Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Impuls, Kräfte und Beschleunigung.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gegeben sei eine Walze (Masse \(m\), Radius \(r\)) und eine glatte schiefe Ebene. Wird die Walze schneller, wenn sie \(a)\) die Ebene reibungsfrei hinuntergleitet oder \(b)\) unter Vernachlässigung von Reibung hinunterrollt? Hinweis: Das Trägheitsmoment der Walze sei durch \(I=\frac{1}{2}mr^{2}\) gegeben. Nr. 4176
	Die Walze ist schneller, wenn sie gleitet.
	Die Walze ist schneller, wenn sie rollt.
Lösungsweg Beim Gleiten wird die potentielle Energie \(E_{pot}\) vollständig in kinetische Energie (Translationsenergie) \(E_{kin(trans)}\) umgewandelt. Rotiert die Walze zusätzlich, so entwickelt sie zusätzlich eine Rotationsenergie mirt dem Wert \(E_{kin(rot)}=\frac{{1}}{2}I\omega^{2}=\frac{{1}}{4}mr^{2}\omega^{2}\). Es gilt folglich im ersten Fall \(E_{kin(trans)}=\frac{{1}}{2}mv_{1}^{2}\) bzw. im letzteren Fall \(E_{kin(trans+rot)}=\frac{{1}}{2}mv_{2}^{2}+\frac{{1}}{4}mr^{2}\omega^{2}\). Aus der Gültigkeit der Energieerhaltung lässt daher folgern \(v_{1}=\sqrt{v_{2}^{2}+\frac{{1}}{2}r^{2}\omega^{2}}\). Da aber gilt \(r^{2}\omega^{2}\geq0\), findet man \(v_{1}\geq v_{2}\). Die Walze gleitet folglich reibungsfrei schneller, als sie rotiert. Unter Mitberücksichtigung der Reibung wird dies jedoch i.A. nicht der Fall sein.

Gegeben sei eine Walze (Masse $m$, Radius $r$) und eine glatte schiefe Ebene. Wird die Walze schneller, wenn sie $a)$ die Ebene reibungsfrei hinuntergleitet oder $b)$ unter Vernachlässigung von Reibung hinunterrollt?

Hinweis: Das Trägheitsmoment der Walze sei durch $I=\frac{1}{2}mr^{2}$ gegeben.

Nr. 4176

Die Walze ist schneller, wenn sie gleitet.

Die Walze ist schneller, wenn sie rollt.

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Auf ein Objekt mit Masse $m=3,2 kg$ wirkt eine konstante Kraft von $F=18,0 kN$. Wie groß wird somit die Beschleunigung $a$ des Objekts sein? Nr. 1604
	$a=5,6 \frac{m}{s^2}$
	$a=5,6 \cdot 10^3 \frac{m}{s^2}$
	$a=5,6 \cdot 10^3 \frac{N}{kg}$
	$a=0,2 \frac{m}{s^2}$
	$a=0,2 \cdot 10^{-3} \frac{m}{s^2}$
Lösungsweg Es gilt $F=ma$ und somit $a=\frac{F}{m}=\frac{18,0 \cdot 10^3 N}{3,2kg}=5,6 \cdot 10^3 \frac{N}{kg} $. Ausserdem lässt sich durch $F=ma$ ableiten, dass $\frac{N}{kg}=\frac{m}{s^2}$.

5 erreichbare Punkte

Der Motor eines Autos bringt durchschnittlich eine Kraft $F=9667,3N$auf eine Beschleunigung $a=4,22\,\frac{m}{s^2}$ durchzuführen. Welche Masse $m$ besitzt das Auto? Nr. 3357
	$m=2,29t$
	$m=3,16t$
	$m=2,93t$
	$m=3,63t$
Lösungsweg Die Kraft $F=m\cdot a$ nach $m$ umgeformt $m=\frac{F}{a}$. $m=\frac{9667,3}{4,22}=2290,83\,kg$

4 erreichbare Punkte

Die Geschwindigkeit(sfunktion) $v(t)$ ist die erste Ableitung der Ortsfunktion $x(t)$ nach der Zeit $t$, d.h. $v(t)= \frac{d}{dt} x(t)$. Gegeben sei die Ortsfunktion $x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ $, welche ein gleichmäßig beschleunigtes Objekt beschreibt. Bestimme für dieses Beispiel die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$. Nr. 1553
	$v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} + 100m$
	$v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $
	$v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $
Lösungsweg Die Funktion $x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ $ enthält 3 Terme: Der erste wird durch differenzieren nach $t$ zu $4\cdot2 \frac{m}{s^2}t$, der zweite zu $-32 \frac{m}{s}$, und der letzte verschwindet (weil zeitunabhänig). Somit erhält man insgesamt $v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $ $

3 erreichbare Punkte

Eine Radfahrerin bremst vor einer Kreuzung mit konstanter Bremskraft von $v=25\,\frac{km}{ h}$ bis zum Stillstand. Sie braucht dafür einen Bremsweg von $24m$. Sie wiegt $m_P=65\,kg$ und ihr Rad $m_R=15\,kg$. Wie lange braucht sie für die Vollbremsung? Nr. 2011
	$t=2,7s$
	$t=4,3s$
	$t=5,8s$
	$t=6,9s$
	$t=7,4s$
Lösungsweg Die allgemeine Ortsgleichung $s(t)$ eines Objektes, auf das die Beschleunigung $a$ wirkt,mit dem Anfangsort $s_0$ und der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ lautet $s(t)=s_0+v_0 \cdot t+a\cdot \frac{t^2}{2}$. Die Beschleunigung $a$ des Radfahrers ist $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$, wo $\Delta v=v_2-v_1$ und $\Delta t=t_2-t_1$. Mit $v_1=25\,\frac{km}{h}=6,9\bar{4}\,\frac{m}{s}$, $v_2=0\,\frac{m}{s}$, $t_1=0$ und $t_2=t$ mit $t$ ist jener Zeitpunkt an dem die Fahrradfahrerin zum Stillstand kommt und damit am Ende des Bremsweges $s(t)=24$ angekommen ist. Mit $s_0=0$ und $a=\frac{-v_1}{t}$ müssen wir die Gleichung $24=v_1\cdot t-\frac{v_1}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_1 \cdot t - \frac{v_1}{2}\cdot t=\frac{v_1}{2}\cdot t$ nach $t$ auflösen und erhalten $t=\frac{2\cdot 24\,m}{v_1}=\frac{48\,m}{6,9\bar{4}\frac{m}{s}}=6,912\,s$

5 erreichbare Punkte

Welchen Impuls $p$ hat ein Auto mit dem Gesamtgewicht $m=4,3\,t$, das mit einer Geschwindigkeit $v=80\,\frac{km}{h}$ fährt? Nr. 3486
	$p=94444,4\,\frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=96666,7\,\frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=95555,6\,\frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=97777,8\,\frac{kg\cdot m}{s}$
Lösungsweg Der Impuls $p$ ist folgendermaßen definiert $p=m\cdot v$ Umrechnung in SI-Einheiten: $m=4,3\,t=4300\,kg$ und $v=80\,\frac{km}{h}=22,\dot{2}\,\frac{m}{s}$ Somit ist $p=4300\cdot 22,\dot{2}=95\,555,\dot{5}\,\frac{kg\cdot m}{s}$

4 erreichbare Punkte

Ein massebehafteter Körper $m=400\,kg$ prallt mit $v=70\,\frac{km}{h}$ gegen eine Wand. Wie groß ist der entstandene Impuls $p$? Nr. 3132
	$p=3333,\dot{3} \,\frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=4444,\dot{4} \,\frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=5555,\dot{5} \,\frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=6666,\dot{6}\,\frac{kg\cdot m}{s}$
	$p=7777,\dot{7}\,\frac{kg\cdot m}{s}$
Lösungsweg In die Formel für den Impuls $p=m\cdot v$ eingesetzt ergibt die umgerechnete Geschwindigkeit $v=70\,\,\frac{km}{h}\rightarrow\,v=19,\dot{4}\,\frac{m}{s}$ einen Impuls $p=400\cdot 19,\dot{4}=7777,\dot{7}\,\frac{kg\cdot m}{s}$

5 erreichbare Punkte

Welche Masse $m $ besitzt ein Körper, auf den die Kraft $F=90\,N$ wirkt, während er in 2 Sekunden von $100\, \frac{km}{h}$ auf $130\, \frac{km}{h}$ beschleunigt wird? Nr. 3111
	$m=23,5\,kg $
	$m=21,6kg$
	$m=21430\,g$
	$m=12,7\,g$
Lösungsweg $F=m\cdot a$ $130 \,\frac{km}{h}=36,1\,\frac{m}{s} \qquad\text{und}\qquad 100\,\frac{km}{h}=27,8\,\frac{m}{s}$ $90=m\cdot\(\frac{36,1-27,8}{2}$ \) $\rightarrow m=21.69\,kg$

4 erreichbare Punkte

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Auf ein Objekt mit Masse \(m=3,2 kg\) wirkt eine konstante Kraft von \(F=18,0 kN\). Wie groß wird somit die Beschleunigung \(a\) des Objekts sein? Nr. 1604
	\(a=5,6 \frac{m}{s^2}\)
	\(a=5,6 \cdot 10^3 \frac{m}{s^2}\)
	\(a=5,6 \cdot 10^3 \frac{N}{kg}\)
	\(a=0,2 \frac{m}{s^2}\)
	\(a=0,2 \cdot 10^{-3} \frac{m}{s^2}\)
Lösungsweg Es gilt \(F=ma\) und somit \(a=\frac{F}{m}=\frac{18,0 \cdot 10^3 N}{3,2kg}=5,6 \cdot 10^3 \frac{N}{kg} \). Ausserdem lässt sich durch \(F=ma\) ableiten, dass \(\frac{N}{kg}=\frac{m}{s^2}\).

Der Motor eines Autos bringt durchschnittlich eine Kraft \(F=9667,3N\)auf eine Beschleunigung \(a=4,22\,\frac{m}{s^2}\) durchzuführen. Welche Masse \(m\) besitzt das Auto? Nr. 3357
	\(m=2,29t\)
	\(m=3,16t\)
	\(m=2,93t\)
	\(m=3,63t\)
Lösungsweg Die Kraft \(F=m\cdot a\) nach \(m\) umgeformt \(m=\frac{F}{a}\). \(m=\frac{9667,3}{4,22}=2290,83\,kg\)

Die Geschwindigkeit(sfunktion) \(v(t)\) ist die erste Ableitung der Ortsfunktion \(x(t)\) nach der Zeit \(t\), d.h. \(v(t)= \frac{d}{dt} x(t)\). Gegeben sei die Ortsfunktion \(x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ \), welche ein gleichmäßig beschleunigtes Objekt beschreibt. Bestimme für dieses Beispiel die Geschwindigkeitsfunktion \(v(t)\). Nr. 1553
	\(v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} + 100m\)
	\(v(t)= 4\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} \)
	\(v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} \)
Lösungsweg Die Funktion \(x(t)= 4\frac{m}{s^2} t^2 -32 \frac{m}{s} t + 100m$ \) enthält 3 Terme: Der erste wird durch differenzieren nach \(t\) zu \(4\cdot2 \frac{m}{s^2}t\), der zweite zu \(-32 \frac{m}{s}\), und der letzte verschwindet (weil zeitunabhänig). Somit erhält man insgesamt \(v(t)= 8\frac{m}{s^2} t -32 \frac{m}{s} $ \)

Eine Radfahrerin bremst vor einer Kreuzung mit konstanter Bremskraft von \(v=25\,\frac{km}{ h}\) bis zum Stillstand. Sie braucht dafür einen Bremsweg von \(24m\). Sie wiegt \(m_P=65\,kg\) und ihr Rad \(m_R=15\,kg\). Wie lange braucht sie für die Vollbremsung? Nr. 2011
	\(t=2,7s\)
	\(t=4,3s\)
	\(t=5,8s\)
	\(t=6,9s\)
	\(t=7,4s\)
Lösungsweg Die allgemeine Ortsgleichung \(s(t)\) eines Objektes, auf das die Beschleunigung \(a\) wirkt,mit dem Anfangsort \(s_0\) und der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) lautet \(s(t)=s_0+v_0 \cdot t+a\cdot \frac{t^2}{2}\). Die Beschleunigung \(a\) des Radfahrers ist \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\), wo \(\Delta v=v_2-v_1\) und \(\Delta t=t_2-t_1\). Mit \(v_1=25\,\frac{km}{h}=6,9\bar{4}\,\frac{m}{s}\), \(v_2=0\,\frac{m}{s}\), \(t_1=0\) und \(t_2=t\) mit \(t\) ist jener Zeitpunkt an dem die Fahrradfahrerin zum Stillstand kommt und damit am Ende des Bremsweges \(s(t)=24\) angekommen ist. Mit \(s_0=0\) und \(a=\frac{-v_1}{t}\) müssen wir die Gleichung \(24=v_1\cdot t-\frac{v_1}{t}\cdot \frac{t^2}{2}=v_1 \cdot t - \frac{v_1}{2}\cdot t=\frac{v_1}{2}\cdot t\) nach \(t\) auflösen und erhalten \(t=\frac{2\cdot 24\,m}{v_1}=\frac{48\,m}{6,9\bar{4}\frac{m}{s}}=6,912\,s\)

Welchen Impuls \(p\) hat ein Auto mit dem Gesamtgewicht \(m=4,3\,t\), das mit einer Geschwindigkeit \(v=80\,\frac{km}{h}\) fährt? Nr. 3486
	\(p=94444,4\,\frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=96666,7\,\frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=95555,6\,\frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=97777,8\,\frac{kg\cdot m}{s}\)
Lösungsweg Der Impuls \(p\) ist folgendermaßen definiert \(p=m\cdot v\) Umrechnung in SI-Einheiten: \(m=4,3\,t=4300\,kg\) und \(v=80\,\frac{km}{h}=22,\dot{2}\,\frac{m}{s}\) Somit ist \(p=4300\cdot 22,\dot{2}=95\,555,\dot{5}\,\frac{kg\cdot m}{s}\)

Ein massebehafteter Körper \(m=400\,kg\) prallt mit \(v=70\,\frac{km}{h}\) gegen eine Wand. Wie groß ist der entstandene Impuls \(p\)? Nr. 3132
	\(p=3333,\dot{3} \,\frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=4444,\dot{4} \,\frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=5555,\dot{5} \,\frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=6666,\dot{6}\,\frac{kg\cdot m}{s}\)
	\(p=7777,\dot{7}\,\frac{kg\cdot m}{s}\)
Lösungsweg In die Formel für den Impuls \(p=m\cdot v\) eingesetzt ergibt die umgerechnete Geschwindigkeit \(v=70\,\,\frac{km}{h}\rightarrow\,v=19,\dot{4}\,\frac{m}{s}\) einen Impuls \(p=400\cdot 19,\dot{4}=7777,\dot{7}\,\frac{kg\cdot m}{s}\)

Welche Masse \(m \) besitzt ein Körper, auf den die Kraft \(F=90\,N\) wirkt, während er in 2 Sekunden von \(100\, \frac{km}{h}\) auf \(130\, \frac{km}{h}\) beschleunigt wird? Nr. 3111
	\(m=23,5\,kg \)
	\(m=21,6kg\)
	\(m=21430\,g\)
	\(m=12,7\,g\)
Lösungsweg \(F=m\cdot a\) \(130 \,\frac{km}{h}=36,1\,\frac{m}{s} \qquad\text{und}\qquad 100\,\frac{km}{h}=27,8\,\frac{m}{s}\) \(90=m\cdot\(\frac{36,1-27,8}{2}\) \) \(\rightarrow m=21.69\,kg\)

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