\) hat das Auto während der Beschleunigungsphase zurückgelegt? Nr. 3492
	\(s=93,15\,m\)
	\(s=105,4\,m\)
	\(s=87,66\,m\)
	\(s=99,04\,m\)
Lösungsweg Allgemein ist die Strecke \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2\), wo \(s_0\) der Abstand vom Ursprung und \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t=0\) ist. Da \(s_0=0\) ist und "aus dem Stand beschleunigen" \(v_0=0\) bedeutet, ist \(s(t)=\frac{a}{2}\,t^2=\frac{2,3}{2}\cdot t^2\qquad \Rightarrow \qquad s(9)=1,15\cdot 9^2=93,15\,m\)

4 erreichbare Punkte

Ein Motorrad beschleunigt gleichförmig aus dem Stand mit \(a=5,97\ \frac{m}{s^2}\) für die Zeit \(t=5\,s\). Welche Geschwindigkeit \(v\) hat das Motorrad zum Zeitpunkt \(t=5\,s\) erreicht? Nr. 3329
	\(v=22,63\ \frac{m}{s}\)
	\(v=29,85\ \frac{m}{s}\)
	\(v=30,51\ \frac{m}{s}\)
	\(v=29\ \frac{km}{h}\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Mit \(v_1=0\) in diesem Beispiel ist \(v=v_2\) die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist \(a=\frac{v}{t}\). Dies wird nach \(v\) umgeformt \(v=a\cdot t=5,97\cdot5=29,85\ \frac{m}{s}\)

4 erreichbare Punkte

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 8]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4425
	In den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort.
	Nachdem der Körper eine Strecke von \(s=4\, m\) zurückgelegt hat, befindet er sich in Ruhe.
	Den größten Betrag hat die Geschwindigkeit des Körpers zwischen \(t_1=2\, s\) und \(t_2=3\, s\).
	Die Geschwindigkeitsfunktion ändert im Laufe der Zeit ihr Vorzeichen.
	Für \(t \in \left[ 6,\, 8 \right]\) ist die Geschwindigkeitsfunktion streng monoton fallend.
Lösungsweg Antwort 1: In den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) ist die Ortsfunktion linear, beziehungsweise deren Anstieg ist konstant und \(> \, 0\). Der Anstieg (der Tangente) der Ortsfunktion entspricht der Geschwindigkeit, der Körper bewegt sich also mit konstanter Geschwindigkeit fort. Antwort 2: Der Körper befindet sich nach \(4\, s\) in Ruhe, es wurde bis dahin ein Weg von \(5\, m\) zurückgelegt. Die Antwort ist daher falsch. Antwort 3: Die Geschwindigkeit entspricht dem Anstieg der Tangente an die Ortsfunktion. Sie hat in den Zeiten von \(t_1=2\, s\) bis \(t_2=3\, s\) zwar ein lokales Maximum, zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ist der Verlauf jedoch sichtlich steiler. Der Betrag der Geschwindigkeit muss also bei \(t_3=7\, s\) maximal sein. Antwort 4: In den ersten \(4 \qquad \mathrm{Sekunden}\) bewegt sich der Körper vorwärts, die Geschwindigkeit ist positiv. In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist die Steigung der Tangente negativ, der Körper bewegt sich also in die entgegengesetzte Richtung. Dafür muss sich das Vorzeichen der Geschwindigkeitsfunktion ändern. Antwort 5: In den letzten \(2 \qquad \mathrm{Sekunden}\) ist zwar die Ortsfunktion streng monoton fallend, die Geschwindigkeit nimmt allerdings bis zum Zeitpunkt \(t_3=7\, s\) ab und steigt danach wieder an. Die Ortsfunktion hat also ein Minimum und ist daher nicht streng monoton (weder fallend noch steigend).

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