Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Einfache Kinematik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Eine Radfahrerin fährt mit ihrem Rad mit $v_1=30\ \frac{km}{h}$ für die Zeit $t_1=20\,min$ . Gleich danach fährt sie $t_2=5\,min$ lang mit der Gechwindigkeit $v_2=35\ \frac{km}{h}$ und am Schluss zum Entspannen $t_3=30\,min$ lang mit der Geschwindigkeit $v_3=15\ \frac{km}{h}$ . Wie groß ist ihre Durchschnittsgeschwindigkeit $v$ ? Hinweis: Bremswege können vernachlässigt werden Nr. 3136
	$v=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}$
	$v=26,\dot{7}\ \frac{km}{h}$
	$v=30\ \frac{km}{h}$
	$v=19,25\ \frac{km}{h}$
Lösungsweg $t_1=20 min=\frac{1}{3}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_1=v_1\cdot t_1=30\cdot \frac{1}{3}=10\,km\\$ $t_2=\qquad5 min=\frac{1}{12}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_2=v_2\cdot t_2=35\cdot \frac{1}{12}=2,91\dot{6}\,km\\$ $t_3=30 min=\frac{1}{2}\,h\qquad \Rightarrow\qquad s_3=v_3\cdot t_3=15\cdot \frac{1}{2}=7,5\,km$ Daher ist die Gesamtstrecke: $s=s_1+s_2+s_3=20.41\dot{6}\,km$ Die gefahrene Gesamtzeit: $t=t_1+t_2+t_3=55\,min$ Daher ist die Durchschnittsgeschwindigkeit $v=\frac{s}{t}=0,37\bar{12}\ \frac{km}{min}=22,\bar{27}\ \frac{km}{h}$ .

4 erreichbare Punkte

Ein Körper der Masse $m=2\, kg$ wird aus einer Höhe $h_0=10\, m$ mit einer Geschwindigkeit $v_0=5\ \frac{m}{s}$ senkrecht nach oben geworfen. Welchen Impuls hat der Körper unmittelbar vor dem Auftreffen auf dem (Erd-)Boden? Rechne dabei mit $g= 10\ \frac{m}{s^2}$ . Nr. 4432
	$p=-30\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=-40\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=-15\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=30\; \frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=50\; \frac{kg\cdot m}{s}$
Lösungsweg Der Impuls eines Körpers mit Masse $m$ ist definiert als: $p=m\cdot v$ Es muss also zunächst die Geschwindigkeit bestimmt werden, mit der der Körper am Boden ankommt. Beim senkrechten Wurf wird die Ortsfunktion als quadratische Funktion modelliert: $h(t)=-\frac{g}{2}\cdot t^2 + v_0\cdot t + h_0$ Dabei bezeichnet $g$ die Erdbeschleunigung (wobei mit $g = 10 \ \frac{m}{s^2}$ zu rechnen war), $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $h_0$ die Höhe, aus der der Körper hochgeworfen wird. Zuerst muss der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Körper am Boden auftrifft. Um dies zu ermitteln muss die Gleichung $h(t_2)=0$ gelöst werden, da am Boden (wie meistens angenommen) die Höhe den Wert $0$ hat. Es muss also die quadratische Gleichung $h(t)=-5\cdot t^2 +5\cdot t +10=0$ gelöst werden. Dafür kann entweder die große Lösungsformel angewendet werden (Übungsaufgabe!) oder nach Normalisierung (= der Faktor vor $t^2$ ist $1$ ), die kleine Lösungsformel: $-5\cdot t^2 +5\cdot t +10 =0 \quad \| :\ (-5) \\ t^2 - t -2 =0$ Damit erhalten wir mit der kleinen Lösungsformel: $t_{a,b} = \frac{1}{2} \pm \underbrace{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 +2}}_{=1,5}$ Schließlich also: $t_a=0,5\ s - 1,5\ s =-1\ s$ und $t_b=0,5\ s+1,5\ s = 2\ s$ Da offensichtlich nur eine Lösung $t\, \gt \, 0$ in Frage kommt, ist $t_2=t_b=2\ s$ Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, die der Körper zum Zeitpunkt $t_2=2\ s$ hat, wird die Ableitung an dieser Stelle bestimmt. Die Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Ortsfunktion und damit definitionsgemäß der Geschwindigkeit (die Tangente ist in der Grafik eingezeichnet). Ableiten ergibt: $v(t) = \frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}=-10t+5$ Um die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_2=2\ s$ zu berechnen, muss in die Geschwindigkeitsfunktion eingesetzt werden: $v(t_2=2)= -10\cdot 2 + 5 =-20+5=-15\ \frac{m}{s}$ Das negative Vorzeichen ergibt sich dadurch, dass der Körper nach unten fällt, bzw. die Ortsfunktion an der Stelle $t_2=2\ s$ streng monton fallend ist. Das ergibt einen Impuls von: $p=m\cdot v = 2\, kg \cdot \left(-15\ \frac{m}{s}\right)= -30\ \frac{kg\cdot m}{s}$

5 erreichbare Punkte

Ein Objekt fällt für eine Zeit $t=4\,s$ aus einem Flugzeug, welches sich auf einer Höhe $h=10\,\,000\,m$ befindet, und das Objekt beschleunigt mit der Erdbeschleunigung $a=9,81\ \frac{m}{s^2}$ . Auf welcher Höhe $h$ befindet sich das Objekt nun? Nr. 3490
	$h=9946,81\,m$
	$h=9921,52\,m$
	$h=9337,26\,m$
	$h=9298,63\,m$
Lösungsweg Der Fall aus dem Flugzeug entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus dem Stand senkrecht nach unten (die Vorwärtsbewegung kann vernachlässigt werden, da nur nach der Höhe von der Erdoberfläche gefragt wird). Somit ist $s=\frac{a}{2}\cdot t^2$ Somit ist $s=\frac{9,81\ \frac{m}{s^2}}{2}\cdot {4\,s}^2=78,48m$ Die gesuchte Höhe $h=10000-s=9921,52\,m$

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand mit $6\ \frac{m}{s^2}$ . Wie lange muss es beschleunigen, um auf eine Geschwindigkeit von $90\ \frac{km}{h}$ zu kommen? Nr. 3103
	$t= 4,17 \,s$
	$t=15\, s$
	$t=3,89\, s$
	$t=4,5\, s$
Lösungsweg $v=a\cdot t$ Die Geschwindigkeit muss zunächst in $\frac{m}{s}$ umgerechnet werden: $90\ \frac{km}{h} = 90 \ \frac{1000\, m}{3600\, s}=\frac{90}{3,6}\ \frac{m}{s}=25\ \frac{m}{s}$ Einsetzen ergibt: $25\ \frac{m}{s}= 6\ \frac{m}{s^2}\cdot t \qquad \Rightarrow \qquad t = \frac{25}{6}\ s \ \approx \ 4,17\, s$

4 erreichbare Punkte

Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit $v_1=10\ \frac{m}{s}$ für die Zeit $t_1=50\,s$ gerade aus. Danach fährt das Auto mit $v_2=25\ \frac{m}{s}$ für $t_2=30\,s$ . Nun entscheidet der Autofahrer mit $v_R=20\ \frac{m}{s}$ zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Wie lange braucht er für den Retourweg? Nr. 3340
	$t=58,7s$
	$t=68,2\,s$
	$t=62,5\,s$
	$t=69,8\,s$
Lösungsweg Die Strecke $s$ die gefahren wird, wenn etwas sich mit der Geschwindigkeit $v$ für die Zeit $t$ bewegt: $s=v\cdot t$ Somit ist $s_H=s_1+s_2=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2$ also $s_H=10\cdot 50+25\cdot 30=1250\,m$ Somit ist die Zeit für den Rückweg $t=\frac{s_H}{v_R}=\frac{1250}{20}=62,5\,s$

4 erreichbare Punkte

Wie lange braucht ein Auto mit einer konstanten Beschleunigung $a=4,9\ \frac{m}{s^2}$ um von $v_1=15\ \frac{m}{s}$ auf $v_2=30\ \frac{m}{s}$ zu kommen? Nr. 3327
	$t=3,84\,s$
	$t=3,06\,s$
	$t=2,98\,s$
	$t=3,42\,s$
Lösungsweg Die Beschleunigung ist das Verhältnis des Geschwindigkeitsunterschiedes $\Delta v=v_2-v_1$ und des Zeitintervalles $\Delta t= t_2-t_1\qquad \Rightarrow\qquad \Delta t=t-0=t$ Daher $a=\frac{\Delta v}{t}$ . Dies wird nun nach $t$ umgeformt und die Angabe eingesetzt: $t=\frac{30-15}{4,9}=3,06s$

4 erreichbare Punkte

Ein Fahrradfahrer fährt für $t_1=15\,min$ mit der Geschwindigkeit $v_1=12\ \frac{km}{h}$ von seinem Haus weg. Danach fährt er mit der Geschwindigkeit $v_2=25\ \frac{km}{h}$ für $t_2=30\,min$ . Zum Schluss fährt er mit $v_3=32\ \frac{km}{h}$ für $t_3=25\,min$ . Wie weit ist er insgesamt gefahren? Hinweis: Die Straße, auf der er fährt, verläuft nur gerade aus und die Beschleunigungsphasen können vernachlässigt werden. Nr. 3337
	$s=25,34\,km$
	$s=28,83\,km$
	$s=32,41\,km$
	$s=24,96\,km$
Lösungsweg Zuerst müssen alle Werte in SI-Basiseinheiten umgewandelnt werden. $v_1=12\ \frac{km}{h}=12\ \frac{1000\,m}{3600\,s}=3,\dot{3}\,\frac{m}{s}$ $v_2=25\ \frac{km}{h}=6,9\dot{4}\ \frac{m}{s}$ $v_3=32\ \frac{km}{h}=8,\dot{8}\ \frac{m}{s}$ Danach werden die Streckenabschnitte miteinander addiert: $s=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2+v_3\cdot t_3=3,\dot{3}\cdot 15\cdot 60+6,9\dot{4}\cdot 30\cdot 60+8,\dot{8}\cdot 25\cdot 60=28,83\,km$

4 erreichbare Punkte

Ein Objekt wird durch eine Kraft mit $a=6,22\ \frac{m}{s^2}$ aus dem Stand für eine Zeit $t=6\,s$ gleichförmig beschleunigt. Welche Geschwindigkeit $v$ erreicht das Objekt nach der Beschleunigungsphase. Nr. 3330
	$v=32,95\ \frac{m}{s}$
	$v=37,32\ \frac{m}{s}$
	$v=30,77\ \frac{m}{s}$
	$v=35,69\ \frac{m}{s}$
Lösungsweg Die Beschleunigung ist $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t}$ . Mit $v_1=0$ in diesem Beispiel ist $v=v_2$ die gesuchte Geschwindigkeit, daher ist $a=\frac{v}{t}$ . Dies wird nach $v$ umgeformt $v=a\cdot t=6,22\cdot6=37,32\ \frac{m}{s}$

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