\(F=m\cdot a\)

Die Geschwindigkeit umgeformt \(v=130\,\frac{km}{h}\rightarrow 36.1\,\frac{m}{s}\)

 \(F=1400\cdot \frac{36,1}{9,8}=5158,7N\)

Die Gravitationskraft ist gegeben durch

\(F_G = G\cdot \frac{m\cdot M}{R^2}\)

mit der Masse des Objekts \(m\), der Erdenmasse \(M\) und der Gravitationskonstante \(G = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg\cdot s^2}\).

Die Masse der Erde erhalten wir über das Volumen einer Kugel mit Radius \(R\) multipliziert mit der Dichte \(\rho\):

\(M = \frac{4\pi}{3} \cdot R^3 \cdot \rho = 6\cdot10^{24}kg\)

Damit ergibt sich für die Beschleunigung

\(a_G = \frac{F_G}{m} = G\cdot \frac{M}{R^2} = 9,84\frac{m}{s^2}\)

Die Zentrifugalkraft ist gegeben durch

\(F_Z = m\om^2 R\)

wobei \(R\) der Erdradius ist (da wir uns auf dem Äquator befinden) und \(\om\) die Winkelgeschwindigkeit. Wie manche wissen benötigt die Erde für eine Umdrehung einen Tag, damit erhalten wir

\(\om = 2\pi \qquad \frac{rad}{1d} = 2 \pi \qquad \frac{rad}{86400s} = 7,27\cdot 10^{-5} \frac{rad}{s}\)

Für unsere Beschleunigung erhalten wir somit

\(a_Z = \frac{F_Z}{m} = \om^2R = 3,37\cdot 10^{-2}\frac{m}{s^2}\)

Zieht man \(a_Z\) von \(a_G\) ab erhalten wir den bekannte Wert von \(g = 9,81\frac{m}{s^2}\)

Das Verhältnis \(\frac{a_Z}{a_G} = 3,43\cdot 10^{-3}\) zeigt, dass die Zentrifugalkraft im Vergleich zur Schwerkraft unbedeutend ist.

Die allgemeine Ortsgleichung \(s(t)\) eines Objektes, auf das die Beschleunigung \(a\) wirkt,mit dem Anfangsort \(s_0\) und der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) lautet \(s(t)=s_0+v_0 \cdot t+a\cdot \frac{t^2}{2}\).

Die Beschleunigung \(a\) des Radfahrers ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\), wo \(\Delta v=v_2-v_1\) und  \(\Delta t=t_2-t_1\).

Wir setzen \(s_0=0\),\(t_1=0\) und \(v_0=v_1\), d.h. \(s(t)=s_0+v_1 \cdot t+\frac{\Delta v}{\Delta t}\cdot \frac{t^2}{2}\)

Die Geschwindigkeitsänderung \(\Delta v\) in SI-Einheiten umrechnen \(\Delta v=5\,\frac{km}{h}=1,3\bar{8}\,\frac{m}{s}\) und drausfolgend ist \(a=0,13\bar{8}\,\frac{m}{s^2}\).             Mit \(v_1=5, \bar{5}\,\frac{m}{s}\) ist \(s(10)=5,\bar{5}\cdot10+0,13\bar{8}\cdot \frac{10^2}{2}=62,5\,m\).

Die Masse des Containerschiffes ist \(m_C=400\quad 000\,t=4\times 10^{8}\,kg\) und die Masse des Schleppers ist \(m_S=20\,t=2\times 10^4\,kg\).
Laut Gravitationsgsetz ist die Kraft zwischen den Schiffen  \(F=G \frac{m_C\cdot m_S}{r^2}\). Dies lässt sich mit einer Kraft auf den Schlepper \(F=m_S \cdot a\) gleichsetzen. Die Beschleunigung \(a\) hat dann die folgende Form \(a=G \cdot \frac{m_C}{r^2}\). 

Da das Containerschiff als konstant angesehen wird, betrachten wir die Ortsgleichung des Schleppers \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+a\cdot\frac{t^2}{2}\).

Sowohl der Anfangsort \(s_0\) als auch die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) sind beide gleich Null,somit reduziert sich \(s(t)\) auf \(s(t)=a\cdot \frac{t^2}{2}\).

Die Frage, wie lange es dauert, bis der Schlepper sich \(10\,cm\) an das Containerschiff angenähert hat, bedeutet zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(s(t)=10\,cm=0,1\,m\). Wir formen \(s(t)\) nach \(t\) um: \(t=\sqrt{\frac{2\cdot s(t)}{a}}\).

Für \(a\) setzen wir  \(a=G \cdot \frac{m_C}{r^2}=6,674\times 10^{-11} \cdot \frac{4\times 10^8}{35^2}=0.0002179265\,\frac{m}{s^2}\) ein und mit \(s(t)=0,1\,m\) 

ergibt das für \(t=95,799\,s\)

\(180\, \frac{km}{h}=50\,\frac{m}{s}\)

\(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\(\frac{50-0}{4,8-0}\)=10,42m/s^2 \)

\(\rightarrow \text{nach}\qquad t=10,5\,s \qquad\text{ist}\qquad v=109,38\,\frac{m}{s}=393,75\,\frac{km}{h}\)

\(p=m\cdot v\)

\(30\,\frac{km}{h}=8,\dot{3}\,\frac{m}{s}\)

umgeformt und eingesetzt:

\(m=\frac{87366}{8,\dot{3}}=10526\,kg\)

Es gilt \(F=ma\) und somit \(a=\frac{F}{m}=\frac{18,0 \cdot 10^3 N}{3,2kg}=5,6 \cdot 10^3 \frac{N}{kg} \). Ausserdem lässt sich durch \(F=ma\) ableiten, dass \(\frac{N}{kg}=\frac{m}{s^2}\).

Zuallererst rechnet man die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten um

\(v_1=15\,\frac{km}{h}=4,1\dot{6}\,\frac{m}{s}\)

\(v_2=25\,\frac{km}{h}=6,9\dot{4}\,\frac{m}{s}\)

Die Kraft \(F\) berechnet sich folgendermassen

\(F=m\cdot a\)

mit den eingesetzten Werten und mit \(a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}\) mit \(t_2=t\) und \(t_1=0\):

\(F=81\cdot\frac{6,9\dot{4}-4,1\dot{6}}{5}=45\,N\)