\(a= \frac{ \Delta v}{\Delta t}= \frac{v_1-v_0}{\Delta t}= \frac{50 \ \frac{m}{s} - 30 \ \frac{m}{s}}{5s}=4 \ \frac{m}{s^2}\)

Aus der Angabe folgt unmittelbar

\( \dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c} 1\\ \sqrt{2}t\\ t^{2} \end{array}\right)\)

und

Gegeben ist und in SI Einheiten umgerechnet

• \(s=8000m\)
• \(v_{H}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}\)
• \(t=180\,s\)

Hans und Katrin sind gleich lange gefahren, nur unterschiedich weit, also gilt zeitlich gesehn \(t_{Hans}=t_{Katrin}\). Also darf man sie gleichsetzen.

\(v_H\cdot t + v_K\cdot t=s\)

Also gilt:

\(v_{K}=\frac{8000-180\cdot 6,9\dot{4}}{180}=37,5\ \frac{m}{s}\)

Der senkrechte Wurf ist eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, die Beschleunigung ist also konstant und nicht gleich \(0\). Da - wie in der Abbildung zu sehen ist - die Wurfparabel nach unten geöffnet ist, muss die Beschleunigung negativ sein. Das ist eine häufige Konvention, um zu verdeutlichen, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt.

Die einzig wirksame Kraft beim senkrechten Wurf ist die Gravitationskraft (die Beschleuigung des Körpers vor dem Loslassen interressiert uns dabei nicht). Da die Gravitationskraft stets zur Erde, also "nach unten", wirkt, ist die Beschleunigung \(a=-9,81\ \frac{m}{s^2}\). Diese ändert auch nicht ihr Vorzeichen oder wird \(0\) bei Erreichen der maximalen Höhe \(x_{max}\).

Die einzig korrekte Antwort ist daher: Antwort 3!

Die Geschwindigkeit ist \(v=a\cdot t\)

Eingesetzt ergibt:

\(v=4,7\cdot 9=42,3\ \frac{m}{s}\)

\(t_1=20 min=\frac{1}{3}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_1=v_1\cdot t_1=30\cdot \frac{1}{3}=10\,km\\\)

\(t_2=\qquad5 min=\frac{1}{12}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_2=v_2\cdot t_2=35\cdot \frac{1}{12}=2,91\dot{6}\,km\\\)

\(t_3=30 min=\frac{1}{2}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_3=v_3\cdot t_3=15\cdot \frac{1}{2}=7,5\,km\)

Daher ist die Gesamtstrecke: \(s=s_1+s_2+s_3=20.41\dot{6}\,km\)

Die gefahrene Gesamtzeit: \(t=t_1+t_2+t_3=55\,min\)

Daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \(v=\frac{s}{t}=0,37\bar{12}\ \frac{km}{min}=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}\).

Die Ortsfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit \(t\)) des ersten Autos kann beschrieben werden durch \(x_1= 10\, \frac{m}{s} \cdot t\). Das zweite Auto ist zu Beginn 600m entfernt und bewegt sich in gegensätzlicher Geschwindigkeit auf das erste Auto zu. Die Ortsfunktion des zweiten Autos lautet somit \(x_2= 600\, m - 20\, \frac{m}{s} \cdot t\). Durch Gleichsetzen der beiden Ortsfunktionen, d.h. \(x_1=x_2\), und Auflösen nach der Zeit \(t\) erhält man \(t=20\, s\).  

Da es sich um einen senkrechten Wurf und damit um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, wird eine quadratische Ortsfunktion angenommen:

\(x(t)=-\frac{g}{2}\,t^2 + v_0\cdot t\)

Das negative Vorzeichen kommt daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt, während der Körper mit \(v_0\) nach oben geworfen wird. Diese Parabel ist schematisch in der Grafik dargestellt. Der Zeitpunkt, an dem der Körper wieder die ursprüngliche Höhe \(x_0\) erreicht hat, wird hier mit \(t_n\) bezeichnet.

Wenn beide Vorzeichen umgedreht würden, würde das am Ergebnis nichts ändern, die Parabel in der Grafik wäre allderings nach oben geöffnet (an der \(x\mathrm{-Achse}\) gespiegelt).

Es muss also - wie aus der Grafik ersichtlich - die Nullstelle \(x(t_n)=0\), wobei \(t_n>0\) gilt, gefunden werden.

\(-\frac{g}{2}\,{t}^2 + v_0\cdot t=0\)

\(t\cdot \,\left( -\frac{g}{2}\,t +v_0\right) =0\)

Nach dem Produkt-Null-Satz ist das Produkt zweier Faktoren dann \(0\), wenn einer der beiden Faktoren \(0\) ist. (Natürlich kann auch eine der Lösungsformeln angewendet werden, das Ergebnis ist das selbe. Die Faktorisierung erspart allerdings die Lösungsformel und ist generell für homogene quadratische Gleichungen zu empfehlen.)

Es ist also \(t_0=0\) eine Lösung. Allerdings interessiert uns eine Lösung \(t_n\ >\ 0\).

Daher muss gelten:

\(-\frac{g}{2}\,t_n +v_0=0 \qquad \Rightarrow \qquad t_n=\frac{2\,v_0}{g}\)