Das Drehmoment bezüglich eines (Dreh-)Punktes ist definiert als das Produkt aus einwirkender Kraft und deren Hebelarm. Der Hebelarm \(h\) ist der senkrechte Abstand der Wirklinie einer Kraft \(F\) zum Drehpunkt (die Länge \(h\) steht also senkrecht auf die Wirklinie der Kraft). Wirken mehrere Kräfte, so kann es auch mehrere Drehmomente geben, das Gesamtdrehmoment ist dann die Summe der einzelnen Drehmomente. Somit ist das Gesamtdrehmoment:

\(M_{ges} = \displaystyle\sum_i F_i \cdot h_{i} = F_1\cdot h_1 + F_2 \cdot h_2 +\, \dots\)

In diesem Fall kann als Bezugspunkt nicht die Ecke gewählt werden, da die Abstände der Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) zur Ecke nicht bekannt sind. Es muss daher einer der Angriffspunkte gewählt werden. In der Abbildung ist der Fall abgebildet, dass als Bezugspunkt P der Angriffspunkt von \(F_1\) gewählt wird (es kann genauso gut auch der Angriffspunkt von \(F_2\) gewählt werden, die Rechnung ist die selbe).

Wie in der Abbildung zu sehen ist,  schneidet die Kraft \(F_1\) den Bezugspunkt P, damit ist ihr Hebelarm gleich \(h_{F1}=0\). Genauso ist der Hebelarm der oberen einwirkenden Kraft (die an der Ecke angreift) bezüglich des Punktes P gleich 0: diese Kraft lässt sich entlang ihrer Wirklinie verschieben (Längsverschiebungssatz) und hat somit keinen senkrechten Abstand zum Punkt P.

Wie zu sehen ist, haben nur die Kräfte \(F_1\) und die untere Zugkraft auf den Balken eine senkrechte Komponente. Die Hebelarme sind dabei für die Kraft \(F_2\) gleich \(h_{F_2} = 6\,m\) und für die Kraft am unteren Ende des Balkens \(4\,m\).

Nach der üblichen Vorzeichenkonvention erhalten gegen den Uhrzeigersinn rotierende Drehmomente ein positives und im Uhrzeigersinn rotierende ein negatives Drehmoment. Damit:

\(M_{ges} = F_2 \cdot 6\,m - 9\,kN \cdot 4\,m = 0\)

\(F_2 = \frac{9\,kN\cdot 4\,\cancel{m}}{6\,\cancel{m}} = 6\,kN\)

Da es sich um Kräftepaare handelt, muss der Betrag der Kraft \(F_1\) dem der Kraft \(F_2\) entsprechen:

\(F_1 = F_2 = 6\,kN\)

Um ein statisches Gleichgewicht zu erhalten, müssen die Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) entgegengesetzt gleich groß sein, was einem Kräftepaar entspricht.

In der Abbildung sind die drei Kräfte abgebildet, die miteinander im Gleichgewicht sind: einerseits die Gewichtskraft \(\vec F_G\) und die beiden Lagerkräfte \(\vec F_A\) und \(\vec F_B\).

Kräftegleichgewicht:

\(\displaystyle\sum F_x = F_{Ax} - F_{Bx} + \underbrace{\cancel{F_{Gx}}}_{=0} = 0\) (x-Komponenten der Lagerkräfte entgegengesetzt, daher negatives Vorzeichen)

\(\displaystyle\sum F_y = F_{Ay} + F_{By} - F_{Gy} = 0\) ( Gewichtskraft senkrecht nach unten gerichtet, daher negative y-Komponente)

Da es sich beim Lager A um ein Festlager handelt, muss das Lager in Punkt B einem Loslager entsprechen - die Lagerkraft in B ist daher senkrecht zur Lagerfläche (dem Balken) gerichtet. Es muss also für die Komponenten der Kraft B gelten \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1}\) (umgekehrtes Seitenverhältnis wie für Breite und Höhe der Stufe).

Alternativ - und möglicherweise einfacher - kann auch über den Winkel \(\alpha = \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\right) = 38,66^\circ\) gerechnet werden, die Ergebnisse sind die selben.

Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt A:

\(\displaystyle\sum M_A = F_B\cdot h_B - l_G \cdot F_G = 0\)

Mit dem Hebelarm \(h_B\) der Lagerkraft \(F_B\), diese steht bereits senkrecht auf den Balken, daher: \(h_B = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{2,5^2 + 2^2} = \sqrt{10,25}\).

Der Hebelarm der Gewichtskraft steht senkrecht auf ihre Wirklinie, dieser wurde mit \(l_G\) bezeichnet. Da es sich um einen homogenen Balken handelt, greift die Gewichtskraft \(F_G\) im Schwerpunkt, in der Mitte des Balkens an. Die Länge \(l_G\) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\), wobei \(h_G\) die Höhe bezeichnet, auf der sich der Schwerpunkt des Balkens befindet.

Da es sich, wie in der Abbildung zu sehen, um ähnliche Dreiecke handelt, müssen deren Seitenverhältnisse gleich sein:

\(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_G}{h_G} \qquad \Rightarrow \qquad h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\)

Damit lässt sich auf die gesuchte Länge \(l_G\) umformen (Herleitung siehe ganz unten): \( l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{2\,m}{2,5\,m}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}} = 1,56172\,m\)

(Auf dieses Ergebnis wäre man mit dem Winkel \(\alpha = 38,66^\circ\) ebenso gekommen: \(l_G = \cos(38,66^\circ) \cdot \frac{l_0}{2}= 0,78086\cdot 2 = 1,56172\,m\))

Wir erhalten also für das Momentengleichgewicht:

\(F_B \cdot \sqrt{10,25}\quad = F_G \cdot \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}}\)

Damit lässt sich die Lagerkraft B bestimmen: \(F_B = \frac{800\,N\cdot 4\,m}{2\cdot \sqrt{10,25 \cdot 1,64}\,m} = 390,2\,N\)

Wie oben ausgeführt, gilt für die Komponenten der Lagerkraft \(F_B\): \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1} \qquad \Rightarrow \qquad F_{By} = \frac{F_{Bx}\cdot l_1}{l_2} = 1,25\,F_{Bx}\)

Damit lässt sich wiederum mit dem Satz des Pythagoras berechnen: \(F^2 = F_{Bx}^2 + F_{By}^2 = F_{Bx}^2 + 1,25^2\cdot F_{Bx}^2 = F_{Bx}^2\cdot \,\left( 1 + 1,25^2\right)\)

\(\Rightarrow \qquad F_{Bx} = \frac{F_B}{\sqrt{(1 + 1,25^2)}}} = 243,8\,N\)

(Auf das selbe Ergebnis wären wir mit Hilfe von Winkelfunktionen gekommen: \(F_{Bx} = \sin(\alpha)\cdot F_B = \sin(38,66^\circ)\cdot 307,6 = 243,8\,N\))

Und damit (Gleichgewichtsbedingungen): \(F_{Ax} = F_{Bx} = 243,8\,N\)

\(F_{Ay} = F_G - F_{By} = 800\,N - \underbrace{1,25\cdot 243,8\,N}_{F_{By}} =495,25\,N\)

\(F_A = \sqrt{F_{Ax}^2 + F_{Ay}^2} = \sqrt{243,8^2 + 495,25^2} = 552\,N\)

Herleitung des Hebelarms \(l_G\) der Gewichtskraft:

Aus \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\) und \( h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\) (siehe oben) wird zunächst:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + \left( \frac{l_G\cdot l_2}{l_1} \right)^2 = l_G^2 \cdot \left[ 1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2\right]\) (Herausheben!)

\(l_G^2 = \frac{\left(\frac{l_0}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}\qquad \Rightarrow \qquad l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}}\)

Um die Seilkraft \(F_S\) zu bestimmen gehen wir von einem Momentengleichgewicht aus. Das Drehmoment, das durch die Handkraft \(F\) erzeugt wird, muss entgegengesetzt gleich groß sein wie das der Seilkraft \(F_S\).

Das Drehmoment berechnet sich durch \(M=h\cdot F\).

Dabei ist \(h\) die Länge des Hebelarms - der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirklinie, an der die Kraft \(F\) angreift. Der Hebelarm für die Handkraft entspricht der Handkurbel mit Länge \(h=l=140\,mm=0,14\,m\).

Der Hebelarm für die Seilkraft entspricht dem halben Durchmesser der Seiltrommel (also deren Radius).

Momentengleichgewicht bedeutet, dass die Summe der Drehmomente verschwindet, also \(\displaystyle\sum_i M_i=0\) gilt.

Konventionsgemäß werden Drehmomente, die gegen den Uhrzeigersinn drehen, mit einem positiven Vorzeichen versehen. Dementsprechend erhalten Drehmomente, die im Uhrzeigersinn drehen, ein negatives Vorzeichen. Die Drehachse geht durch das Gelenk, das in der Mitte der Seiltrommel liegt.

Demnach erhalten wir für die Seilkraft ein positives und für die Handkraft ein negatives Vorzeichen des Drehmoments.

\(\displaystyle\sum_i M_i= \frac{d}{2}\cdot F_S - l\cdot F=0 \qquad \Rightarrow \qquad F_S=\frac{2l\cdot F}{d}\)

Einsetzen der angegebenen Werte:

\(F_S=\frac{2l\cdot F}{d} = \frac{2\cdot 0,42\,m\cdot 200\,N}{0,14\,m} = 1200\,N\)

Für das Drehmoment einer einwirkenden Kraft \(F\) gilt:

\(M_F=F\cdot h\), wobei \(h\) den Hebelarm bezeichnet. Dieser ist der senkrechte Abstand der Wirklinie der Kraft \(F\) zur Drehachse.

Da die Kräfte nicht senkrecht auf den Balken stehen, müssen zunächst die senkrechten Komponenten der Kräfte ermittelt werden, da nur diese zum Drehmoment beitragen. Wie in der Grafik ersichtlich ist, korrespondieren diese mit dem Sinus des jeweiligen Winkels, den die Kraft mit dem Balken einschließt. Es sind also: \(F_{1\perp} = F_1 \cdot \,\sin(\alpha)\), \(F_{2\perp} = F_2 \cdot \,\sin(\beta)\) und \(F_{3\perp} = F_3 \cdot \,\sin(\gamma)\).

Das Nettodrehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente: \(M=\displaystyle\sum_i M_i=\displaystyle\sum_i F_{i\perp}\cdot h_i\)

Dabei werden linksdrehende Momente (gegen den Uhrzeigersinn) mit einem positiven Vorzeichen versehen. Dementsprechend rechtsdrehende (im Uhrzeigersinn) mit einem negativen Vorzeichen. Die Kraft \(F_1\) erzeugt daher ein positives und die Kraft \(F_3\) ein negatives Drehmoment.

Da das Drehmoment im Schwerpunkt S zu bestimmen ist, und die Kraft \(F_2\) im Schwerpunkt angreift, ist deren Hebelarm \(h_2=0\). Diese Kraft trägt also in diesem Punkt nichts zum Nettodrehmoment bei.

Mit der Vorzeichenkonvention ergibt sich:

\(M=\displaystyle\sum_i F_i\cdot h_i = F_{1\perp}\cdot h_1 - F_{2\perp} \cdot h_2 = F_1 \sin(\alpha)\cdot 1,25 - F_3\sin(\gamma)\cdot 1,25\)

\(M=-242\,Nm\)

Der Balken erfährt im Schwerpunkt also ein Drehmoment im Uhrzeigersinn.

Die Gleichgewichtsbedingungen müssen sowohl für die x- als auch die y-Komponenten der einwirkenden Kräfte erfüllt sein:

\(\displaystyle\sum_i F_{ix} = 0\) und \(\displaystyle\sum_i F_{iy} = 0\) mit \(i = (1,2,3)\).

Anm.: In diesem Fall würde ebenso ein Drehmoment wirken (abhängig von den Hebelarmen, die aber nicht gegeben sind), das allerdings unabhängig vom Kräftegleichgewicht betrachtet werden muss - auch wenn ein Kräftegleichgewicht vorliegt, kann es ein Nett-Drehmoment geben, und umgekehrt!

Die x-Komponente der Kraft \(\vec F_1\) ist 0, es muss also gelten: \(\displaystyle\sum_i F_{ix} = F_{2x} + F_{3x}=0\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die x-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Cosinus des jeweiligen Winkels. Damit gilt für deren Beträge (das negative Vorzeichen ergibt sich durch die entgegengesetzten Richtungen der x-Komponenten):

\(F_2\cdot \,\cos(\alpha) - F_3\cdot\, \cos(\beta) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_2 = \frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\)

Die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) müssen in Summe entgegengesetzt gleich groß sein, wie die der Kraft \(\vec F_1\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Sinus des jeweiligen Winkels und für die Beträge ergibt sich:

\(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(F_1\) ist hierbei der Betrag der Kraft \(\vec F_1\). Da die Kraft \(\vec F_1\) aber nur eine y-Komponente besitzt, ist dessen Betrag auch einfach nur diese y-Komponente.

Für \( F_2=\frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\) eingesetzt: \(\frac{F_3\cdot \,\cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(\Rightarrow \qquad F_3\cdot\, \left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right] = F_1\)

\(F_3= \frac{F_1}{\left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right]} = \frac{500\,N}{\left[\cos(30^\circ) \cdot \,\tan(50^\circ) + \,\sin(30^\circ)\right]}\)

\(F_3 = 326.4\,N\)

Analog ergibt sich für den Betrag der Kraft \(\vec F_2\):

\(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + \frac{F_2\cdot\,\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(\Rightarrow F_2 = \frac{F_1}{\left[ \sin(\alpha) +\, \cos(\alpha)\cdot \tan(\beta) \right]} = 439.7\,N\)

Ein Kräftepaar sind zwei gleich große, parallele, aber entgegengesetzte Kräfte. Das erzeugte Drehmoment berechnet sich durch:

\(M=F\cdot l\)

Umformen und Einsetzen der Werte ergibt:

\(l=\frac{M}{F} = \frac{980\,Nm}{1400\,N}= 0,7\,m\)

Ein Kräftepaar bezeichnet in der technischen Mechanik zwei Kräfte, die

o) den gleichen Betrag haben (also gleich große Kräfte)

o) aber in entgegengesetzte parallele Richtungen wirken

Lösung Drehmoment:

Damit sich die Waage im Gleichgewicht befindet, muss das Drehmoment bezüglich der Drehachse (Lagerpunkt) bei \(x_D=3\) verschwinden. Es müssen also die Gewichtskräfte auf der linken und rechten Seite ein gleich groß entgegengesetztes Drehmoment erzeugen.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse \(m\):

\(F_G = m\cdot g\), mit der Erdbeschleunigung \(g\).

Das Drehmoment einer Kraft \(F\) ist definiert als \(M = h\cdot F\), wobei \(h\) den Hebelarm der Kraft bezeichnet. Konventionsgemäß ist ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment positiv, ein im Uhrzeigersinn drehendes dagegen negativ. Die Abbildung zeigt den Beitrag des Hebelarms zum Drehmoment. In der Mitte (bei \(x_D = 3\)) ist der Hebelarm 0, nach links trägt dieser positiv zum Drehmoment bei, nach rechts hingegen negativ.

Damit ergibt sich für das Drehmoment bezüglich der Drehachse in der Mitte des Balkens:

\(M = 2\cdot 3\,mg + 1\cdot 2\,mg - 2\cdot 4\,mg - 1\cdot 3\,mg + h_0\cdot mg= 0\)

\(6 + 2 - 8 - 3 +h_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad h_0=3\)

Die hinzugefügte Masse \(m\) hat daher den (positiven!) Hebelarm mit Länge 3. Die Position entspricht daher der bei \(x_0 = 0\).

Lösung Schwerpunkt:

Eine alternative Lösung bietet die Definition des Schwerpunktes: Ist die Waage im Gleichgewicht, so muss der Drehpunkt, an dem das Drehmoment 0 ist, mit dem Schwerpunkt zusammenfallen (sie müssen zumindest den selben x-Wert haben). Anschaulich ist also der Schwerpunkt derjenige Punkt eines Körpers, an dem dieser balanciert werden kann.

Die Definition des Schwerpunkts für eindimensionale Probleme: \(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\). (Man erkennt, in dieser Formulierung kommt die Erdbeschleunigung nicht mehr vor!)

Da der Schwerpunkt bei \(x_S = x_D = 3\) liegt, muss umgeformt werden. Im nenner steht die Gesamtmasse, bei der die zusätzliche Masse berücksichtigt werden muss:\(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 11\,m\). Einsetzen der gegebenen Koordinaten ergibt:

\(x_S = \frac{3\,m\cdot 1 + 2\,m\cdot 2+4\,m\cdot 5 + 1\,m\cdot 6 + 1\,m\cdot x_0}{11\,m} = 3\)

\(x_0=3\cdot 11 - (3+4+20+6) = 33 - 33 = 0\)

Und wir erhalten das selbe Ergebnis wie über den Ansatz des Drehmoments:

\(x_0=0\)