Für eine diskrete eindimensionale Massenverteilung ist der Massenmittelpunkt definiert als:

\(S= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i}\)

Einsetzen der gegebenen Orte und Massen ergibt:

\( S = \frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{m_1+2\cdot m_2 + 3\cdot m_1 + 4\cdot 2\cdot m_1}{m_1+m_2+m_1+2\cdot m_1}\)\(\,=\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} = \frac{l}{2}=2,5\)

Diese Gleichung muss nun noch nach \(m_2\) umgeformt werden:

\(\frac{12m_1+2m_2}{4m_1 + m_2} =2,5 \qquad \qquad \qquad /\cdot (4m_1+m_2)\)

\(12m_1 +2m_2 = 10m_1+2,5m_2 \qquad \Rightarrow \qquad 0,5m_2 = 2m_1\)

\(m_2 = 4\cdot m_1\)

Es muss also die Masse \(m_2\) vier mal so groß sein wie die Masse \(m_1\)!

Da \(m_1=3\,kg\) ist \(m_2=12\,kg\).

Die Standsicherheit ist definiert als \(S = \frac{\mathrm{Standmoment}}{\mathrm{Kippmoment}} = \frac{M_S}{M_K}\).

Die Kippgrenze ist definiert als \(S=1\). Ist \(S\quad < \quad 1\), so überwiegt das Kippmoment und der Körper (in diesem Fall der Karatekämpfer) kippt um.

Das Standmoment wird von der Gewichtskraft des Kämpfers verursacht. Es berechnet sich als Produkt aus Gewichtskraft und deren Hebelarm bezüglich dem Kipppunkt A. Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand der Wirklinie einer einwirkenden Kraft zum Kipppunkt. In diesem Fall ist also der Hebelarm für die Gewichtskraft die Länge \(a = \frac{2}{3}\cdot c\) (Achtung: nicht \(c\)!) und das Standmoment

\(M_S = F_G \cdot a = F_G \cdot \frac{2\,c}{3}\).

Das Kippmoment wird von der Kraft \(F_K\) verursacht, mit der der gegner andrückt. Wiederum ist der Hebelarm der senkrechte Abstand der Wirklinie von \(F_K\) zum Kipppunkt A. In diesem Fall ist der Hebelarm der Kippkraft daher die Länge \(b = \frac{4\,c}{3}\) und das Kippmoment

\(M_K = F_K \cdot b = \frac{4\, F_K\cdot c}{3}\).

Eingesetzt in die Standsicherheit ergibt das:

\(S=\frac{M_S}{M_K} = \frac{F_G\cdot\frac{2}{3} \cancel{c}}{F_K\cdot \frac{4}{3}\cancel{c}} =\frac{F_G \cdot 2\cdot 3}{F_K\cdot 4 \cdot 3} = \frac{F_G}{2\; F_K}\)

\(S = 1 \qquad \Rightarrow \qquad F_G = 2\; F_K\)

Mit \(F_G = 900\,N\) folgt damit, dass \(F_K = \frac{900\,N}{2} = 450\,N\) sein muss.

Hinweis:

Selbstverständlich wäre es möglich gewesen, zunächst das Verhältnis \(\frac{a}{b} = \frac{\frac{2}{3}\cdot c}{\frac{4}{3}\cdot c} = \frac{1}{2} \qquad \Rightarrow \qquad b = 2\, a\) zu bestimmen und danach in die Standsicherheit einzusetzen.

Die Standsicherheit ist definiert als
\(S = \frac{M_S}{M_K} = \frac{\mathrm{Standmoment}}{\mathrm{Kippmoment}}\).

Das Standmoment wird von der Gewichtskraft des Körpers verursacht, das Kippmoment von der einwirkenden Kraft \(F\).

Die Hebelarme sind die senkrechten Abstände der Wirklinien der Kräfte zum Kipppunkt (A bzw. B). Also gilt für das Kippmoment in beiden Fällen, da sich die Höhe \(h_F\) nicht ändert:

\(M_K = F\cdot h_F\)

Die senkrechten Abstände der Gewichtskraft zum Kipppunkt ändern sich dagegen schon. Der Schwerpunkt (in dem die Gewichtskraft angreift) liegt zwar bei (a) niedriger, was in diesem Fall aber keine Rolle spielt, da nur der senkrechte Abstand der Wirklinie zum Kipppunkt zählt. Nach der Abbildung gilt daher:

\((a): \hspace{10pt} M_{S,\,a} = F_G \cdot h_a\)

\((b): \hspace{10pt} M_{S,\,b} = F_G \cdot h_b\)

Dabei gilt \(h_a \qquad \gt \qquad h_b\). Da das Standmoment damit bei (a) größer ist als bei (b) ist auch die Standsicherheit größer, wenn der Körper auf der längeren Seite aufliegt.

Die Standfestigkeit \(S\) ist definiert als: \(S = \frac{M_S}{M_K} = \frac{\mathrm{Standmoment}}{\mathrm{Kippmoment}}\)

Für \(S \qquad \gt \qquad 1\) steht der Körper sicher, bei \(S \qquad < \qquad 1\) kippt der Körper. Die Kippgrenze ist bei \(S = 1\). Es wird also diejenige Kraft \(F_K\) gesucht, bei der \(S = \frac{M_S}{M_K} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad M_S = M_K\) gilt.

Das Standmoment \(M_S\) ist das Drehmoment, das die Gewichtskraft \(G\), die im Schwerpunkt des Kastens angreift, bezüglich dem Kipppunkt \(A\) hat. In diesem Fall kann der Kipppunkt nur die linke untere Kante des Kastens sein (siehe Grafik unten).

Das Kippmoment ist das Drehmoment der Kippkraft \(F_K\) bezüglich des Kipppunkts \(A\).

Das Drehmoment ist definiert als: \(M = F\cdot h\)

mit dem Hebelarm \(h\) - dem senkrechten Abstand der Wirklinie der angreifenden Kraft \(F\) zum Drehpunkt (Drehachse).

Die Wirklinien und Hebelarme der Gewichtskraft sowie der Kippkraft sind in der Grafik abgebildet.

Wie zu sehen ist, ist der Hebelarm der Kippkraft die Höhe, in der die Kraft angreift, also \(h_F\). Der Hebelarm der Gewichtskraft ist \(\frac{b}{2}\), da sich der Schwerpunkt des Kastens in dessen Mittelpunkt befinden muss (wir gehen von einer homogenen Massenverteilung aus!).

Eingesetzt ergibt sich:

\(M_S = M_K\qquad \Rightarrow \qquad G \cdot \frac{b}{2} = F_K \cdot h_F = F_K \cdot 0,8\cdot h\)

\(F_K = \frac{G\cdot b}{2\cdot 0,8\cdot h} = \frac{1160\,N\cdot 1,05\,m}{1,6\cdot 1,75\,m} = 435\,N\)

Die zum Ankippen benötigte Kraft \(F\) bestimmen wir über die Standsicherheit \(S = \frac{\mathrm{Standmoment}}{\mathrm{Kippmoment}}=\frac{M_S}{M_K}\).

An der Kippgrenze halten sich Standmoment und Kippmoment die Waage und der Körper kippt gerade nicht um, dort gilt: \(S = 1 \qquad \Rightarrow \qquad M_S = M_K\).

Das Standmoment \(M_S\) wird durch die an der Mauer angreifende Gewichtskraft \(\vec F_G\) (im Bild gelb eingezeichnet) verursacht. Das Standmoment berechnet sich durch den Betrag der Gewichtskraft multipliziert mit deren Hebelarm - dem senkrechten Abstand der Kraft zum Kipppunkt A: \(M_S = F_G \cdot \frac{d}{2}\). Wie in der Abbildung zu sehen, hat der Hebelarm der Gewichtskraft die Länge \(\frac{d}{2}\).

Das Kippmoment wird durch die Seilkraft \(F\) verursacht. Auch hier berechnet sich das Moment durch das Produkt von Kraft und Hebelarm. Da allerdings die Kraft \(F\) nicht senkrecht auf die Mauer steht, muss zunächst die senkrechte Komponente \(F_{\perp}\) bestimmt werden. Wie in der Abbildung zu sehen ist, ist die senkrechte Kraftkomponente (im Bild rot eingezeichnet) \(F_{\perp} = \cos(\alpha) \cdot \,|\vec F|\). Der Hebelarm der senkrechten Komponente der Seilkraft ist die Höhe \(h\) der Mauer.

Damit ergibt sich das Kippmoment \(M_K = F_{\perp} \cdot h = \cos(\alpha) \cdot F \cdot h\).

Einsetzen in die Standfestigkeit ergibt (mit \(S = 1 \qquad \Rightarrow \qquad M_S = M_K\)):

\(F_G \cdot \frac{d}{2} = F \cdot \ \cos(\alpha) \cdot h \qquad \Rightarrow \qquad F = \frac{F_G\cdot d}{2h\cdot\ \cos(\alpha)}\)

\(F = \frac{18\,kN\cdot 0,4\,m}{2\cdot 2,2\,m\cdot\ \cos(25)} = 1,8\,kN\)

Die Gewichtskraft \(G_T\) des Tisches bewirkt ein Standmoment \(M_S\), die der sitzenden Person das Kippmoment \(M_K\). Sind beide gleich groß, so kippt der Tisch gerade nicht um und die Standfestigkeit ist \(S = \frac{M_S}{M_K} = 1\).

In der Abbildung sind die Gewichtskräfte und deren Wirklinien eingezeichnet. Die Hebelarme dieser Kräfte sind die Abstände zum Kipppunkt K, die senkrecht auf deren Wirklinien stehen. Der Hebelarm der Gewichtskraft \(G_T\) wird hier mit \(h_T\) und der Hebelarm der Gewichtskraft \(G_P\) mit \(h_P\) bezeichnet.

Die Länge \(h_T\) entspricht dabei dem halben Abstand der Tischbeine, also \(0.65\,m\).

Um den Abstand \(h_P\) zu bestimmen, muss zunächst der Überhang der Tischplatte über die Tischbeine berechnet werden, dieser beträgt auf beiden Seiten \(50\,cm = 0.5\,m\). Die gegebene Länge \(l_P = 20\,cm\) muss davon noch abgezogen werden, um den Hebelarm \(h_P\) zu erhalten: \(h_P = \frac{2.30\,m-1.30\,m}{2} - l_P = \frac{1}{2}\,m - 0.20\,m = 0.30\,m\)

(Anm.: Wie man sieht, kommt es dabei nicht auf die Höhe des Tisches an!)

Mit dem 2. Newton'schen Axiom lassen sich die Gewichtskräfte schreiben als: \(G = m\cdot g\), mit der Masse \(m\) und der Schwerebeschleunigung auf der Erde, \(g = 9.81\,\frac{m}{s^2}\).

Es ergibt sich also für die Standfestigkeit: \(S = \frac{M_S}{M_K} = \frac{G_T\cdot h_T}{G_P\cdot h_P} = \frac{m_T\cdot g\cdot 0.65}{80\,g \cdot 0.30}\), wobei \(m_T\) die gesuchte Masse des Tisches ist.

Mit der Bedingung, dass der Tisch nicht kippen soll, folgt \(S \,\geq \, 1\).

Für die Masse des Tisches gilt daher mindestens: \(\frac{m_T\cdot \cancel{g}\cdot 0.65}{80\,\cancel{g} \cdot 0.30} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad m_T = \frac{80\cdot0.30}{0.65}\)

\(m_T = 36.9\,kg \,\app\, 37\,kg\)

Da der Tisch symmetrisch ist, kann sich die Person auf die rechte oder linke Seite des Tisches setzen. In der Abbildung sitzt sie auf der rechten Seite. Dort sind die Wirklinien der Gewichtskräfte des Tisches und der Person, \(G_T\) und \(G_P\), eingezeichnet.

Aus Symmetriegründen muss die Wirklinie der Gewichtskraft \(G_T\) durch die Mitte des Tisches (Symmetrieachse) verlaufen.

Die Standsicherheit ist definiert als \(S = \frac{\mathrm{Standmoment}}{\mathr{Kippmoment}} = \frac{M_S}{M_K}\).

Das Standmoment \(M_S\) wird durch die Gewichtskraft des Tisches verursacht. Der Hebelarm (der senkrechte Abstand der Wirklinie der Gewichtskraft zum Kipppunkt K) ist die halbe Strecke zwischen den Tischbeinen (siehe Abbildung oben). Daher: \(M_S = G_T\cdot \frac{1.2\,m}{2} = m_T \cdot g \cdot 0.6\,m\), mit der Masse des Tisches \(m_T\) und der Erdbeschleunigung \(g\).

Das Kippmoment wird durch die Gewichtskraft \(G_P\) verursacht. Da der Hebelarm der senkrechte Abstand der Wirklinie zum Kipppunkt K ist, spielt die Höhe des Tisches keine Rolle! Der Hebelarm wird als \(h_P\) bezeichnet, es gilt: \(M_K = G_P\cdot h_P\).

Der Tisch fängt an der Kippgrenze an, zu kippen. Dort ist \(S= \frac{M_S}{M_K} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad M_S = M_K\). Und damit:

\(G_T \cdot 0.6 = G_P \cdot h_P\)

\(m_T\cdot \cancel{g} \cdot 0.6 = m_P\cdot \cancel{g} \cdot h_P\)

\(h_P = \frac{0.6\,m_T}{m_P} = \frac{0.6\cdot 30}{75} = 0.24\,m\)

Der Hebelarm (!) der Gewichtskraft \(G_P\) ist \(h_P = 24\,cm\). Um den gesuchten Abstand vom Rand des Tisches zu finden, muss diese Länge von der Strecke des Tisches abgezogen werden, die über die Tischbeine hinausragt. Diese Strecke ist \(\frac{2.4\,m - 1.2\,m}{2} = \frac{1.2\,m}{2} = 0.6\,m\) (es wird durch 2 dividiert, da an beiden Seiten der Tisch die Tischbeine jeweils um 60cm überragt).

Der gesuchte Abstand vom Rand ist daher: \(l_x = 0.60\,m - 0.24\,m = 0.36\,m = 36\,cm\)

Damit der Körper um den Kipppunkt A kippt, muss dort die Standfestigkeit \(S\,<\;1\) sein. An der Kippgrenze ist \(S=1\), Standmoment \(M_S\) und Kippmoment \(M_K\) halten sich die Waage. Die Standfestigkeit ist definiert als der Quotient aus Standmoment und Kippmoment:

\(S = \frac{M_S}{M_K}\)

Überwiegt das Kippmoment, so wird \(S\,<\;1\) und der Körper kippt.

Das Standmoment wird durch die im Schwerpunkt angreifende Schwerkraft verursacht. Dieses berechnet sich mit dem Hebelarm - dem senkrechten Abstand der Wirklinie der Kraft zum Kipppunkt A. Da es sich um einen würfelförmigen Körper handelt, ist der Hebelarm der Gewichtskraft \(\frac{l_0}{2}\) und damit: \(M_S = F_G\cdot \frac{l_0}{2}\).

Das Kippmoment wird durch die Kippkraft \(F_K\) verursacht. Der Hebelarm, der senkrechte Abstand zum Kipppunkt A, entspricht der Höhe, in der die Kraft angreift. Es gilt also: \(M_K = F_K \cdot y_{F_K}\).

Eingesetzt in die Standfestigkeit ergibt sich:

\(S = \frac{M_S}{M_K} = \frac{F_G\cdot \frac{l_0}{2}}{F_K \cdot y_{F_K}} = 1\)

\(\Rightarrow \qquad F_G\cdot \frac{l_0}{2} = F_K\cdot y_{F_K}\)

Wobei aber \(y_{F_K} \qquad < \qquad \frac{l_0}{2}\)gilt. Eingesetzt ergibt sich die Ungleichung \(F_G\cdot \frac{l_0}{2} = F_K\cdot y_{F_K} \qquad < \qquad F_K\cdot \frac{l_0}{2}\)

\(\Rightarrow \qquad F_G \cdot \cancel{\frac{l_0}{2}} \qquad < \qquad F_K \cdot \cancel{\frac{l_0}{2}}\) und damit \(F_K \qquad \gt \qquad F_G\).

Es ist daher möglich, dass der Körper um den Punkt A kippt, es muss aber die angreifende Kippkraft (abhängig von der jeweiligen Höhe, in der die Kraft angreift) größer als die Gewichtskraft des Würfels sein.

Wären beide Kräfte gleich groß, dann würde das Standmoment aufgrund des längeren Hebelarms dominieren und für die resultierende Standsicherheit gilt dann \(S\,>\;1\). Damit kommt es nicht zum Kippen. Nur wenn die Ungleichung \(F_K \qquad \gt \qquad F_G\) erfüllt ist, kann es zum Kippen kommen.