Um den Massenmittelpunkt (MMP) der resultierenden Platte zu bestimmen, wird diese zunächst in zwei Flächen unterteilt. Da wir davon ausgehen, dass die Masse der Platte homogen verteilt ist (was bei planparallelen Platten meist der Fall ist), werden die beiden Flächen als Punktmassen betrachtet, die in den jeweiligen Massenmittelpunkten liegen. Dadurch wird die Massenverteilung als Zweikörper-Problem beschrieben und der gemeinsame MMP der beiden Punktmassen entspricht dem MMP der gesamten Platte.

Bei geschickter Wahl dieser Teilflächen können die Koordinaten der MMP aus Symmetrie-Überlegungen bestimmt werden. Eine mögliche Wahl wäre die Unterteilung der Form in zwei Rechtecke, wie in der Graphik dargestellt. Die Unterteilung in Rechtecke ist naheliegend, da der MMP eines Rechtecks (bei homogener Massenverteilung) im Schnittpunkt der Diagonalen liegt. In der Graphik sind die beiden Flächen farbig unterlegt und ihre jeweiligen MMP als \(S_1\) und \(S_2\) bezeichnet. (Eine Andere Wahl der Flächen wäre genauso möglich, ebenso eine Unterteilung in mehr als zwei Teilflächen --> Bonusaufgabe!)

Der gemeinsame MMP muss dann auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Schwerpunkten \(S_1\) und \(S_2\) liegen.

Der MMP einer diskreten Massenverteilung, wie wir sie modelliert haben, ist definiert als:

\(\vec S = \frac{m_1 \cdot \vec s_1 + m_2 \cdot \vec s_2}{m_1 + m_2}\)

Wobei \(\vec s_1\) und \(\vec s_2\) die Ortsvektoren der MMP der beiden Teilflächen sind.

Die Koordinaten dieser Ortsvektoren lassen sich aus geometrischen Überlegungen bestimmen. Die MMP ergeben sich durch Halbieren der Seitenlängen der jeweiligen Teilflächen. Dadurch ergeben sich (siehe Graphik):

\(\vec s_1 = \begin{pmatrix} 3\\3\\ \end{pmatrix} \qquad , \qquad \vec s_2 = \begin{pmatrix} 4\\7,5\\ \end{pmatrix}\)

Da es sich um eine homogene Massenverteilung in der planparallelen Platte handelt, ist das Verhältnis der jeweiligen Massen der Teilflächen gleich dem Verhältnis ihrer Flächeninhalte. Die Dicke \(d\) der Platte ist nicht näher spezifiziert, da es sich aber um eine planparallele Platte handelt, muss \(d=const.\) gelten.

Die Masse würde sich berechnen durch \(m_i = \rho \cdot V_i \qquad\qquad \qquad(i=1,2)\), wobei das Volumen \(V_i = a_i \cdot b_i \cdot d\) ist.

Für das Verhältnis der Massen gilt \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{\cancel{\rho}\cdot a_1\cdot b_1 \cdot \cancel{d}}{\cancel{\rho} \cdot a_2 \cdot b_2 \cdot \cancel{d}} = \frac{a_1\cdot b_1}{a_2\cdot b_2} = \frac{A_1}{A_2}\), es lassen sich also die Massen der Teilflächen durch deren Flächeninhalte ausdrücken.

Somit ergibt sich für den gemeinsamen MMP der Punktmassen und damit den MMP der Platte:

\(\vec S = \frac{A_1\cdot \vec s_1 + A_2 \cdot \vec s_2}{A_1 + A_2} = \frac{6\cdot6\cdot\, \begin{pmatrix} 3\\3\\ \end{pmatrix} + 4\cdot 3\cdot\, \begin{pmatrix} 4\\ 7,5\\ \end{pmatrix}}{36+12} =\)\(\frac{1}{48}\cdot\,\left[36\cdot\, \begin{pmatrix} 3\\3\\ \end{pmatrix} + 12\cdot\, \begin{pmatrix} 4\\ 7,5\\ \end{pmatrix}\right] = \frac{1}{48}\cdot\, \begin{pmatrix} 156\\198\\ \end{pmatrix}\)

\(\vec S=\begin{pmatrix}3,25\\ 4,125 \end{pmatrix}\)

Um die Lage des Schwerpunkts zu bestimmen, geht man bei diesem eindimensionalen Problem am Besten von einem Drehmomenten-Ansatz aus:

Wir legen die Drehachse, wie abgebildet, so, dass sie den Schwerpunkt enthält. Das Drehmoment im Schwerpunkt muss dann 0 ergeben. Wie in der Abbildung zu sehen, bewirkt die Masse \(m_1\) eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn, konventionsgemäß ein positives Drehmoment. Demenstprechend erhält das Drehmoment der Masse \(m_2\) ein negatives Vorzeichen.

Das Drehmoment ist definiert als: \(M = \displaystyle\sum_i G_i \cdot l_i\)

Dabei bezeichnen \(G_i\) die Gewichtskräfte der Massen und \(l_i\) deren Hebelarme - die senkrechten Abstände der Wirklinie der Gewichtskraft zur Drehachse. Mit der Schwerebeschleunigung auf der Erde \(g = 9,81\,\frac{m}{s^2}\) lässt sich die Gewichtskraft der Massen berechnen: \(G_i = m_i \cdot g\).

Da sich das netto-Drehmoment im Schwerpunkt zu Null addiert, erhalten wir:

\(M = G_1 \cdot m_1 - G_2 \cdot m_2 = 0\)

\(m_1 \cdot \cancel{g} \cdot l_1 = m_2 \cdot \cancel{g} \cdot l_2 \qquad \Rightarrow \qquad l_1 = \frac{m_2}{m_1}\cdot l_2\)

Mit \(m_1 = 2\cdot m_2\) erhalten wir schließlich:

\(l_1= \frac{\cancel{m_2}}{2\cdot \cancel{m_2}}\cdot l_2 = \frac{1}{2}\cdot l_2\)

Lösung Drehmoment:

Damit sich die Waage im Gleichgewicht befindet, muss das Drehmoment bezüglich der Drehachse (Lagerpunkt) bei \(x_D=3\) verschwinden. Es müssen also die Gewichtskräfte auf der linken und rechten Seite ein gleich groß entgegengesetztes Drehmoment erzeugen.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse \(m\):

\(F_G = m\cdot g\), mit der Erdbeschleunigung \(g\).

Das Drehmoment einer Kraft \(F\) ist definiert als \(M = h\cdot F\), wobei \(h\) den Hebelarm der Kraft bezeichnet. Konventionsgemäß ist ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment positiv, ein im Uhrzeigersinn drehendes dagegen negativ. Die Abbildung zeigt den Beitrag des Hebelarms zum Drehmoment. In der Mitte (bei \(x_D = 3\)) ist der Hebelarm 0, nach links trägt dieser positiv zum Drehmoment bei, nach rechts hingegen negativ.

Damit ergibt sich für das Drehmoment bezüglich der Drehachse in der Mitte des Balkens:

\(M = 2\cdot 3\,mg + 1\cdot 2\,mg - 2\cdot 4\,mg - 1\cdot 3\,mg + h_0\cdot mg= 0\)

\(6 + 2 - 8 - 3 +h_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad h_0=3\)

Die hinzugefügte Masse \(m\) hat daher den (positiven!) Hebelarm mit Länge 3. Die Position entspricht daher der bei \(x_0 = 0\).

Lösung Schwerpunkt:

Eine alternative Lösung bietet die Definition des Schwerpunktes: Ist die Waage im Gleichgewicht, so muss der Drehpunkt, an dem das Drehmoment 0 ist, mit dem Schwerpunkt zusammenfallen (sie müssen zumindest den selben x-Wert haben). Anschaulich ist also der Schwerpunkt derjenige Punkt eines Körpers, an dem dieser balanciert werden kann.

Die Definition des Schwerpunkts für eindimensionale Probleme: \(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\). (Man erkennt, in dieser Formulierung kommt die Erdbeschleunigung nicht mehr vor!)

Da der Schwerpunkt bei \(x_S = x_D = 3\) liegt, muss umgeformt werden. Im nenner steht die Gesamtmasse, bei der die zusätzliche Masse berücksichtigt werden muss:\(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 11\,m\). Einsetzen der gegebenen Koordinaten ergibt:

\(x_S = \frac{3\,m\cdot 1 + 2\,m\cdot 2+4\,m\cdot 5 + 1\,m\cdot 6 + 1\,m\cdot x_0}{11\,m} = 3\)

\(x_0=3\cdot 11 - (3+4+20+6) = 33 - 33 = 0\)

Und wir erhalten das selbe Ergebnis wie über den Ansatz des Drehmoments:

\(x_0=0\)

Die beiden Massen sind in folgendem Diagramm eingezeichnet.

Der Massenmittelpunkt zweier Massen \(m_1\) und \(m_2\) ist definiert durch:

\(\vec r_S=\frac{\sum_{i=1}^{2}m_i\cdot \vec r_i}{M_{ges}} = \frac{m_1\cdot \vec r_1 + m_2\cdot \vec r_2}{m_1 + m_2}\)

Da beide Massen gleich groß sind (\(m_1=m_2\)), muss der Massenmittelpunkt in der Mitte der Verbindungslinie zwischen den Orten der beiden Massen liegen. Eine geometrische Lösung wäre, vom Ort der Masse \(m_2\) (oder auch \(m_1\)) aus die Hälfte der Strecke in x- und y-Richtung zu gehen. Dabei bezeichnen \(\Delta x\) und \(\Delta y\) die Abstände in x- und y-Richtung der beiden Orte, an denen sich die jeweiligen Massen befinden (siehe Graphik).

\(\vec r_2 +\frac{1}{2}\cdot \vec{r_2 r_1} = \vec r_2 + \frac{1}{2} \left( \vec r_1 - \vec r_2 \right)=\)\(\,\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \right] = \)\(\, \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\)

Das führt zum selben Ergebnis wie die Berechnung mittels obiger Formel:

\(\vec r_S= \frac{m\cdot\, ( \vec x_1 +\vec x_2)}{2m} = \frac{1}{2}\cdot\, \left[ \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 3 \end{pmatrix} \right]\)

\(\vec r_S = \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\)

Um den gemeinsamen Schwerpunkt der beiden Flüssigkeiten zu ermitteln, werden diese zunächst durch ihre Massenmittelpunkte (MMP) beschrieben. Dadurch werden die beiden ausgedehnten Flüssigkeiten als Punktmassen im jeweiligen MMP angenommen, deren Massen der der Flüssigkeit entsprechen. Es wurde also das Problem auf ein System aus zwei Massen reduziert, das wir nun lösen wollen.

Die Form des Behälters ist nicht näher beschrieben, wir können also eine eindimensionale Beschreibung - entlang der Höhe des Behälters - wählen (dabei gehen wir davon aus, dass sich der Querschnitt des Behälters mit der Höhe nicht ändert). Die Flüssigkeiten sind in ihrer Hälfte des Behälters homogen verteilt, die Koordinaten der MMP des Wassers und des Benzins müssen daher

\(S_W=\frac{1}{4}h\) und \(S_{B}=\frac{3}{4}h\) sein (siehe Graphik).

Die Massen der beiden Flüssigkeiten verhalten sich zueinander genauso wie deren Dichten \(\rho_{W}=1,0\ \frac{kg}{l}\) und \(\rho_{B}=0,75\ \frac{kg}{l}\), da die beiden Flüssigkeiten das selbe Volumen einnehmen. Mit \(M=\rho \cdot V\) gilt also:

\(\frac{M_B}{M_{W}} = \frac{\rho_B\cdot V}{\rho_W\cdot V} = \frac{0,75}{1,0}\) beziehungsweise

\(M_B = 0,75 \; M_W\).

Nun kann in die bekannte Formel für den MMP eingesetzt werden:

\(S=\frac{m_W\cdot S_W + m_B\cdot S_B}{m_W + m_B} = \frac{m_w\cdot \frac{1}{4}\,h + 0,75\,m_W\cdot \frac{3}{4}\,h}{m_W + 0,75\,m_W}\)

\(=\frac{\cancel{m_W}\cdot h\cdot\, (0,25 +0,75\cdot 0,75)}{1,75\,\cancel{ m_W}} \quad \approx \quad 0,4643\,h\)

Die Höhe beträgt \(10\, cm\), daher liegt der gemeinsame MMP der beiden Flüssigkeiten bei

\(S\quad \approx \quad 4,6\,cm\)

Der Massenmittelpunkt eines Systems von \(n\) Punktmassen \(m_i\) an den Orten \(x_i\) ist definiert als:

\(\displaystyle \vec{R}=\frac{\sum_i m_i \vec{r_i}}{\sum_i m_i}\)

Einsetzen ergibt: \(\vec R = \frac{m_1 \cdot \vec r_1 + m_1 \cdot \vec r_1}{m_1 + m_2} =\)\( \frac{4 \cdot\, \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \end{array}\right) + 0,5\cdot \,\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \end{array}\right)}{4 + 0,5} =\)\( \frac{\left( \begin{array}{c} 8 \\\ -16 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 0 \end{array}\right)}{4,5} = \frac{1}{4,5}\cdot\, \left( \begin{array}{c} 7 \\\ -16 \end{array}\right)\)

Antworten 3) und 5) sind korrekt!

ad 3) Der Schwerpunkt eines starren Körpers kann sich auch außerhalb des Volumens befinden, das der Körper einnimmt.

Beispielsweise liegt der (Flächen-)Schwerpunkt eines Kreises in dessen Mittelpunkt. Wird aus dem Kreis ein kleinerer herausgeschnitten, sodass die Mittelpunkte der beiden Kreise am selben Ort sind, so ist der Schwerpunkt immer noch im Mittelpunkt der beiden Kreise. Das herausgeschnittene Stück ist aber kein Teil des Körpers mehr und so befindet sich der Schwerpunkt außerhalb des Volumens des Körpers. Das ist in der Abbildung verdeutlicht, der Schwerpunkt ist rot dargestellt.

ad 5) Der Schwerpunkt ist ein ausgezeichneter Punkt - das heißt, ein Körper oder ein System aus Massenpunkten kann nicht mehrere Schwerpunkte gleichzeitig besitzen.

Ein Körper kann mehrere Symmetrieachsen besitzen. Wenn mehrere Symmetrieachsen vorhanden sind, dann liegt der Schwerpunkt stets im Schnittpunkt dieser Symmetrieachsen.

Bei nicht symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Schwerelinien, den Wirklinien der Gewichtskräfte.

Die Symmetrieachsen wie auch Schwerelinien treffen alle in einem Punkt, dem Schwerpunkt, zusammen.

Für eine diskrete eindimensionale Massenverteilung ist der Massenmittelpunkt definiert als:

\(S= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i}\)

Einsetzen der gegebenen Orte und Massen ergibt:

\( S = \frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m_1+2\cdot m_2 + 3\cdot m_1 + 4\cdot 2\cdot m_1}{m_1+m_2+m_1+2\cdot m_1}\)\(\,=\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} = \frac{l}{2}=2,5\)

Diese Gleichung muss nun noch nach \(m_2\) umgeformt werden:

\(\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} =2,5 \qquad \qquad \qquad /\cdot (4m_1+m_2)\)

\(12m_1 +2m_2 = 10m_1+2,5m_2 \qquad \Rightarrow \qquad 0,5m_2 = 2m_1\)

\(m_2 = 4\cdot m_1\)

Es muss also die Masse \(m_2\) vier mal so groß sein wie die Masse \(m_1\)!

Da \(m_1=3\,kg\) ist \(m_2=12\,kg\).