Die Geschwindigkeit bei maximaler Auslenkung ist 0. Daher ist in diesem Zeitpunkt die gesamte Energie als potentielle Energie gespeichert. Die maximale Auslenkung entspricht der Amplitude. 

 \(\displaystyle E_{ges}=\frac{1}{2} kx_{max}^2=\frac{1}{2}kA^2\).

Da die Gesamtenergie erhalten ist, kann man nun gleichsetzen und auf \(v\) umformen.

\(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}kA^2 \)

\(mv^2 =kA^2-kx^2\)   

 \(v=\sqrt{\frac{k}{m} \left( A^2-x^2 \right) }\)

Die kinetische Energie ist definiert als \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\). Die Formel nach \(v\) umgeformt

\(v=\sqrt{\frac{2\cdot E_{kin}}{m}}\). Eingesetzt ergibt das:  

\(v=\sqrt{ \frac{20866}{2700}}=2,78\,\frac{m}{s}\)

Die kinetische Energie \(E_{kin}\) eines Objektes mit der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) ist \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\).

Die Arbeit \(W\) ist die Anderung der kinetischen Energie \(W=\Delta E_{kin}=\frac{m\cdot \Delta v^2}{2}=\frac{m}{2}\cdot \left(v_2-v_1\right)^2\)

Die Geschwindigkeitänderung  \(\Delta v=v_2-v_1=50\,\frac{km}{h}\) in SI-Einheiten umgerechnet ist \(\Delta v=13,\bar{8}\,\frac{m}{s}\) und somit ist

\(W=\frac{3600}{2}\cdot\left(13,\bar{8}\right)^2=347222,\bar{2}\,J\)

Zu dem Zeitpunkt \(t=0\) an dem der Pfeil gerade die Bogensehne verlässt, wurde die Energie des Bogens \(E_B\) vollständig in die kinetische Energie \(E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\) des Pfeils umgewandelt. D.h. \(E_B=E_{kin}=\frac{m\cdot v^2}{2}\).

Dies nach \(v\) aufgelöst \(v=\pm \sqrt{\frac{2\cdot E_B}{m}\) und die Masse des Pfeils in SI-Einheiten \(m=0,1\,kg\) eingesetzt,

ergibt \(v=\pm\sqrt{\frac{2\cdot 250\,J}{0,1\,kg}}=\pm\sqrt{\frac{500\,\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}{0,1\,kg}}=\pm\sqrt{5000\,\frac{ m^2}{s^2}}=\pm 70,71\,\frac{m}{s}\)

Somit ist die gesuchte Geschwindigkeit \(v=70,71\,\frac{m}{s}\).

Die geleistete Arbeit \(W\) ist hier die Erhöhung der potentiellen Energie \(E_{pot}=m\cdot g \cdot h\) von \(h=0\) am Fuss des Berges bis \(h=800\,m\) auf den Pass, daher ist \(W=\Delta E_{pot}=E_{pot}(h)-E_{pot}(0)=m\cdot g \cdot h-m\cdot g \cdot 0=m\cdot g \cdot h\).

\(W=40\,kg\cdot9.81\frac{m}{s^2}\cdot 800m=313920\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=313920\,J=\\=313920\,Ws=313,92kWs=\frac{313,92}{3 600}\,kWh=0,0872\,kWh\)

Die Arbeit entspricht der potentiellen Energie \(W=E_{pot}\)

Daher \(W=m\cdot g\cdot h\)

Somit

\(W=71\cdot 9,81\cdot 8=5572,08\,J\)

\(E_{pot}=m \cdot g \cdot h\)

Das bedeutet: \(h=\(\frac{E_{pot}}{m \cdot g}\)\)

\(h=\(\frac{40810J}{1400kg \cdot 9,81\frac{m}{s^2}}\)=2,9714m\)

Die potentielle Energie eines massenbehafteten Objektes ist \(E_{pot}=m\cdot g\cdot h\)

D.h. \(E_{pot}=1\cdot 9,81\cdot 4,3=42,183\,J\)