Antwort 3 ist korrekt!

Im Grundzustand ist ein Atom nach außen hin neutral. Es besitzt die selbe Anzahl an Protonen wie auch Elektronen.

Nach einer chemischen Reaktion oder einem physikalischen Prozess wie der Bestrahlung mit einem Laser können Außenelektronen das Atom verlassen.

Dann ist die Anzahl der Elektronen des Atoms ungleich der Anzahl an Protonen \(\rightarrow\) Es besitzt nun nach außen hin eine elektrische Ladung Q.

Diese Ladung lässt sich durch die Anzahl der Ladungsträger bestimmen welche zu dieser Ladung beitragen. Verliert ein Atom beispielsweise 3 Außenelektronen, so besitzt es 3 Protonen mehr als Elektronen. Daher ist dessen Gesamtladung gegeben durch diese 3 Protonen.

Im Allgemeinen gilt: \(Q \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, e_{0}\)

Hierbei ist \(e_0 \,\, = \,\, 1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19} \,\, C\) die Elementarladung.

Um nun die Anzahl der relevanten Ladungsträger zu bestimmen muss die obige Gleichung nach n umgeformt werden.

\(n \,\, = \,\, \frac{Q}{e_0} \,\, = \,\, \frac{3 \,\, C}{1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19}\,\, C} \,\, = \,\, 1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19}\)

Insgesamt tragen also \(1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19} \,\,\) Protonen dazu bei, dass das Atom eine äußere Ladung von \(3 \,\, C\) besitzt.

Antwort 1 ist korrekt.

Wird eine äußere Ladung in die Näher der homogen geladenen Metallkugel gebracht, so findet das Phänomen der Influenz statt. Die bislang gleichmäßige Verteilung der freien Elektronen innerhalb der Kugel wird, durch das von der äußeren negativen Ladung erzeugte elektrische Feld verändert. Auf die freien Elektronen in der Kugel wirkt durch das äußere elektrische Feld eine Kraft.

Da die äußere Ladung negativ ist, werden die freien Elektronen (welche negativ geladen sind) auf die rechte Kugelseite gedrängt (negative Ladungen stoßen sich gegenseitig ab). Es entsteht auf der rechten Kugelseite durch den Elektronenüberschuss eine negativ geladene Zone. Auf der linken Kugelseite entsteht durch den Elektronenmangel eine positive geladene Zone.

Diese Umverteilung hält solange an, solange sich die äußere negative Ladung in der Nähe der Kugel befindet.

Würde man die Kugel in der Mitte spalten, hätte man tatsächlich 2 Kugelhälften welche beide unterschiedlich geladen sind.

Ladungen können nur als Vielfache der Elementarladung \(\epsilon_{0} \,\, = \,\, 1.6 \,\, \cdot \,\, 10^{-19} \,\, C\) auftreten. Dies wurde im Millikan-Versuch gezeigt.

Je nachdem ob die Ladung positiv (abstoßend) oder negativ (anziehend) ist, hat sie das entsprechende Vorzeichen.

Die Ladungsdichte \(\rho\) beschreibt die Verteilung der elektrischen Ladung im Raum. Ähnlich wie bei der Massendichte gibt sie an, wie viel Ladung pro Volumen vorhanden ist. Wird über das gesamte betreffende Volumen integriert, so ergibt sich die gesuchte Ladung \(Q\):

\(\rho ={\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V\)

Beim Volumenintegral wird über die drei Raumdimensionen x, y und z integriert. Es wird auch oft mit \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}^3r \) notiert, in kartesischen Koordinaten also \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\). Mit der ortsabhängigen Ladungsdichte ergibt sich:

\(Q = \int\limits_V \rho\,\mathrm{d}V = \displaystyle\int\limits_{z}\int\limits_{y}\int\limits_{x}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

Die Grenzen der Integrale ergeben sich durch die Kanten des Quaders. Da sich eine Ecke des Quaders im Ursprung befindet und der Raum nur in Richtung positiver Koordinatenachsen ausgefüllt wird, liegen die unteren Integrationsgrenzen jeweils im Ursprung, die oberen Grenzen entsprechen den Kantenlängen des Quaders:

\(Q = \displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

(Anmerkung: üblicherweise werden mehrfach-Integrale so notiert, dass die Integralzeichen von innen nach außen mit den entsprechenden Differentialen zusammenpassen. Hier steht etwa das Integral über x ganz innen.)

\(Q = \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}3x^2 + 2yz - 4xz\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\left. \frac{3x^3}{3} + 2xyz - \frac{4x^2z}{2}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\left. \left. x^3y + \frac{2xy^2z}{2} - 2x^2yz\,\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\)

\(=\rho_0\;\left. \left . \left. \left( x^3yz + \frac{xy^2z^2}{2} - x^2yz^2\right)\,\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\right|_{z=0}^{3}\)

\(Q = \left(2^3\cdot 5\cdot 3 + \frac{\cancel{2}\cdot 25\cdot 9}{\cancel{2}} - 4\cdot 5\cdot 9\right)\cdot \rho_0 = \left(120 + 5\cdot 9 \right)\cdot \rho_0 = 165\,\rho_0\)

Zuerst wird die Coulomb-Gleichung nach der elektrischen Feldkonstante \(\epsilon_{0}\) umgeformt. 

\(\epsilon_{0} = \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{F_{C} \cdot 4 \cdot \pi \cdot r^2}\)

Nun ersetzt man alle vorkommenden Größen durch deren Einheiten (ausgedrückt durch SI-Einheiten).

\(\frac{A \cdot s \cdot A \cdot s}{kg\cdot \frac{m}{s^2} \cdot m^2}\)

Jetzt wird soweit wie möglich gekürzt. Das was am Ende rauskommt ist die Einheit der elektrischen Feldkonstante \(\epsilon_{0}\).

\(\frac{A^2 \cdot s^4}{kg\cdot m^3}\)

Daher gilt:

\([\epsilon_{0}] = \frac{A^2 \cdot s^4}{kg\cdot m^3}\)

In abgeleiteten Einheiten würde das \([\epsilon_{0}] = \frac{A\cdot s}{V\cdot m}\) entsprechen.

 Die Formel für die Coulomb-Kraft \(F_{C}\) lautet: 

 \(\begin{equation} F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^2} \end{equation}\)

Die elektrische Feldkonstante \(\epsilon_{0}\) hat immer den gleichen Wert und ist positiv. Es bleibt der Abstand r und die beiden Ladungen \(q_{1}\) und \(q_{2}\) als einzige freie Parameter übrig. Diese bestimmen das endgültige Vorzeichen für die resultierende Coloumbkraft.

Der Abstand r ist immer positiv. Ein negativer Abstand macht physikalisch keinen Sinn. Insbesondere ist dessen Quadrat \(r^2\) stets positiv.

Daher bestimmen die Vorzeichen der Ladungen \(q_{1}\) und \(q_{2}\), welches Vorzeichen sich für die resultierende Coulomb-Kraft \(F_{C}\) ergibt. Ein negatives Vorzeichen bei der Coulomb-Kraft ergibt sich nur dann, wenn eine Ladung negativ ist und die andere positiv.

Zb.:

Die Coulomb-Kraft \(F_{C}\) zwischen einem Elektron und einem Proton hat ein negatives Vorzeichen. Das Proton ist immer positiv geladen (hat daher als Vorzeichen +). Das Elektron ist immer negativ geladen (hat daher als Vorzeichen -). Ungleichartige Ladungen ziehen sich an und daher assoziiert man das negative Vorzeichen bei der Coulomb-Kraft damit, dass die Kraft anziehend ist.

Antwort 4 ist korrekt.

Die erste Maxwellgleichung der Elektrostatik in differentieller Form lautet:

\(\nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, = \,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

Hierbei ist \(\rho\) die Ladungsdichte, \(\epsilon_{0}\) die elektrische Feldkonstante. Die Divergenz eines Vektorfeldes (hier das \(\vec{E}\)-Feld) wird als Quelldichte oder Quellstärke interpretiert. Hier ist also die Quelldichte des \(\vec{E}\)-Feldes direkt proportional zur Ladungsdichte. Eine höhere Ladungsdichte bedeutet eine höhere Quellstärke des \(\vec{E}\)-Feldes.

Auf beiden Seiten der Gleichung wird das Volumsintegral angewandt.

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\, \nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \,\, \,\, dV \ \,\,\)

Für die rechte Seite der Gleichung gilt:

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

Das Volumsintegral über die Ladungsdichte \(\rho\) der Kugel ist gleich der Gesamtladung \(Q\), welche in der Kugel enthalten ist.

Auf der linke Seite der Gleichung wird der Gauß'sche Integralsatz angewandt.

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\, \nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\, \cdot \,\, \vec{df}\)

Der Gaußsche Integralsatz besagt, dass das Volumsintegral der Divergenz eines Vektorfelds über ein gewisses Volumen \(V\)gleich dem Oberflächenintegral über die geschlossene Fläche \(A\) dieses Volumens ist. Der Flächenvektor \(\vec{df}\) steht orthogonal zum unendlich kleinen Flächenstück \(df\) der Oberfläche \(A\).  Man interpretiert physikalisch das Oberflächenintegral eines bestimmten Vektorfelds über eine Oberfläche als den Fluss dieses Vektorfelds, welcher durch diese Fläche ein- oder austritt.

Somist haben wir die Gleichung:

\(\,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\,\cdot \,\, \vec{df} \ \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

Der Fluss des \(\vec{E}\)-Feldes durch die geschlossene Oberfläche \(A\) ist gleich der Gesamtladung \(Q\) in der Kugel (dividiert durch die elektrische Feldkonstante).

Eine stärkere Ladung bedeutet also einen stärkerer Fluss des elektrischen Feldes.

Das \(\vec{E}\)-Feld hängt nur von dem radialen Abstand \(r\) vom Mittelpunkt ab und steht daher orthogonal auf jedem unendlich kleinen Flächenstück \(df\) der Oberfläche A. Der Flächenvektor \(\vec{df}\)ist orthogonal auf dem Flächenstück \(df\). Daher sind die Feldvektoren des \(\vec{E}\)-Feldes parallel zu den Flächenvektoren \(\vec{df}\) der Oberfläche. Wenn 2 Vektoren parallel sind, dann kann bei der Berechnung des Skalarprodukts deren Richtung weggelassen und nur mit dessen Beträgen gerechnet werden (Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren der beiden Vektoren ergibt 1).

\(\,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\, \cdot\,\, \vec{df} \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, E \,\, \,\, df \ \,\,\)

Beim Oberflächenintegral einer Kugel ist der Radius \(R\) konstant und man integriert über die sphärischen Winkel. Da das \(\vec{E}\)-Feld aber nur vom radialen Abstand \(r\) abhängt, kann es vor das Integral gezogen werden weil das Integral nur über die spärischen Winkel berechnet wird.

\( E \,\, \cdot \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, df \ \,\,\)

Für ein Integral über eine Kugel müsste man Kugelkoordinaten einführen. Man weiß aber, dass die Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r\) gleich \(4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, r^2\) ist. Hier ist wichtig zu betonen, dass wir das elektrische Feld außerhalb der Kugel betrachten. Wir schauen uns also eine imaginäre Kugel mit Radius \(r\) an, welche größer als die eigentliche Kugel mit Radius \(R\) ist (wie in der beistehenden Skizze dargestellt).

Jetzt sieht unsere Gleichung folgendermaßen aus:

\(\,\, E \,\, \cdot \,\, 4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, r^2 \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}} \,\,\)

Daher gilt für den Betrag des elektrischen Felds \(\vec{E}\) außerhalb der Kugel:

\(\,\, E(r) \,\, = \,\, \frac{1}{4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, \epsilon_{0}} \,\, \cdot \,\, \frac{Q}{r^2}\)

Das ist aber genau die Form des \(\vec{E}\)-Felds eines punktförmigen Ladung \(Q\). Das elektrische Feld außerhalb einer homogen geladenen Kugel ist gleich wie das elektrische Feld einer Punktladung.

Antworten 1 & 4 sind korrekt!

Das erzeugte elektrische Feld \(\vec{E}\) einer Ladung \(q\) ist definiert als \(\vec{E} = \frac{\vec{F_{C}}}{q_{p}}\).

Hierbei ist \(\vec{F_{C}}\) die wirkende Coulomb-Kraft zwischen der Ladung \(q\) und einer Probeladung \(q_{p}\). 

Da das elektrische Feld immer eine Richtung besitzt, wird dieses auch als Vektor angeschrieben. 

Wenn man die Formel der Coulomb-Kraft in die obige Formel einsetzt, kommt man auf die Gleichung:

\(\vec{E} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \vec{e_r}\)

Hierbei ist \(\vec{e_{r}}\) der Einheitsvektor und gibt die Richtung des \(\vec{E}\) - Feldes an.

Die Feldlinien des elektrischen Feldes werden immer in Richtung positiver Ladung \(\rightarrow\) negative Ladung gezeichnet (dies entspricht der technischen Stromrichtung).

Anhand der obigen Formel sieht man, dass eine stärkere Ladung \(q\) bedeutet, dass das resultierende \(\vec{E}\) ebenso stärker wird.

Die Feldlinien schneiden sich nie. Sie sind immer geradlinig und radial von der erzeugenden Ladung. Sie können entweder zur erzeugenden Ladung oder von ihr weg zeigen.

Ebenso erzeugen sowohl ruhende als aus bewegende Ladungen ein elektrisches Feld. Der Unterschied bei bewegenden Ladungen ist, dass diese im Gegensatz zu ruhenden Ladungen zusätzlich auch ein magnetisches Feld erzeugen.