Statisches Gleichgewicht bedeutet, dass sowohl ein Kräfte- als auch ein Momentengleichgewicht herrscht. Es müssen sich also die Summen der Kraftkomponenten sowie die der Drehmomente zu Null addieren:

\(\displaystyle\sum F_x = 0\)

\(\displaystyle\sum F_y = 0\)

\(\displaystyle\sum M_i = 0\)

So sind Translation sowie Rotation des Balkens unmöglich - er befindet sich im statischen (mechanischen) Gleichgewicht!

Betrachten wir den Balken und die auf ihn wirkenden Kräfte ("Freischneiden"), so lässt sich das Kräftegleichgewicht aufstellen. Es wirken die Kräfte \(\vec F_P\), \(\vec F_Z\), sowie die Gewichtskräfte des Balkens, \(\vec G_B\), und des angehängten Schildes, \(\vec G_S\), auf den Balken. Weiters gilt mit dem 2. Newton'schen Axiom für die Gewichtskräfte jeweils \(\vec G = m\cdot \vec g\),welche nur in y-Richtung wirken, ihre x-Komponenten sind daher 0: \(\vec g = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -g \\\ \end{array}\right)\), mit der Schwerebeschleunigung \(g\) der Erde.

Berücksichtigen wir, dass die x-Komponenten der Kräfte \(\vec F_P\) und \(\vec F_Z\) entgegengesetzt gerichtet sind und deren y-Komponenten den Gewichtskräften entgegenwirken, so ergibt sich:

\(\displaystyle\sum F_x = F_{Px}\, - F_{Zx}= 0\)

\(\sum F_y = F_{Py} + \,F_{Zy} \, - m_B\cdot g - m_s\cdot g = 0\)

Es lassen sich noch die Kraftkomponenten der Zugkraft des Seiles, \(\vec F_Z\), durch den Winkel \(\theta\) ausdrücken:

\(\displaystyle\sum F_x = F_{Px}\, -\, \cos(\theta)\cdot\, \left| \vec F_Z \right| = 0\)

\(\sum F_y = F_{Py} + \,\sin(\theta) \cdot\, |\vec F_Z |\, - m_B\cdot g - m_s\cdot g = 0\)

Frage: Würde die Kraftkomponente \(F_{Z}\) nicht auch durch den cosinus des Winkels zwischen Balken und Seil dargestellt?

Für das Drehmoment benötigen wir die Hebelarme der einwirkenden Kräfte - die senkrechten Abstände ihrer Wirklinie zum Drehpunkt. Bezüglich eines Drehpunktes ist das Drehmoment definiert als: \(M = F\cdot h\), mit dem Hebelarm \(h\).

Wählen wir den Drehpunkt am Ende des Balkens, so sind die Hebelarme der Kraft \(\vec F_Z\) sowie \(\vec G_S\) beide 0, weil sie auf den Drehpunkt wirken (keinen Abstand zu ihm haben). Es bewirkt also die Kraft \(\vec F_P\) ein Drehmoment im Uhrzeigersinn (konventionsgemäß ein negatives Drehmoment) und die Gewichtskraft des Balkens \(\vec G_B\) eines gegen den Uhrzeigersinn (ein positives Drehmoment), wie in der Grafik eingezeichnet.

Dies führt zu:

\(\sum M_i = m_B\cdot g\cdot \frac{l_B}{2} - F_{Py}\cdot l_B = 0 \)

Es lässt sich diese Gleichung noch durch \(l_B\) dividieren und wir erhalten:

\(\sum M_i = \frac{m_B\cdot g}{2} - F_{Py} = 0\)