Die kinetische Energie ist wie folgt definiert \(E_{kin}=\frac{mv^2}{2}\)

Die Geschwindigkeitsangabe in SI-Einheiten umrechnen  \(v=23\,\frac{km}{h}=6,3\dot{8}\,\frac{m}{s}\)

Daher ist \(E_{kin}=\frac{2100\cdot 6,3\dot{8}^2}{2}=42858,8 \,J\)

\(W=F\cdot x\)

Umgeformt nach \(F\) und eingesetzt ergibt das:

\(F=\frac{W}{x}\)

Damit das Objekt in der Bahn bleibt, muss die Zentrifugalkraft \(F_Z\) mindestens gleich der Schwerkraft \(F_g\) sein. Für den höchsten Punkt der Schleife soll also gelten:

\(\frac{m\cdot v^2}{r} = m\cdot g\)

Daraus erhält man die benötigte Geschwindigkeit:

\(v = \sqrt{g\cdot r}\)

Das Objekt hat anfänglich eine potentielle Energie \(E_{pot} = m\cdot g\cdot h\). Am höchsten Punkt der Schleife befindet es sich auf einer Höhe von \(2\cdot r\), dementsprechend wurde ein Teil seiner Energie in kinetische Energie umgewandelt:

\(E_{kin} = \frac{m\cdot v^2}{2} = m\cdot g\cdot (h - 2\cdot r)\)

Diese gleichung kann man nun nach \(h\) auflösen:

\(h = \frac{v^2}{2\cdot g} + 2\cdot r\)

Schließlich kann man den oben erhaltenen Ausdruck für die Geschwindigkeit \(v\) in die Formel für die Höhe \(h\) einsetzen und erhält:

\(h = \frac{5}{2}\cdot r\)

Die kinetische Energie ist folgendermaßen definiert \(E_{kin}=\frac{mv^2}{2}\).

Die angegebenen Werte \(m\) und \(v\) in SI-Einheiten:

\(m=1,8\,t=1800\,kg\)

\(v=130\,\frac{km}{h}=36,\dot{1}\,\frac{m}{s}\)

D.h. \(E_{kin}=\frac{1800\cdot (36,\dot{1})^2}{2}=1,1736\cdot 10^6\,J\)

Am höchsten Punkt der Flugbahn wird (unter Vernachlässigung von Reibungsverlusten, etc.) die gesamte kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt:

\(E_{pot} = m\cdot g \cdot h = E_{kin}\)

Somit gilt:

\(m = \frac{E_{kin}}{g\cdot h}\)

Zu dem Zeitpunkt \(t=0\) an dem der Pfeil gerade die Bogensehne verlässt, wurde die Energie des Bogens \(E_B\) vollständig in die kinetische Energie \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\) des Pfeils umgewandelt. D.h. \(E_B=E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\).

Dies nach \(v\) aufgelöst \(v=\pm \sqrt{\frac{2\cdot E_B}{m}\) und die Masse des Pfeils in SI-Einheiten \(m=0,1\,kg\) eingesetzt,

ergibt \(v=\pm\sqrt{\frac{2\cdot 250\,J}{0,1\,kg}}=\pm\sqrt{\frac{500\,\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}{0,1\,kg}}=\pm\sqrt{5000\,\frac{ m^2}{s^2}}=\pm 70,71\,\frac{m}{s}\)

Somit ist die gesuchte Geschwindigkeit \(v=70,71\,\frac{m}{s}\).

Die kinetische Energie ist wie folgt definiert \(E_{kin}=\frac{mv^2}{2}\)

Die Angaben in SI-Einheiten umrechnen \(m=3\,t=3000\,kg\) und \(v_{max}=40\,\frac{km}{h}=11,\dot{1}\,\frac{m}{s}\)

Daher ist \(E_{kin}=\frac{3000\cdot 11,\dot{1}^2}{2}=185\quad 185,185 \,J\)

Die potentielle Energie eines massenbehafteten Objektes ist \(E_{pot}=m\cdot g\cdot h\)

D.h. \(E_{pot}=8,2\cdot 9,81\cdot 13=1047,75\,J\)