Die drei Kräfte \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) sind im Gleichgewicht. Somit ist die Kraft \(F_3\) der Resultierenden der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) gleich groß entgegengesetzt. Die Resultierende ist die vektorielle Summe der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\). Der Betrag der Kraft \(F_3\) entspricht der der Resultierenden und ist ihr entgegengerichtet, wie in der Abbildung zu sehen ist.

Damit ist gewährleistet, dass ein Kräftegleichgewicht vorliegt, es gilt:

\(\displaystyle\sum_i F_{ix} = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_{1x} + F_{2x} =- F_{3x}\) und analog auch für die y-Komponenten.

Wie zu sehen ist, liegt die Kraft \(F_3\) im IV. Quadranten (die Resultierende der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) im II.).

Wenn man erkennt, dass der eingeschlossene Winkel zwischen den Kräften \(F_1\) und \(F_2\) genau \(90^\circ\) entspricht, so lässt sich der Betrag der Resultierenden und damit auch der Kraft \(F_3\) als Diagonale des von \(F_1\) und \(F_2\) aufgespannten Parallelogramms mit dem Satz von Pythagoras berechnen:

\(F_3 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{160^2 + 220^2} = 272\,N\)

Eine Kraft, deren Betrag \(F = |\vec F|\) und Richtungswinkel \(\alpha\) gegeben sind, kann durch Winkelfunktionen in ihre Komponenten zerlegt werden. Wie in der Abbildung zu sehen ist, ist die x-Komponente der Kräfte der Cosinus des Richtungswinkels gewichtet mit dem Betrag der Kraft. Die y-Komponente ist dementsprechend proportional zum Sinus des Winkels.

Für die x-Komponente der Kräfte ergibt sich also: \(F_{ix} = \cos(\alpha_i)\cdot F_i\)

Und für die y-Komponente: \(F_{iy} = \sin(\alpha_i)\cdot F_i\) (mit \(i = 1,2\)).

Somit lässt sich der Betrag der Resultierenden und damit auch der Kraft \(F_3\) bestimmen:

\(F_3 = |\vec F_3| = \sqrt{(F_{1x} + F_{2x})^2 + (F_{1y} + F_{2y})^2}\)

\(= \sqrt{\left[ \cos(\alpha_1)\cdot F_1 +\, \cos(\alpha_2)\cdot F_2 \,\right]^2 + \left[ \sin(\alpha_1)\cdot F_1 +\, \sin(\alpha_2)\cdot F_2 \,\right]^2}\)

\(= \sqrt{\left[\cos(70)\cdot 160 + \,\cos(160)\cdot 220\right]^2 + \left[\sin(70)\cdot 160 + \,\sin(160)\cdot 220\right]^2} = 272.03\)

\(F_3 = 272\, N\)

Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) :

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}|\cdot |\vec{s}| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\)

Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(| \vec{F_s}| = F_s = | \vec{F}| \cdot \cos(\phi)\).

Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\)

Verschiebungsvektor \(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix}\)

Die dabei verrichtete Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix} = -13 Nm\)

Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(|\vec{F}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 1^2} N = \sqrt{21} N\) und

\(|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} m = \sqrt{25} m\). Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}||\vec{s}| \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{W}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{-13 Nm}{\sqrt{21} N \sqrt{25} m} = -0,5674\) und daher \(\phi = \arccos(-0,5674) = 124,6^\circ\)

Die Gleichgewichtsbedingungen müssen sowohl für die x- als auch die y-Komponenten der einwirkenden Kräfte erfüllt sein:

\(\displaystyle\sum_i F_{ix} = 0\) und \(\displaystyle\sum_i F_{iy} = 0\) mit \(i = (1,2,3)\).

Anm.: In diesem Fall würde ebenso ein Drehmoment wirken (abhängig von den Hebelarmen, die aber nicht gegeben sind), das allerdings unabhängig vom Kräftegleichgewicht betrachtet werden muss - auch wenn ein Kräftegleichgewicht vorliegt, kann es ein Nett-Drehmoment geben, und umgekehrt!

Die x-Komponente der Kraft \(\vec F_1\) ist 0, es muss also gelten: \(\displaystyle\sum_i F_{ix} = F_{2x} + F_{3x}=0\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die x-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Cosinus des jeweiligen Winkels. Damit gilt für deren Beträge (das negative Vorzeichen ergibt sich durch die entgegengesetzten Richtungen der x-Komponenten):

\(F_2\cdot \,\cos(\alpha) - F_3\cdot\, \cos(\beta) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_2 = \frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\)

Die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) müssen in Summe entgegengesetzt gleich groß sein, wie die der Kraft \(\vec F_1\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Sinus des jeweiligen Winkels und für die Beträge ergibt sich:

\(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(F_1\) ist hierbei der Betrag der Kraft \(\vec F_1\). Da die Kraft \(\vec F_1\) aber nur eine y-Komponente besitzt, ist dessen Betrag auch einfach nur diese y-Komponente.

Für \( F_2=\frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\) eingesetzt: \(\frac{F_3\cdot \,\cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(\Rightarrow \qquad F_3\cdot\, \left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right] = F_1\)

\(F_3= \frac{F_1}{\left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right]} = \frac{500\,N}{\left[\cos(30^\circ) \cdot \,\tan(50^\circ) + \,\sin(30^\circ)\right]}\)

\(F_3 = 326.4\,N\)

Analog ergibt sich für den Betrag der Kraft \(\vec F_2\):

\(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + \frac{F_2\cdot\,\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(\Rightarrow F_2 = \frac{F_1}{\left[ \sin(\alpha) +\, \cos(\alpha)\cdot \tan(\beta) \right]} = 439.7\,N\)

Ein Kräftepaar bezeichnet in der technischen Mechanik zwei Kräfte, die

o) den gleichen Betrag haben (also gleich große Kräfte)

o) aber in entgegengesetzte parallele Richtungen wirken

Das Drehmoment bezüglich eines (Dreh-)Punktes ist definiert als das Produkt aus einwirkender Kraft und deren Hebelarm. Der Hebelarm \(h\) ist der senkrechte Abstand der Wirklinie einer Kraft \(F\) zum Drehpunkt (die Länge \(h\) steht also senkrecht auf die Wirklinie der Kraft). Wirken mehrere Kräfte, so kann es auch mehrere Drehmomente geben, das Gesamtdrehmoment ist dann die Summe der einzelnen Drehmomente. Somit ist das Gesamtdrehmoment:

\(M_{ges} = \displaystyle\sum_i F_i \cdot h_{i} = F_1\cdot h_1 + F_2 \cdot h_2 +\, \dots\)

In diesem Fall kann als Bezugspunkt nicht die Ecke gewählt werden, da die Abstände der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) zur Ecke nicht bekannt sind. Es muss daher einer der Angriffspunkte gewählt werden. In der Abbildung ist der Fall abgebildet, dass als Bezugspunkt P der Angriffspunkt von \(F_1\) gewählt wird (es kann genauso gut auch der Angriffspunkt von \(F_2\) gewählt werden, die Rechnung ist die selbe).

Wie in der Abbildung zu sehen ist,  schneidet die Kraft \(F_1\) den Bezugspunkt P, damit ist ihr Hebelarm gleich \(h_{F1}=0\). Genauso ist der Hebelarm der oberen einwirkenden Kraft (die an der Ecke angreift) bezüglich des Punktes P gleich 0: diese Kraft lässt sich entlang ihrer Wirklinie verschieben (Längsverschiebungssatz) und hat somit keinen senkrechten Abstand zum Punkt P.

Wie zu sehen ist, haben nur die Kräfte \(F_1\) und die untere Zugkraft auf den Balken eine senkrechte Komponente. Die Hebelarme sind dabei für die Kraft \(F_2\) gleich \(h_{F_2} = 6\,m\) und für die Kraft am unteren Ende des Balkens \(4\,m\).

Nach der üblichen Vorzeichenkonvention erhalten gegen den Uhrzeigersinn rotierende Drehmomente ein positives und im Uhrzeigersinn rotierende ein negatives Drehmoment. Damit:

\(M_{ges} = F_2 \cdot 6\,m - 9\,kN \cdot 4\,m = 0\)

\(F_2 = \frac{9\,kN\cdot 4\,\cancel{m}}{6\,\cancel{m}} = 6\,kN\)

Da es sich um Kräftepaare handelt, muss der Betrag der Kraft \(F_1\) dem der Kraft \(F_2\) entsprechen:

\(F_1 = F_2 = 6\,kN\)

Um ein statisches Gleichgewicht zu erhalten, müssen die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) entgegengesetzt gleich groß sein, was einem Kräftepaar entspricht.

Um den gemeinsamen Schwerpunkt der beiden Flüssigkeiten zu ermitteln, werden diese zunächst durch ihre Massenmittelpunkte (MMP) beschrieben. Dadurch werden die beiden ausgedehnten Flüssigkeiten als Punktmassen im jeweiligen MMP angenommen, deren Massen der der Flüssigkeit entsprechen. Es wurde also das Problem auf ein System aus zwei Massen reduziert, das wir nun lösen wollen.

Die Form des Behälters ist nicht näher beschrieben, wir können also eine eindimensionale Beschreibung - entlang der Höhe des Behälters - wählen (dabei gehen wir davon aus, dass sich der Querschnitt des Behälters mit der Höhe nicht ändert). Die Flüssigkeiten sind in ihrer Hälfte des Behälters homogen verteilt, die Koordinaten der MMP des Wassers und des Benzins müssen daher

\(S_W=\frac{1}{4}h\) und \(S_{B}=\frac{3}{4}h\) sein (siehe Graphik).

Die Massen der beiden Flüssigkeiten verhalten sich zueinander genauso wie deren Dichten \(\rho_{W}=1,0\ \frac{kg}{l}\) und \(\rho_{B}=0,75\ \frac{kg}{l}\), da die beiden Flüssigkeiten das selbe Volumen einnehmen. Mit \(M=\rho \cdot V\) gilt also:

\(\frac{M_B}{M_{W}} = \frac{\rho_B\cdot V}{\rho_W\cdot V} = \frac{0,75}{1,0}\) beziehungsweise

\(M_B = 0,75 \; M_W\).

Nun kann in die bekannte Formel für den MMP eingesetzt werden:

\(S=\frac{m_W\cdot S_W + m_B\cdot S_B}{m_W + m_B} = \frac{m_w\cdot \frac{1}{4}\,h + 0,75\,m_W\cdot \frac{3}{4}\,h}{m_W + 0,75\,m_W}\)

\(=\frac{\cancel{m_W}\cdot h\cdot\, (0,25 +0,75\cdot 0,75)}{1,75\,\cancel{ m_W}} \quad \approx \quad 0,4643\,h\)

Die Höhe beträgt \(10\, cm\), daher liegt der gemeinsame MMP der beiden Flüssigkeiten bei

\(S\quad \approx \quad 4,6\,cm\)

Die Gleichgewichtsbedingung (wenn kein Drehmoment wirkt) lautet:

\(\displaystyle \sum_i \vec{F_i}=0\)

Also muss gelten 

\(\vec{F_1}+\vec{F_2}=0\)

Es kann, zusätzlich zum Kräftegleichgewicht, aber auch ein Drehmoment wirken. Es muss nicht sein, dass wenn die Kräfte, die auf einen Körper wirken, sich im Gleichgewicht befinden, auch ein Momentengleichgewicht vorliegt. Diese beiden (Kräftegleichgewicht sowie Momentengleichgewicht) sind also gesondert voneinander zu betrachten!

Wenn die resultierende Gesamtkraft 0 ist, dann kann der Körper wegen \(F=m \cdot a\) nicht beschleunigen. Daher muss er im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung sein.

Damit das System im Gleichgewicht ist, müssen Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht erfüllt sein.

Das Lager in Punkt A ist das Festlager, in B das Loslager. Letzteres kann nur Kraftkomponenten senkrecht zur Lagerfläche aufnehmen, die Komponenten in x-Richtung sind daher alle 0. Für das Kräftegleichgewicht ergibt sich daher:

\(\displaystyle\sum_x F = F_{Ax} + \underbrace{F_x}_{=0} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_{Ax} = 0\)

\(\displaystyle\sum_y F = F_{Ay} + F_{By} - F_y = 0\)  bzw.

\(F_{Ay} + F_{By} = F_y\)

Da alle x-Komponenten 0 sind, wird weiters \(F_{Ay} = F_A\) und \(F_{By} = F_B\) geschrieben.

Momentengleichgewicht bezüglich Punkt A:

Wie in der Abbildung zu sehen, hat der Hebelarm der Kraft \(F\) die Länge \(l_1\) und der der Lagerkraft \(F_B\) die Länge \(l_1 + l_2\). Nach der üblichen Vorzeichenkonvention verursacht die Kraft \(F\) eine Drehung im Uhrzeigersinn, also ein negatives Drehmoment. Dementsprechend ist das Drehmoment der Kraft \(F_B\) positiv (gegen den Uhrzeigersinn drehend):

\(\displaystyle\sum_i M_i = F_B\cdot (l_1 + l_2) - F\cdot l_1 = 0\)

\(\Rightarrow \qquad F_B = \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2}\)

Eingesetzt in die Gleichung für das Kräftegleichgewicht:

\(F_A +F_ B = F_A + \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\)

\(\Rightarrow \qquad F_A = F - \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\cdot\, \left( 1 - \frac{l_1}{l_1+l_2} \right) = 3.5\,kN \cdot\,\left( 1 - \frac{0.8\,m}{2.8\,m} \right) = 2.5\,kN\)

\(F_B = F-F_A = 3.5\,kN - 2.5\,kN = 1\,kN\)