Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Leistung.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Autofahrer mit Auto \((m_1=1700kg)\) und ein Mointainbiker \((m_2=80kg)\) fahren beide auf einen Berg. Der Radfahrer legt dabei aber nur die Hälfte des Weges zurück, da er einen direkten Forstweg befahren kann. Trotzdem braucht er doppelt so lange zum vereinbarten Ziel. Der Autofahrer braucht für die 800 Höhenmeter 30 Minuten. Welche Leistung \(P\) bringt der Radfahrer durchschnittlich auf? Nr. 2357
	\(P=174,4\,W\)
	\(P=343,3\,W\)
	\(P=1,4\,kW\)
	\(P=78\,kW\)
	\(P=212,4\,W\)
Lösungsweg Die durchschnittliche Leistung \(P=\frac{W}{t}\) errechnet sich aus dem Verhältnis der geleisteten Arbeit \(W\) und der benötigten Zeit \(t\). Die geleistete Arbeit \(W\) ist hier die Erhöhung der potentiellen Energie \(E_{pot}=m\cdot g \cdot h\) von \(h=0\) am Fuss des Berges bis \(h=800\,m\) am Ziel des Radfahrers, daher ist \(W=m\cdot g \cdot h\). Die Zeit \(t\) in SI-Einehiten \(t=2\cdot 30\,min=2\cdot 30\cdot 60\,s=3600\,s\). Eingesetzt ergibt das \(P=\frac{80\,kg \cdot 9.81\frac{m}{s^2}\cdot 800\,m}{3600\,s}=174,4\,\frac{kg \cdot m^2}{s^3}=174,4\,W\)

5 erreichbare Punkte

Ein Mann steht auf einer Brücke mit der Höhe \(h=40\,m\) und zieht mit einem Seil eine Kiste mit dem Gewicht \(m=7\,kg\) vom Boden in einer Zeit \(t=69\,s\) vom Boden zu sich hinauf. Welche durchschnittliche Leistung \(P\) bringt der Mann auf? Nr. 3451
	\(P=39,81W\)
	\(P=34,66W\)
	\(P=48,87W\)
	\(P=53,23W\)
Lösungsweg Wenn man ein Objekt von der Höhe \(h_1\) auf die Höhe \(h_2\) bringen möchte, heisst dass man muss soviel Arbeit \(W\) aufbringen, damit das Objekt zum Schluss die potentielle Energie \(E_{pot}=m\cdot g\cdot h\) innehat. Mit \(h=h_2-h_1\), wobei \(h_2>h_1\) ist. D.h. die aufzubringende Arbeit ist \(W=m\cdot g\cdot h\). Hier sind \(h_1=0\) und \(h_2=h\). und somit ist \(W=7\cdot 9,81 \cdot 40=2746,8\,J\) Die durschnittliche Leistung \(P\) ist definiert als \(P=\frac{W}{t}\) Folglich: \(P=\frac{7\cdot 9,81 \cdot 40}{69}=39,8087\,W\)

4 erreichbare Punkte

Welche Leistung erbringt ein Frosch mit dem Gewicht \(m=150\,g\), der innerhalb \(t=0,25\,s\) auf einen Tisch \(h=1,4\,m\) springt? Nr. 3389
	\(P=0,861\,W\)
	\(P=8,24\,W\)
	\(P=8,56\,W\)
Lösungsweg Die Leistung \(P= \frac{W}{t}\), wo die Arbeit \(W=E_{pot}=m\cdot g\cdot h\) der potentiellen Energie entspricht. Eingesetzt \( P=\frac{0,15\cdot 9,81\cdot1,4}{0,25}=8,2404\,W\)

3 erreichbare Punkte

Gibt es einen formalen Zusammenhang zwischen den mechanischen Grundgrößen Arbeit, Leistung und kinetische Energie? Nr. 4186
	Ja
	Nein
Lösungsweg Der physikalische Begriff der Arbeit wird in der Mechanik wie folgt definiert: \(W=\overset{r_{2}}{\underset{r_{1}}{\int}}\vec{F}d\vec{r}\), wobei es sich beim Vektor \(\vec{F}=m\vec{a}=m\ddot{\vec{r}}\) um ein (nicht näher definiertes) Kraftvektorfeld handelt. Der Voraussetzung nach ist hierbei eine Bahnkurve mit zugehörigem Tangentialvektor \(\vec{r}=\vec{r}(t)\) gegeben, bezüglich dessen sich das Geschwindigkeitsvektorfeld \(\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\frac{d\vec{r}}{dt} \) definieren lässt. Basierend darauf findet man aber, dass im gegebenen Fall \(d\vec{r}=\vec{v}dt\) gilt. Durch Reparametrisierung des obengenannten Arbeitsintegrals lässt sich dann eine neue Größe \(W=\overset{t_{2}}{\underset{t_{1}}{\int}}Pdt\) definieren, wobei der Skalar \(P=\vec{F}\vec{v}\) den Ausdruck für die mechanische Leistung darstellt, also die Arbeit, die in einer gewissen Zeit verrichtet wurde. Setzt man nun in die obige Definition ein, so folgt \(W=\overset{t_{2}}{\underset{t_{1}}{\int}}m\ddot{\vec{r}}\dot{\vec{r}}dt\). Benutzt nun zuletzt die Identität \(\frac{d}{dt}\left(\dot{\vec{r}}^{2}\right)=2\dot{\vec{r}}\ddot{\vec{r}}\), so folgt \(W=\frac{m}{2}\overset{t_{2}}{\underset{t_{1}}{\int}}\frac{d}{dt}\left(\dot{\vec{r}}^{2}\right)dt=\frac{m}{2}\dot{\vec{r}}^{2}\mid_{t_{1}}^{t_{2}}\) Hieraus lässt sich zuletzt der Ausdruck für die kinetische Energie \(T=\frac{m \vec{v}^{2}}{2}\) ablesen.

2 erreichbare Punkte

Eine Kletterin mit der Masse \(m=61\,kg\) klettert eine \(h=12\.m\) hohe, senkrechte Wand hinauf. Dafür benötigt sie die Zeit \(t=14\,s\). Berrechne ihre durchschnittliche Leistung \(P\). Nr. 3447
	\(P=512,92W\)
	\(P=632,12W\)
	\(P=563,33W\)
	\(P=721,21W\)
Lösungsweg Wenn man ein Objekt von der Höhe \(h_1\) auf die Höhe \(h_2\) bringen möchte, heisst dass man muss soviel Arbeit \(W\) aufbringen, damit das Objekt zum Schluss die potentielle Energie \(E_{pot}=m\cdot g\cdot h\) innehat. Mit \(h=h_2-h_1\), wobei \(h_2>h_1\) ist. D.h. die aufzubringende Arbeit ist \(W=m\cdot g\cdot h\). Hier sind \(h_1=0\) und \(h_2=h\) und somit ist \(W=61\cdot 9,81 \cdot 12=7180,92\,J\) Die durschnittliche Leistung \(P\) ist definiert als \(P=\frac{W}{t}\) Folglich: \(P=\frac{61\cdot 9,81 \cdot 12}{14}=512,9229\,W\)

4 erreichbare Punkte

Ein Körper braucht für eine Strecke \(s=0,9\,km\) senkrecht in die Luft eine halben Stunde und erbringt dabei eine Leistung \(P=878\,W\). Welche Masse \(m\) besitzt der Körper? Nr. 3484
	\(m=169kg\)
	\(m=188kg\)
	\(m=162kg\)
	\(m=179kg\)
	\(m=154kg\)
Lösungsweg Die Leistung \(P=\frac{W}{t}\) mit der Arbeit \(W=m\cdot g \cdot h\) Somit ist die Leistung \(P\) nach \(m\) umgeformt \(m=\frac{P\cdot t}{g\cdot h}\) Umrechnung in SI-Einheiten \(s=0,9\,km=900\,m=h\) eine halbe Stunde \(t=0,5\,h=30\cdot 60=1800\,s\) Daher ist die Masse des objektes \(m=\frac{878\cdot 1800}{9,81\cdot 900}=179,001\,kg\)

5 erreichbare Punkte

Ein Autofahrer mit Auto \((m_1=1700kg)\) und ein Mointainbiker \((m_2=80kg)\) fahren beide auf einen Berg. Der Radfahrer legt dabei aber nur die Hälfte des Weges zurück, da er einen direkten Forstweg befahren kann. Trotzdem braucht er doppelt so lange zum vereinbarten Ziel. Der Autofahrer braucht für die 800 Höhenmeter 30 Minuten. Welche Leistung \(P\) bringt der Automotor durchschnittlich auf? Nr. 2356
	\(P=12,3\,kW\)
	\(P=42\,W\)
	\(P=63,5\,kW\)
	\(P=7,4\,kW\)
	\(P=395\,W\)
Lösungsweg Die durchschnittliche Leistung \(P=\frac{W}{t}\) errechnet sich aus dem Verhältnis der geleisteten Arbeit \(W\) und der benötigten Zeit \(t\). Die geleistete Arbeit \(W\) ist hier die Erhöhung der potentiellen Energie \(E_{pot}=m\cdot g \cdot h\) von \(h=0\) am Fuss des Berges bis \(h=800\,m\) am Ziel des Autofahrers, daher ist \(W=m\cdot g \cdot h\). Die Zeit \(t\) in SI-Einehiten \(t=30\,min=30\cdot 60\,s=1800\,s\). Eingesetzt ergibt das \(P=\frac{1700\,kg \cdot 9.81\frac{m}{s^2}\cdot 800\,m}{1800\,s}=7412\,\frac{kg \cdot m^2}{s^3}=7412\,W\)

5 erreichbare Punkte

Ein Mann geht eine Treppe, die 100 m lang und 8 m hoch ist, hinauf. Er bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 3 Metern pro Sekunde vorwärts. Der Mann selbst wiegt 80 kg und trägt zwei Säcke Reis à 10 Kilo bei sich. Auf halbem Wege fällt ihm ein Sack aus der Hand und er entschließt sich erstmal nur den anderen Reisack ans obere Ende der Treppe zu tragen. Wieviel Leistung erbringt der Mann beim ersten Mal hinauf gehen? Nr. 3106
	\(P=447,34 \,W\)
	\(P=4,4734 \,kW\)
	\(P=356,9\, W\)
	\(P=1,5342\, kW\)
	\(P=153,42\,W\)
Lösungsweg \(P=\frac{W}{t}\) \(\text{Erste Teilstrecke:}\,m=100 \,kg,\qquad h=4\,m,\qquad g=9,81\,\frac{m}{s^2},\qquad t=\frac{50}{3}=16,\dot{6}\,s\) Dies in die Formel für die Leistung eingesetzt \(P=\(\frac{100\cdot9,81\cdot4}{16,\dot{6}}\) =235,44\,W\) \(\text{Zweite Teilstrecke:}\,m=90 \,kg,\qquad h=4\,m,\qquad g=9,81\,\frac{m}{s^2},\qquad t=\frac{50}{3}=16,\dot{6}\,s\) Dies wiederum in die Formel für die Leistung eingesetzt \(P=\(\frac{90\cdot9,81\cdot4}{16,\dot{6}}\)=211,9W \) Summe beider Teilstrecken: 211,9+235,44 = 447.34

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