Die Ladungsdichte \(\rho\) beschreibt die Verteilung der elektrischen Ladung im Raum. Ähnlich wie bei der Massendichte gibt sie an, wie viel Ladung pro Volumen vorhanden ist. Wird über das gesamte betreffende Volumen integriert, so ergibt sich die gesuchte Ladung \(Q\):

\(\rho ={\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V\)

Beim Volumenintegral wird über die drei Raumdimensionen x, y und z integriert. Es wird auch oft mit \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}^3r \) notiert, in kartesischen Koordinaten also \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\). Mit der ortsabhängigen Ladungsdichte ergibt sich:

\(Q = \int\limits_V \rho\,\mathrm{d}V = \displaystyle\int\limits_{z}\int\limits_{y}\int\limits_{x}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

Die Grenzen der Integrale ergeben sich durch die Kanten des Quaders. Da sich eine Ecke des Quaders im Ursprung befindet und der Raum nur in Richtung positiver Koordinatenachsen ausgefüllt wird, liegen die unteren Integrationsgrenzen jeweils im Ursprung, die oberen Grenzen entsprechen den Kantenlängen des Quaders:

\(Q = \displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

(Anmerkung: üblicherweise werden mehrfach-Integrale so notiert, dass die Integralzeichen von innen nach außen mit den entsprechenden Differentialen zusammenpassen. Hier steht etwa das Integral über x ganz innen.)

\(Q = \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}3x^2 + 2yz - 4xz\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\left. \frac{3x^3}{3} + 2xyz - \frac{4x^2z}{2}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\left. \left. x^3y + \frac{2xy^2z}{2} - 2x^2yz\,\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\)

\(=\rho_0\;\left. \left . \left. \left( x^3yz + \frac{xy^2z^2}{2} - x^2yz^2\right)\,\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\right|_{z=0}^{3}\)

\(Q = \left(2^3\cdot 5\cdot 3 + \frac{\cancel{2}\cdot 25\cdot 9}{\cancel{2}} - 4\cdot 5\cdot 9\right)\cdot \rho_0 = \left(120 + 5\cdot 9 \right)\cdot \rho_0 = 165\,\rho_0\)

Antwort 3 ist korrekt!

Im Grundzustand ist ein Atom nach außen hin neutral. Es besitzt die selbe Anzahl an Protonen wie auch Elektronen.

Nach einer chemischen Reaktion oder einem physikalischen Prozess wie der Bestrahlung mit einem Laser können Außenelektronen das Atom verlassen.

Dann ist die Anzahl der Elektronen des Atoms ungleich der Anzahl an Protonen \(\rightarrow\) Es besitzt nun nach außen hin eine elektrische Ladung Q.

Diese Ladung lässt sich durch die Anzahl der Ladungsträger bestimmen welche zu dieser Ladung beitragen. Verliert ein Atom beispielsweise 3 Außenelektronen, so besitzt es 3 Protonen mehr als Elektronen. Daher ist dessen Gesamtladung gegeben durch diese 3 Protonen.

Im Allgemeinen gilt: \(Q \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, e_{0}\)

Hierbei ist \(e_0 \,\, = \,\, 1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19} \,\, C\) die Elementarladung.

Um nun die Anzahl der relevanten Ladungsträger zu bestimmen muss die obige Gleichung nach n umgeformt werden.

\(n \,\, = \,\, \frac{Q}{e_0} \,\, = \,\, \frac{3 \,\, C}{1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19}\,\, C} \,\, = \,\, 1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19}\)

Insgesamt tragen also \(1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19} \,\,\) Protonen dazu bei, dass das Atom eine äußere Ladung von \(3 \,\, C\) besitzt.

Das Coloumb-Gesetz für 2 geladene Körper lautet: \(\begin{equation} F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^2} \end{equation}\)

Hierbei ist \(\epsilon_{0}\) die elektrsiche Feldkonstante und diese beträgt \(8.9 \cdot 10^{-12} \,\, \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\). 

\(r\) ist die Entfernung zwischen den beiden Körpern und beträgt \(r = 2 \cdot 10^{-3} m\). 

 \(q_{1}\) und \(q_{2}\) sind die Ladungen welche die beiden Körper besitzen.

Die Elementarladung beträgt \(e_{0}\) \(= 1.6 \cdot 10^{-19} \,\, A \cdot s\). Ein Elektron besitzt die Ladung \(q_{ele} = -e_{0}\).

Beide Körper sind Elektronen und daher \(q_{1} = q_{2} = q_{ele}\).

Nun kann alles in die Coulomb-Gleichung eingesetzt werden.

\(F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{(-1.6 \cdot 10^{-19} A\cdot s) \,\, \cdot \,\,(-1.6 \cdot 10^{-19} A\cdot s)}{(2\cdot 10^{-3} \, m)^2}\)

Das Ergebnis beträgt \(F_{C} = 5.7 \cdot 10^{-23} N\). \(\vspace{0.3cm}\)

Die Coulomb-Kraft hat (wie jede Kraft) die Einheit Newton (Abkürzung N). Bei Rechnungen in der Physik ist es immer gut zu überprüfen, ob auch die richtige Einheit rauskommt. Es ist daher hilfreich, alle Größen zuerst durch SI-Einheiten auszudrücken, bevor man diese einsetzt und anschließend die Einheit berechnet.

\(\frac{kg \cdot m^{3}}{A^2 \cdot s^4} \cdot \frac{A^2 \cdot s^2}{m^2} = kg \cdot \frac{m}{s^2} = N\)

Wir erhalten Newton als Einheit und das entspricht den Erwartungen.

Damit Kugel B im Gleichgewicht ist und weder nach links (zu Kugel A), noch nach rechts (zu Kugel C) angezogen wird, müssen sich die Coulomb-Kräfte \(F_{C}\) zwischen Kugel A und B, sowie zwischen B und C ausgleichen.

Daher: \(F_{C, \,\, A \,\,- \,\, B} \,\, = \,\, F_{C, \,\, B \,\,- \,\, C}\)

Wie bei allen Beispielen zur Coulomb-Kraft, nähert man die geladenen Körper als Punktladungen an. Dessen gesamte Ladung ist genau in einem Punkt konzentriert, bei Kugeln in deren Schwerpunkt, welcher deren Mittelpunkt entspricht. Daher betrachten wir eigentlich nur die Abstände zwischen diesen Punkten und ignorieren die Ausdehnung der Kugeln.

Wir haben daher:

\(\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{A} \cdot q_{B}}{r^2} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{B} \cdot q_{C}}{x^2}\)

Der Faktor \(\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}}\) und die unbekannte Ladung \(q_{B}\) kommen auf beiden Seiten der Gleichung vor. Daher kann man diese aus der Gleichung herauskürzen.

Die Gleichung reduziert sich also zu \(\frac{q_{A}}{r^2} = \frac{q_{C}}{x^2}\)

Jetzt kann nach dem unbekannten Abstand x umgeformt werden.

\(x = \sqrt{\frac{q_{C} \cdot r^2}{q_{A}}}\)

\(r\) kann hier auch aus der Wurzel rausgezogen werden, daher: 

\(x = r \cdot \sqrt{\frac{q_{C}}{q_{A}}}\)

Sowohl \(r\), \(q_{C}\) und \(q_{A}\) sind bekannt und können jetzt in die Gleichung eingesetzt werden.

Der Abstand zwischen Kugel B und Kugel C beträgt \(x = 0.134 m\).

Hier wurde auf die 3. Kommastelle gerundet.

Weitere Eklärung:

Vergleicht man die beiden Abstände \(r\) und \(x\) sieht man, dass \(x\) mehr als doppelt so groß wie \(r\) ist. Dies ist damit zu erklären, dass die Kugel C eine größere Ladung als Kugel A besitzt. Ein höherer Ladungswert bedeutet eine stärkere Kraftwirkung. Kugel C besitzt eine größere Ladung als Kugel A und somit muss der Abstand \(x\) zwischen Kugel B und Kugel C größer sein, um die selbe Kraftwirkung zwischen Kugel A und Kugel B zu erzielen.

(Genauso verhält es sich bei der Gravitation. Bei der Gravitation hängt die Kraftwirkung von der Masse ab und daher wird der Mensch von der Erde angezogen und nicht umgekehrt.)

Im ursprünglichen Zustand (ohne eine chemische Bindung einzugehen) besitzt jedes Atom die selbe Anzahl an Elektronen und Protonen. Es ist daher nach außen hin elektrisch neutral.

\(Ca\) gibt nach der Bindung mit 2 \(Cl\)-Atomen 2 Elektronen ab. Es hat daher jetzt um 2 Protonen mehr als Elektronen daher  \( \rightarrow Ca^{2+}\)

(Die beiden \(Cl\)-Atome nehmen beide jeweils ein Elektron auf, daher \(2 Cl^{-}\))

Nach außen hin hat das \(Ca\)-Atom also eine Ladung \(q\), die der Ladung dieser 2 zusätzlichen Protonen entspricht.

1 Proton hat die Ladung \(q_{proton} = e_{0}\) wobei \(e_{0}\) die Elementarladung ist und beträgt \(e_{0} = 1.6 \cdot 10^{-19} A\cdot s\).

Die Ladung eines Elektrons ist definitionsgemäß \(q_{elektron} = -e_{0}\), es ist also negativ geladen.

Daher gilt für die Ladung \(q\) des  \(Ca^{2+}\)-Ions \(q = 2 \cdot q_{proton}\)

\(q = 2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} A \cdot s = 3.2 \cdot 10^{-19} A\cdot s\)

Die Ladung des \(Ca\) in der Ionenbindung mit \(Cl\) beträgt \(3.2 \cdot 10^{-19}\,C\).

Antwort 2 ist korrekt!

Die Feldvektoren des elektrischen Feldes \(\vec{E}\) zeigen immer in Richtung: positive Ladung \(\rightarrow\) negative Ladung. 

Wenn ein Körper mit der Ladung \(Q\) in dieses Feld gelangt, dann erfährt es durch das \(\vec{E}\)-Feld eine Kraft. Geht diese Kraftwirkung entlang der Richtung des Feldes, dann muss die Ladung, welche dieser Körper trägt, positiv sein. Positive Ladungen stoßen sich gegenseitig ab.

Bewegt sich der geladene Körper aufgrund der Krafteinwirkung entgegen der Richtung der Feldvektoren (also hier nach links), dann muss die Ladung des Körpers negativ sein. Denn negative und positive Ladungen ziehen sich gegenseitig an.

In der beliegenden Skizze muss die Ladung \(Q\) des Körpers positiv sein, damit dieser vom \(\vec{E}\)-Feld nach rechts abgestoßen wird.

Antwort 1 ist korrekt.

Wird eine äußere Ladung in die Näher der homogen geladenen Metallkugel gebracht, so findet das Phänomen der Influenz statt. Die bislang gleichmäßige Verteilung der freien Elektronen innerhalb der Kugel wird, durch das von der äußeren negativen Ladung erzeugte elektrische Feld verändert. Auf die freien Elektronen in der Kugel wirkt durch das äußere elektrische Feld eine Kraft.

Da die äußere Ladung negativ ist, werden die freien Elektronen (welche negativ geladen sind) auf die rechte Kugelseite gedrängt (negative Ladungen stoßen sich gegenseitig ab). Es entsteht auf der rechten Kugelseite durch den Elektronenüberschuss eine negativ geladene Zone. Auf der linken Kugelseite entsteht durch den Elektronenmangel eine positive geladene Zone.

Diese Umverteilung hält solange an, solange sich die äußere negative Ladung in der Nähe der Kugel befindet.

Würde man die Kugel in der Mitte spalten, hätte man tatsächlich 2 Kugelhälften welche beide unterschiedlich geladen sind.

Antworten 1 & 4 sind korrekt!

Das erzeugte elektrische Feld \(\vec{E}\) einer Ladung \(q\) ist definiert als \(\vec{E} = \frac{\vec{F_{C}}}{q_{p}}\).

Hierbei ist \(\vec{F_{C}}\) die wirkende Coulomb-Kraft zwischen der Ladung \(q\) und einer Probeladung \(q_{p}\). 

Da das elektrische Feld immer eine Richtung besitzt, wird dieses auch als Vektor angeschrieben. 

Wenn man die Formel der Coulomb-Kraft in die obige Formel einsetzt, kommt man auf die Gleichung:

\(\vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \vec{e_r}\)

Hierbei ist \(\vec{e_{r}}\) der Einheitsvektor und gibt die Richtung des \(\vec{E}\) - Feldes an.

Die Feldlinien des elektrischen Feldes werden immer in Richtung positiver Ladung \(\rightarrow\) negative Ladung gezeichnet (dies entspricht der technischen Stromrichtung).

Anhand der obigen Formel sieht man, dass eine stärkere Ladung \(q\) bedeutet, dass das resultierende \(\vec{E}\) ebenso stärker wird.

Die Feldlinien schneiden sich nie. Sie sind immer geradlinig und radial von der erzeugenden Ladung. Sie können entweder zur erzeugenden Ladung oder von ihr weg zeigen.

Ebenso erzeugen sowohl ruhende als aus bewegende Ladungen ein elektrisches Feld. Der Unterschied bei bewegenden Ladungen ist, dass diese im Gegensatz zu ruhenden Ladungen zusätzlich auch ein magnetisches Feld erzeugen.