Antwort 1 ist korrekt.

Wird eine äußere Ladung in die Näher der homogen geladenen Metallkugel gebracht, so findet das Phänomen der Influenz statt. Die bislang gleichmäßige Verteilung der freien Elektronen innerhalb der Kugel wird, durch das von der äußeren negativen Ladung erzeugte elektrische Feld verändert. Auf die freien Elektronen in der Kugel wirkt durch das äußere elektrische Feld eine Kraft.

Da die äußere Ladung negativ ist, werden die freien Elektronen (welche negativ geladen sind) auf die rechte Kugelseite gedrängt (negative Ladungen stoßen sich gegenseitig ab). Es entsteht auf der rechten Kugelseite durch den Elektronenüberschuss eine negativ geladene Zone. Auf der linken Kugelseite entsteht durch den Elektronenmangel eine positive geladene Zone.

Diese Umverteilung hält solange an, solange sich die äußere negative Ladung in der Nähe der Kugel befindet.

Würde man die Kugel in der Mitte spalten, hätte man tatsächlich 2 Kugelhälften welche beide unterschiedlich geladen sind.

Antworten 1 & 4 sind korrekt!

Das erzeugte elektrische Feld \(\vec{E}\) einer Ladung \(q\) ist definiert als \(\vec{E} = \frac{\vec{F_{C}}}{q_{p}}\).

Hierbei ist \(\vec{F_{C}}\) die wirkende Coulomb-Kraft zwischen der Ladung \(q\) und einer Probeladung \(q_{p}\). 

Da das elektrische Feld immer eine Richtung besitzt, wird dieses auch als Vektor angeschrieben. 

Wenn man die Formel der Coulomb-Kraft in die obige Formel einsetzt, kommt man auf die Gleichung:

\(\vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \vec{e_r}\)

Hierbei ist \(\vec{e_{r}}\) der Einheitsvektor und gibt die Richtung des \(\vec{E}\) - Feldes an.

Die Feldlinien des elektrischen Feldes werden immer in Richtung positiver Ladung \(\rightarrow\) negative Ladung gezeichnet (dies entspricht der technischen Stromrichtung).

Anhand der obigen Formel sieht man, dass eine stärkere Ladung \(q\) bedeutet, dass das resultierende \(\vec{E}\) ebenso stärker wird.

Die Feldlinien schneiden sich nie. Sie sind immer geradlinig und radial von der erzeugenden Ladung. Sie können entweder zur erzeugenden Ladung oder von ihr weg zeigen.

Ebenso erzeugen sowohl ruhende als aus bewegende Ladungen ein elektrisches Feld. Der Unterschied bei bewegenden Ladungen ist, dass diese im Gegensatz zu ruhenden Ladungen zusätzlich auch ein magnetisches Feld erzeugen.

Das Coloumb-Gesetz für 2 geladene Körper lautet: \(\begin{equation} F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^2} \end{equation}\)

Hierbei ist \(\epsilon_{0}\) die elektrsiche Feldkonstante und diese beträgt \(8.9 \cdot 10^{-12} \,\, \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\). 

\(r\) ist die Entfernung zwischen den beiden Körpern und beträgt \(r = 2 \cdot 10^{-3} m\). 

 \(q_{1}\) und \(q_{2}\) sind die Ladungen welche die beiden Körper besitzen.

Die Elementarladung beträgt \(e_{0}\) \(= 1.6 \cdot 10^{-19} \,\, A \cdot s\). Ein Elektron besitzt die Ladung \(q_{ele} = -e_{0}\).

Beide Körper sind Elektronen und daher \(q_{1} = q_{2} = q_{ele}\).

Nun kann alles in die Coulomb-Gleichung eingesetzt werden.

\(F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{(-1.6 \cdot 10^{-19} A\cdot s) \,\, \cdot \,\,(-1.6 \cdot 10^{-19} A\cdot s)}{(2\cdot 10^{-3} \, m)^2}\)

Das Ergebnis beträgt \(F_{C} = 5.7 \cdot 10^{-23} N\). \(\vspace{0.3cm}\)

Die Coulomb-Kraft hat (wie jede Kraft) die Einheit Newton (Abkürzung N). Bei Rechnungen in der Physik ist es immer gut zu überprüfen, ob auch die richtige Einheit rauskommt. Es ist daher hilfreich, alle Größen zuerst durch SI-Einheiten auszudrücken, bevor man diese einsetzt und anschließend die Einheit berechnet.

\(\frac{kg \cdot m^{3}}{A^2 \cdot s^4} \cdot \frac{A^2 \cdot s^2}{m^2} = kg \cdot \frac{m}{s^2} = N\)

Wir erhalten Newton als Einheit und das entspricht den Erwartungen.

Die Ladungsdichte \(\rho\) beschreibt die Verteilung der elektrischen Ladung im Raum. Ähnlich wie bei der Massendichte gibt sie an, wie viel Ladung pro Volumen vorhanden ist. Wird über das gesamte betreffende Volumen integriert, so ergibt sich die gesuchte Ladung \(Q\):

\(\rho ={\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V\)

Beim Volumenintegral wird über die drei Raumdimensionen x, y und z integriert. Es wird auch oft mit \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}^3r \) notiert, in kartesischen Koordinaten also \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\). Mit der ortsabhängigen Ladungsdichte ergibt sich:

\(Q = \int\limits_V \rho\,\mathrm{d}V = \displaystyle\int\limits_{z}\int\limits_{y}\int\limits_{x}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

Die Grenzen der Integrale ergeben sich durch die Kanten des Quaders. Da sich eine Ecke des Quaders im Ursprung befindet und der Raum nur in Richtung positiver Koordinatenachsen ausgefüllt wird, liegen die unteren Integrationsgrenzen jeweils im Ursprung, die oberen Grenzen entsprechen den Kantenlängen des Quaders:

\(Q = \displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

(Anmerkung: üblicherweise werden mehrfach-Integrale so notiert, dass die Integralzeichen von innen nach außen mit den entsprechenden Differentialen zusammenpassen. Hier steht etwa das Integral über x ganz innen.)

\(Q = \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}3x^2 + 2yz - 4xz\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\left. \frac{3x^3}{3} + 2xyz - \frac{4x^2z}{2}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\left. \left. x^3y + \frac{2xy^2z}{2} - 2x^2yz\,\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\)

\(=\rho_0\;\left. \left . \left. \left( x^3yz + \frac{xy^2z^2}{2} - x^2yz^2\right)\,\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\right|_{z=0}^{3}\)

\(Q = \left(2^3\cdot 5\cdot 3 + \frac{\cancel{2}\cdot 25\cdot 9}{\cancel{2}} - 4\cdot 5\cdot 9\right)\cdot \rho_0 = \left(120 + 5\cdot 9 \right)\cdot \rho_0 = 165\,\rho_0\)

Die Ladungsdichte \(\rho\) beschreibt die Verteilung der elektrischen Ladung im Raum. Ähnlich wie bei der Massendichte gibt sie an, wie viel Ladung pro Volumen vorhanden ist. Wird über das gesamte betreffende Volumen integriert, so ergibt sich die Gesamtladung \(Q\) der Kugel:

\(\rho ={\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V\)

In diesem Fall bieten sich Kugelkoordinaten \(r,\, \theta,\,\varphi\) an. Dabei sind \(r\) der Radius, \(\theta\) der "Polarwinkel" (Winkel zur z-Achse) und \(\varphi\) der "Azimutwinkel" (Winkel in x-y-Ebene). Durch Angabe dieser drei Koordinaten lassen sich - ebenso wie in den kartesischen Koordinaten x,y und z - Punkte im Raum festlegen. Gerade für radialsymmetrische Probleme (Kugeln, Kreise, Zylinder, ...) sind Kugelkoordinaten wesentlich einfacher.

\(x = r\cdot \,\sin(\theta)\cos(\varphi)\)

\(y= r\cdot \,\sin(\theta)\sin(\varphi)\)

\(z= r\cdot \,\cos(\theta)\)

Damit ergibt sich das Volumenelement (die Herleitung muss nicht gemacht werden, aber das Resultat sollte man sich merken): \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = r^2\,\sin(\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\)

\(Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho(r,\theta,\varphi)\,r^2\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\)

Um die gesuchte Größe A zu erhalten, muss also dieser Zusammenhang zwischen Ladungsverteilung und Gesamtladung Q der Kugel genutzt werden:

\(Q= \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R} A\cdot \left( \frac{r}{R}\right)^2\,r^2\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi = \)\(\quad\quad\frac{A}{R^2}\,\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R} r^4\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi = \)

\(= \frac{A}{R^2}\,\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{R^5}{5}\sin(\theta)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = \)

\(= \frac{A\,R^5}{5\,R^2} \cdot 2\pi \cdot\left.\left[-\cos(\theta) + \cos(\theta) \right]\right|_{\theta=0}^{\pi} = \frac{A\,R^3\cdot 4\pi}{5}\)

\(Q = \frac{4\pi A\,R^3}{5} \quad \Rightarrow \quad A = \frac{5\,Q}{4\pi\,R^3}\)

Antwort 3 ist korrekt!

Im Grundzustand ist ein Atom nach außen hin neutral. Es besitzt die selbe Anzahl an Protonen wie auch Elektronen.

Nach einer chemischen Reaktion oder einem physikalischen Prozess wie der Bestrahlung mit einem Laser können Außenelektronen das Atom verlassen.

Dann ist die Anzahl der Elektronen des Atoms ungleich der Anzahl an Protonen \(\rightarrow\) Es besitzt nun nach außen hin eine elektrische Ladung Q.

Diese Ladung lässt sich durch die Anzahl der Ladungsträger bestimmen welche zu dieser Ladung beitragen. Verliert ein Atom beispielsweise 3 Außenelektronen, so besitzt es 3 Protonen mehr als Elektronen. Daher ist dessen Gesamtladung gegeben durch diese 3 Protonen.

Im Allgemeinen gilt: \(Q \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, e_{0}\)

Hierbei ist \(e_0 \,\, = \,\, 1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19} \,\, C\) die Elementarladung.

Um nun die Anzahl der relevanten Ladungsträger zu bestimmen muss die obige Gleichung nach n umgeformt werden.

\(n \,\, = \,\, \frac{Q}{e_0} \,\, = \,\, \frac{3 \,\, C}{1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19}\,\, C} \,\, = \,\, 1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19}\)

Insgesamt tragen also \(1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19} \,\,\) Protonen dazu bei, dass das Atom eine äußere Ladung von \(3 \,\, C\) besitzt.

Antwort 3 ist korrekt.

Die vektorielle Kraft, die 2 Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) aufeinander ausüben, wird durch das Coulomb-Gesetz angegeben: \(\begin{equation} \vec{F}_C = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^3} \,\, \cdot \,\, \vec{r} \end{equation}\)

In diesem Beispiel wollen wir die genauen Formeln der Kräfte \(\vec{F}_1\) und \(\vec{F}_2\) angeben - jene 2 Kräfte welche zwischen\(Q_1\) und \(Q_T\) sowie zwischen \(Q_2\) und \(Q_T\) herrschen.

Die ausschlaggebenden Paramter im Coulomb-Gesetz sind die beiden Ladungen und der Abstand zwischen den beiden Ladungen.

Die wichtigste Überlegung für dieses Beispiel ist es also, die genaue Form des Abstands \(r\) zu bestimmen.

Wir haben einen Verbindungsvektor \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) (mit Abstand  \(r_{1, \,\, T}\)) zwischen den Ladungen  \(Q_1\) und \(Q_T\) und den Verbindungsvektor  \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) (mit Abstand \(r_{2, \,\, T}\) ) zwischen den Ladungen \(Q_2\) und \(Q_T\).

Allgemein gilt für den Abstand \(r\) zwischen 2 Punkten im Koordinatensystem: \(r \,\, = \,\, \sqrt{\,\,x^2 \,\, + \,\, y^2\,\,} \)

Für die x-Koodinate von \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) gilt : \(x \,\, = \,\, x_T \,\, - \,\, x_1 \,\,\).

Für die y-Koodinate von \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) gilt : \(y \,\, = \,\, y_T \,\, - \,\, y_1 \,\,\).

Dies ist analog zur "Spitze-Minus-Schaft Regel" für die Subtraktion von 2 Vektoren. Die Differenz der Vektoren \(\left(\begin{array}{c} x_T \\ y_T \end{array}\right)\) und \(\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right)\) ergibt ja genau den Verbindungsvektor \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) und aus diesem können wir schnell den Betrag \(r_{1, \,\, T}\) bestimmen.

Der Betrag \(r_{1, \,\, T}\) ist daher gegeben durch \(r_{1, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_1)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_1)^2 \,\,}\)

Genau analog gehen wir für den Verbindungsvektor \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) vor:

Für die x-Koodinate von \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) gilt : \(x \,\, = \,\, x_T \,\, - \,\, x_2 \,\,\).

Für die y-Koodinate von \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) gilt : \(y \,\, = \,\, y_T \,\, - \,\, y_2 \,\,\).

 Der Betrag \(r_{2, \,\, T}\) ist gegeben durch \(r_{2, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_2)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_2)^2 \,\,}\)

Setzen wir also alles in die Formel für das Coulomb-Gesetz ein, dann erhalten wir folgende Ausdrücke:

\(\vec{F}_1 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{1} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,1, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_1 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_1 \,\, \end{array}\right) \)

und

\(\vec{F}_2 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{2} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,2, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_2 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_2 \,\, \end{array}\right) \)

Wobei gilt: \(k \,\, = \,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}}\) sowie:

\(r_{1, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_1)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_1)^2 \,\,}\)

\(r_{2, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_2)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_2)^2 \,\,}\)

Antwort 2 ist korrekt!

Die Feldvektoren des elektrischen Feldes \(\vec{E}\) zeigen immer in Richtung: positive Ladung \(\rightarrow\) negative Ladung. 

Wenn ein Körper mit der Ladung \(Q\) in dieses Feld gelangt, dann erfährt es durch das \(\vec{E}\)-Feld eine Kraft. Geht diese Kraftwirkung entlang der Richtung des Feldes, dann muss die Ladung, welche dieser Körper trägt, positiv sein. Positive Ladungen stoßen sich gegenseitig ab.

Bewegt sich der geladene Körper aufgrund der Krafteinwirkung entgegen der Richtung der Feldvektoren (also hier nach links), dann muss die Ladung des Körpers negativ sein. Denn negative und positive Ladungen ziehen sich gegenseitig an.

In der beliegenden Skizze muss die Ladung \(Q\) des Körpers positiv sein, damit dieser vom \(\vec{E}\)-Feld nach rechts abgestoßen wird.