Die Kraft zwischen zwei Objekten aufgrund der Gravitation wird durch dass Newtonsche Graviationsgesetz \(F_{G}=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\).

\(m_1\) und \(m_2\) sind die Massen der zwei Objekte, \(r\) ist der Abstand der Schwerpunkte der zwei Objekte und \(G\) ist die Gravitationskonstante mit dem Wert \(G=6,67408 \cdot 10^{-11}\,\frac{m^3}{kg \cdot s^2}\).

Die Massen der Schiffe in SI-Einheiten \(m_1=400\,000\,t=4\cdot 10^{8}\,kg\) und \(m_2=20\,t=2\cdot 10^4\,kg\) eingesetzt mit \(r=35\,m\) ergibt \(F_G=6,67408\cdot 10^{-11} \frac{4\cdot 10^{8}\cdot 2 \cdot 10^4}{35^2}=0,435858\,N\).

Wir verwenden die Formel für die Kraft \(F=m\cdot a\), wobei \(a\) die Beschleunigung ist und bei der Gewichtskraft die Schwerebeschleunigungen \(g\) verwendet werden. Daraus folgt durch einsetzen der Masse \(m\) und die Schwerebeschleunigungen \(g_E\) und \(g_M\) folgende Gewichtskräfte:\(F_E\approx 981\,N, \qquad F_M\approx 162\,N\)

Die künstliche Schwerkraft wird durch die Zentrifugalkraft erzeugt, gegeben durch

\(F_Z = m\om^2r\),

mit der Masse \(m\) des Objekts, auf dass die Kraft wirkt, dem Radius der Kreisbahn \(r\), und der Winkelgeschwindigkeit \(\om\), mit der sich das Objekt auf der Kreisbahn bewegt.

Diese Kraft soll gleich der Gewichtskraft

\(F_G = mg\)

mit der Schwerebeschleunigung auf der Erde \(g = 9,81ms^{-2}\)

Setzt man beide Kräfte gleich, kann man auf den Radius umformen:

\(m\om^2r = mg\)

\(r = \frac{g}{\om^2}\)

Für das Endergebnis benötigen wir die Winkelgeschwindigkeit in SI-Einheiten (rad/s). Eine Umdrehung pro Stunde sind

\(\om =\frac{ 360^\circ}{ h} = \frac{2\pi \qquad rad}{3600s} = 1,75\cdot 10^{-3} \frac{rad}{s} = 1,75\frac{mrad}{s}\)

Einsetzen ergibt für den Radius

\(r = 3220km\)

was ungefähr dem halben Erdradius entspricht. Eine kompaktere Raumstation müsste sich dementsprechend sehr viel schneller drehen.

Wir können durch die Formel für die Gewichtskraft \(F=m\cdot g_E\) die Masse des Körpers auf der Erde berechnen:\(m=\frac{F}{g_E}=\frac{490.5\,N}{9.81\,\frac{m}{s^2}}=50\,kg\) und so durch \(F=m\cdot g_M=185\,N\).

Um dieses Beispiel zu lösen, stellen wir zunächst die angreifenden Kräfte auf die Türe schematisch dar ("Freischneiden"). Das ist in der Abbildung rechts dargestellt, wobei die nach unten gerichtete Gewichtskraft der Truhe mit \(\vec F_G\) und die nach oben gerichtete Druckkraft mit \(\vec F_D\) bezeichnet werden.

Diese beiden Kräfte wirken auf die Türe bzw. einen waagrechten Balken und bewirken jeweils ein Drehmoment. Die nach unten gerichtete Gewichtskraft \(\vec F_G\) bewirkt eine Drehung um das Scharnier (Drehachse) im Uhrzeigersinn, was einem negativen Drehmoment entspricht. Die entgegengerichtete Druckkraft bewirkt hingegen eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn, dementsprechend ein positives Drehmoment. Das resultierende Drehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente, also:

\(M_{res}=\sum_{i}M_i\)

(Da in diesem Fall die Drehmomente parallel zu einer festen Drehachse stehen, betrachten wir nur die Beträge der Drehmomente.)

Das einzelne Drehmoment, das eine Kraft auf den Balken ausübt, berechnet sich mit \(M_i=R_i\cdot F_i\), wobei \(F_i\) die Kraft \(i\) und \(R_i\) der Hebelarm dieser Kraft ist. Dieser Hebelarm ist der senkrechte Abstand zwischen der Drehachse und dem Punkt, an dem die Kraft angreift.

Damit ergibt sich mit der obigen Vorzeichenkonvention (im bzw. gegen den Uhrzeigersinn rotierendes Drehmoment):

\(M_{res}=R_D\cdot F_D - R_G\cdot F_G = L\cdot F_D - \frac{L}{3}\cdot F_G\)

Damit Richard Löwenherz die Türe öffnen kann, muss sich die Türe gegen den Uhrzeigersinn drehen, das resultierende Drehmoment also positiv sein. Es muss also gelten: \(M_{res}\quad \gt\quad 0\).

Und damit:

\(\cancel{L}\cdot F_D - \frac{\cancel{L}}{3}\cdot F_G \quad \gt\quad 0 \hspace*{10mm}/:\,L\)

\(F_D\quad \gt \quad \frac{F_G}{3}\)

Richard Löwenherz muss also mehr als ein drittel der Gewichtskraft der Truhe aufwenden, um ausbrechen zu können!

Mit \(F_G=m_{Truhe}\cdot g=250\, kg\cdot 9,81\, \frac{N}{kg}\) folgt:

\(F_D\quad \gt \quad 817,5\, N\)

Der Klotz fängt zum rutschen an wenn die Hangabtriebskraft \(F_H\) größer als die Reibungskraft \(F_R\) wird. Im Grenzfall \(F_H=F_R\) ist die Haftreibung maximal und mit der Definition des Haftreibungskoeffizienten \(\mu_H = \frac{F_R}{F_N} \qquad \Rightarrow \qquad \mu_H \cdot F_N = F_R\) folgt:

\(\mu_H \, \cdot \, \underbrace{F_G \, \cdot \, \cos \phi}_{F_N} = \underbrace{F_G \, \cdot \, \sin \phi}_{F_R = F_H}\)

\(\mu_H=\frac{\sin \phi}{\cos \phi}=\tan \phi\)

also ist \(\phi=\arctan \mu_H =26.6^{\circ}\)

Wie in der Grafik angedeutet, befindet sich der Winkel \(\phi\) noch einmal im rot-strichlierten, rechtwinkeligen Dreieck. Der Sinus dieses Winkels ergibt

\(\sin \phi= \frac{F_H}{F_G}\)

Multipliziert man diesen Ausdruck noch mit \(F_G\), kürzt sich der Bruch und man erhält die Hangabtriebskraft \(F_H= F_G \, \cdot \, \sin \phi\).

Die Kraft zwischen zwei Objekten aufgrund der Gravitation wird durch dass Newtonsche Graviationsgesetz \(F_{G}=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\).

\(m_1\) und \(m_2\) sind die Massen der zwei Objekte, \(r\) ist der Abstand der Schwerpunkte der zwei Objekte und \(G\) ist die Gravitationskonstante mit dem Wert \(G=6,67408 \cdot 10^{-11}\,\frac{m^3}{kg \cdot s^2}\).

Die Massen der Schiffe in SI-Einheiten \(m_1=1800\,t=1,8\cdot 10^6\,kg\) und \(m_2=1600\,t=1,6\cdot 10^6\,kg\).

\(F_G=6,67408\cdot 10^{-11} \frac{1,8\cdot 10^6\cdot 1,6 \cdot 10^6}{6^2}=5,339\,N\)

Diese Kraft kann auch in der Form \(F=m\cdot a\) dargestellt werden, d.h. die Kraft \(F\) wird durch die Beschleunigung \(a=\frac{F}{m}\), die auf das Objekt mit der Masse \(m\) wirkt, verursacht. Mit der Masse des leichteren Schiffes \(m=m_2\) ist die Beschleunigung

\(a=\frac{F_G}{m_2}=\frac{5,339\,N}{1,6\cdot 10^6\,kg}=\frac{5,339\,\frac{kg\cdot m}{s^2}}{1,6\cdot 10^6\,kg}=3,337\cdot10^{-6}\,\frac{m}{s^2}\)