Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) in eine bestimmte Richtung \(x\) bewegendes Objekt folgt der Bewegungsgleichung (Ortsfunktion) \(x(t)=v t +x_0\), wobei \(x_0\) der Ort zum Zeitpunkt \(t=0\) ist. Im folgenden betrachten wir ein Objekt mit Geschwindigkeit \(v=5\ \frac{m}{s}\). Dieses Objekt befindet sich zudem zum Zeitpunkt \(t=10\, s\) am Ort \(x=20\,m\). Ermittle für diesen Fall \(x_0\). Nr. 1552
	\(x_0=-30\ m\)
	\(x_0=0\ m\)
	\(x_0=30\ m\)
	\(x_0=70\ m\)
	\(x_0=-15\ m\)
Lösungsweg Gemäß der Angabe gilt \(x(10\ s)=20\ m\) und somit \(20\, m= 5\, \frac{m}{s} \cdot 10\ s + x_0 = 50\, m + x_0\) Durch auflösen dieser Gleichung nach \(x_0\) (indem man auf beiden Seiten \(50\,m\) subtrahiert) erhält man \(x_0=-30\, m\)

5 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v_1=30\,\frac{km}{h} \) für eine Zeit \(t_1=20\,min\) gerade aus und danach für \(t_2=10\,min\) mit \(v_2=50\,\frac{km}{h}\). Nun kehrt das Auto zurück zum Ausgangspunkt mit einer Geschwindigkeit \(v_3=20\,\frac{km}{h}\). Wie lange dauert die Rückfahrt? Hinweis: Beschleunigungsphasen dazwischen können vernachlässigt werden Nr. 3336
	\(t=3300\,s\)
	\(t=55\,min\)
	\(t=330\,s\)
	\(t=30\,h\)
Lösungsweg \(v_1=30\,\frac{km}{h}=8,\dot{3}\,\frac{m}{s}\) \(v_2=50\,\frac{km}{h}=13,\dot{8}\,\frac{m}{s}\) \(v_3=20\,\frac{km}{h}=5,\dot{5}\,\frac{m}{s}\) Hinweg: \(s=8,\dot{3}\cdot 1200+13,\dot{8}\cdot 600=18333,\dot{3}\,m\) Zeit für den Rückweg: \(t=\frac{s}{v}=\frac{18333,\dot{3}}{5,\dot{5}}=3300\,s\) das entspricht \(t=55\,min\)

4 erreichbare Punkte

Gleichförmige Bewegung Ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und legt in einer Zeit von \(\Delta t=2\, s\) eine Strecke von \(\Delta s = 8\, m\) zurück. Welche mit welcher Geschwindigkeit \(v\) bewegt sich der Körper? Nr. 1832
	\(v=4\ \frac{km}{h}\)
	\(v=4\)
	\(v=4\ \frac{m}{s}\)
	\(v=16 \ \frac{m}{s}\)
	\(v=6 \ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{8\,m}{2\,s}=\frac{8}{2} \cdot \frac{m}{s}=4\ \frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt erfährt eine Beschleunigung \(a=8,6\ \frac{m}{s^2}\) und beschleunigt von \(v_1=5\ \frac{m}{s}\) auf \(v_2=30\ \frac{m}{s}\). Wie lange braucht es dafür? Nr. 3328
	\(t=3,41\,s\)
	\(t=2,91\,s\)
	\(t=3,22\,s\)
	\(t=2,75\,s\)
	\(t=4,07\,s\)
Lösungsweg Die Beschleunigung ist folgerndermaßen definiert \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}\). Nach \(t\) umgeformt und eingesetzt ergibt \(t=\frac{30-5}{8,6}=2,91\,s\)

5 erreichbare Punkte

Gleichförmige Bewegung Ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und legt in einer Zeit von \(\Delta t=5\,s\) eine Strecke von \(\Delta s = 3\,m\) zurück. Welche mit welcher Geschwindigkeit \(v\) bewegt sich der Körper? Nr. 1833
	\(v=\frac{3}{5}\ \frac{m}{s}\)
	\(v=\frac{5}{3}\ \frac{m}{s}\)
	\(v=15\ \frac{m}{s}\)
	\(v=0,6\ \frac{m}{s}\)
	\(v=2\ \frac{m}{s}\)
Lösungsweg \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3\,m}{5\,s}=\frac{3}{5} \cdot \frac{m}{s}=0,6 \ \frac{m}{s}\)

5 erreichbare Punkte

Welche Näherungsformel kann verwendet werden, um die Tiefe \(h\) eines Brunnens abzuschätzen? Dabei ist \(t\) die Zeit, die vergeht zwischen dem Loslassen eines Steines, den man in den Brunnen fallen lässt, und dem Hören des Aufprallgeräusches, \(g\) ist die Erdbeschleunigung, \(c\) die Schallgeschwindigkeit. Nr. 2105
	\(h = g \: t\)
	\(h\, \approx\, \frac{g}{2} \: t^{2}\)
	\(h\, \approx\, 5\ \frac{m}{s^{2}}\: t^{2}\)
	Auflösen folgender (quadratischer) Gleichung nach \(h\): \(t \: = \: \sqrt{\frac{2 \: h}{g}} \: + \: \frac{h}{c}\)
	\(h \, \approx\, \frac{c}{2}\ t^2\)
Lösungsweg Die gegebene Zeit \(t\) entspricht der Zeit, die der Stein fällt, und der Zeit, die der Schall benötigt, um vom Boden des Brunnens nach oben zu gelangen. Anders ausgedrückt ist \(t\) die Summe aus der Fallzeit und der Laufzeit des Schalls. Die Fallzeit \(t_f\) lässt sich aus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung herleiten: \(h=\frac{g}{2}\ t_f}^2 \ \Rightarrow \ t_f=\sqrt{\frac{2h}{g}}\) Die Ausbreitung des Schalls hingegen entspricht einer gleichförmigen Bewegung, mit konstanter Geschwindigkeit \(c\). Die Laufzeit des schalls \(t_s\) lässt sich bestimmen durch: \(h=c \cdot t_s \ \Rightarrow \ t_s=\frac{h}{c}\) Es muss also \(t = t_f + t_s\) sein: \(t= t_f+t_s = \sqrt{\frac{2h}{g}}+ \frac{h}{c}\) Da aber in der Regel \(\left\| c \right\|\, \gg\, \left\|h\right\|\) gilt, ist \(\frac{h}{c}\, \approx \, 0\) Es kann also die Laufzeit des Schalls im Gegensatz zur Fallzeit des Steins vernachlässt werden. Eine zulässige Näherungsformel ist daher: \(t\, \approx \, \sqrt{\frac{2h}{g}}\) bzw. \(h\, \approx \, \frac{g}{2}\, t^2\) für den gleichmäßig beschleunigten Fall. Da \(g\, \approx \, 10\ \frac{m}{s^2}\) lässt sich außerdem schreiben: \(h\, \approx \, 5\ \frac{m}{s^2}\ t^2\)

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist ein Weg-Zeit-Diagramm, das eine geradlinige Bewegung eines Körpers in den Zeiten \(t \in \, [0,\ 25]\) (in Sekunden) beschreibt. Welche der Aussagen treffen/trifft zu? Nr. 4429
	In den ersten \(10 \, \mathrm{Sekunden}\) ist die zugehörige Geschwindigkeits-Funktion \(v(t)\) streng monoton steigend.
	\(v(2) \, \gt\, v(6)\)
	\(v(12) = v(21)\)
	Für \(t\, > \, 18,5\, s\) gilt: \(v(t)\, \leq \, 0\)
	Für \(t \, \in \, \left[0,\, 14\right]\) gilt: \(v(t) \, \geq \, 0\)
Lösungsweg Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion, bzw. ist die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\dot x(t)\). Im Bild sind die Tangenten an den Stellen \(t_1 = 2\, s\) und \(t_2 = 6\, s\) eingezeichnet. Antwort 1: Die Geschwindigkeit steigt zwar zunächst von \(v(0)=0\) an und hat bei etwa \(t_W \approx 7\, s\) ein Maximum. Danach fällt die Geschwindigkeit aber wieder ab, bis schließlich \(v(10)=0\) gilt. Die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\) kann daher nicht streng monoton sein. Antwort 2: Wie im Bild zu sehen ist, ist die Steigung der Tangente zum Zeitpunkt \(t_1 = 2\, s\) (im Bild blau dargestellt) kleiner als die zum Zeitpunkt \(t_2 = 6\, s\) (im Bild rot). Es muss daher \(v(2) \, \lt\, v(6)\) gelten. Antwort 3: Zu den Zeiten \(t_{max}=12\, s\) und \(t_{min}=21\, s\) hat die Ortsfunktion Extremstellen. Dort sind die Tangenten waagrecht bzw. haben den Anstieg \(0\). Es muss also \(v(12)=v(21)=0\) gelten. Antwort 4: Für \(t\, > \, 18,5\, s\) gilt zwar \(x(t) \, \leq \, 0\), das gilt aber nicht zwangsläufig für die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\dot x(t)\). Die Ortsfunktion hat bei \(t_{min}=21\, s\) ein Minimum, es gilt also \(v(21)=0\). Für \(t\, \gt\, 21 \, s\) nimmt die Geschwindigkeit aber wieder zu. Antwort 5: Da für alle \(t \, \in \, \left[0,\, 14\right]\) die Ortsfunktion monoton steigend ist (achtung: nicht streng monoton!), ist die Steigung der Tangente dort stets positiv und damit gilt auch \(t \, \in \, \left[0,\, 14\right] \quad \Rightarrow \quad v(t) \geq \, 0\).

5 erreichbare Punkte

Oft spricht man von einem Lichtjahr, die Distanz, die Licht in einem Jahr zurücklegt. Die Geschwindigkeit von Schall beträgt bei trockener Luft etwa \(v=342,2\ \frac{m}{s}\). Wie weit kommt also Schall in einem Jahr? Hinweis: Es gibt keinerlei Hindernisse und die Lufteigenschaften seien konstant. Nr. 3135
	\(s=1,08 \cdot 10^7\,km\)
	\(s=1,08\cdot 10^9\,m\)
	\(s=2,33\cdot 10^9\,m\)
	\(s=1,08 \cdot 10^{10}\,m\)
	\(s=2,33\cdot 10^5\,km\)
Lösungsweg Schall legt in einer Sekunde \(s=342,2\,m\) zurück, dessen \(3600\mathrm{fach}\) in der Stunde, dessen \(24\mathrm{igfache}\) am Tag und dessen \(365\mathrm{igfache}\) im Jahr: \(s=342,2\cdot 3600\cdot 24\cdot 365=1,08\cdot 10^{10}\,m = 1,08\cdot 10^{7}\, km\)

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