Die Gleichgewichtsbedingung (wenn kein Drehmoment wirkt) lautet:

\(\displaystyle \sum_i \vec{F_i}=0\)

Also muss gelten 

\(\vec{F_1}+\vec{F_2}=0\)

Es kann, zusätzlich zum Kräftegleichgewicht, aber auch ein Drehmoment wirken. Es muss nicht sein, dass wenn die Kräfte, die auf einen Körper wirken, sich im Gleichgewicht befinden, auch ein Momentengleichgewicht vorliegt. Diese beiden (Kräftegleichgewicht sowie Momentengleichgewicht) sind also gesondert voneinander zu betrachten!

Wenn die resultierende Gesamtkraft 0 ist, dann kann der Körper wegen \(F=m \cdot a\) nicht beschleunigen. Daher muss er im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung sein.

Ein Kräftepaar bezeichnet in der technischen Mechanik zwei Kräfte, die

o) den gleichen Betrag haben (also gleich große Kräfte)

o) aber in entgegengesetzte parallele Richtungen wirken

Um den gemeinsamen Schwerpunkt der beiden Flüssigkeiten zu ermitteln, werden diese zunächst durch ihre Massenmittelpunkte (MMP) beschrieben. Dadurch werden die beiden ausgedehnten Flüssigkeiten als Punktmassen im jeweiligen MMP angenommen, deren Massen der der Flüssigkeit entsprechen. Es wurde also das Problem auf ein System aus zwei Massen reduziert, das wir nun lösen wollen.

Die Form des Behälters ist nicht näher beschrieben, wir können also eine eindimensionale Beschreibung - entlang der Höhe des Behälters - wählen (dabei gehen wir davon aus, dass sich der Querschnitt des Behälters mit der Höhe nicht ändert). Die Flüssigkeiten sind in ihrer Hälfte des Behälters homogen verteilt, die Koordinaten der MMP des Wassers und des Benzins müssen daher

\(S_W=\frac{1}{4}h\) und \(S_{B}=\frac{3}{4}h\) sein (siehe Graphik).

Die Massen der beiden Flüssigkeiten verhalten sich zueinander genauso wie deren Dichten \(\rho_{W}=1,0\ \frac{kg}{l}\) und \(\rho_{B}=0,75\ \frac{kg}{l}\), da die beiden Flüssigkeiten das selbe Volumen einnehmen. Mit \(M=\rho \cdot V\) gilt also:

\(\frac{M_B}{M_{W}} = \frac{\rho_B\cdot V}{\rho_W\cdot V} = \frac{0,75}{1,0}\) beziehungsweise

\(M_B = 0,75 \; M_W\).

Nun kann in die bekannte Formel für den MMP eingesetzt werden:

\(S=\frac{m_W\cdot S_W + m_B\cdot S_B}{m_W + m_B} = \frac{m_w\cdot \frac{1}{4}\,h + 0,75\,m_W\cdot \frac{3}{4}\,h}{m_W + 0,75\,m_W}\)

\(=\frac{\cancel{m_W}\cdot h\cdot\, (0,25 +0,75\cdot 0,75)}{1,75\,\cancel{ m_W}} \quad \approx \quad 0,4643\,h\)

Die Höhe beträgt \(10\, cm\), daher liegt der gemeinsame MMP der beiden Flüssigkeiten bei

\(S\quad \approx \quad 4,6\,cm\)

Zwei entgegengesetzt gleich große Kräfte bilden ein Kräftepaar. Das bedeutet, ihre Beträge sind gleich groß, sie wirken aber in genau entgegengesetzte Richtungen. Es lässt sich daher schreiben (betrachtet man die Kräfte 1-dimensional): \(F_1 = - F_2\).

Der Betrag der Resultierenden eines Kräftepaares ist daher: \(F_R = F_1 + F_2 = 0\).

Bei N Kräftepaaren ist also ebenso die Resultierende des i-ten Kräftepaares \(F_{R,\,i} = F_{1,\,i} + F_{2,\,i} = 0\) und damit deren Summe (die Resultierende des Gesamtsystems) auch 0.

Das Drehmoment bezüglich eines (Dreh-)Punktes ist definiert als das Produkt aus einwirkender Kraft und deren Hebelarm. Der Hebelarm \(h\) ist der senkrechte Abstand der Wirklinie einer Kraft \(F\) zum Drehpunkt (die Länge \(h\) steht also senkrecht auf die Wirklinie der Kraft). Wirken mehrere Kräfte, so kann es auch mehrere Drehmomente geben, das Gesamtdrehmoment ist dann die Summe der einzelnen Drehmomente. Somit ist das Gesamtdrehmoment:

\(M_{ges} = \displaystyle\sum_i F_i \cdot h_{i} = F_1\cdot h_1 + F_2 \cdot h_2 +\, \dots\)

In diesem Fall kann als Bezugspunkt nicht die Ecke gewählt werden, da die Abstände der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) zur Ecke nicht bekannt sind. Es muss daher einer der Angriffspunkte gewählt werden. In der Abbildung ist der Fall abgebildet, dass als Bezugspunkt P der Angriffspunkt von \(F_1\) gewählt wird (es kann genauso gut auch der Angriffspunkt von \(F_2\) gewählt werden, die Rechnung ist die selbe).

Wie in der Abbildung zu sehen ist,  schneidet die Kraft \(F_1\) den Bezugspunkt P, damit ist ihr Hebelarm gleich \(h_{F1}=0\). Genauso ist der Hebelarm der oberen einwirkenden Kraft (die an der Ecke angreift) bezüglich des Punktes P gleich 0: diese Kraft lässt sich entlang ihrer Wirklinie verschieben (Längsverschiebungssatz) und hat somit keinen senkrechten Abstand zum Punkt P.

Wie zu sehen ist, haben nur die Kräfte \(F_1\) und die untere Zugkraft auf den Balken eine senkrechte Komponente. Die Hebelarme sind dabei für die Kraft \(F_2\) gleich \(h_{F_2} = 6\,m\) und für die Kraft am unteren Ende des Balkens \(4\,m\).

Nach der üblichen Vorzeichenkonvention erhalten gegen den Uhrzeigersinn rotierende Drehmomente ein positives und im Uhrzeigersinn rotierende ein negatives Drehmoment. Damit:

\(M_{ges} = F_2 \cdot 6\,m - 9\,kN \cdot 4\,m = 0\)

\(F_2 = \frac{9\,kN\cdot 4\,\cancel{m}}{6\,\cancel{m}} = 6\,kN\)

Da es sich um Kräftepaare handelt, muss der Betrag der Kraft \(F_1\) dem der Kraft \(F_2\) entsprechen:

\(F_1 = F_2 = 6\,kN\)

Um ein statisches Gleichgewicht zu erhalten, müssen die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) entgegengesetzt gleich groß sein, was einem Kräftepaar entspricht.

Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft \(\vec{F}\) um die Strecke \(\vec{s}\) verschoben, so ist die an ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß das skalare Produkt aus der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) :

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}|\cdot |\vec{s}| \cos(\phi) = F \cdot s \cdot \cos(\phi)\)

Die in der Wegrichtung wirkende Kraftkomponente \( \vec{F_s}\) besitzt den Betrag \(| \vec{F_s}| = F_s = | \vec{F}| \cdot \cos(\phi)\).

Wir können daher den Formelausdruck für die Arbeit W auch auf die folgende Form bringen

\(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\phi) = (F \cdot \cos(\phi)) \cdot s = \vec{F_s} \cdot s\)

Verschiebungsvektor \(\vec{s} = \vec{P_1P_2} = \begin{pmatrix}(x_2 - x_1)\\ (y_2 - y_1)\\(z_2 - z_1)\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix}\)

Die dabei verrichtete Arbeit \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = \begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-4\\3\\\end{pmatrix} = -13 Nm\)

Für die Winkelberechnung benötigt man die Beträge von \( \vec{F} \) und \(\vec{s}\). \(|\vec{F}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 1^2} N = \sqrt{21} N\) und

\(|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} m = \sqrt{25} m\). Dann aber gilt: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}||\vec{s}| \cos(\phi)\)

\(\cos(\phi) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{W}{|\vec{F}||\vec{s}|} = \frac{-13 Nm}{\sqrt{21} N \sqrt{25} m} = -0,5674\) und daher \(\phi = \arccos(-0,5674) = 124,6^\circ\)

In der Abbildung sind die drei Kräfte abgebildet, die miteinander im Gleichgewicht sind: einerseits die Gewichtskraft \(\vec F_G\) und die beiden Lagerkräfte \(\vec F_A\) und \(\vec F_B\).

Kräftegleichgewicht:

\(\displaystyle\sum F_x = F_{Ax} - F_{Bx} + \underbrace{\cancel{F_{Gx}}}_{=0} = 0\) (x-Komponenten der Lagerkräfte entgegengesetzt, daher negatives Vorzeichen)

\(\displaystyle\sum F_y = F_{Ay} + F_{By} - F_{Gy} = 0\) ( Gewichtskraft senkrecht nach unten gerichtet, daher negative y-Komponente)

Da es sich beim Lager A um ein Festlager handelt, muss das Lager in Punkt B einem Loslager entsprechen - die Lagerkraft in B ist daher senkrecht zur Lagerfläche (dem Balken) gerichtet. Es muss also für die Komponenten der Kraft B gelten \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1}\) (umgekehrtes Seitenverhältnis wie für Breite und Höhe der Stufe).

Alternativ - und möglicherweise einfacher - kann auch über den Winkel \(\alpha = \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\right) = 38,66^\circ\) gerechnet werden, die Ergebnisse sind die selben.

Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt A:

\(\displaystyle\sum M_A = F_B\cdot h_B - l_G \cdot F_G = 0\)

Mit dem Hebelarm \(h_B\) der Lagerkraft \(F_B\), diese steht bereits senkrecht auf den Balken, daher: \(h_B = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{2,5^2 + 2^2} = \sqrt{10,25}\).

Der Hebelarm der Gewichtskraft steht senkrecht auf ihre Wirklinie, dieser wurde mit \(l_G\) bezeichnet. Da es sich um einen homogenen Balken handelt, greift die Gewichtskraft \(F_G\) im Schwerpunkt, in der Mitte des Balkens an. Die Länge \(l_G\) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\), wobei \(h_G\) die Höhe bezeichnet, auf der sich der Schwerpunkt des Balkens befindet.

Da es sich, wie in der Abbildung zu sehen, um ähnliche Dreiecke handelt, müssen deren Seitenverhältnisse gleich sein:

\(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_G}{h_G} \qquad \Rightarrow \qquad h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\)

Damit lässt sich auf die gesuchte Länge \(l_G\) umformen (Herleitung siehe ganz unten): \( l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{2\,m}{2,5\,m}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}} = 1,56172\,m\)

(Auf dieses Ergebnis wäre man mit dem Winkel \(\alpha = 38,66^\circ\) ebenso gekommen: \(l_G = \cos(38,66^\circ) \cdot \frac{l_0}{2}= 0,78086\cdot 2 = 1,56172\,m\))

Wir erhalten also für das Momentengleichgewicht:

\(F_B \cdot \sqrt{10,25}\quad = F_G \cdot \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}}\)

Damit lässt sich die Lagerkraft B bestimmen: \(F_B = \frac{800\,N\cdot 4\,m}{2\cdot \sqrt{10,25 \cdot 1,64}\,m} = 390,2\,N\)

Wie oben ausgeführt, gilt für die Komponenten der Lagerkraft \(F_B\): \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1} \qquad \Rightarrow \qquad F_{By} = \frac{F_{Bx}\cdot l_1}{l_2} = 1,25\,F_{Bx}\)

Damit lässt sich wiederum mit dem Satz des Pythagoras berechnen: \(F^2 = F_{Bx}^2 + F_{By}^2 = F_{Bx}^2 + 1,25^2\cdot F_{Bx}^2 = F_{Bx}^2\cdot \,\left( 1 + 1,25^2\right)\)

\(\Rightarrow \qquad F_{Bx} = \frac{F_B}{\sqrt{(1 + 1,25^2)}}} = 243,8\,N\)

(Auf das selbe Ergebnis wären wir mit Hilfe von Winkelfunktionen gekommen: \(F_{Bx} = \sin(\alpha)\cdot F_B = \sin(38,66^\circ)\cdot 307,6 = 243,8\,N\))

Und damit (Gleichgewichtsbedingungen): \(F_{Ax} = F_{Bx} = 243,8\,N\)

\(F_{Ay} = F_G - F_{By} = 800\,N - \underbrace{1,25\cdot 243,8\,N}_{F_{By}} =495,25\,N\)

\(F_A = \sqrt{F_{Ax}^2 + F_{Ay}^2} = \sqrt{243,8^2 + 495,25^2} = 552\,N\)

Herleitung des Hebelarms \(l_G\) der Gewichtskraft:

Aus \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\) und \( h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\) (siehe oben) wird zunächst:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + \left( \frac{l_G\cdot l_2}{l_1} \right)^2 = l_G^2 \cdot \left[ 1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2\right]\) (Herausheben!)

\(l_G^2 = \frac{\left(\frac{l_0}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}\qquad \Rightarrow \qquad l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}}\)

Damit das System im Gleichgewicht ist, müssen Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht erfüllt sein.

Das Lager in Punkt A ist das Festlager, in B das Loslager. Letzteres kann nur Kraftkomponenten senkrecht zur Lagerfläche aufnehmen, die Komponenten in x-Richtung sind daher alle 0. Für das Kräftegleichgewicht ergibt sich daher:

\(\displaystyle\sum_x F = F_{Ax} + \underbrace{F_x}_{=0} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_{Ax} = 0\)

\(\displaystyle\sum_y F = F_{Ay} + F_{By} - F_y = 0\)  bzw.

\(F_{Ay} + F_{By} = F_y\)

Da alle x-Komponenten 0 sind, wird weiters \(F_{Ay} = F_A\) und \(F_{By} = F_B\) geschrieben.

Momentengleichgewicht bezüglich Punkt A:

Wie in der Abbildung zu sehen, hat der Hebelarm der Kraft \(F\) die Länge \(l_1\) und der der Lagerkraft \(F_B\) die Länge \(l_1 + l_2\). Nach der üblichen Vorzeichenkonvention verursacht die Kraft \(F\) eine Drehung im Uhrzeigersinn, also ein negatives Drehmoment. Dementsprechend ist das Drehmoment der Kraft \(F_B\) positiv (gegen den Uhrzeigersinn drehend):

\(\displaystyle\sum_i M_i = F_B\cdot (l_1 + l_2) - F\cdot l_1 = 0\)

\(\Rightarrow \qquad F_B = \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2}\)

Eingesetzt in die Gleichung für das Kräftegleichgewicht:

\(F_A +F_ B = F_A + \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\)

\(\Rightarrow \qquad F_A = F - \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\cdot\, \left( 1 - \frac{l_1}{l_1+l_2} \right) = 3.5\,kN \cdot\,\left( 1 - \frac{0.8\,m}{2.8\,m} \right) = 2.5\,kN\)

\(F_B = F-F_A = 3.5\,kN - 2.5\,kN = 1\,kN\)