Für die Berechnung der Reibungskraft benötigen wir die Normalkraft - die Kraft, die der Gewichtskraft im Schwerpunkt des Klotzes entgegenwirkt. Mit der angegebenen Masse und der groben Schwerebeschleunigung (\(g\quad \approx \quad 10\,\frac{m}{s^2}\)), erhalten wir \(F_N=40N\). Dies eingesetzt für die Reibungskraft ergibt:\(F_{HR,max}=\mu_{HR}\cdot F_N \qquad \Rightarrow \qquad F_{HR,max}=0,6\cdot 40\,N = 24\,N\)

Zur Berechnung der Bremsbeschleunigung benötigen wir die Gleitreibungskraft \(F_{GR}\).

\(F_{GR}=\mu_{GR}\cdot m \cdot g = 0.015 \cdot 35\,kg \cdot 9.81\, \frac{N}{kg} = 5.15\,N\)

Die Beschleunigung \(a\) ist negativ, weil der Schlitten abgebremst wird, also die Geschwindigkeit mit der Zeit abnimmt. Mit dem 2. Newton'schen Axiom ergibt sich für die Beschleunigung:

\(a = -\frac{F_{GR}}{m} = -\frac{5.15\,N}{35\,kg} = -0.147\, \frac{m}{s^2}\)

Umwandlung der Anfangsgeschwindigkeit in SI: \(v_0=11\,\frac{km}{h}=\frac{11}{3.6}\,\frac{m}{s}=3.1\,\frac{m}{s}\)

Aus dem Zusammenhang von Geschwindigkeit, Beschleunigung und der Strecke, können wir durch Einsetzen der Endgeschwindigkeit \(v=0\) ("Stillstand") und Umformen die Strecke berechnen:

\(v^2-v_0^2=2\cdot a \cdot s \qquad \Rightarrow \qquad | v=0 | \qquad \Rightarrow \qquad -v_0^2=2\cdot a \cdot s\)

\( \Leftrightarrow s = -\frac{v_0^2}{2\cdot a} = -\frac{\left(3.1\frac{m}{s}\right)^2}{2\cdot \,\left(-0.147\frac{m}{s^2}\right)} \quad\approx\quad 33\,m\)

Wie in der Grafik angedeutet, befindet sich der Winkel \(\phi\) noch einmal im rot-strichlierten, rechtwinkeligen Dreieck. Der Sinus dieses Winkels ergibt

\(\sin \phi= \frac{F_H}{F_G}\)

Multipliziert man diesen Ausdruck noch mit \(F_G\), kürzt sich der Bruch und man erhält die Hangabtriebskraft \(F_H= F_G \, \cdot \, \sin \phi\).

Für die Berechnung der Reibungskraft benötigen wir die Normalkraft - die Kraft, die der Gewichtskraft im Schwerpunkt des Holzquaders entgegenwirkt. Mit der angegebenen Masse und der Schwerebeschleunigung, \(g = 9.8\, \frac{m}{s^2}\), können wir für die Reibungskraft einsetzen:\(F_{HR}=\mu_{HR}\cdot F_N = \mu_{HR}\cdot m \cdot g \qquad \Rightarrow\qquad F_{HR}= 0.4 \cdot 0.700\,kg \cdot 9.8 \,\frac{N}{kg} = 2.7\,N\)

Der Klotz fängt zum rutschen an wenn die Hangabtriebskraft \(F_H\) größer als die Reibungskraft \(F_R\) wird. Im Grenzfall \(F_H=F_R\) ist die Haftreibung maximal und mit der Definition des Haftreibungskoeffizienten \(\mu_H = \frac{F_R}{F_N} \qquad \Rightarrow \qquad \mu_H \cdot F_N = F_R\) folgt:

\(\mu_H \, \cdot \, \underbrace{F_G \, \cdot \, \cos \phi}_{F_N} = \underbrace{F_G \, \cdot \, \sin \phi}_{F_R = F_H}\)

\(\mu_H=\frac{\sin \phi}{\cos \phi}=\tan \phi\)

also ist \(\phi=\arctan \mu_H =26.6^{\circ}\)

Zur Berechnung der Beschleunigung muss man von der resultierenden Kraft \(F_{res}\) ausgehen und um diese zu erhalten, benötigen wir die maximale Haftreibungskraft \(F_{HR,max}\) und die Gleitreibungskraft \(F_{GR}\).

\(F_{HR,max}=\mu_{HR}\cdot m \cdot g = 0.03 \cdot 35\,kg \cdot 9.81\, \frac{N}{kg} = 10.3\,N\)  und

\(F_{GR}=\mu_{GR}\cdot m \cdot g = 0.015 \cdot 35\,kg \cdot 9.81\, \frac{N}{kg} = 5.15\,N\).

Nun zur resultierenden Kraft:

\(F_{res}=F_{HR,max} - F_{GR} = 5.15N\)

Mit dem 3. Newton'schen Gesetz erhalten wir die Beschleunigung:

\(F_{res}= m \cdot a \qquad \Leftrightarrow\qquad a = \frac{F_{res}}{m} = \frac{5.15\,N}{35\,kg} = 0.15\, \frac{m}{s^2}\)

Mit der angegebenen Masse und der groben Schwerebeschleunigung (\(g\qquad \approx \qquad 10\, \frac{N}{kg}\)), erhalten wir \(F_N=m\cdot g=70\,N\). Dies eingesetzt und umgeformt ergibt:

\(F_{GR}=\mu_{GR}\cdot F_N\qquad \Leftrightarrow\qquad \mu_{GR}=\frac{F_{GR}}{F_N}= \frac{14\,N}{70\,N}= 0.2\)

Sei die Gewichtskraft der Lokomotive \(F_{G,L}\) und die Gewichtskraft des Zuges \(F_{G,Z}\). Die minimale Antriebskraft der Lokomotive ist gleich der maximalen Haftkraft \(F_{HR}\) und mit ihr muss der Rollwiderstand \(F_{RR}\) des Zuges überwunden werden. Damit gilt:

\(F_{HR} \geq F_{RR}\)

\(\mu_{HR} \cdot F_{G,L} \geq \mu_{RR} \cdot F_{G,Z}\qquad \Leftrightarrow\qquad F_{G,L} \geq \frac{\mu_{RR}}{\mu_{HR}} \cdot F_{G,Z}\)

\(F_{G,L}\quad \geq \quad\frac{0.002}{0.15}} \cdot F_{G,Z} \approx 1.3% \quad \cdot F_{G,Z}\)

Das Gewicht der Lokomotive muss mindestens \(1.3%\) des Zuggewichts betragen.