Antworten c) & d) sind korrekt!

ad c) Wie in der Abbildung zu sehen, lässt sich die Fläche in zwei Teilflächen zerlegen (andere Einteilungen sind ebenso zulässig). Die Schwerpunkte der Teilflächen sind mit \(M_1\) und \(M_2\) gekennzeichnet. Der gemeinsame Schwerpunkt muss auf der gemeinsamen Verbinungsgeraden liegen und zwar näher an der Fläche mit größerem Flächeninhalt. Die beiden Teilflächen sind annähernd gleich groß, zumindest ist der Unterschied nicht derart groß, als dass der Schwerpunkt innerhalb der Flächen liegen kann. Der Schwerpunkt muss innerhalb des rot gekennzeichneten Bereichs (auf der Verbindungsgeraden!) liegen.

ad d) Der Schwerpunkt von Dreiecken liegt auf 1/3 der Seitenhöhe. Aus einem Dreieck wird ein kleineres, dazu ähnliches, herausgeschnitten, sodass quasi nur ein Rand des Dreiecks übrig bleibt. Dieser Rand ist nicht dick genug, sodass der Schwerpunkt beinhaltet sein kann.

Abschließend soll noch diskutiert werden, warum der Schwerpunkt bei Aufgabe a) ein Teil der Fläche sein muss:

In der Abbildung sind der große Kreis und der kleinere, ausgeschnitte Kreis mit deren Schwerpunkten \(M_1\) und \(M_2\) abgebildet. Der Schwerpunkt der Fläche (Kreis + herausgeschnittener kleinerer Kreis) muss auf der Verbindungsgerade liegen, die \(M_1\) und \(M_2\) enthält. Da allerdings ein Teil herausgeschnitten wird, wird sich der Schwerpunkt hin zu dem Teil der Fläche verschieben, wo mehr Fläche vorhanden ist. Dieser Bereich ist in der Grafik als strichlierte Linie gekennzeichnet.

Da bereits der Schwerpunkt des vollen Kreises nicht im ausgeschnittenen Teil liegt (also Teil der Fläche ist), muss der Schwerpunkt der resultierenden Fläche innerhalb dieser liegen.

Lösung Drehmoment:

Damit sich die Waage im Gleichgewicht befindet, muss das Drehmoment bezüglich der Drehachse (Lagerpunkt) bei \(x_D=3\) verschwinden. Es müssen also die Gewichtskräfte auf der linken und rechten Seite ein gleich groß entgegengesetztes Drehmoment erzeugen.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse \(m\):

\(F_G = m\cdot g\), mit der Erdbeschleunigung \(g\).

Das Drehmoment einer Kraft \(F\) ist definiert als \(M = h\cdot F\), wobei \(h\) den Hebelarm der Kraft bezeichnet. Konventionsgemäß ist ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment positiv, ein im Uhrzeigersinn drehendes dagegen negativ. Die Abbildung zeigt den Beitrag des Hebelarms zum Drehmoment. In der Mitte (bei \(x_D = 3\)) ist der Hebelarm 0, nach links trägt dieser positiv zum Drehmoment bei, nach rechts hingegen negativ.

Damit ergibt sich für das Drehmoment bezüglich der Drehachse in der Mitte des Balkens:

\(M = 2\cdot 3\,mg + 1\cdot 2\,mg - 2\cdot 4\,mg - 1\cdot 3\,mg + h_0\cdot mg= 0\)

\(6 + 2 - 8 - 3 +h_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad h_0=3\)

Die hinzugefügte Masse \(m\) hat daher den (positiven!) Hebelarm mit Länge 3. Die Position entspricht daher der bei \(x_0 = 0\).

Lösung Schwerpunkt:

Eine alternative Lösung bietet die Definition des Schwerpunktes: Ist die Waage im Gleichgewicht, so muss der Drehpunkt, an dem das Drehmoment 0 ist, mit dem Schwerpunkt zusammenfallen (sie müssen zumindest den selben x-Wert haben). Anschaulich ist also der Schwerpunkt derjenige Punkt eines Körpers, an dem dieser balanciert werden kann.

Die Definition des Schwerpunkts für eindimensionale Probleme: \(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\). (Man erkennt, in dieser Formulierung kommt die Erdbeschleunigung nicht mehr vor!)

Da der Schwerpunkt bei \(x_S = x_D = 3\) liegt, muss umgeformt werden. Im nenner steht die Gesamtmasse, bei der die zusätzliche Masse berücksichtigt werden muss:\(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 11\,m\). Einsetzen der gegebenen Koordinaten ergibt:

\(x_S = \frac{3\,m\cdot 1 + 2\,m\cdot 2+4\,m\cdot 5 + 1\,m\cdot 6 + 1\,m\cdot x_0}{11\,m} = 3\)

\(x_0=3\cdot 11 - (3+4+20+6) = 33 - 33 = 0\)

Und wir erhalten das selbe Ergebnis wie über den Ansatz des Drehmoments:

\(x_0=0\)

Da es sich um ein 1-dimensionales Problem handelt (es ist nur die x-Koordinate des Schwerpunkts gefragt), kann in die Definitionsgleichung für die x-Koordinate des Schwerpunkts für ein System aus diskreten Massenpunkten eingesetzt werden:

\(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\).

Dabei bezeichnet \(m_i\) die Masse des i-ten Körpers an der Stelle \(x_i\). Im Nenner steht daher die Gesamtmasse des Systems, \(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 9\).

Beispielsweise liegen auf dem Balken an der Stelle \(x = 4\) insgesamt \(3\,m\) an Masse. So ergibt sich:

\(x_S = \frac{4\cdot 0 + 1\cdot 1 + 4 \cdot 3 + 1\cdot 5}{4+1+3+1} = \frac{18}{9} = 2\)

Anmerkung:

Man hätte die Koordinaten des Schwerpunkts auch über den Drehmomenten-Ansatz berechnen können. Beim Schwerpunkt eines solchen Systems ist das netto-Drehmoment \(M = 0\).

Um die Lage des Schwerpunkts zu bestimmen, geht man bei diesem eindimensionalen Problem am Besten von einem Drehmomenten-Ansatz aus:

Wir legen die Drehachse, wie abgebildet, so, dass sie den Schwerpunkt enthält. Das Drehmoment im Schwerpunkt muss dann 0 ergeben. Wie in der Abbildung zu sehen, bewirkt die Masse \(m_1\) eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn, konventionsgemäß ein positives Drehmoment. Demenstprechend erhält das Drehmoment der Masse \(m_2\) ein negatives Vorzeichen.

Das Drehmoment ist definiert als: \(M = \displaystyle\sum_i G_i \cdot l_i\)

Dabei bezeichnen \(G_i\) die Gewichtskräfte der Massen und \(l_i\) deren Hebelarme - die senkrechten Abstände der Wirklinie der Gewichtskraft zur Drehachse. Mit der Schwerebeschleunigung auf der Erde \(g = 9,81\,\frac{m}{s^2}\) lässt sich die Gewichtskraft der Massen berechnen: \(G_i = m_i \cdot g\).

Da sich das netto-Drehmoment im Schwerpunkt zu Null addiert, erhalten wir:

\(M = G_1 \cdot m_1 - G_2 \cdot m_2 = 0\)

\(m_1 \cdot \cancel{g} \cdot l_1 = m_2 \cdot \cancel{g} \cdot l_2 \qquad \Rightarrow \qquad l_1 = \frac{m_2}{m_1}\cdot l_2\)

Mit \(m_1 = 2\cdot m_2\) erhalten wir schließlich:

\(l_1= \frac{\cancel{m_2}}{2\cdot \cancel{m_2}}\cdot l_2 = \frac{1}{2}\cdot l_2\)

Um den gemeinsamen Schwerpunkt der beiden Flüssigkeiten zu ermitteln, werden diese zunächst durch ihre Massenmittelpunkte (MMP) beschrieben. Dadurch werden die beiden ausgedehnten Flüssigkeiten als Punktmassen im jeweiligen MMP angenommen, deren Massen der der Flüssigkeit entsprechen. Es wurde also das Problem auf ein System aus zwei Massen reduziert, das wir nun lösen wollen.

Die Form des Behälters ist nicht näher beschrieben, wir können also eine eindimensionale Beschreibung - entlang der Höhe des Behälters - wählen (dabei gehen wir davon aus, dass sich der Querschnitt des Behälters mit der Höhe nicht ändert). Die Flüssigkeiten sind in ihrer Hälfte des Behälters homogen verteilt, die Koordinaten der MMP des Wassers und des Benzins müssen daher

\(S_W=\frac{1}{4}h\) und \(S_{B}=\frac{3}{4}h\) sein (siehe Graphik).

Die Massen der beiden Flüssigkeiten verhalten sich zueinander genauso wie deren Dichten \(\rho_{W}=1,0\ \frac{kg}{l}\) und \(\rho_{B}=0,75\ \frac{kg}{l}\), da die beiden Flüssigkeiten das selbe Volumen einnehmen. Mit \(M=\rho \cdot V\) gilt also:

\(\frac{M_B}{M_{W}} = \frac{\rho_B\cdot V}{\rho_W\cdot V} = \frac{0,75}{1,0}\) beziehungsweise

\(M_B = 0,75 \; M_W\).

Nun kann in die bekannte Formel für den MMP eingesetzt werden:

\(S=\frac{m_W\cdot S_W + m_B\cdot S_B}{m_W + m_B} = \frac{m_w\cdot \frac{1}{4}\,h + 0,75\,m_W\cdot \frac{3}{4}\,h}{m_W + 0,75\,m_W}\)

\(=\frac{\cancel{m_W}\cdot h\cdot\, (0,25 +0,75\cdot 0,75)}{1,75\,\cancel{ m_W}} \quad \approx \quad 0,4643\,h\)

Die Höhe beträgt \(10\, cm\), daher liegt der gemeinsame MMP der beiden Flüssigkeiten bei

\(S\quad \approx \quad 4,6\,cm\)

Der Massenmittelpunkt eines Systems von \(n\) Punktmassen \(m_i\) an den Orten \(x_i\) ist definiert als:

\(\displaystyle \vec{R}=\frac{\sum_i m_i \vec{r_i}}{\sum_i m_i}\)

Einsetzen ergibt: \(\vec R = \frac{m_1 \cdot \vec r_1 + m_1 \cdot \vec r_1}{m_1 + m_2} =\)\( \frac{4 \cdot\, \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \end{array}\right) + 0,5\cdot \,\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \end{array}\right)}{4 + 0,5} =\)\( \frac{\left( \begin{array}{c} 8 \\\ -16 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 0 \end{array}\right)}{4,5} = \frac{1}{4,5}\cdot\, \left( \begin{array}{c} 7 \\\ -16 \end{array}\right)\)

Da es sich um einen homogenen Balken handelt, greift die Gewichtskraft \(F_G\) im Schwerpunkt, in der Mitte des Balkens an.

Eine mögliche (wenn auch etwas umständliche) Lösung ist die über den Satz des Pythagoras:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\), wobei \(h_G\) die Höhe bezeichnet, auf der sich der Schwerpunkt des Balkens befindet (siehe Abbildung).

Da es sich um ähnliche Dreiecke handelt, müssen deren Seitenverhältnisse gleich sein:

\(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_G}{h_G} \qquad \Rightarrow \qquad h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\)

Damit lässt sich auf die gesuchte Länge \(l_G\) umformen (Herleitung siehe ganz unten): \( l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{0,6\,m}{1\,m}\right)^2}}} = \frac{1,4\,m}{2\cdot \sqrt{1,36}} = 0,600245\,m\)

\(l_G \,\approx\, 60\,cm\)

Eine etwas kürzere Lösung ist die über Winkelfunktionen:

Für den Winkel, in dem der Balken zur Waagrechten gelagert ist, gilt: \(\tan(\alpha) = \frac{l_2}{l_1} \qquad \Rightarrow \qquad \alpha = \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\right) = 30,96^\circ\).

Damit entspricht die halbe Länge des Balkens der Hypothenuse (siehe Abbildung). Die gesuchte Länge \(l_G\) ist dann somit

\(l_G = \cos(\alpha) \cdot \frac{l_0}{2} = \cos(30,96^\circ) \cdot 0,7\,m = 0,600\,m\)

in Übereinstimmung mit der Lösung über den Satz des Pythagoras.

Herleitung des Hebelarms \(l_G\) der Gewichtskraft:

Aus \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\) und \( h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\) (siehe oben) wird zunächst:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + \left( \frac{l_G\cdot l_2}{l_1} \right)^2 = l_G^2 \cdot \left[ 1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2\right]\) (Herausheben!)

\(l_G^2 = \frac{\left(\frac{l_0}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}\qquad \Rightarrow \qquad l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}}\)

Da die drei Kräfte parallel zueinander stehen, ist die Resultierende die Summe der einzelnen Kräfte (die Gesamtgewichtskraft):

\(F_r=\left| \vec F_r\right| = F_G+F_E+F=26\,kN\)

Um die Lage der Resultierenden - also den Schwerpunkt - zu bestimmen, verwenden wir die Tatsache, dass dort die Summe der Drehmomente verschwinden muss. Wie aus der Graphik ersichtlich, wird bei der links angreifenden Gegenkraft \(F_G\) der Hebelarm von \(l_3\) auf \(l_3 + l_0\) verlängert, während die Hebelarme der anderen beiden Kräfte jeweils um \(l_0\) verkürzt werden.

Anmerkung: dass sich die Resultierende tatsächlich auf der rechten Seite des Punktes A befindet, muss nicht zwingend der Fall sein. Sollte er auf der linken Seite liegen, bekämen wir einen negativen Wert für \(l_0\).

Mit der üblichen Vorzeichenkonvention - positives Vorzeichen für Drehmomente gegen den Uhrzeigersinn und negatives für Drehmomente im Uhrzeigersinn - erhalten wir:

\(F_G\cdot (l_3+l_0) = F_E\cdot (l_2-l_0) + F\cdot (l_2+l_1 - l_0)\)

\(F_G\cdot l_3 + F_G\cdot l_0 = F_E\cdot l_2-F_E\cdot l_0 + F\cdot (l_2 + l_1) - F\cdot l_0 \hspace{18mm} | \qquad l_0\ \mathrm{herausheben}\)

\(l_0\cdot ( \underbrace{F_G + F_E + F}_{F_r} )= F_E\cdot l_2 + F\cdot (l_2 + l_1)-F_G\cdot l_3\)

\(\Rightarrow \qquad l_0=\frac{F_E\cdot l_2 + F\cdot (l_2 + l_1)-F_G\cdot l_3}{F_r} = \quad\)\(\frac{6\,kN\cdot 1\,m + 8\,kN\cdot 6,5\,m - 12\,kN\cdot 1,5\,m}{26\,kN} = \frac{40\,kNm}{26\,kN}\qquad \approx \qquad 1,54\,m\)

Alternativer Lösungsweg:

Ein anderer und wesentlich kürzerer Lösungsweg wäre gewesen, die Schwerpunktformel zu verwenden und dabei die Drehachse bzw. den Punkt A in den Ursprung zu setzen.

Interpretieren wir den Kran mit den wirkenden Kräften als System aus drei Massenpunkten, wird die Rechnung wesentlich einfacher. Für ein System aus \(N\) Massenpunkten lässt sich der Schwerpunkt berechnen mit:

\(S=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^N m_i}\) 

Dabei bezeichnen \(x_i\) die Abstände der Punktmassen vom Ursprung des Koordinatensystems. Die Masse lässt sich durch die Gewichtskraft ausdrücken:

\(F=m\cdot g \qquad \Rightarrow \qquad m=\frac{F}{g}\)

Die Erdbeschleunigung \(g\) kürzt sich allerdings in der Formel für den Schwerpunkt stets heraus, weswegen anstatt der Masse \(m\) in der Formel die Gewichtskraft \(F\) geschrieben werden kann (Bonusaufgabe: dies zu überprüfen!).

Wenn der Punkt A in den Ursprung gelegt wird, kommt man durch Einsetzen in die Schwerpunktformel auf die obige Gleichung für \(l_0\):

\(l_0=S=\frac{-F_G\cdot l_3 + F_E\cdot l_2 + F\cdot\, (l_2+l_3)}{F_G+ F_E + F}\)