Die Masse des Containerschiffes ist \(m_C=400\quad 000\,t=4\times 10^{8}\,kg\) und die Masse des Schleppers ist \(m_S=20\,t=2\times 10^4\,kg\).
Laut Gravitationsgsetz ist die Kraft zwischen den Schiffen  \(F=G \frac{m_C\cdot m_S}{r^2}\). Dies lässt sich mit einer Kraft auf den Schlepper \(F=m_S \cdot a\) gleichsetzen. Die Beschleunigung \(a\) hat dann die folgende Form \(a=G \cdot \frac{m_C}{r^2}\). 

Da das Containerschiff als konstant angesehen wird, betrachten wir die Ortsgleichung des Schleppers \(s(t)=s_0+v_0\cdot t+a\cdot\frac{t^2}{2}\).

Sowohl der Anfangsort \(s_0\) als auch die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) sind beide gleich Null,somit reduziert sich \(s(t)\) auf \(s(t)=a\cdot \frac{t^2}{2}\).

Die Frage, wie lange es dauert, bis der Schlepper sich \(10\,cm\) an das Containerschiff angenähert hat, bedeutet zu welchem Zeitpunkt \(t\) ist \(s(t)=10\,cm=0,1\,m\). Wir formen \(s(t)\) nach \(t\) um: \(t=\sqrt{\frac{2\cdot s(t)}{a}}\).

Für \(a\) setzen wir  \(a=G \cdot \frac{m_C}{r^2}=6,674\times 10^{-11} \cdot \frac{4\times 10^8}{35^2}=0.0002179265\,\frac{m}{s^2}\) ein und mit \(s(t)=0,1\,m\) 

ergibt das für \(t=95,799\,s\)

Es gilt \(F=ma\) wobei \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) mit \(\Delta v= v_1-v_0\). Insgesamt also \(F=m \frac{\Delta v} {\Delta t}= 4,2 kg \frac{\left(40 \frac{m}{s}- 20 \frac{m}{s}\right)}{5,0s}=17N\).

Für die Anziehungskraft zwischen zwei Planeten gilt Newton's Gravitationsgesetz:

\(F_1=F_2=G \cdot \(\frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\) \)

wobei G die Gravitationskonstante mit dem Wert \(6,67 \cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\) ist.

Die Kraft \(F=m\cdot a\) nach \(m\) umgeformt \(m=\frac{F}{a}\).

\(m=\frac{9667,3}{4,22}=2290,83\,kg\)

Die allgemeine Ortsgleichung \(s(t)\) eines Objektes, auf das die Beschleunigung \(a\) wirkt,mit dem Anfangsort \(s_0\) und der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) lautet \(s(t)=s_0+v_0 \cdot t+a\cdot \frac{t^2}{2}\).

Die Beschleunigung \(a\) der Radfahrerin ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\), wo \(\Delta v=v_2-v_1\) und  \(\Delta t=t_2-t_1\). Mit \(v_1=25\,\frac{km}{h}=6,9\bar{4}\,\frac{m}{s}\), \(v_2=0\,\frac{m}{s}\), \(t_1=0\) und \(t_2=t\) mit \(t\) ist jener Zeitpunkt an dem die Fahrradfahrerin zum Stillstand kommt und damit am Ende des Bremsweges \(s(t)=24\) angekommen ist.

Mit \(s_0=0\) und  \(a=\frac{-v_1}{t}\) müssen wir die Gleichung \(24=v_1\cdot t-\frac{v_1}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_1 \cdot t - \frac{v_1}{2}\cdot t=\frac{v_1}{2}\cdot t\) nach \(t\) auflösen und erhalten

\(t=\frac{2\cdot 24\,m}{v_1}=\frac{48\,m}{6,9\bar{4}\frac{m}{s}}=6,912\,s\). Daraus folgt \(a=\frac{-v_1}{t}=\frac{-6.9\bar{4}\frac{m}{s}}{6,912\,s}=1,0047\,\frac{m}{s^2}\).

Wenn wir in die Formel der Kraft \(F=m\cdot a\) für \(m=m_P+m_R=65\,kg+15\,kg=80\,kg\) imd die oben errechnete Beschleunigung \(a\) einsetzen, erhalten wir \(F=80\cdot 1,00469=80,375\,N\).

Die Kraft ist folgendermaßen definiert \(f=m\cdot a\), wobei die Beschleunigung \(a\) die Form

\(a=\frac{v}{t}\) hat.

\(F=8300\cdot \(\frac{11,7}{11}\)=8828,18\,N\)

In die Formel für den Impuls \(p=m\cdot v\) eingesetzt ergibt

die umgerechnete Geschwindigkeit \(v=70\,\,\frac{km}{h}\rightarrow\,v=19,\dot{4}\,\frac{m}{s}\)

einen Impuls \(p=400\cdot 19,\dot{4}=7777,\dot{7}\,\frac{kg\cdot m}{s}\)

Damit das Objekt in der Bahn bleibt, muss die Zentrifugalkraft \(F_Z\) mindestens gleich der Schwerkraft \(F_g\) sein. Für den höchsten Punkt der Schleife soll also gelten:

\(\frac{m\cdot v^2}{r} = m\cdot g\)

Daraus erhält man die benötigte Geschwindigkeit:

\(v = \sqrt{g\cdot r}\)

Das Objekt hat anfänglich eine potentielle Energie \(E_{pot} = m\cdot g\cdot h\). Am höchsten Punkt der Schleife befindet es sich auf einer Höhe von \(2\cdot r\), dementsprechend wurde ein Teil seiner Energie in kinetische Energie umgewandelt:

\(E_{kin} = \frac{m\cdot v^2}{2} = m\cdot g\cdot (h - 2\cdot r)\)

Diese gleichung kann man nun nach \(h\) auflösen:

\(h = \frac{v^2}{2\cdot g} + 2\cdot r\)

Schließlich kann man den oben erhaltenen Ausdruck für die Geschwindigkeit \(v\) in die Formel für die Höhe \(h\) einsetzen und erhält:

\(h = \frac{5}{2}\cdot r\)