Antworten 3) und 5) sind korrekt!

ad 3) Der Schwerpunkt eines starren Körpers kann sich auch außerhalb des Volumens befinden, das der Körper einnimmt.

Beispielsweise liegt der (Flächen-)Schwerpunkt eines Kreises in dessen Mittelpunkt. Wird aus dem Kreis ein kleinerer herausgeschnitten, sodass die Mittelpunkte der beiden Kreise am selben Ort sind, so ist der Schwerpunkt immer noch im Mittelpunkt der beiden Kreise. Das herausgeschnittene Stück ist aber kein Teil des Körpers mehr und so befindet sich der Schwerpunkt außerhalb des Volumens des Körpers. Das ist in der Abbildung verdeutlicht, der Schwerpunkt ist rot dargestellt.

ad 5) Der Schwerpunkt ist ein ausgezeichneter Punkt - das heißt, ein Körper oder ein System aus Massenpunkten kann nicht mehrere Schwerpunkte gleichzeitig besitzen.

Ein Körper kann mehrere Symmetrieachsen besitzen. Wenn mehrere Symmetrieachsen vorhanden sind, dann liegt der Schwerpunkt stets im Schnittpunkt dieser Symmetrieachsen.

Bei nicht symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Schwerelinien, den Wirklinien der Gewichtskräfte.

Die Symmetrieachsen wie auch Schwerelinien treffen alle in einem Punkt, dem Schwerpunkt, zusammen.

Da es sich um ein 1-dimensionales Problem handelt (es ist nur die x-Koordinate des Schwerpunkts gefragt), kann in die Definitionsgleichung für die x-Koordinate des Schwerpunkts für ein System aus diskreten Massenpunkten eingesetzt werden:

\(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\).

Dabei bezeichnet \(m_i\) die Masse des i-ten Körpers an der Stelle \(x_i\). Im Nenner steht daher die Gesamtmasse des Systems, \(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 9\).

Beispielsweise liegen auf dem Balken an der Stelle \(x = 4\) insgesamt \(3\,m\) an Masse. So ergibt sich:

\(x_S = \frac{4\cdot 0 + 1\cdot 1 + 4 \cdot 3 + 1\cdot 5}{4+1+3+1} = \frac{18}{9} = 2\)

Anmerkung:

Man hätte die Koordinaten des Schwerpunkts auch über den Drehmomenten-Ansatz berechnen können. Beim Schwerpunkt eines solchen Systems ist das netto-Drehmoment \(M = 0\).

Der Massenmittelpunkt eines Systems von \(n\) Punktmassen \(m_i\) an den Orten \(x_i\) ist definiert als:

\(\displaystyle \vec{R}=\frac{\sum_i m_i \vec{r_i}}{\sum_i m_i}\)

Einsetzen ergibt: \(\vec R = \frac{m_1 \cdot \vec r_1 + m_1 \cdot \vec r_1}{m_1 + m_2} =\)\( \frac{4 \cdot\, \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \end{array}\right) + 0,5\cdot \,\left( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \end{array}\right)}{4 + 0,5} =\)\( \frac{\left( \begin{array}{c} 8 \\\ -16 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 0 \end{array}\right)}{4,5} = \frac{1}{4,5}\cdot\, \left( \begin{array}{c} 7 \\\ -16 \end{array}\right)\)

Um den Massenmittelpunkt (MMP) der resultierenden Platte zu bestimmen, wird diese zunächst in zwei Flächen unterteilt. Da wir davon ausgehen, dass die Masse der Platte homogen verteilt ist (was bei planparallelen Platten meist der Fall ist), werden die beiden Flächen als Punktmassen betrachtet, die in den jeweiligen Massenmittelpunkten liegen. Dadurch wird die Massenverteilung als Zweikörper-Problem beschrieben und der gemeinsame MMP der beiden Punktmassen entspricht dem MMP der gesamten Platte.

Bei geschickter Wahl dieser Teilflächen können die Koordinaten der MMP aus Symmetrie-Überlegungen bestimmt werden. Eine mögliche Wahl wäre die Unterteilung der Form in zwei Rechtecke, wie in der Graphik dargestellt. Die Unterteilung in Rechtecke ist naheliegend, da der MMP eines Rechtecks (bei homogener Massenverteilung) im Schnittpunkt der Diagonalen liegt. In der Graphik sind die beiden Flächen farbig unterlegt und ihre jeweiligen MMP als \(S_1\) und \(S_2\) bezeichnet. (Eine Andere Wahl der Flächen wäre genauso möglich, ebenso eine Unterteilung in mehr als zwei Teilflächen --> Bonusaufgabe!)

Der gemeinsame MMP muss dann auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Schwerpunkten \(S_1\) und \(S_2\) liegen.

Der MMP einer diskreten Massenverteilung, wie wir sie modelliert haben, ist definiert als:

\(\vec S = \frac{m_1 \cdot \vec s_1 + m_2 \cdot \vec s_2}{m_1 + m_2}\)

Wobei \(\vec s_1\) und \(\vec s_2\) die Ortsvektoren der MMP der beiden Teilflächen sind.

Die Koordinaten dieser Ortsvektoren lassen sich aus geometrischen Überlegungen bestimmen. Die MMP ergeben sich durch Halbieren der Seitenlängen der jeweiligen Teilflächen. Dadurch ergeben sich (siehe Graphik):

\(\vec s_1 = \begin{pmatrix} 3\\3\\ \end{pmatrix} \qquad , \qquad \vec s_2 = \begin{pmatrix} 4\\7,5\\ \end{pmatrix}\)

Da es sich um eine homogene Massenverteilung in der planparallelen Platte handelt, ist das Verhältnis der jeweiligen Massen der Teilflächen gleich dem Verhältnis ihrer Flächeninhalte. Die Dicke \(d\) der Platte ist nicht näher spezifiziert, da es sich aber um eine planparallele Platte handelt, muss \(d=const.\) gelten.

Die Masse würde sich berechnen durch \(m_i = \rho \cdot V_i \qquad\qquad \qquad(i=1,2)\), wobei das Volumen \(V_i = a_i \cdot b_i \cdot d\) ist.

Für das Verhältnis der Massen gilt \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{\cancel{\rho}\cdot a_1\cdot b_1 \cdot \cancel{d}}{\cancel{\rho} \cdot a_2 \cdot b_2 \cdot \cancel{d}} = \frac{a_1\cdot b_1}{a_2\cdot b_2} = \frac{A_1}{A_2}\), es lassen sich also die Massen der Teilflächen durch deren Flächeninhalte ausdrücken.

Somit ergibt sich für den gemeinsamen MMP der Punktmassen und damit den MMP der Platte:

\(\vec S = \frac{A_1\cdot \vec s_1 + A_2 \cdot \vec s_2}{A_1 + A_2} = \frac{6\cdot6\cdot\, \begin{pmatrix} 3\\3\\ \end{pmatrix} + 4\cdot 3\cdot\, \begin{pmatrix} 4\\ 7,5\\ \end{pmatrix}}{36+12} =\)\(\frac{1}{48}\cdot\,\left[36\cdot\, \begin{pmatrix} 3\\3\\ \end{pmatrix} + 12\cdot\, \begin{pmatrix} 4\\ 7,5\\ \end{pmatrix}\right] = \frac{1}{48}\cdot\, \begin{pmatrix} 156\\198\\ \end{pmatrix}\)

\(\vec S=\begin{pmatrix}3,25\\ 4,125 \end{pmatrix}\)

Die beiden Massen sind in folgendem Diagramm eingezeichnet.

Der Massenmittelpunkt zweier Massen \(m_1\) und \(m_2\) ist definiert durch:

\(\vec r_S=\frac{\sum_{i=1}^{2}m_i\cdot \vec r_i}{M_{ges}} = \frac{m_1\cdot \vec r_1 + m_2\cdot \vec r_2}{m_1 + m_2}\)

Da beide Massen gleich groß sind (\(m_1=m_2\)), muss der Massenmittelpunkt in der Mitte der Verbindungslinie zwischen den Orten der beiden Massen liegen. Eine geometrische Lösung wäre, vom Ort der Masse \(m_2\) (oder auch \(m_1\)) aus die Hälfte der Strecke in x- und y-Richtung zu gehen. Dabei bezeichnen \(\Delta x\) und \(\Delta y\) die Abstände in x- und y-Richtung der beiden Orte, an denen sich die jeweiligen Massen befinden (siehe Graphik).

\(\vec r_2 +\frac{1}{2}\cdot \vec{r_2 r_1} = \vec r_2 + \frac{1}{2} \left( \vec r_1 - \vec r_2 \right)=\)\(\,\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\cdot \left[ \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \right] = \)\(\, \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\)

Das führt zum selben Ergebnis wie die Berechnung mittels obiger Formel:

\(\vec r_S= \frac{m\cdot\, ( \vec x_1 +\vec x_2)}{2m} = \frac{1}{2}\cdot\, \left[ \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 3 \end{pmatrix} \right]\)

\(\vec r_S = \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix}\)

Für eine diskrete eindimensionale Massenverteilung ist der Massenmittelpunkt definiert als:

\(S= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i}\)

Einsetzen der gegebenen Orte und Massen ergibt:

\( S = \frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m_1+2\cdot m_2 + 3\cdot m_1 + 4\cdot 2\cdot m_1}{m_1+m_2+m_1+2\cdot m_1}\)\(\,=\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} = \frac{l}{2}=2,5\)

Diese Gleichung muss nun noch nach \(m_2\) umgeformt werden:

\(\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} =2,5 \qquad \qquad \qquad /\cdot (4m_1+m_2)\)

\(12m_1 +2m_2 = 10m_1+2,5m_2 \qquad \Rightarrow \qquad 0,5m_2 = 2m_1\)

\(m_2 = 4\cdot m_1\)

Es muss also die Masse \(m_2\) vier mal so groß sein wie die Masse \(m_1\)!

Da \(m_1=3\,kg\) ist \(m_2=12\,kg\).

Um den Massenmittelpunkt (MMP) der Holzplatte zu bestimmen, stellen wir zunächst die Flächen durch deren Massenmittelpunkte dar.

Der MMP der unbeschnittenen Holzplatte liegt im Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Quadrats bzw. werden die Seitenlängen halbiert - das führt zu \(S_{ges} = \left( 25/25 \right)\).

Der MMP der Kreisfläche liegt genau im Mittelpunkt des Kreises, also: \(S_{K} = \left( 40/10 \right)\).

Gesucht ist der MMP der Platte mit ausgeschnittenem Kreis, den wir \(S_{P}\) nennen wollen.

Indem wir die homogenen Flächen (homogen, weil die Masse innerhalb der Platte gleichmäßig und kontinuierlich verteilt ist) durch deren MMP ausdrücken, können wir die Lösung der Aufgabe auf ein diskretes zwei-Körper-Problem zurückführen.

Wir teilen die gesamte Plattenfläche in die Fläche der ausgeschnittenen Platte und der Kreisfläche, wie graphisch dargestellt.

Dann muss für den MMP der unbeschnittenen Platte gelten:

\(S_{ges} = \frac{m_{P}\cdot S_{P} + m_{K}\cdot S_{K}}{m_{P} + m_{K}\)

Wobei \(m_P\) die Masse der Platte mit Loch und \(m_K\) die Masse des ausgeschnittenen Kreisstückes sind.

Gesucht ist nun der MMP der Platte ohne der Kreisfläche!

Umformen:

\(S_{ges}\cdot (m_P+m_K) = m_{P}\cdot S_{P} + m_{K}\cdot S_{K} \quad\Rightarrow\quad S_P= \frac{S_{ges}\cdot\, (m_P+m_K)-m_{K}\cdot S_{K}}{m_P}\)

Da aber gelten muss: \(m_{ges} = m_P+m_K\) und damit \( m_P = m_{ges} - m_K \) lässt sich schreiben:

\(S_P= \frac{ m_{ges}\cdot S_{ges}-m_{K}\cdot S_{K}}{m_{ges} - m_K}\)

Man zieht in der Formel für den MMP also die ausgeschnittene Fläche ab, anstatt sie zu addieren!

Da die Massen zwar nicht berechnet werden können, aber dafür direkt proportional zu den jeweiligen Flächen sind, können in der Formel die Massen durch die Flächeninhalte ersetzt werden. Das führt schließlich zu:

\(S_P = \frac{50\cdot 50\cdot\, \begin{pmatrix} 25\\25\\ \end{pmatrix} - \pi\cdot r^2 \cdot\, \begin{pmatrix}40\\10\\ \end{pmatrix}}{50\cdot 50 - \pi\cdot r^2} =\)\(\quad \frac{1}{2500-25\pi}\cdot \begin{pmatrix} 62500 - 1000\pi \\ 62500 - 250\pi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24,5\\25,5 \end{pmatrix}\)

Alternativer Lösungsweg:

Die Platte kann ebenso in mehrere Teilflächen geteilt werden, von denen der MMP jeweils geometrisch leicht bestimmt werden kann. Hier gibt es verschiedene Ansätze, ein möglicher ist in der Graphik rechts dargestellt:

Dabei sind die beiden grün unterlegten Flächen gleich groß. Die blaue Fläche ergibt sich, indem ein Quadrat um den ausgeschnittenen Kreis gelegt wird. Die Masse bzw. Fläche des Kreises muss dementprechend abgezogen werden, der MMP des Quadrates liegt allerdings wiederum im Mittelpunkt des Kreises. Die Lösung auf diese Weise bleibt an dieser Stelle eine Bonusaufgabe!

Antworten c) & d) sind korrekt!

ad c) Wie in der Abbildung zu sehen, lässt sich die Fläche in zwei Teilflächen zerlegen (andere Einteilungen sind ebenso zulässig). Die Schwerpunkte der Teilflächen sind mit \(M_1\) und \(M_2\) gekennzeichnet. Der gemeinsame Schwerpunkt muss auf der gemeinsamen Verbinungsgeraden liegen und zwar näher an der Fläche mit größerem Flächeninhalt. Die beiden Teilflächen sind annähernd gleich groß, zumindest ist der Unterschied nicht derart groß, als dass der Schwerpunkt innerhalb der Flächen liegen kann. Der Schwerpunkt muss innerhalb des rot gekennzeichneten Bereichs (auf der Verbindungsgeraden!) liegen.

ad d) Der Schwerpunkt von Dreiecken liegt auf 1/3 der Seitenhöhe. Aus einem Dreieck wird ein kleineres, dazu ähnliches, herausgeschnitten, sodass quasi nur ein Rand des Dreiecks übrig bleibt. Dieser Rand ist nicht dick genug, sodass der Schwerpunkt beinhaltet sein kann.

Abschließend soll noch diskutiert werden, warum der Schwerpunkt bei Aufgabe a) ein Teil der Fläche sein muss:

In der Abbildung sind der große Kreis und der kleinere, ausgeschnitte Kreis mit deren Schwerpunkten \(M_1\) und \(M_2\) abgebildet. Der Schwerpunkt der Fläche (Kreis + herausgeschnittener kleinerer Kreis) muss auf der Verbindungsgerade liegen, die \(M_1\) und \(M_2\) enthält. Da allerdings ein Teil herausgeschnitten wird, wird sich der Schwerpunkt hin zu dem Teil der Fläche verschieben, wo mehr Fläche vorhanden ist. Dieser Bereich ist in der Grafik als strichlierte Linie gekennzeichnet.

Da bereits der Schwerpunkt des vollen Kreises nicht im ausgeschnittenen Teil liegt (also Teil der Fläche ist), muss der Schwerpunkt der resultierenden Fläche innerhalb dieser liegen.