Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Drehmoment.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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An einem L-förmigen Bauteil greifen zwei Kräftepaare an. Welchen Betrag müssen die Kräfte $F_1$ und $F_2$ haben, sodass das resultierende Moment verschwindet? Nr. 4612
	$F_1 = 6\, kN$ $F_2 = 0$
	$F_1 = F_2 = 13.5\, kN$
	$F_1 = F_2 = 6\,kN$
	$F_1 = F_2 = 9\, kN$
	$F_1 = F_2 = 3\,kN$
Lösungsweg Das Drehmoment bezüglich eines (Dreh-)Punktes ist definiert als das Produkt aus einwirkender Kraft und deren Hebelarm. Der Hebelarm $h$ ist der senkrechte Abstand der Wirklinie einer Kraft $F$ zum Drehpunkt (die Länge $h$ steht also senkrecht auf die Wirklinie der Kraft). Wirken mehrere Kräfte, so kann es auch mehrere Drehmomente geben, das Gesamtdrehmoment ist dann die Summe der einzelnen Drehmomente. Somit ist das Gesamtdrehmoment: $M_{ges} = \displaystyle\sum_i F_i \cdot h_{i} = F_1\cdot h_1 + F_2 \cdot h_2 +\, \dots$ In diesem Fall kann als Bezugspunkt nicht die Ecke gewählt werden, da die Abstände der Kräfte $F_1$ und $F_2$ zur Ecke nicht bekannt sind. Es muss daher einer der Angriffspunkte gewählt werden. In der Abbildung ist der Fall abgebildet, dass als Bezugspunkt P der Angriffspunkt von $F_1$ gewählt wird (es kann genauso gut auch der Angriffspunkt von $F_2$ gewählt werden, die Rechnung ist die selbe). Wie in der Abbildung zu sehen ist, schneidet die Kraft $F_1$ den Bezugspunkt P, damit ist ihr Hebelarm gleich $h_{F1}=0$ . Genauso ist der Hebelarm der oberen einwirkenden Kraft (die an der Ecke angreift) bezüglich des Punktes P gleich 0: diese Kraft lässt sich entlang ihrer Wirklinie verschieben (Längsverschiebungssatz) und hat somit keinen senkrechten Abstand zum Punkt P. Wie zu sehen ist, haben nur die Kräfte $F_1$ und die untere Zugkraft auf den Balken eine senkrechte Komponente. Die Hebelarme sind dabei für die Kraft $F_2$ gleich $h_{F_2} = 6\,m$ und für die Kraft am unteren Ende des Balkens $4\,m$ . Nach der üblichen Vorzeichenkonvention erhalten gegen den Uhrzeigersinn rotierende Drehmomente ein positives und im Uhrzeigersinn rotierende ein negatives Drehmoment. Damit: $M_{ges} = F_2 \cdot 6\,m - 9\,kN \cdot 4\,m = 0$ $F_2 = \frac{9\,kN\cdot 4\,\cancel{m}}{6\,\cancel{m}} = 6\,kN$ Da es sich um Kräftepaare handelt, muss der Betrag der Kraft $F_1$ dem der Kraft $F_2$ entsprechen: $F_1 = F_2 = 6\,kN$ Um ein statisches Gleichgewicht zu erhalten, müssen die Kräfte $F_1$ und $F_2$ entgegengesetzt gleich groß sein, was einem Kräftepaar entspricht.

5 erreichbare Punkte

Ein Drehkran wird mit einer Last $F=10\,kN$ im Abstand $l_1=6\,m$ von der Drehachse (Punkt A in der Grafik) belastet. Das Eigengewicht des Krans beträgt $F_E=8\,kN$ , der Schwerpunkt befindet sich im Abstand $l_S=1\,m$ von der Drehachse entfernt. Das Gegengewicht beträgt $F_G=16\,kN$ und $l_2=2,5\,m$ . Berechne das Drehmoment $M$ im Punkt A des Krans. Nr. 4461
	$M=-28\,kNm$
	$M=6\,kNm$
	$M=-20\,kNm$
	$M=-12\,kNm$
	$M=+12\,kNm$
Lösungsweg Das Drehmoment (eigentlich der Betrag des Drehmoments), das von einer Kraft verursacht wird, ist definiert als $M=h\cdot F$ . Dabei bezeichnet $h$ die Länge des Hebelarms, der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirklinie der angreifenden Kraft $F$ . In diesem Fall wirken drei Kräfte und deren Hebelarm ist stets der horizontale Abstand zur Drehachse, die sich im Punkt A befindet. Die Kräfte sind das Eigengewicht des Krans, die angehängte Last und das Gegengewicht, die in den jeweils angegebenen Abständen zur Drehachse einwirken. Das Eigengewicht wirkt im Schwerpunkt, wie in der Abbildung zu sehen ist. Das Gesamtdrehmoment berechnet sich durch die Summe der einzelnen Drehmomente: $M_{ges}=\displaystyle\sum_i M_i=\pm M_E \pm M_G \pm M_F$ Konventionsgemäß haben gegen den Uhrzeigersinn drehende Drehmomente ein positives und im Uhrzeigersinn drehende ein negatives Vorzeichen. In diesem Fall bewirkt das Gegengewicht $F_G$ (auf der linken Seite des Punkts A) ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment um die Drehachse in Punkt A. Die anderen beiden Kräfte bewirken hingegen eine Drehung im Uhrzeigersinn, wie in der Abbildung dargestellt. Somit ergibt sich mit der entsprechenden Vorzeichenkonvention: $M_{ges}=- M_E + M_G - M_F = -1\,m\cdot 8\,kN + 2,5\,m\cdot 16\,kN - 6\,m\cdot 10\,kN = -28\,kNm$

5 erreichbare Punkte

Seiltrommel und Handkurbel eines Hebelzugs sind fest miteinander verbunden. Die Kurbellänge beträgt $l=420\,mm$ , der Trommeldurchmesser $d=140\, mm$ . Welches Drehmoment $M$ wird an der Handkurbel erzeugt, wenn eine Handkraft $F=200\, N$ am Ende der Kurbel angreift? Nr. 4459
	$M=70\, Nm$
	$M=84\, Nm$
	$M=84000\, Nm$
	$M=56\, Nm$
	$M=0,84\, Nm$
Lösungsweg Für das Drehmoment $M$ gilt: $M=h\cdot F$ wobei $h$ die Länge des Hebelarmes bezeichnet - der senkrechte Abstand zwischen der Drehachse und der Wirklinie, an der die Kraft $F$ angreift. In diesem Fall ist also der Hebelarm $h=l=42\,mm=0,42\,m$ , die Länge der Handkurbel. Somit erhalten wir für das Drehmoment $M=l\cdot F = 0,42\,m \cdot 200\,N = 84\,Nm$

5 erreichbare Punkte

Eine einfache Waage besteht aus einem Balken, der in seinem Mittelpunkt drehbar gelagert ist. Die abgebildete Waage hat die Länge 6 und ist mit verschiedenen Gewichten belastet. Um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen, ist nur ein weiteres Gewicht der Masse $m$ nötig. An welcher Stelle $x_0$ muss das Gewicht platziert werden, sodass die Waage ausgeglichen ist? (Die anderen Gewichte müssen dabei an ihren Plätzen bleiben). Nr. 4729
	$x_0 = 0$
	$x_0 = 1$
	$x_0 = 2$
	$x_0 = 3$
	$x_0 = 4$
Lösungsweg Lösung Drehmoment: Damit sich die Waage im Gleichgewicht befindet, muss das Drehmoment bezüglich der Drehachse (Lagerpunkt) bei $x_D=3$ verschwinden. Es müssen also die Gewichtskräfte auf der linken und rechten Seite ein gleich groß entgegengesetztes Drehmoment erzeugen. Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse $m$ : $F_G = m\cdot g$ , mit der Erdbeschleunigung $g$ . Das Drehmoment einer Kraft $F$ ist definiert als $M = h\cdot F$ , wobei $h$ den Hebelarm der Kraft bezeichnet. Konventionsgemäß ist ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment positiv, ein im Uhrzeigersinn drehendes dagegen negativ. Die Abbildung zeigt den Beitrag des Hebelarms zum Drehmoment. In der Mitte (bei $x_D = 3$ ) ist der Hebelarm 0, nach links trägt dieser positiv zum Drehmoment bei, nach rechts hingegen negativ. Damit ergibt sich für das Drehmoment bezüglich der Drehachse in der Mitte des Balkens: $M = 2\cdot 3\,mg + 1\cdot 2\,mg - 2\cdot 4\,mg - 1\cdot 3\,mg + h_0\cdot mg= 0$ $6 + 2 - 8 - 3 +h_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad h_0=3$ Die hinzugefügte Masse $m$ hat daher den (positiven!) Hebelarm mit Länge 3. Die Position entspricht daher der bei $x_0 = 0$ . Lösung Schwerpunkt: Eine alternative Lösung bietet die Definition des Schwerpunktes: Ist die Waage im Gleichgewicht, so muss der Drehpunkt, an dem das Drehmoment 0 ist, mit dem Schwerpunkt zusammenfallen (sie müssen zumindest den selben x-Wert haben). Anschaulich ist also der Schwerpunkt derjenige Punkt eines Körpers, an dem dieser balanciert werden kann. Die Definition des Schwerpunkts für eindimensionale Probleme: $x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}$ . (Man erkennt, in dieser Formulierung kommt die Erdbeschleunigung nicht mehr vor!) Da der Schwerpunkt bei $x_S = x_D = 3$ liegt, muss umgeformt werden. Im nenner steht die Gesamtmasse, bei der die zusätzliche Masse berücksichtigt werden muss: $\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 11\,m$ . Einsetzen der gegebenen Koordinaten ergibt: $x_S = \frac{3\,m\cdot 1 + 2\,m\cdot 2+4\,m\cdot 5 + 1\,m\cdot 6 + 1\,m\cdot x_0}{11\,m} = 3$ $x_0=3\cdot 11 - (3+4+20+6) = 33 - 33 = 0$ Und wir erhalten das selbe Ergebnis wie über den Ansatz des Drehmoments: $x_0=0$

5 erreichbare Punkte

Ein Kräftepaar mit den Kräften $F=1,4\, kN$ erzeugt ein Drehmoment $M=980\,Nm$ . Welchen Wirkabstand $l$ hat das Kräftepaar? Nr. 4467
	$l=1,43\,m$
	$l=0,7\,m$
	$l=1,372\,m$
	$l=700\,m$
	$l=70\,cN$
Lösungsweg Ein Kräftepaar sind zwei gleich große, parallele, aber entgegengesetzte Kräfte. Das erzeugte Drehmoment berechnet sich durch: $M=F\cdot l$ Umformen und Einsetzen der Werte ergibt: $l=\frac{M}{F} = \frac{980\,Nm}{1400\,N}= 0,7\,m$

5 erreichbare Punkte

Welche Aussagen sind korrekt? Ein Kräftepaar besteht aus zwei ... Nr. 4463
	gleichen Kräften.
	Kräften, die in entgegengesetzte Richtungen wirken.
	beliebigen Kräften.
	Kräften mit gleichem Betrag.
	Kräften, die parallel zueinander sind.
Lösungsweg Ein Kräftepaar bezeichnet in der technischen Mechanik zwei Kräfte, die o) den gleichen Betrag haben (also gleich große Kräfte) o) aber in entgegengesetzte parallele Richtungen wirken

5 erreichbare Punkte

Seiltrommel und Handkurbel eines Hebelzugs sind fest miteinander verbunden. Die Kurbellänge beträgt $l=420\,mm$ , der Trommeldurchmesser $d=140\, mm$ . Am Ende der Handkurbel greift eine Handkraft $F=200\,N$ an. Wie groß ist die Seilkraft $F_S$ , die dadurch im Seil hervorgerufen wird? Nr. 4460
	$F=56\,N$
	$F=600\,N$
	$F=1,2\,N$
	$F=1200\,N$
	$F=6000\,N$
Lösungsweg Um die Seilkraft $F_S$ zu bestimmen gehen wir von einem Momentengleichgewicht aus. Das Drehmoment, das durch die Handkraft $F$ erzeugt wird, muss entgegengesetzt gleich groß sein wie das der Seilkraft $F_S$ . Das Drehmoment berechnet sich durch $M=h\cdot F$ . Dabei ist $h$ die Länge des Hebelarms - der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirklinie, an der die Kraft $F$ angreift. Der Hebelarm für die Handkraft entspricht der Handkurbel mit Länge $h=l=140\,mm=0,14\,m$ . Der Hebelarm für die Seilkraft entspricht dem halben Durchmesser der Seiltrommel (also deren Radius). Momentengleichgewicht bedeutet, dass die Summe der Drehmomente verschwindet, also $\displaystyle\sum_i M_i=0$ gilt. Konventionsgemäß werden Drehmomente, die gegen den Uhrzeigersinn drehen, mit einem positiven Vorzeichen versehen. Dementsprechend erhalten Drehmomente, die im Uhrzeigersinn drehen, ein negatives Vorzeichen. Die Drehachse geht durch das Gelenk, das in der Mitte der Seiltrommel liegt. Demnach erhalten wir für die Seilkraft ein positives und für die Handkraft ein negatives Vorzeichen des Drehmoments. $\displaystyle\sum_i M_i= \frac{d}{2}\cdot F_S - l\cdot F=0 \qquad \Rightarrow \qquad F_S=\frac{2l\cdot F}{d}$ Einsetzen der angegebenen Werte: $F_S=\frac{2l\cdot F}{d} = \frac{2\cdot 0,42\,m\cdot 200\,N}{0,14\,m} = 1200\,N$

5 erreichbare Punkte

Auf einen homogenen Balken der Länge $l=2,5\,m$ wirken drei Kräfte $F_1=700\,N$ , $F_2=400\,N$ und $F_3=500\,N$ . Die Winkel betragen $\alpha = 20^\circ$ , $\beta = 45^\circ$ und $\gamma = 60^\circ$ . Bestimme das Nettodrehmoment M im Schwerpunkt S. Nr. 4468
	$M=408\,Nm$
	$M=-484\,Nm$
	$M=-242\,Nm$
	$M=-130\,Nm$
	$M=840\,Nm$
Lösungsweg Für das Drehmoment einer einwirkenden Kraft $F$ gilt: $M_F=F\cdot h$ , wobei $h$ den Hebelarm bezeichnet. Dieser ist der senkrechte Abstand der Wirklinie der Kraft $F$ zur Drehachse. Da die Kräfte nicht senkrecht auf den Balken stehen, müssen zunächst die senkrechten Komponenten der Kräfte ermittelt werden, da nur diese zum Drehmoment beitragen. Wie in der Grafik ersichtlich ist, korrespondieren diese mit dem Sinus des jeweiligen Winkels, den die Kraft mit dem Balken einschließt. Es sind also: $F_{1\perp} = F_1 \cdot \,\sin(\alpha)$ , $F_{2\perp} = F_2 \cdot \,\sin(\beta)$ und $F_{3\perp} = F_3 \cdot \,\sin(\gamma)$ . Das Nettodrehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente: $M=\displaystyle\sum_i M_i=\displaystyle\sum_i F_{i\perp}\cdot h_i$ Dabei werden linksdrehende Momente (gegen den Uhrzeigersinn) mit einem positiven Vorzeichen versehen. Dementsprechend rechtsdrehende (im Uhrzeigersinn) mit einem negativen Vorzeichen. Die Kraft $F_1$ erzeugt daher ein positives und die Kraft $F_3$ ein negatives Drehmoment. Da das Drehmoment im Schwerpunkt S zu bestimmen ist, und die Kraft $F_2$ im Schwerpunkt angreift, ist deren Hebelarm $h_2=0$ . Diese Kraft trägt also in diesem Punkt nichts zum Nettodrehmoment bei. Mit der Vorzeichenkonvention ergibt sich: $M=\displaystyle\sum_i F_i\cdot h_i = F_{1\perp}\cdot h_1 - F_{2\perp} \cdot h_2 = F_1 \sin(\alpha)\cdot 1,25 - F_3\sin(\gamma)\cdot 1,25$ $M=-242\,Nm$ Der Balken erfährt im Schwerpunkt also ein Drehmoment im Uhrzeigersinn.

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