Antworten c) & d) sind korrekt!

ad c) Wie in der Abbildung zu sehen, lässt sich die Fläche in zwei Teilflächen zerlegen (andere Einteilungen sind ebenso zulässig). Die Schwerpunkte der Teilflächen sind mit \(M_1\) und \(M_2\) gekennzeichnet. Der gemeinsame Schwerpunkt muss auf der gemeinsamen Verbinungsgeraden liegen und zwar näher an der Fläche mit größerem Flächeninhalt. Die beiden Teilflächen sind annähernd gleich groß, zumindest ist der Unterschied nicht derart groß, als dass der Schwerpunkt innerhalb der Flächen liegen kann. Der Schwerpunkt muss innerhalb des rot gekennzeichneten Bereichs (auf der Verbindungsgeraden!) liegen.

ad d) Der Schwerpunkt von Dreiecken liegt auf 1/3 der Seitenhöhe. Aus einem Dreieck wird ein kleineres, dazu ähnliches, herausgeschnitten, sodass quasi nur ein Rand des Dreiecks übrig bleibt. Dieser Rand ist nicht dick genug, sodass der Schwerpunkt beinhaltet sein kann.

Abschließend soll noch diskutiert werden, warum der Schwerpunkt bei Aufgabe a) ein Teil der Fläche sein muss:

In der Abbildung sind der große Kreis und der kleinere, ausgeschnitte Kreis mit deren Schwerpunkten \(M_1\) und \(M_2\) abgebildet. Der Schwerpunkt der Fläche (Kreis + herausgeschnittener kleinerer Kreis) muss auf der Verbindungsgerade liegen, die \(M_1\) und \(M_2\) enthält. Da allerdings ein Teil herausgeschnitten wird, wird sich der Schwerpunkt hin zu dem Teil der Fläche verschieben, wo mehr Fläche vorhanden ist. Dieser Bereich ist in der Grafik als strichlierte Linie gekennzeichnet.

Da bereits der Schwerpunkt des vollen Kreises nicht im ausgeschnittenen Teil liegt (also Teil der Fläche ist), muss der Schwerpunkt der resultierenden Fläche innerhalb dieser liegen.

Für eine diskrete eindimensionale Massenverteilung ist der Massenmittelpunkt definiert als:

\(S= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i}\)

Einsetzen der gegebenen Orte und Massen ergibt:

\( S = \frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m_1+2\cdot m_2 + 3\cdot m_1 + 4\cdot 2\cdot m_1}{m_1+m_2+m_1+2\cdot m_1}\)\(\,=\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} = \frac{l}{2}=2,5\)

Diese Gleichung muss nun noch nach \(m_2\) umgeformt werden:

\(\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} =2,5 \qquad \qquad \qquad /\cdot (4m_1+m_2)\)

\(12m_1 +2m_2 = 10m_1+2,5m_2 \qquad \Rightarrow \qquad 0,5m_2 = 2m_1\)

\(m_2 = 4\cdot m_1\)

Es muss also die Masse \(m_2\) vier mal so groß sein wie die Masse \(m_1\)!

Da \(m_1=3\,kg\) ist \(m_2=12\,kg\).

Da die drei Kräfte parallel zueinander stehen, ist die Resultierende die Summe der einzelnen Kräfte (die Gesamtgewichtskraft):

\(F_r=\left| \vec F_r\right| = F_G+F_E+F=26\,kN\)

Um die Lage der Resultierenden - also den Schwerpunkt - zu bestimmen, verwenden wir die Tatsache, dass dort die Summe der Drehmomente verschwinden muss. Wie aus der Graphik ersichtlich, wird bei der links angreifenden Gegenkraft \(F_G\) der Hebelarm von \(l_3\) auf \(l_3 + l_0\) verlängert, während die Hebelarme der anderen beiden Kräfte jeweils um \(l_0\) verkürzt werden.

Anmerkung: dass sich die Resultierende tatsächlich auf der rechten Seite des Punktes A befindet, muss nicht zwingend der Fall sein. Sollte er auf der linken Seite liegen, bekämen wir einen negativen Wert für \(l_0\).

Mit der üblichen Vorzeichenkonvention - positives Vorzeichen für Drehmomente gegen den Uhrzeigersinn und negatives für Drehmomente im Uhrzeigersinn - erhalten wir:

\(F_G\cdot (l_3+l_0) = F_E\cdot (l_2-l_0) + F\cdot (l_2+l_1 - l_0)\)

\(F_G\cdot l_3 + F_G\cdot l_0 = F_E\cdot l_2-F_E\cdot l_0 + F\cdot (l_2 + l_1) - F\cdot l_0 \hspace{18mm} | \qquad l_0\ \mathrm{herausheben}\)

\(l_0\cdot ( \underbrace{F_G + F_E + F}_{F_r} )= F_E\cdot l_2 + F\cdot (l_2 + l_1)-F_G\cdot l_3\)

\(\Rightarrow \qquad l_0=\frac{F_E\cdot l_2 + F\cdot (l_2 + l_1)-F_G\cdot l_3}{F_r} = \quad\)\(\frac{6\,kN\cdot 1\,m + 8\,kN\cdot 6,5\,m - 12\,kN\cdot 1,5\,m}{26\,kN} = \frac{40\,kNm}{26\,kN}\qquad \approx \qquad 1,54\,m\)

Alternativer Lösungsweg:

Ein anderer und wesentlich kürzerer Lösungsweg wäre gewesen, die Schwerpunktformel zu verwenden und dabei die Drehachse bzw. den Punkt A in den Ursprung zu setzen.

Interpretieren wir den Kran mit den wirkenden Kräften als System aus drei Massenpunkten, wird die Rechnung wesentlich einfacher. Für ein System aus \(N\) Massenpunkten lässt sich der Schwerpunkt berechnen mit:

\(S=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N m_i}\) 

Dabei bezeichnen \(x_i\) die Abstände der Punktmassen vom Ursprung des Koordinatensystems. Die Masse lässt sich durch die Gewichtskraft ausdrücken:

\(F=m\cdot g \qquad \Rightarrow \qquad m=\frac{F}{g}\)

Die Erdbeschleunigung \(g\) kürzt sich allerdings in der Formel für den Schwerpunkt stets heraus, weswegen anstatt der Masse \(m\) in der Formel die Gewichtskraft \(F\) geschrieben werden kann (Bonusaufgabe: dies zu überprüfen!).

Wenn der Punkt A in den Ursprung gelegt wird, kommt man durch Einsetzen in die Schwerpunktformel auf die obige Gleichung für \(l_0\):

\(l_0=S=\frac{-F_G\cdot l_3 + F_E\cdot l_2 + F\cdot\, (l_2+l_3)}{F_G+ F_E + F}\)

Da es sich um einen homogenen Balken handelt, greift die Gewichtskraft \(F_G\) im Schwerpunkt, in der Mitte des Balkens an.

Eine mögliche (wenn auch etwas umständliche) Lösung ist die über den Satz des Pythagoras:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\), wobei \(h_G\) die Höhe bezeichnet, auf der sich der Schwerpunkt des Balkens befindet (siehe Abbildung).

Da es sich um ähnliche Dreiecke handelt, müssen deren Seitenverhältnisse gleich sein:

\(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_G}{h_G} \qquad \Rightarrow \qquad h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\)

Damit lässt sich auf die gesuchte Länge \(l_G\) umformen (Herleitung siehe ganz unten): \( l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{0,6\,m}{1\,m}\right)^2}}} = \frac{1,4\,m}{2\cdot \sqrt{1,36}} = 0,600245\,m\)

\(l_G \,\approx\, 60\,cm\)

Eine etwas kürzere Lösung ist die über Winkelfunktionen:

Für den Winkel, in dem der Balken zur Waagrechten gelagert ist, gilt: \(\tan(\alpha) = \frac{l_2}{l_1} \qquad \Rightarrow \qquad \alpha = \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\right) = 30,96^\circ\).

Damit entspricht die halbe Länge des Balkens der Hypothenuse (siehe Abbildung). Die gesuchte Länge \(l_G\) ist dann somit

\(l_G = \cos(\alpha) \cdot \frac{l_0}{2} = \cos(30,96^\circ) \cdot 0,7\,m = 0,600\,m\)

in Übereinstimmung mit der Lösung über den Satz des Pythagoras.

Herleitung des Hebelarms \(l_G\) der Gewichtskraft:

Aus \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\) und \( h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\) (siehe oben) wird zunächst:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + \left( \frac{l_G\cdot l_2}{l_1} \right)^2 = l_G^2 \cdot \left[ 1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2\right]\) (Herausheben!)

\(l_G^2 = \frac{\left(\frac{l_0}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}\qquad \Rightarrow \qquad l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}}\)

Antworten 3) und 5) sind korrekt!

ad 3) Der Schwerpunkt eines starren Körpers kann sich auch außerhalb des Volumens befinden, das der Körper einnimmt.

Beispielsweise liegt der (Flächen-)Schwerpunkt eines Kreises in dessen Mittelpunkt. Wird aus dem Kreis ein kleinerer herausgeschnitten, sodass die Mittelpunkte der beiden Kreise am selben Ort sind, so ist der Schwerpunkt immer noch im Mittelpunkt der beiden Kreise. Das herausgeschnittene Stück ist aber kein Teil des Körpers mehr und so befindet sich der Schwerpunkt außerhalb des Volumens des Körpers. Das ist in der Abbildung verdeutlicht, der Schwerpunkt ist rot dargestellt.

ad 5) Der Schwerpunkt ist ein ausgezeichneter Punkt - das heißt, ein Körper oder ein System aus Massenpunkten kann nicht mehrere Schwerpunkte gleichzeitig besitzen.

Ein Körper kann mehrere Symmetrieachsen besitzen. Wenn mehrere Symmetrieachsen vorhanden sind, dann liegt der Schwerpunkt stets im Schnittpunkt dieser Symmetrieachsen.

Bei nicht symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Schwerelinien, den Wirklinien der Gewichtskräfte.

Die Symmetrieachsen wie auch Schwerelinien treffen alle in einem Punkt, dem Schwerpunkt, zusammen.

Da es sich um ein 1-dimensionales Problem handelt (es ist nur die x-Koordinate des Schwerpunkts gefragt), kann in die Definitionsgleichung für die x-Koordinate des Schwerpunkts für ein System aus diskreten Massenpunkten eingesetzt werden:

\(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\).

Dabei bezeichnet \(m_i\) die Masse des i-ten Körpers an der Stelle \(x_i\). Im Nenner steht daher die Gesamtmasse des Systems, \(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 9\).

Beispielsweise liegen auf dem Balken an der Stelle \(x = 4\) insgesamt \(3\,m\) an Masse. So ergibt sich:

\(x_S = \frac{4\cdot 0 + 1\cdot 1 + 4 \cdot 3 + 1\cdot 5}{4+1+3+1} = \frac{18}{9} = 2\)

Anmerkung:

Man hätte die Koordinaten des Schwerpunkts auch über den Drehmomenten-Ansatz berechnen können. Beim Schwerpunkt eines solchen Systems ist das netto-Drehmoment \(M = 0\).

Lösung Drehmoment:

Damit sich die Waage im Gleichgewicht befindet, muss das Drehmoment bezüglich der Drehachse (Lagerpunkt) bei \(x_D=3\) verschwinden. Es müssen also die Gewichtskräfte auf der linken und rechten Seite ein gleich groß entgegengesetztes Drehmoment erzeugen.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse \(m\):

\(F_G = m\cdot g\), mit der Erdbeschleunigung \(g\).

Das Drehmoment einer Kraft \(F\) ist definiert als \(M = h\cdot F\), wobei \(h\) den Hebelarm der Kraft bezeichnet. Konventionsgemäß ist ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment positiv, ein im Uhrzeigersinn drehendes dagegen negativ. Die Abbildung zeigt den Beitrag des Hebelarms zum Drehmoment. In der Mitte (bei \(x_D = 3\)) ist der Hebelarm 0, nach links trägt dieser positiv zum Drehmoment bei, nach rechts hingegen negativ.

Damit ergibt sich für das Drehmoment bezüglich der Drehachse in der Mitte des Balkens:

\(M = 2\cdot 3\,mg + 1\cdot 2\,mg - 2\cdot 4\,mg - 1\cdot 3\,mg + h_0\cdot mg= 0\)

\(6 + 2 - 8 - 3 +h_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad h_0=3\)

Die hinzugefügte Masse \(m\) hat daher den (positiven!) Hebelarm mit Länge 3. Die Position entspricht daher der bei \(x_0 = 0\).

Lösung Schwerpunkt:

Eine alternative Lösung bietet die Definition des Schwerpunktes: Ist die Waage im Gleichgewicht, so muss der Drehpunkt, an dem das Drehmoment 0 ist, mit dem Schwerpunkt zusammenfallen (sie müssen zumindest den selben x-Wert haben). Anschaulich ist also der Schwerpunkt derjenige Punkt eines Körpers, an dem dieser balanciert werden kann.

Die Definition des Schwerpunkts für eindimensionale Probleme: \(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\). (Man erkennt, in dieser Formulierung kommt die Erdbeschleunigung nicht mehr vor!)

Da der Schwerpunkt bei \(x_S = x_D = 3\) liegt, muss umgeformt werden. Im nenner steht die Gesamtmasse, bei der die zusätzliche Masse berücksichtigt werden muss:\(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 11\,m\). Einsetzen der gegebenen Koordinaten ergibt:

\(x_S = \frac{3\,m\cdot 1 + 2\,m\cdot 2+4\,m\cdot 5 + 1\,m\cdot 6 + 1\,m\cdot x_0}{11\,m} = 3\)

\(x_0=3\cdot 11 - (3+4+20+6) = 33 - 33 = 0\)

Und wir erhalten das selbe Ergebnis wie über den Ansatz des Drehmoments:

\(x_0=0\)

Der Massenmittelpunkt eines Systems von \(n\) Punktmassen \(m_i\) an den Orten \(x_i\) ist definiert als:

\(\displaystyle \vec{R}=\frac{\sum_i m_i \vec{r_i}}{\sum_i m_i}\)

Einsetzen ergibt: \(\vec R = \frac{m_1 \cdot \vec r_1 + m_1 \cdot \vec r_1}{m_1 + m_2} =\)\( \frac{4 \cdot\, \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \end{array}\right) + 0,5\cdot \,\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \end{array}\right)}{4 + 0,5} =\)\( \frac{\left( \begin{array}{c} 8 \\\ -16 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 0 \end{array}\right)}{4,5} = \frac{1}{4,5}\cdot\, \left( \begin{array}{c} 7 \\\ -16 \end{array}\right)\)