In der Abbildung sind die drei Kräfte abgebildet, die miteinander im Gleichgewicht sind: einerseits die Gewichtskraft \(\vec F_G\) und die beiden Lagerkräfte \(\vec F_A\) und \(\vec F_B\).

Kräftegleichgewicht:

\(\displaystyle\sum F_x = F_{Ax} - F_{Bx} + \underbrace{\cancel{F_{Gx}}}_{=0} = 0\) (x-Komponenten der Lagerkräfte entgegengesetzt, daher negatives Vorzeichen)

\(\displaystyle\sum F_y = F_{Ay} + F_{By} - F_{Gy} = 0\) ( Gewichtskraft senkrecht nach unten gerichtet, daher negative y-Komponente)

Da es sich beim Lager A um ein Festlager handelt, muss das Lager in Punkt B einem Loslager entsprechen - die Lagerkraft in B ist daher senkrecht zur Lagerfläche (dem Balken) gerichtet. Es muss also für die Komponenten der Kraft B gelten \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1}\) (umgekehrtes Seitenverhältnis wie für Breite und Höhe der Stufe).

Alternativ - und möglicherweise einfacher - kann auch über den Winkel \(\alpha = \arctan\left(\frac{l_2}{l_1}\right) = 38,66^\circ\) gerechnet werden, die Ergebnisse sind die selben.

Momentengleichgewicht um den Lagerpunkt A:

\(\displaystyle\sum M_A = F_B\cdot h_B - l_G \cdot F_G = 0\)

Mit dem Hebelarm \(h_B\) der Lagerkraft \(F_B\), diese steht bereits senkrecht auf den Balken, daher: \(h_B = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{2,5^2 + 2^2} = \sqrt{10,25}\).

Der Hebelarm der Gewichtskraft steht senkrecht auf ihre Wirklinie, dieser wurde mit \(l_G\) bezeichnet. Da es sich um einen homogenen Balken handelt, greift die Gewichtskraft \(F_G\) im Schwerpunkt, in der Mitte des Balkens an. Die Länge \(l_G\) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\), wobei \(h_G\) die Höhe bezeichnet, auf der sich der Schwerpunkt des Balkens befindet.

Da es sich, wie in der Abbildung zu sehen, um ähnliche Dreiecke handelt, müssen deren Seitenverhältnisse gleich sein:

\(\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_G}{h_G} \qquad \Rightarrow \qquad h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\)

Damit lässt sich auf die gesuchte Länge \(l_G\) umformen (Herleitung siehe ganz unten): \( l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{2\,m}{2,5\,m}\right)^2}}} = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}} = 1,56172\,m\)

(Auf dieses Ergebnis wäre man mit dem Winkel \(\alpha = 38,66^\circ\) ebenso gekommen: \(l_G = \cos(38,66^\circ) \cdot \frac{l_0}{2}= 0,78086\cdot 2 = 1,56172\,m\))

Wir erhalten also für das Momentengleichgewicht:

\(F_B \cdot \sqrt{10,25}\quad = F_G \cdot \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1,64}}\)

Damit lässt sich die Lagerkraft B bestimmen: \(F_B = \frac{800\,N\cdot 4\,m}{2\cdot \sqrt{10,25 \cdot 1,64}\,m} = 390,2\,N\)

Wie oben ausgeführt, gilt für die Komponenten der Lagerkraft \(F_B\): \(\frac{F_{Bx}}{F_{By}} = \frac{l_2}{l_1} \qquad \Rightarrow \qquad F_{By} = \frac{F_{Bx}\cdot l_1}{l_2} = 1,25\,F_{Bx}\)

Damit lässt sich wiederum mit dem Satz des Pythagoras berechnen: \(F^2 = F_{Bx}^2 + F_{By}^2 = F_{Bx}^2 + 1,25^2\cdot F_{Bx}^2 = F_{Bx}^2\cdot \,\left( 1 + 1,25^2\right)\)

\(\Rightarrow \qquad F_{Bx} = \frac{F_B}{\sqrt{(1 + 1,25^2)}}} = 243,8\,N\)

(Auf das selbe Ergebnis wären wir mit Hilfe von Winkelfunktionen gekommen: \(F_{Bx} = \sin(\alpha)\cdot F_B = \sin(38,66^\circ)\cdot 307,6 = 243,8\,N\))

Und damit (Gleichgewichtsbedingungen): \(F_{Ax} = F_{Bx} = 243,8\,N\)

\(F_{Ay} = F_G - F_{By} = 800\,N - \underbrace{1,25\cdot 243,8\,N}_{F_{By}} =495,25\,N\)

\(F_A = \sqrt{F_{Ax}^2 + F_{Ay}^2} = \sqrt{243,8^2 + 495,25^2} = 552\,N\)

Herleitung des Hebelarms \(l_G\) der Gewichtskraft:

Aus \(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + h_G^2\) und \( h_G = \frac{l_G \cdot l_2}{l_1}\) (siehe oben) wird zunächst:

\(\left(\frac{l_0}{2}\right)^2 = l_G^2 + \left( \frac{l_G\cdot l_2}{l_1} \right)^2 = l_G^2 \cdot \left[ 1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2\right]\) (Herausheben!)

\(l_G^2 = \frac{\left(\frac{l_0}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}\qquad \Rightarrow \qquad l_G = \frac{l_0}{2\cdot \sqrt{1 + \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2}}}\)

Um dieses Beispiel zu lösen, stellen wir zunächst die angreifenden Kräfte auf die Türe schematisch dar ("Freischneiden"). Das ist in der Abbildung rechts dargestellt, wobei die nach unten gerichtete Gewichtskraft der Truhe mit \(\vec F_G\) und die nach oben gerichtete Druckkraft mit \(\vec F_D\) bezeichnet werden.

Diese beiden Kräfte wirken auf die Türe bzw. einen waagrechten Balken und bewirken jeweils ein Drehmoment. Die nach unten gerichtete Gewichtskraft \(\vec F_G\) bewirkt eine Drehung um das Scharnier (Drehachse) im Uhrzeigersinn, was einem negativen Drehmoment entspricht. Die entgegengerichtete Druckkraft bewirkt hingegen eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn, dementsprechend ein positives Drehmoment. Das resultierende Drehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente, also:

\(M_{res}=\sum_{i}M_i\)

(Da in diesem Fall die Drehmomente parallel zu einer festen Drehachse stehen, betrachten wir nur die Beträge der Drehmomente.)

Das einzelne Drehmoment, das eine Kraft auf den Balken ausübt, berechnet sich mit \(M_i=R_i\cdot F_i\), wobei \(F_i\) die Kraft \(i\) und \(R_i\) der Hebelarm dieser Kraft ist. Dieser Hebelarm ist der senkrechte Abstand zwischen der Drehachse und dem Punkt, an dem die Kraft angreift.

Damit ergibt sich mit der obigen Vorzeichenkonvention (im bzw. gegen den Uhrzeigersinn rotierendes Drehmoment):

\(M_{res}=R_D\cdot F_D - R_G\cdot F_G = L\cdot F_D - \frac{L}{3}\cdot F_G\)

Damit Richard Löwenherz die Türe öffnen kann, muss sich die Türe gegen den Uhrzeigersinn drehen, das resultierende Drehmoment also positiv sein. Es muss also gelten: \(M_{res}\quad \gt\quad 0\).

Und damit:

\(\cancel{L}\cdot F_D - \frac{\cancel{L}}{3}\cdot F_G \quad \gt\quad 0 \hspace*{10mm}/:\,L\)

\(F_D\quad \gt \quad \frac{F_G}{3}\)

Richard Löwenherz muss also mehr als ein drittel der Gewichtskraft der Truhe aufwenden, um ausbrechen zu können!

Mit \(F_G=m_{Truhe}\cdot g=250\, kg\cdot 9,81\, \frac{N}{kg}\) folgt:

\(F_D\quad \gt \quad 817,5\, N\)

Die Gleichgewichtsbedingungen müssen sowohl für die x- als auch die y-Komponenten der einwirkenden Kräfte erfüllt sein:

\(\displaystyle\sum_i F_{ix} = 0\) und \(\displaystyle\sum_i F_{iy} = 0\) mit \(i = (1,2,3)\).

Anm.: In diesem Fall würde ebenso ein Drehmoment wirken (abhängig von den Hebelarmen, die aber nicht gegeben sind), das allerdings unabhängig vom Kräftegleichgewicht betrachtet werden muss - auch wenn ein Kräftegleichgewicht vorliegt, kann es ein Nett-Drehmoment geben, und umgekehrt!

Die x-Komponente der Kraft \(\vec F_1\) ist 0, es muss also gelten: \(\displaystyle\sum_i F_{ix} = F_{2x} + F_{3x}=0\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die x-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Cosinus des jeweiligen Winkels. Damit gilt für deren Beträge (das negative Vorzeichen ergibt sich durch die entgegengesetzten Richtungen der x-Komponenten):

\(F_2\cdot \,\cos(\alpha) - F_3\cdot\, \cos(\beta) = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_2 = \frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\)

Die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) müssen in Summe entgegengesetzt gleich groß sein, wie die der Kraft \(\vec F_1\). Wie in der Abbildung zu sehen ist, sind die y-Komponenten der Kräfte \(\vec F_2\) und \(\vec F_3\) proportional zum Sinus des jeweiligen Winkels und für die Beträge ergibt sich:

\(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(F_1\) ist hierbei der Betrag der Kraft \(\vec F_1\). Da die Kraft \(\vec F_1\) aber nur eine y-Komponente besitzt, ist dessen Betrag auch einfach nur diese y-Komponente.

Für \( F_2=\frac{F_3 \cdot\, \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\) eingesetzt: \(\frac{F_3\cdot \,\cos(\beta)}{\cos(\alpha)}\cdot \,\sin(\alpha) + F_3\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(\Rightarrow \qquad F_3\cdot\, \left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right] = F_1\)

\(F_3= \frac{F_1}{\left[\cos(\beta) \cdot \,\tan(\alpha) + \,\sin(\beta)\right]} = \frac{500\,N}{\left[\cos(30^\circ) \cdot \,\tan(50^\circ) + \,\sin(30^\circ)\right]}\)

\(F_3 = 326.4\,N\)

Analog ergibt sich für den Betrag der Kraft \(\vec F_2\):

\(F_2\cdot \,\sin(\alpha) + \frac{F_2\cdot\,\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}\cdot \,\sin(\beta) = F_1\)

\(\Rightarrow F_2 = \frac{F_1}{\left[ \sin(\alpha) +\, \cos(\alpha)\cdot \tan(\beta) \right]} = 439.7\,N\)

Ein Kräftepaar bezeichnet in der technischen Mechanik zwei Kräfte, die

o) den gleichen Betrag haben (also gleich große Kräfte)

o) aber in entgegengesetzte parallele Richtungen wirken

Lösung Drehmoment:

Damit sich die Waage im Gleichgewicht befindet, muss das Drehmoment bezüglich der Drehachse (Lagerpunkt) bei \(x_D=3\) verschwinden. Es müssen also die Gewichtskräfte auf der linken und rechten Seite ein gleich groß entgegengesetztes Drehmoment erzeugen.

Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt für die Gewichtskraft eines Körpers der Masse \(m\):

\(F_G = m\cdot g\), mit der Erdbeschleunigung \(g\).

Das Drehmoment einer Kraft \(F\) ist definiert als \(M = h\cdot F\), wobei \(h\) den Hebelarm der Kraft bezeichnet. Konventionsgemäß ist ein gegen den Uhrzeigersinn drehendes Moment positiv, ein im Uhrzeigersinn drehendes dagegen negativ. Die Abbildung zeigt den Beitrag des Hebelarms zum Drehmoment. In der Mitte (bei \(x_D = 3\)) ist der Hebelarm 0, nach links trägt dieser positiv zum Drehmoment bei, nach rechts hingegen negativ.

Damit ergibt sich für das Drehmoment bezüglich der Drehachse in der Mitte des Balkens:

\(M = 2\cdot 3\,mg + 1\cdot 2\,mg - 2\cdot 4\,mg - 1\cdot 3\,mg + h_0\cdot mg= 0\)

\(6 + 2 - 8 - 3 +h_0 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad h_0=3\)

Die hinzugefügte Masse \(m\) hat daher den (positiven!) Hebelarm mit Länge 3. Die Position entspricht daher der bei \(x_0 = 0\).

Lösung Schwerpunkt:

Eine alternative Lösung bietet die Definition des Schwerpunktes: Ist die Waage im Gleichgewicht, so muss der Drehpunkt, an dem das Drehmoment 0 ist, mit dem Schwerpunkt zusammenfallen (sie müssen zumindest den selben x-Wert haben). Anschaulich ist also der Schwerpunkt derjenige Punkt eines Körpers, an dem dieser balanciert werden kann.

Die Definition des Schwerpunkts für eindimensionale Probleme: \(x_S = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}\). (Man erkennt, in dieser Formulierung kommt die Erdbeschleunigung nicht mehr vor!)

Da der Schwerpunkt bei \(x_S = x_D = 3\) liegt, muss umgeformt werden. Im nenner steht die Gesamtmasse, bei der die zusätzliche Masse berücksichtigt werden muss:\(\displaystyle\sum_i m_i = m_{ges} = 11\,m\). Einsetzen der gegebenen Koordinaten ergibt:

\(x_S = \frac{3\,m\cdot 1 + 2\,m\cdot 2+4\,m\cdot 5 + 1\,m\cdot 6 + 1\,m\cdot x_0}{11\,m} = 3\)

\(x_0=3\cdot 11 - (3+4+20+6) = 33 - 33 = 0\)

Und wir erhalten das selbe Ergebnis wie über den Ansatz des Drehmoments:

\(x_0=0\)

Antworten 1) & 5) sind korrekt!

1) Da die beiden Kräfte entgegengesetzt gleich groß sind, also den gleichen Betrag haben und in entgegengesetzte Richtung wirken, ist die Resultierende \(F_r = F + (-F) = 0\). Die beiden Kräfte sind parallel, es kann daher nur mit den Beträgen gerechnet werden.

5) Es ist keine Translation möglich, weil die Resultierende \(F_r=0\). Da die beiden Kräfte aber unterschiedliche Wirklinien haben (bzw. diese im Abstand \(a\) zueinander liegen), bewirken sie ein Drehmoment, also eine Rotation. Die Drehachse liegt in der Mitte der beiden Wirklinien, in diesem Fall geht sie also nicht durch den Schwerpunkt des Balkens!

Für das Drehmoment einer einwirkenden Kraft \(F\) gilt:

\(M_F=F\cdot h\), wobei \(h\) den Hebelarm bezeichnet. Dieser ist der senkrechte Abstand der Wirklinie der Kraft \(F\) zur Drehachse.

Da die Kräfte nicht senkrecht auf den Balken stehen, müssen zunächst die senkrechten Komponenten der Kräfte ermittelt werden, da nur diese zum Drehmoment beitragen. Wie in der Grafik ersichtlich ist, korrespondieren diese mit dem Sinus des jeweiligen Winkels, den die Kraft mit dem Balken einschließt. Es sind also: \(F_{1\perp} = F_1 \cdot \,\sin(\alpha)\), \(F_{2\perp} = F_2 \cdot \,\sin(\beta)\) und \(F_{3\perp} = F_3 \cdot \,\sin(\gamma)\).

Das Nettodrehmoment ist die Summe der einzelnen Drehmomente: \(M=\displaystyle\sum_i M_i=\displaystyle\sum_i F_{i\perp}\cdot h_i\)

Dabei werden linksdrehende Momente (gegen den Uhrzeigersinn) mit einem positiven Vorzeichen versehen. Dementsprechend rechtsdrehende (im Uhrzeigersinn) mit einem negativen Vorzeichen. Die Kraft \(F_1\) erzeugt daher ein positives und die Kraft \(F_3\) ein negatives Drehmoment.

Da das Drehmoment im Schwerpunkt S zu bestimmen ist, und die Kraft \(F_2\) im Schwerpunkt angreift, ist deren Hebelarm \(h_2=0\). Diese Kraft trägt also in diesem Punkt nichts zum Nettodrehmoment bei.

Mit der Vorzeichenkonvention ergibt sich:

\(M=\displaystyle\sum_i F_i\cdot h_i = F_{1\perp}\cdot h_1 - F_{2\perp} \cdot h_2 = F_1 \sin(\alpha)\cdot 1,25 - F_3\sin(\gamma)\cdot 1,25\)

\(M=-242\,Nm\)

Der Balken erfährt im Schwerpunkt also ein Drehmoment im Uhrzeigersinn.

Damit das System im Gleichgewicht ist, müssen Kräftegleichgewicht und Momentengleichgewicht erfüllt sein.

Das Lager in Punkt A ist das Festlager, in B das Loslager. Letzteres kann nur Kraftkomponenten senkrecht zur Lagerfläche aufnehmen, die Komponenten in x-Richtung sind daher alle 0. Für das Kräftegleichgewicht ergibt sich daher:

\(\displaystyle\sum_x F = F_{Ax} + \underbrace{F_x}_{=0} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad F_{Ax} = 0\)

\(\displaystyle\sum_y F = F_{Ay} + F_{By} - F_y = 0\)  bzw.

\(F_{Ay} + F_{By} = F_y\)

Da alle x-Komponenten 0 sind, wird weiters \(F_{Ay} = F_A\) und \(F_{By} = F_B\) geschrieben.

Momentengleichgewicht bezüglich Punkt A:

Wie in der Abbildung zu sehen, hat der Hebelarm der Kraft \(F\) die Länge \(l_1\) und der der Lagerkraft \(F_B\) die Länge \(l_1 + l_2\). Nach der üblichen Vorzeichenkonvention verursacht die Kraft \(F\) eine Drehung im Uhrzeigersinn, also ein negatives Drehmoment. Dementsprechend ist das Drehmoment der Kraft \(F_B\) positiv (gegen den Uhrzeigersinn drehend):

\(\displaystyle\sum_i M_i = F_B\cdot (l_1 + l_2) - F\cdot l_1 = 0\)

\(\Rightarrow \qquad F_B = \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2}\)

Eingesetzt in die Gleichung für das Kräftegleichgewicht:

\(F_A +F_ B = F_A + \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\)

\(\Rightarrow \qquad F_A = F - \frac{F\cdot l_1}{l_1 + l_2} = F\cdot\, \left( 1 - \frac{l_1}{l_1+l_2} \right) = 3.5\,kN \cdot\,\left( 1 - \frac{0.8\,m}{2.8\,m} \right) = 2.5\,kN\)

\(F_B = F-F_A = 3.5\,kN - 2.5\,kN = 1\,kN\)