Antwort 3 ist korrekt.

Jedes Atom hat im Kern Protonen (positiv geladen) und auf den Schalen Elektronen (negativ geladen). Wenn die Anzahl der Protonen gleich der Anzahl der Elektronen ist, dann ist das Atom nach außen hin neutral.

Atome können in verschiedenen Situationen Elektronen dazu erhalten aber auch verlieren. Ein typisches Beispiel ist die Ionenbindung von 2 Atomen. In dieser gibt ein Atom Elektronen an das andere ab. 

Wenn ein Atom Elektronen verliert, dann hat es mehr Protonen als Elektronen (im Normalzustand hat es ja immer die selbe Anzahl Protonen und Elektronen). Es hat einen Elektronenmangel und ist damit nach außen hin positiv geladen.

Wenn ein Atom Elektronen dazugewinnt, dann hat es nun mehr Elektronen als Protonen. Es hat einen Elektronenüberschuss und ist damit nach außen hin negativ geladen.

Genaugenommen wird hier nicht mehr von "Atomen" gesprochen, sondern von "Ionen", also geladenen Teilchen.

Antworten 1 & 4 sind korrekt!

Das erzeugte elektrische Feld \(\vec{E}\) einer Ladung \(q\) ist definiert als \(\vec{E} = \frac{\vec{F_{C}}}{q_{p}}\).

Hierbei ist \(\vec{F_{C}}\) die wirkende Coulomb-Kraft zwischen der Ladung \(q\) und einer Probeladung \(q_{p}\). 

Da das elektrische Feld immer eine Richtung besitzt, wird dieses auch als Vektor angeschrieben. 

Wenn man die Formel der Coulomb-Kraft in die obige Formel einsetzt, kommt man auf die Gleichung:

\(\vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \vec{e_r}\)

Hierbei ist \(\vec{e_{r}}\) der Einheitsvektor und gibt die Richtung des \(\vec{E}\) - Feldes an.

Die Feldlinien des elektrischen Feldes werden immer in Richtung positiver Ladung \(\rightarrow\) negative Ladung gezeichnet (dies entspricht der technischen Stromrichtung).

Anhand der obigen Formel sieht man, dass eine stärkere Ladung \(q\) bedeutet, dass das resultierende \(\vec{E}\) ebenso stärker wird.

Die Feldlinien schneiden sich nie. Sie sind immer geradlinig und radial von der erzeugenden Ladung. Sie können entweder zur erzeugenden Ladung oder von ihr weg zeigen.

Ebenso erzeugen sowohl ruhende als aus bewegende Ladungen ein elektrisches Feld. Der Unterschied bei bewegenden Ladungen ist, dass diese im Gegensatz zu ruhenden Ladungen zusätzlich auch ein magnetisches Feld erzeugen.

Die Ladungsdichte \(\rho\) beschreibt die Verteilung der elektrischen Ladung im Raum. Ähnlich wie bei der Massendichte gibt sie an, wie viel Ladung pro Volumen vorhanden ist. Wird über das gesamte betreffende Volumen integriert, so ergibt sich die Gesamtladung \(Q\) der Kugel:

\(\rho ={\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V\)

In diesem Fall bieten sich Kugelkoordinaten \(r,\, \theta,\,\varphi\) an. Dabei sind \(r\) der Radius, \(\theta\) der "Polarwinkel" (Winkel zur z-Achse) und \(\varphi\) der "Azimutwinkel" (Winkel in x-y-Ebene). Durch Angabe dieser drei Koordinaten lassen sich - ebenso wie in den kartesischen Koordinaten x,y und z - Punkte im Raum festlegen. Gerade für radialsymmetrische Probleme (Kugeln, Kreise, Zylinder, ...) sind Kugelkoordinaten wesentlich einfacher.

\(x = r\cdot \,\sin(\theta)\cos(\varphi)\)

\(y= r\cdot \,\sin(\theta)\sin(\varphi)\)

\(z= r\cdot \,\cos(\theta)\)

Damit ergibt sich das Volumenelement (die Herleitung muss nicht gemacht werden, aber das Resultat sollte man sich merken): \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = r^2\,\sin(\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\)

\(Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho(r,\theta,\varphi)\,r^2\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\)

Um die gesuchte Größe A zu erhalten, muss also dieser Zusammenhang zwischen Ladungsverteilung und Gesamtladung Q der Kugel genutzt werden:

\(Q= \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R} A\cdot \left( \frac{r}{R}\right)^2\,r^2\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi = \)\(\quad\quad\frac{A}{R^2}\,\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R} r^4\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi = \)

\(= \frac{A}{R^2}\,\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{R^5}{5}\sin(\theta)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = \)

\(= \frac{A\,R^5}{5\,R^2} \cdot 2\pi \cdot\left.\left[-\cos(\theta) + \cos(\theta) \right]\right|_{\theta=0}^{\pi} = \frac{A\,R^3\cdot 4\pi}{5}\)

\(Q = \frac{4\pi A\,R^3}{5} \quad \Rightarrow \quad A = \frac{5\,Q}{4\pi\,R^3}\)

Eine homogen geladene Kugel besitzt (wie der Name andeutet) eine homogene Ladungsverteilung. Die gesamte Ladungsmenge \(Q\) ist gleichförmig in der Kugel vereilt. 

Das bedeutet, dass dessen Ladungsdichte \(\rho\) überall in der Kugel konstant ist.

Die Ladungsdichte \(\rho\) kann daher definiert werden als \(\rho \,\, = \,\, \frac{Q}{V}\), wobei V das Volumen der Kugel ist, also \(V \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3\). Hierbei ist \(R\) der Radius der Kugel.

Daher ist die GesamtLadung \(Q \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3 \,\, \cdot \,\, \rho\) 

Antwort 3 ist korrekt.

2 Punktförmige Ladungen üben aufeinander die Coulombkraft \(\begin{equation} F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^2} \end{equation}\) aus.

Der Abstand \(r\) ist gesucht daher muss die obige Formel nach \(r\) umgeformt werden.

\(r \,\, = \,\, \sqrt{\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,}}\)

Zum Finden der richtigen Antwort ist es hilfreich, alle eingesetzen Werte mit deren SI-Einheiten anzugeben. Daher verwendet man für die Einheit der Kraft \(\,\, kg \cdot \,\, \frac{m}{s^2}\) statt \(N\), für die Einheit der Ladung \(\,\, A \,\, \cdot \,\, s\) statt \(C\) und für die Einheit der elektrischen

Feldkonstante \(\frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\).

Damit muss für den Abstand \(r\) ein Wert in der Einheit \(m\) rauskommen, andernfalls hat man falsch umgeformt.

Die beiden Ladungen \(q_{1}\) und \(q_{2}\) sowie die Kraft \(F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,}\) sind vorgegeben. Die Kraft ist in \(f N\) angegeben, wobei \(f\) für Femto steht und  \(1 \,\, fN \,\, = \,\, 1 \,\, \cdot 10^{-15} \,\, N\).

\(\epsilon_{0}\)  ist die elektrische Feldkonstante und diese besitzt immer den Wert  \(\epsilon_{0} \,\, = \,\, 8.9 \cdot 10^{-12} \,\, \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\)

Setzt man alles ein, kommt für den Abstand der Wert \(r \,\, = \,\, 0.000014 \,\, m \,\, = \,\, 0.014 \,\, mm = \,\, 14\,\mu m\) raus.

Antwort 4 ist korrekt.

Die erste Maxwellgleichung der Elektrostatik in differentieller Form lautet:

\(\nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, = \,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

Hierbei ist \(\rho\) die Ladungsdichte, \(\epsilon_{0}\) die elektrische Feldkonstante. Die Divergenz eines Vektorfeldes (hier das \(\vec{E}\)-Feld) wird als Quelldichte oder Quellstärke interpretiert. Hier ist also die Quelldichte des \(\vec{E}\)-Feldes direkt proportional zur Ladungsdichte. Eine höhere Ladungsdichte bedeutet eine höhere Quellstärke des \(\vec{E}\)-Feldes.

Auf beiden Seiten der Gleichung wird das Volumsintegral angewandt.

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\, \nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \,\, \,\, dV \ \,\,\)

Für die rechte Seite der Gleichung gilt:

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

Das Volumsintegral über die Ladungsdichte \(\rho\) der Kugel ist gleich der Gesamtladung \(Q\), welche in der Kugel enthalten ist.

Auf der linke Seite der Gleichung wird der Gauß'sche Integralsatz angewandt.

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\, \nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\, \cdot \,\, \vec{df}\)

Der Gaußsche Integralsatz besagt, dass das Volumsintegral der Divergenz eines Vektorfelds über ein gewisses Volumen \(V\)gleich dem Oberflächenintegral über die geschlossene Fläche \(A\) dieses Volumens ist. Der Flächenvektor \(\vec{df}\) steht orthogonal zum unendlich kleinen Flächenstück \(df\) der Oberfläche \(A\).  Man interpretiert physikalisch das Oberflächenintegral eines bestimmten Vektorfelds über eine Oberfläche als den Fluss dieses Vektorfelds, welcher durch diese Fläche ein- oder austritt.

Somist haben wir die Gleichung:

\(\,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\,\cdot \,\, \vec{df} \ \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

Der Fluss des \(\vec{E}\)-Feldes durch die geschlossene Oberfläche \(A\) ist gleich der Gesamtladung \(Q\) in der Kugel (dividiert durch die elektrische Feldkonstante).

Eine stärkere Ladung bedeutet also einen stärkerer Fluss des elektrischen Feldes.

Das \(\vec{E}\)-Feld hängt nur von dem radialen Abstand \(r\) vom Mittelpunkt ab und steht daher orthogonal auf jedem unendlich kleinen Flächenstück \(df\) der Oberfläche A. Der Flächenvektor \(\vec{df}\)ist orthogonal auf dem Flächenstück \(df\). Daher sind die Feldvektoren des \(\vec{E}\)-Feldes parallel zu den Flächenvektoren \(\vec{df}\) der Oberfläche. Wenn 2 Vektoren parallel sind, dann kann bei der Berechnung des Skalarprodukts deren Richtung weggelassen und nur mit dessen Beträgen gerechnet werden (Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren der beiden Vektoren ergibt 1).

\(\,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\, \cdot\,\, \vec{df} \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, E \,\, \,\, df \ \,\,\)

Beim Oberflächenintegral einer Kugel ist der Radius \(R\) konstant und man integriert über die sphärischen Winkel. Da das \(\vec{E}\)-Feld aber nur vom radialen Abstand \(r\) abhängt, kann es vor das Integral gezogen werden weil das Integral nur über die spärischen Winkel berechnet wird.

\( E \,\, \cdot \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, df \ \,\,\)

Für ein Integral über eine Kugel müsste man Kugelkoordinaten einführen. Man weiß aber, dass die Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r\) gleich \(4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, r^2\) ist. Hier ist wichtig zu betonen, dass wir das elektrische Feld außerhalb der Kugel betrachten. Wir schauen uns also eine imaginäre Kugel mit Radius \(r\) an, welche größer als die eigentliche Kugel mit Radius \(R\) ist (wie in der beistehenden Skizze dargestellt).

Jetzt sieht unsere Gleichung folgendermaßen aus:

\(\,\, E \,\, \cdot \,\, 4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, r^2 \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}} \,\,\)

Daher gilt für den Betrag des elektrischen Felds \(\vec{E}\) außerhalb der Kugel:

\(\,\, E(r) \,\, = \,\, \frac{1}{4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, \epsilon_{0}} \,\, \cdot \,\, \frac{Q}{r^2}\)

Das ist aber genau die Form des \(\vec{E}\)-Felds eines punktförmigen Ladung \(Q\). Das elektrische Feld außerhalb einer homogen geladenen Kugel ist gleich wie das elektrische Feld einer Punktladung.

Antwort 1 ist korrekt.

Wird eine äußere Ladung in die Näher der homogen geladenen Metallkugel gebracht, so findet das Phänomen der Influenz statt. Die bislang gleichmäßige Verteilung der freien Elektronen innerhalb der Kugel wird, durch das von der äußeren negativen Ladung erzeugte elektrische Feld verändert. Auf die freien Elektronen in der Kugel wirkt durch das äußere elektrische Feld eine Kraft.

Da die äußere Ladung negativ ist, werden die freien Elektronen (welche negativ geladen sind) auf die rechte Kugelseite gedrängt (negative Ladungen stoßen sich gegenseitig ab). Es entsteht auf der rechten Kugelseite durch den Elektronenüberschuss eine negativ geladene Zone. Auf der linken Kugelseite entsteht durch den Elektronenmangel eine positive geladene Zone.

Diese Umverteilung hält solange an, solange sich die äußere negative Ladung in der Nähe der Kugel befindet.

Würde man die Kugel in der Mitte spalten, hätte man tatsächlich 2 Kugelhälften welche beide unterschiedlich geladen sind.

Antwort 1 ist korrekt.

Das Konzept der Punktladung ist eine Idealisierung und Vereinfachung in der Elektrostatik. Jeder Körper mit einer Ladung ist auch massebehaftet und besitzt daher eine - wenn manchmal auch sehr kleine - räumliche Ausdehnung.

Das Konzept ist ähnlich zur Kinematik in der klassischen Physik, wo die Bewegung von Massenpunkten betrachtet wird und nicht die von Körpern mit gewisser Ausdehnung. Man stellt sich vereinfacht vor, dass geladene Körper ihre Gesamtladung \(Q\) in genau einem Punkt konzentriert besitzen (meistens im Schwerpunkt des Körpers).

Dadurch vereinfachen sich die Berechnungen von Coulombkräften und man kann z.B. die Coulombkraft zwischen 2 Körpern bei Abständen \(r\) die gegen 0 gehen betrachten, weil man die Ausdehnung der Körper vernachlässigt.

Es ist daher auch wichtig zu überlegen, dass die berechneten Coulombkräfte immer diese Idealisierung miteinbeziehen und in der Realität die Coulombkraft zwischen 2 Körpern etwas anders ist als die, welche man durch die Formel der Coulombkraft berechnet. Gerade bei kugelförmigen kleinen Körpern (oder von denen wir davon ausgehen, dass sie kugelförmig sind) ist dies aber eine gute Näherung.