Lösungsweg
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Atwort 2 ist korrekt.
Die Bewegungsgleichung einer gedämpften Federschwingung sieht folgendermaßen aus: \(F_k \,\, = \,\, - \,\, k \,\, \cdot \,\, x \,\, - \,\, d \,\, \cdot \,\, v \,\,\)
Dabei ist \(F_k\) die rücktreibende Federkraft, \(k\) die Federkonstante, \(x\) die Auslenkung der Pendelkörpers, \(d\) der Dämpfungsfaktor, \(m\) die Masse des schwingenden Körpers und \(v\) die Geschwindigkeit des Pendelkörpers. Auslenkung, Geschwindigkeit und Kraft sind alle Funktionen der Zeit \(t\).
Diese Gleichung ist (wenn die jeweiligen Größen durch ihre Zeitableitungen ersetzt werden) eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung:
\(m \,\, \cdot \,\, \ddot{x} \,\, + \,\, d \,\, \cdot \,\, \dot{x} \,\, + \,\, k \,\, \cdot \,\, x \,\, = \,\, 0 \,\,\) (Dabei steht der Punkt über dem \(x\) für die Zeitableitung, 2 Punkte für die zweite Zeitableitung.)
Lösung dieser Differentialgleichung mit exponentiellem Ansatz liefert die Lösungsfunktion \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, \left(\frac{t}{t_L}\right)} \,\,cos \,(\, \omega_d \,\, t \,\,) \,\)
Die Lösung kann auch einfach in vielen Literaturwerken nachgelesen werden (Empfehlung: Giancoli)
\(t_L\) wird als die mittlere Schwingungsdauer des Systems definiert, sie gibt an wie lange das System schwingen kann, bis es zur Ruhe kommt.
\(A_0\) ist die maximale Amplitude zur Anfangszeit (bevor jegliche Dämpfung stattfindet).
\(\omega_d\) ist die Kreisfrequenz des gedämpften Schwingungsystems.
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Durch Einsetzen der Lösungsfunktion \(\,x\,(\,t\,) \,\) in die obige Differentialgleichung kommen wir auf bestimmte Bedingungen für \(\omega_d\) und \(t_L\):
\(\omega_d \,\, = \,\, \sqrt{\frac{k}{m} \,\, - \,\, \frac{d^2}{4 \,\, \cdot \,\, m^2}} \,\,\)
\(t_L\,\, = \,\, \frac{2 \,\, \cdot \,\, m}{d}\)
Wenn diese beiden Gleichungen gelten, dann ist die obige Funktion \(\,x\,(\,t\,) \,\) auch wirklich eine Lösung der Differentialgleichung.
Die letzte Gleichung für die mittlere Schwingungsdauer \(t_L\) ist für die Berechnung dieses Beispiels notwendig.
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Die Amplitude ist bei der gedämpften Schwingung keine Konstante mehr, sie nimmt mit der Zeit ab. Wir schreiben sie daher als eine Funktion der Zeit an: \(\,A\,(\,t\,) \,\)
Betrachten wir die Lösungsfunktion \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, \left(\frac{t}{t_L}\right)} \,\,cos \,(\, \omega_d \,\, t \,\,) \,\) dann sehen wir, dass die Amplitude \(\,A\,(\,t\,) \,\) der Term vor dem Kosinus ist. Die Amplitude steht bei der Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung immer vor dem Winkelterm.
Daher: \(\,A\,(\,t\,) \, \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, \left(\frac{t}{t_L}\right)}\)
Und mit der obigen Bedingung für die mittlere Schwingungsdauer \(t_L\): \(\,A\,(\,t\,) \, \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{ \,\, - \,\, \left(\frac{t \,\, \cdot \,\, d}{2 \,\, \cdot \,\, m}\right)} \,\,\)
Nach der Zeit \(t_x\) lautet die Gleichung: \(\,A\,(\,t_x\,) \, \,\, = \,\, \frac{1}{8} \,\, A_0 \,\,= \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{ \,\, - \,\, \left(\frac{t_x \,\, \cdot \,\, d}{2 \,\, \cdot \,\, m}\right)} \,\,\)
Die obige Gleichung muss nun nach \(t_x\) gelöst werden.
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Zuerst werden auf beiden Seiten einfacherweise die Anfangsamplituden \(A_0\) weggekürzt:
\( \,\, \frac{1}{8} \,\, = \,\, e^{ \,\, - \,\, \left(\frac{t_x \,\, \cdot \,\, d}{2 \,\, \cdot \,\, m}\right)} \,\,\)
Bei Gleichungen, bei denen die unbekannte Größe im Exponenten steht, muss der Logarithmus verwendet werden. Üblicherweise verwendet man den natürlichen Logarithmus (\(ln\)).
Der natürliche Logarithmus kürzt sich mit der Exponentialbasis \(e\):
\( ln (\,\, \frac{1}{8} \,\,) \,\, = \,\, - \,\, t_x \,\, \cdot \,\, \frac{d}{2 \,\, \cdot \,\, m}\)
\( ln\,(\,1\,) \,\, - \,\, ln\,(\,8\,) \,\, = \,\, - \,\, t_x \,\, \cdot \,\, \frac{d}{2 \,\, \cdot \,\, m}\)
Der natürliche Logarithmus von 1 ist gleich 0 (\(e^0 \, = \, 1\))
\(t_x \,\, = \,\, \frac{ \,\, ln\,(\,8\,) \,\, \cdot \,\, 2 \, \cdot \, m \,\,}{d}\)
Jetzt können die Masse des schwingenden Körpers \(m\) und die Dämpfungskonstante \(d\) eingesetzt werden. Die Federkonstante aus der Angabe wird bei dieser Rechnung nicht gebraucht.
\(t_x \,\, = \,\, \frac{ \,\, ln\,(\,8\,) \,\, \cdot \,\, 2 \, \cdot \, 50 \, kg \, \,\,}{70 \, \frac{kg}{s} \,} \,\, \approx \,\, 2.97 \, s \,\)
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