Die potentielle Energie eines massenbehafteten Objektes ist \(E_{pot}=m\cdot g\cdot h\)

D.h. \(E_{pot}=1\cdot 9,81\cdot 4,3=42,183\,J\)

Die geleistete Arbeit \(W\) ist hier die Erhöhung der potentiellen Energie \(E_{pot}=m\cdot g \cdot h\) von \(h=0\) am Fuss des Berges bis \(h=800\,m\) am Ziel des Autofahrers, daher ist \(W=\Delta E_{pot}=E_{pot}(h)-E_{pot}(0)=m\cdot g \cdot h-m\cdot g \cdot 0=m\cdot g \cdot h\).

\(W=1700\,kg\cdot9.81\frac{m}{s^2}\cdot 800m=13\ 341\ 600\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=13\ 341\ 600\,J=\\=13\ 341\ 600\,Ws=13\ 341,600kWs=\frac{13\ 341,6}{3 600}\,kWh=3,706\,kWh\)

Man nehme an, beim Eintauchen ist die potentielle Energie des Klippenspringers in Kinetische umgewandelt worden. Es gilt:

\(E_{pot} = m\cdot g \cdot h = E_{kin}\)

Daraus folgt:

\(h = \frac{E_{kin}}{m\cdot g}\)

Die geleistete Arbeit \(W\) ist hier die Erhöhung der potentiellen Energie \(E_{pot}=m\cdot g \cdot h\) von \(h=0\) am Fuss des Berges bis \(h=800\,m\) auf den Pass, daher ist \(W=\Delta E_{pot}=E_{pot}(h)-E_{pot}(0)=m\cdot g \cdot h-m\cdot g \cdot 0=m\cdot g \cdot h\).

\(W=3400\,kg\cdot9.81\frac{m}{s^2}\cdot 800m=26\ 683\ 200\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=26\ 683\ 200\,J=\\=26\ 683\ 200\,Ws=26\ 683,2kWs=\frac{26\ 683,2}{3 600}\,kWh=7,412\,kWh\)

Die kinetische Energie is definiert wie folgt \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\)

Zuerst Umrechung auf SI-Einheiten: \(v=60\,\frac{km}{h}=16,\dot{6}\,\frac{m}{s}\)

Somit ist die kinetische Energie des Tieres \(E_{kin}=\frac{64\cdot\left(\frac{60}{3,6}\right)^2}{2}=8\,888,\dot{8}\,J\)

Die Geschwindigkeit bei maximaler Auslenkung ist 0. Daher ist in diesem Zeitpunkt die gesamte Energie als potentielle Energie gespeichert. Die maximale Auslenkung entspricht der Amplitude. 

 \(\displaystyle E_{ges}=\frac{1}{2} kx_{max}^2=\frac{1}{2}kA^2\).

Da die Gesamtenergie erhalten ist, kann man nun gleichsetzen und auf \(v\) umformen.

\(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}kA^2 \)

\(mv^2 =kA^2-kx^2\)   

 \(v=\sqrt{\frac{k}{m} \left( A^2-x^2 \right) }\)

Die kinetische Energie \(E_{kin}\) eines Objektes mit der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) ist \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\).

Die Arbeit \(W\) ist die Anderung der kinetischen Energie \(W=\Delta E_{kin}=\frac{m\cdot v_2^2}{2} -\frac{m\cdot v_1^2}{2} = \frac{m\cdot (v_2^2 - v_1^2)}{2}\).

Achtung: Hier muss also die Differenz der Geschwindigkeits-Quadrate, \(\Delta (v^2) = v_2^2 - v_1^2\), verwendet werden!

Die Geschwindigkeiten in SI-Einheiten ausgedrückt, ergeben \(50\,\frac{km}{h} = \frac{50}{3,6}\,\frac{m}{s} =13,\bar 8\, \frac{m}{s}\) und \(100\,\frac{km}{h} = \frac{100}{3,6}\,\frac{m}{s} = 27,\bar 7\, \frac{m}{s}\).

Und somit:

\(W=\frac{900}{2}\cdot \left[ \left(\frac{100}{3,6}\right)^2 - \left(\frac{50}{3,6}\right)^2\right]= 260416\,J = 260,416\, kJ\)