Antwort 4 ist korrekt.

Die erste Maxwellgleichung der Elektrostatik in differentieller Form lautet:

\(\nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, = \,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)

Hierbei ist \(\rho\) die Ladungsdichte, \(\epsilon_{0}\) die elektrische Feldkonstante. Die Divergenz eines Vektorfeldes (hier das \(\vec{E}\)-Feld) wird als Quelldichte oder Quellstärke interpretiert. Hier ist also die Quelldichte des \(\vec{E}\)-Feldes direkt proportional zur Ladungsdichte. Eine höhere Ladungsdichte bedeutet eine höhere Quellstärke des \(\vec{E}\)-Feldes.

Auf beiden Seiten der Gleichung wird das Volumsintegral angewandt.

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\, \nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \,\, \,\, dV \ \,\,\)

Für die rechte Seite der Gleichung gilt:

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

Das Volumsintegral über die Ladungsdichte \(\rho\) der Kugel ist gleich der Gesamtladung \(Q\), welche in der Kugel enthalten ist.

Auf der linke Seite der Gleichung wird der Gauß'sche Integralsatz angewandt.

\(\,\, \displaystyle \,\, \int _{V} \,\,\,\, \nabla \,\, \cdot \,\, \vec{E} \,\, \,\, dV \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\, \cdot \,\, \vec{df}\)

Der Gaußsche Integralsatz besagt, dass das Volumsintegral der Divergenz eines Vektorfelds über ein gewisses Volumen \(V\)gleich dem Oberflächenintegral über die geschlossene Fläche \(A\) dieses Volumens ist. Der Flächenvektor \(\vec{df}\) steht orthogonal zum unendlich kleinen Flächenstück \(df\) der Oberfläche \(A\).  Man interpretiert physikalisch das Oberflächenintegral eines bestimmten Vektorfelds über eine Oberfläche als den Fluss dieses Vektorfelds, welcher durch diese Fläche ein- oder austritt.

Somist haben wir die Gleichung:

\(\,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\,\cdot \,\, \vec{df} \ \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

Der Fluss des \(\vec{E}\)-Feldes durch die geschlossene Oberfläche \(A\) ist gleich der Gesamtladung \(Q\) in der Kugel (dividiert durch die elektrische Feldkonstante).

Eine stärkere Ladung bedeutet also einen stärkerer Fluss des elektrischen Feldes.

Das \(\vec{E}\)-Feld hängt nur von dem radialen Abstand \(r\) vom Mittelpunkt ab und steht daher orthogonal auf jedem unendlich kleinen Flächenstück \(df\) der Oberfläche A. Der Flächenvektor \(\vec{df}\)ist orthogonal auf dem Flächenstück \(df\). Daher sind die Feldvektoren des \(\vec{E}\)-Feldes parallel zu den Flächenvektoren \(\vec{df}\) der Oberfläche. Wenn 2 Vektoren parallel sind, dann kann bei der Berechnung des Skalarprodukts deren Richtung weggelassen und nur mit dessen Beträgen gerechnet werden (Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren der beiden Vektoren ergibt 1).

\(\,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, \vec{E} \,\, \cdot\,\, \vec{df} \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, E \,\, \,\, df \ \,\,\)

Beim Oberflächenintegral einer Kugel ist der Radius \(R\) konstant und man integriert über die sphärischen Winkel. Da das \(\vec{E}\)-Feld aber nur vom radialen Abstand \(r\) abhängt, kann es vor das Integral gezogen werden weil das Integral nur über die spärischen Winkel berechnet wird.

\( E \,\, \cdot \,\, \displaystyle \,\, \oint _{A} \,\,\,\, \,\, df \ \,\,\)

Für ein Integral über eine Kugel müsste man Kugelkoordinaten einführen. Man weiß aber, dass die Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r\) gleich \(4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, r^2\) ist. Hier ist wichtig zu betonen, dass wir das elektrische Feld außerhalb der Kugel betrachten. Wir schauen uns also eine imaginäre Kugel mit Radius \(r\) an, welche größer als die eigentliche Kugel mit Radius \(R\) ist (wie in der beistehenden Skizze dargestellt).

Jetzt sieht unsere Gleichung folgendermaßen aus:

\(\,\, E \,\, \cdot \,\, 4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, r^2 \,\, = \,\, \frac{Q}{\epsilon_{0}} \,\,\)

Daher gilt für den Betrag des elektrischen Felds \(\vec{E}\) außerhalb der Kugel:

\(\,\, E(r) \,\, = \,\, \frac{1}{4 \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, \epsilon_{0}} \,\, \cdot \,\, \frac{Q}{r^2}\)

Das ist aber genau die Form des \(\vec{E}\)-Felds eines punktförmigen Ladung \(Q\). Das elektrische Feld außerhalb einer homogen geladenen Kugel ist gleich wie das elektrische Feld einer Punktladung.

Die Ladungsdichte \(\rho\) beschreibt die Verteilung der elektrischen Ladung im Raum. Ähnlich wie bei der Massendichte gibt sie an, wie viel Ladung pro Volumen vorhanden ist. Wird über das gesamte betreffende Volumen integriert, so ergibt sich die gesuchte Ladung \(Q\):

\(\rho ={\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V\)

Beim Volumenintegral wird über die drei Raumdimensionen x, y und z integriert. Es wird auch oft mit \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}^3r \) notiert, in kartesischen Koordinaten also \(\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\). Mit der ortsabhängigen Ladungsdichte ergibt sich:

\(Q = \int\limits_V \rho\,\mathrm{d}V = \displaystyle\int\limits_{z}\int\limits_{y}\int\limits_{x}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

Die Grenzen der Integrale ergeben sich durch die Kanten des Quaders. Da sich eine Ecke des Quaders im Ursprung befindet und der Raum nur in Richtung positiver Koordinatenachsen ausgefüllt wird, liegen die unteren Integrationsgrenzen jeweils im Ursprung, die oberen Grenzen entsprechen den Kantenlängen des Quaders:

\(Q = \displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}\rho(x,y,z)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

(Anmerkung: üblicherweise werden mehrfach-Integrale so notiert, dass die Integralzeichen von innen nach außen mit den entsprechenden Differentialen zusammenpassen. Hier steht etwa das Integral über x ganz innen.)

\(Q = \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\int\limits_{x=0}^{2}3x^2 + 2yz - 4xz\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\int\limits_{y=0}^{5}\left. \frac{3x^3}{3} + 2xyz - \frac{4x^2z}{2}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\)

\(= \rho_0\displaystyle\int\limits_{z=0}^{3}\left. \left. x^3y + \frac{2xy^2z}{2} - 2x^2yz\,\mathrm{d}z\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\)

\(=\rho_0\;\left. \left . \left. \left( x^3yz + \frac{xy^2z^2}{2} - x^2yz^2\right)\,\right|_{x=0}^{2}\right|_{y=0}^{5}\right|_{z=0}^{3}\)

\(Q = \left(2^3\cdot 5\cdot 3 + \frac{\cancel{2}\cdot 25\cdot 9}{\cancel{2}} - 4\cdot 5\cdot 9\right)\cdot \rho_0 = \left(120 + 5\cdot 9 \right)\cdot \rho_0 = 165\,\rho_0\)

Antwort 2 ist korrekt!

Die Feldvektoren des elektrischen Feldes \(\vec{E}\) zeigen immer in Richtung: positive Ladung \(\rightarrow\) negative Ladung. 

Wenn ein Körper mit der Ladung \(Q\) in dieses Feld gelangt, dann erfährt es durch das \(\vec{E}\)-Feld eine Kraft. Geht diese Kraftwirkung entlang der Richtung des Feldes, dann muss die Ladung, welche dieser Körper trägt, positiv sein. Positive Ladungen stoßen sich gegenseitig ab.

Bewegt sich der geladene Körper aufgrund der Krafteinwirkung entgegen der Richtung der Feldvektoren (also hier nach links), dann muss die Ladung des Körpers negativ sein. Denn negative und positive Ladungen ziehen sich gegenseitig an.

In der beliegenden Skizze muss die Ladung \(Q\) des Körpers positiv sein, damit dieser vom \(\vec{E}\)-Feld nach rechts abgestoßen wird.

Antwort 3 ist korrekt.

2 Punktförmige Ladungen üben aufeinander die Coulombkraft \(\begin{equation} F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^2} \end{equation}\) aus.

Der Abstand \(r\) ist gesucht daher muss die obige Formel nach \(r\) umgeformt werden.

\(r \,\, = \,\, \sqrt{\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,}}\)

Zum Finden der richtigen Antwort ist es hilfreich, alle eingesetzen Werte mit deren SI-Einheiten anzugeben. Daher verwendet man für die Einheit der Kraft \(\,\, kg \cdot \,\, \frac{m}{s^2}\) statt \(N\), für die Einheit der Ladung \(\,\, A \,\, \cdot \,\, s\) statt \(C\) und für die Einheit der elektrischen

Feldkonstante \(\frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\).

Damit muss für den Abstand \(r\) ein Wert in der Einheit \(m\) rauskommen, andernfalls hat man falsch umgeformt.

Die beiden Ladungen \(q_{1}\) und \(q_{2}\) sowie die Kraft \(F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,}\) sind vorgegeben. Die Kraft ist in \(f N\) angegeben, wobei \(f\) für Femto steht und  \(1 \,\, fN \,\, = \,\, 1 \,\, \cdot 10^{-15} \,\, N\).

\(\epsilon_{0}\)  ist die elektrische Feldkonstante und diese besitzt immer den Wert  \(\epsilon_{0} \,\, = \,\, 8.9 \cdot 10^{-12} \,\, \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\)

Setzt man alles ein, kommt für den Abstand der Wert \(r \,\, = \,\, 0.000014 \,\, m \,\, = \,\, 0.014 \,\, mm = \,\, 14\,\mu m\) raus.

Damit Kugel B im Gleichgewicht ist und weder nach links (zu Kugel A), noch nach rechts (zu Kugel C) angezogen wird, müssen sich die Coulomb-Kräfte \(F_{C}\) zwischen Kugel A und B, sowie zwischen B und C ausgleichen.

Daher: \(F_{C, \,\, A \,\,- \,\, B} \,\, = \,\, F_{C, \,\, B \,\,- \,\, C}\)

Wie bei allen Beispielen zur Coulomb-Kraft, nähert man die geladenen Körper als Punktladungen an. Dessen gesamte Ladung ist genau in einem Punkt konzentriert, bei Kugeln in deren Schwerpunkt, welcher deren Mittelpunkt entspricht. Daher betrachten wir eigentlich nur die Abstände zwischen diesen Punkten und ignorieren die Ausdehnung der Kugeln.

Wir haben daher:

\(\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{A} \cdot q_{B}}{r^2} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{B} \cdot q_{C}}{x^2}\)

Der Faktor \(\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}}\) und die unbekannte Ladung \(q_{B}\) kommen auf beiden Seiten der Gleichung vor. Daher kann man diese aus der Gleichung herauskürzen.

Die Gleichung reduziert sich also zu \(\frac{q_{A}}{r^2} = \frac{q_{C}}{x^2}\)

Jetzt kann nach dem unbekannten Abstand x umgeformt werden.

\(x = \sqrt{\frac{q_{C} \cdot r^2}{q_{A}}}\)

\(r\) kann hier auch aus der Wurzel rausgezogen werden, daher: 

\(x = r \cdot \sqrt{\frac{q_{C}}{q_{A}}}\)

Sowohl \(r\), \(q_{C}\) und \(q_{A}\) sind bekannt und können jetzt in die Gleichung eingesetzt werden.

Der Abstand zwischen Kugel B und Kugel C beträgt \(x = 0.134 m\).

Hier wurde auf die 3. Kommastelle gerundet.

Weitere Eklärung:

Vergleicht man die beiden Abstände \(r\) und \(x\) sieht man, dass \(x\) mehr als doppelt so groß wie \(r\) ist. Dies ist damit zu erklären, dass die Kugel C eine größere Ladung als Kugel A besitzt. Ein höherer Ladungswert bedeutet eine stärkere Kraftwirkung. Kugel C besitzt eine größere Ladung als Kugel A und somit muss der Abstand \(x\) zwischen Kugel B und Kugel C größer sein, um die selbe Kraftwirkung zwischen Kugel A und Kugel B zu erzielen.

(Genauso verhält es sich bei der Gravitation. Bei der Gravitation hängt die Kraftwirkung von der Masse ab und daher wird der Mensch von der Erde angezogen und nicht umgekehrt.)

Eine homogen geladene Kugel besitzt (wie der Name andeutet) eine homogene Ladungsverteilung. Die gesamte Ladungsmenge \(Q\) ist gleichförmig in der Kugel vereilt. 

Das bedeutet, dass dessen Ladungsdichte \(\rho\) überall in der Kugel konstant ist.

Die Ladungsdichte \(\rho\) kann daher definiert werden als \(\rho \,\, = \,\, \frac{Q}{V}\), wobei V das Volumen der Kugel ist, also \(V \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3\). Hierbei ist \(R\) der Radius der Kugel.

Daher ist die GesamtLadung \(Q \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3 \,\, \cdot \,\, \rho\) 

Die Ladungsdichte \(\rho\) beschreibt die Verteilung der elektrischen Ladung im Raum. Ähnlich wie bei der Massendichte gibt sie an, wie viel Ladung pro Volumen vorhanden ist. Wird über das gesamte betreffende Volumen integriert, so ergibt sich die Gesamtladung \(Q\) der Kugel:

\(\rho ={\frac {{\mathrm d}Q}{{\mathrm d}V}}\quad \Leftrightarrow \quad Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V\)

In diesem Fall bieten sich Kugelkoordinaten \(r,\, \theta,\,\varphi\) an. Dabei sind \(r\) der Radius, \(\theta\) der "Polarwinkel" (Winkel zur z-Achse) und \(\varphi\) der "Azimutwinkel" (Winkel in x-y-Ebene). Durch Angabe dieser drei Koordinaten lassen sich - ebenso wie in den kartesischen Koordinaten x,y und z - Punkte im Raum festlegen. Gerade für radialsymmetrische Probleme (Kugeln, Kreise, Zylinder, ...) sind Kugelkoordinaten wesentlich einfacher.

\(x = r\cdot \,\sin(\theta)\cos(\varphi)\)

\(y= r\cdot \,\sin(\theta)\sin(\varphi)\)

\(z= r\cdot \,\cos(\theta)\)

Damit ergibt sich das Volumenelement (die Herleitung muss nicht gemacht werden, aber das Resultat sollte man sich merken): \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = r^2\,\sin(\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\)

\(Q=\int\limits _{V}\rho\,{\mathrm d}V = \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R}\rho(r,\theta,\varphi)\,r^2\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\)

Um die gesuchte Größe A zu erhalten, muss also dieser Zusammenhang zwischen Ladungsverteilung und Gesamtladung Q der Kugel genutzt werden:

\(Q= \displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R} A\cdot \left( \frac{r}{R}\right)^2\,r^2\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi = \)\(\quad\quad\frac{A}{R^2}\,\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{R} r^4\,\sin(\theta)\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi = \)

\(= \frac{A}{R^2}\,\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{R^5}{5}\sin(\theta)\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = \)

\(= \frac{A\,R^5}{5\,R^2} \cdot 2\pi \cdot\left.\left[-\cos(\theta) + \cos(\theta) \right]\right|_{\theta=0}^{\pi} = \frac{A\,R^3\cdot 4\pi}{5}\)

\(Q = \frac{4\pi A\,R^3}{5} \quad \Rightarrow \quad A = \frac{5\,Q}{4\pi\,R^3}\)

Antwort 1 ist korrekt.

Das Konzept der Punktladung ist eine Idealisierung und Vereinfachung in der Elektrostatik. Jeder Körper mit einer Ladung ist auch massebehaftet und besitzt daher eine - wenn manchmal auch sehr kleine - räumliche Ausdehnung.

Das Konzept ist ähnlich zur Kinematik in der klassischen Physik, wo die Bewegung von Massenpunkten betrachtet wird und nicht die von Körpern mit gewisser Ausdehnung. Man stellt sich vereinfacht vor, dass geladene Körper ihre Gesamtladung \(Q\) in genau einem Punkt konzentriert besitzen (meistens im Schwerpunkt des Körpers).

Dadurch vereinfachen sich die Berechnungen von Coulombkräften und man kann z.B. die Coulombkraft zwischen 2 Körpern bei Abständen \(r\) die gegen 0 gehen betrachten, weil man die Ausdehnung der Körper vernachlässigt.

Es ist daher auch wichtig zu überlegen, dass die berechneten Coulombkräfte immer diese Idealisierung miteinbeziehen und in der Realität die Coulombkraft zwischen 2 Körpern etwas anders ist als die, welche man durch die Formel der Coulombkraft berechnet. Gerade bei kugelförmigen kleinen Körpern (oder von denen wir davon ausgehen, dass sie kugelförmig sind) ist dies aber eine gute Näherung.