Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Ladungen und elektrostatisches Feld (Coulomb-Kraft).
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Welche Coloumbkraft \(F_{C}\) herrscht zwischen 2 Elektronen bei einem Abstand von \(2 \cdot 10^{-3} m\) ? Nr. 4735
	\(- 5.7 \cdot 10^{-23} \,\,\, \frac{kg\cdot\,m}{s^2}\)
	\(5.7 \cdot 10^{-23} \,\,\, \frac{kg\cdot\,m}{s^2}\)
	\(8.7 \cdot 10^{-24} \,\,\, \frac{kg\cdot\,m}{s^2}\)
	\(4.7 \cdot 10^{-23}\,\,\, \frac{kg\,\cdot\,m}{s}\)
	\(-8.7 \cdot 10^{-24} \,\,\, \frac{kg\cdot\,m}{s^2}\)
Lösungsweg Das Coloumb-Gesetz für 2 geladene Körper lautet: \(\begin{equation} F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^2} \end{equation}\) Hierbei ist \(\epsilon_{0}\) die elektrsiche Feldkonstante und diese beträgt \(8.9 \cdot 10^{-12} \,\, \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\). \(r\) ist die Entfernung zwischen den beiden Körpern und beträgt \(r = 2 \cdot 10^{-3} m\). \(q_{1}\) und \(q_{2}\) sind die Ladungen welche die beiden Körper besitzen. Die Elementarladung beträgt \(e_{0}\) \(= 1.6 \cdot 10^{-19} \,\, A \cdot s\). Ein Elektron besitzt die Ladung \(q_{ele} = -e_{0}\). Beide Körper sind Elektronen und daher \(q_{1} = q_{2} = q_{ele}\). Nun kann alles in die Coulomb-Gleichung eingesetzt werden. \(F_{C} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{(-1.6 \cdot 10^{-19} A\cdot s) \,\, \cdot \,\,(-1.6 \cdot 10^{-19} A\cdot s)}{(2\cdot 10^{-3} \, m)^2}\) Das Ergebnis beträgt \(F_{C} = 5.7 \cdot 10^{-23} N\). \(\vspace{0.3cm}\) Die Coulomb-Kraft hat (wie jede Kraft) die Einheit Newton (Abkürzung N). Bei Rechnungen in der Physik ist es immer gut zu überprüfen, ob auch die richtige Einheit rauskommt. Es ist daher hilfreich, alle Größen zuerst durch SI-Einheiten auszudrücken, bevor man diese einsetzt und anschließend die Einheit berechnet. \(\frac{kg \cdot m^{3}}{A^2 \cdot s^4} \cdot \frac{A^2 \cdot s^2}{m^2} = kg \cdot \frac{m}{s^2} = N\) Wir erhalten Newton als Einheit und das entspricht den Erwartungen.

5 erreichbare Punkte

Betrachte die beiliegende Skizze. 2 Ladungen \(Q_1\) und \(Q_2\) sitzen an festen Punkten im Koordinatensystem mit Ortsvektoren \(\vec{r}_1= \left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right)\) und \(\vec{r}_2= \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array}\right)\). Eine Testladung \(Q_T\) befindet sich an einem festen Punkt mit Koordinaten \(\left(\begin{array}{c} x_T \\ y_T \end{array}\right)\). Wie lauten die vektoriellen Formeln der Kräfte \(\vec{F}_1\) und \(\vec{F}_2\), welche jeweils durch die 2 Ladungen \(Q_1\) und \(Q_2\) auf die Testladung \(Q_T\) ausgeübt werden? Nr. 5029
	\(\vec{F}_1 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{1} \cdot Q_{2}}{r^3_{\,\,\,1, \,\, 2}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_2 \,\, - \,\, x_1 \,\, \\ \,\, y_2 \,\, - \,\, y_1 \,\, \end{array}\right) \) \(\vec{F}_2 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{2} \cdot Q_{1}}{r^3_{\,\,\,2, \,\, 1}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_1 \,\, - \,\, x_2 \,\, \\ \,\, y_1 \,\, - \,\, y_2 \,\, \end{array}\right) \)
	\(\vec{F}_1 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{1} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,1, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_1 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_2 \,\, \end{array}\right) \) \(\vec{F}_2 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{2} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,2, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_1 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_2 \,\, \end{array}\right) \)
	\(\vec{F}_1 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{1} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,1, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_1 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_1 \,\, \end{array}\right) \) \(\vec{F}_2 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{2} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,2, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_2 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_2 \,\, \end{array}\right) \)
	\(\vec{F}_1 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{1} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,1, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, \\ \,\, y_T \,\, \end{array}\right) \) \(\vec{F}_2 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{2} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,2, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, \\ \,\, y_T \,\, \end{array}\right) \)
Lösungsweg Antwort 3 ist korrekt. Die vektorielle Kraft, die 2 Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) aufeinander ausüben, wird durch das Coulomb-Gesetz angegeben: \(\begin{equation} \vec{F}_C = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^3} \,\, \cdot \,\, \vec{r} \end{equation}\) In diesem Beispiel wollen wir die genauen Formeln der Kräfte \(\vec{F}_1\) und \(\vec{F}_2\) angeben - jene 2 Kräfte welche zwischen\(Q_1\) und \(Q_T\) sowie zwischen \(Q_2\) und \(Q_T\) herrschen. Die ausschlaggebenden Paramter im Coulomb-Gesetz sind die beiden Ladungen und der Abstand zwischen den beiden Ladungen. Die wichtigste Überlegung für dieses Beispiel ist es also, die genaue Form des Abstands \(r\) zu bestimmen. Wir haben einen Verbindungsvektor \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) (mit Abstand \(r_{1, \,\, T}\)) zwischen den Ladungen \(Q_1\) und \(Q_T\) und den Verbindungsvektor \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) (mit Abstand \(r_{2, \,\, T}\) ) zwischen den Ladungen \(Q_2\) und \(Q_T\). Allgemein gilt für den Abstand \(r\) zwischen 2 Punkten im Koordinatensystem: \(r \,\, = \,\, \sqrt{\,\,x^2 \,\, + \,\, y^2\,\,} \) Für die x-Koodinate von \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) gilt : \(x \,\, = \,\, x_T \,\, - \,\, x_1 \,\,\). Für die y-Koodinate von \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) gilt : \(y \,\, = \,\, y_T \,\, - \,\, y_1 \,\,\). Dies ist analog zur "Spitze-Minus-Schaft Regel" für die Subtraktion von 2 Vektoren. Die Differenz der Vektoren \(\left(\begin{array}{c} x_T \\ y_T \end{array}\right)\) und \(\left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right)\) ergibt ja genau den Verbindungsvektor \(\vec{r}_{1, \,\, T}\) und aus diesem können wir schnell den Betrag \(r_{1, \,\, T}\) bestimmen. Der Betrag \(r_{1, \,\, T}\) ist daher gegeben durch \(r_{1, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_1)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_1)^2 \,\,}\) Genau analog gehen wir für den Verbindungsvektor \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) vor: Für die x-Koodinate von \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) gilt : \(x \,\, = \,\, x_T \,\, - \,\, x_2 \,\,\). Für die y-Koodinate von \(\vec{r}_{2, \,\, T}\) gilt : \(y \,\, = \,\, y_T \,\, - \,\, y_2 \,\,\). Der Betrag \(r_{2, \,\, T}\) ist gegeben durch \(r_{2, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_2)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_2)^2 \,\,}\) Setzen wir also alles in die Formel für das Coulomb-Gesetz ein, dann erhalten wir folgende Ausdrücke: \(\vec{F}_1 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{1} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,1, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_1 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_1 \,\, \end{array}\right) \) und \(\vec{F}_2 = k \,\, \cdot \,\, \frac{Q_{2} \cdot Q_{T}}{r^3_{\,\,\,2, \,\, T}} \,\, \cdot \,\, \left(\begin{array}{c} \,\, x_T \,\, - \,\, x_2 \,\, \\ \,\, y_T \,\, - \,\, y_2 \,\, \end{array}\right) \) Wobei gilt: \(k \,\, = \,\, \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}}\) sowie: \(r_{1, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_1)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_1)^2 \,\,}\) \(r_{2, \,\, T} \,\, = \,\, \sqrt{\,\, (x_T \,\, - \,\, x_2)^2 \,\, + \,\, (y_T \,\, - \,\, y_2)^2 \,\,}\)

4 erreichbare Punkte

Welche Werte können elektrische Ladungen annehmen? Nr. 4751
	Nur Vielfache der Elementarladung. Eine negative Ladung besitzt ein negatives Vorzeichen und eine positive Ladung besitzt ein positives Vorzeichen.
	Nur Teiler der Elementarladung. Eine negative Ladung besitzt ein negatives Vorzeichen und eine positive Ladung besitzt ein positives Vorzeichen.
	Ladungen können jeden beliebigen Wert annehmen. Eine negative Ladung besitzt ein negatives Vorzeichen und eine positive Ladung besitzt ein positives Vorzeichen.
	Ladungen können jeden beliebigen Wert annehmen. Die Ladung hat immer ein positives Vorzeichen.
Lösungsweg Ladungen können nur als Vielfache der Elementarladung \(\epsilon_{0} \,\, = \,\, 1.6 \,\, \cdot \,\, 10^{-19} \,\, C\) auftreten. Dies wurde im Millikan-Versuch gezeigt. Je nachdem ob die Ladung positiv (abstoßend) oder negativ (anziehend) ist, hat sie das entsprechende Vorzeichen.

4 erreichbare Punkte

2 Punktladungen \(q_{1} \,\, = \,\, 2.16 \,\, \cdot 10^{-18} \,\, C\) und \(q_{2} \,\, = \,\, 2.56 \,\,\cdot \,\, 10^{-18} \,\, C\) stoßen sich gegenseitig mit einer Kraft von \(F_{\,\,1, \,\, 2} \,\, = \,\, 0.25 \,\, fN\) ab. Welchen Abstand \(r\) haben die beiden Punktladungen zueinander? Nr. 4765
	\(r \,\, = \,\, 2.1 \,\, mm\)
	\(r \,\, = \,\, 0.018 \,\, mm\)
	\(r \,\, = 14 \,\, \mu m\)
	\(r \,\, = \,\, 0.00052 \,\, m\)
	\(r \,\, = \,\, 0.00017 \,\, cm\)
Lösungsweg Antwort 3 ist korrekt. 2 Punktförmige Ladungen üben aufeinander die Coulombkraft \(\begin{equation} F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^2} \end{equation}\) aus. Der Abstand \(r\) ist gesucht daher muss die obige Formel nach \(r\) umgeformt werden. \(r \,\, = \,\, \sqrt{\frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_{0}} \,\,\,\, \cdot \,\,\,\, \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,}}\) Zum Finden der richtigen Antwort ist es hilfreich, alle eingesetzen Werte mit deren SI-Einheiten anzugeben. Daher verwendet man für die Einheit der Kraft \(\,\, kg \cdot \,\, \frac{m}{s^2}\) statt \(N\), für die Einheit der Ladung \(\,\, A \,\, \cdot \,\, s\) statt \(C\) und für die Einheit der elektrischen Feldkonstante \(\frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\). Damit muss für den Abstand \(r\) ein Wert in der Einheit \(m\) rauskommen, andernfalls hat man falsch umgeformt. Die beiden Ladungen \(q_{1}\) und \(q_{2}\) sowie die Kraft \(F_{\,\,1, \,\, 2 \,\,}\) sind vorgegeben. Die Kraft ist in \(f N\) angegeben, wobei \(f\) für Femto steht und \(1 \,\, fN \,\, = \,\, 1 \,\, \cdot 10^{-15} \,\, N\). \(\epsilon_{0}\) ist die elektrische Feldkonstante und diese besitzt immer den Wert \(\epsilon_{0} \,\, = \,\, 8.9 \cdot 10^{-12} \,\, \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^3}\) Setzt man alles ein, kommt für den Abstand der Wert \(r \,\, = \,\, 0.000014 \,\, m \,\, = \,\, 0.014 \,\, mm = \,\, 14\,\mu m\) raus.

5 erreichbare Punkte

Was bedeutet der Begriff der Punktladung in der Elektrostatik? Nr. 4734
	Eine Punktladung ist eine Näherung für einen geladenen Körper. Man ignoriert dabei seine räumliche Ausdehnung und nimmt an, dass die gesamte Ladungsmenge des Körpers in einem Punkt (meistens dem Schwerpunkt) konzentriert ist.
	Geladene Körper welche eine sehr kleine Ladung besitzen, werden als Punktladungen bezeichnet.
	Sobald sich mehrere geladene Körper im Raum befinden, wird das Konzept der Punktladung verwendet um einen besseren Überblick zu gewinnen. Jeder geladene Körper entspricht dann einer Punktladung und erst dann können die Coloumbkräfte zwischen den einzelnen Körpern berechnet werden.
	Die Ladung eines Elementarteilchens, beispielsweise eines Elektrons.
Lösungsweg Antwort 1 ist korrekt. Das Konzept der Punktladung ist eine Idealisierung und Vereinfachung in der Elektrostatik. Jeder Körper mit einer Ladung ist auch massebehaftet und besitzt daher eine - wenn manchmal auch sehr kleine - räumliche Ausdehnung. Das Konzept ist ähnlich zur Kinematik in der klassischen Physik, wo die Bewegung von Massenpunkten betrachtet wird und nicht die von Körpern mit gewisser Ausdehnung. Man stellt sich vereinfacht vor, dass geladene Körper ihre Gesamtladung \(Q\) in genau einem Punkt konzentriert besitzen (meistens im Schwerpunkt des Körpers). Dadurch vereinfachen sich die Berechnungen von Coulombkräften und man kann z.B. die Coulombkraft zwischen 2 Körpern bei Abständen \(r\) die gegen 0 gehen betrachten, weil man die Ausdehnung der Körper vernachlässigt. Es ist daher auch wichtig zu überlegen, dass die berechneten Coulombkräfte immer diese Idealisierung miteinbeziehen und in der Realität die Coulombkraft zwischen 2 Körpern etwas anders ist als die, welche man durch die Formel der Coulombkraft berechnet. Gerade bei kugelförmigen kleinen Körpern (oder von denen wir davon ausgehen, dass sie kugelförmig sind) ist dies aber eine gute Näherung.

4 erreichbare Punkte

Wann ist ein Atom nach außen hin negativ geladen? Nr. 4753
	Wenn die Anzahl der Protonen größer als die Anzahl der Elektronen ist.
	Immer wenn die Anzahl der Protonen gleich der Anzahl der Elektronen ist.
	Wenn die Anzahl der Protonen kleiner als die Anzahl der Elektronen ist.
	Wenn die Anzahl der Protonen kleiner als die Anzahl der Neutronen ist.
Lösungsweg Antwort 3 ist korrekt. Jedes Atom hat im Kern Protonen (positiv geladen) und auf den Schalen Elektronen (negativ geladen). Wenn die Anzahl der Protonen gleich der Anzahl der Elektronen ist, dann ist das Atom nach außen hin neutral. Atome können in verschiedenen Situationen Elektronen dazu erhalten aber auch verlieren. Ein typisches Beispiel ist die Ionenbindung von 2 Atomen. In dieser gibt ein Atom Elektronen an das andere ab. Wenn ein Atom Elektronen verliert, dann hat es mehr Protonen als Elektronen (im Normalzustand hat es ja immer die selbe Anzahl Protonen und Elektronen). Es hat einen Elektronenmangel und ist damit nach außen hin positiv geladen. Wenn ein Atom Elektronen dazugewinnt, dann hat es nun mehr Elektronen als Protonen. Es hat einen Elektronenüberschuss und ist damit nach außen hin negativ geladen. Genaugenommen wird hier nicht mehr von "Atomen" gesprochen, sondern von "Ionen", also geladenen Teilchen.

4 erreichbare Punkte

Wie groß ist die Gesamtladung \(Q\) innerhalb einer homogen geladenen Kugel (mit Radius \(R\) und Ladungsdichte \(\rho\))? Nr. 4752
	\(Q \,\, = \,\, \frac{3}{4} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3 \,\, \cdot \,\, \rho^2\)
	\(Q \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3 \,\, \cdot \,\, \rho\)
	\(Q = 0\)
	\(Q \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3\)
	\(Q \,\, = \,\, \frac{1}{3} \,\, \cdot \,\, \pi ^2\,\, \cdot \,\, R^3 \,\, \cdot \,\, \rho\)
Lösungsweg Eine homogen geladene Kugel besitzt (wie der Name andeutet) eine homogene Ladungsverteilung. Die gesamte Ladungsmenge \(Q\) ist gleichförmig in der Kugel vereilt. Das bedeutet, dass dessen Ladungsdichte \(\rho\) überall in der Kugel konstant ist. Die Ladungsdichte \(\rho\) kann daher definiert werden als \(\rho \,\, = \,\, \frac{Q}{V}\), wobei V das Volumen der Kugel ist, also \(V \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3\). Hierbei ist \(R\) der Radius der Kugel. Daher ist die GesamtLadung \(Q \,\, = \,\, \frac{4}{3} \,\, \cdot \,\, \pi \,\, \cdot \,\, R^3 \,\, \cdot \,\, \rho\)

5 erreichbare Punkte

Nach der Bestrahlung mit einem Laser verliert ein Atom Elektronen und besitzt danach eine positive Ladung von Q = 3 C. Hierbei steht Q für die Ladung und C für Coulomb, der Einheit der Ladung. Welche Anzahl n an Protonen trägt zu dieser Ladung bei? Nr. 4822
	\(- \,\, 1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{-19}\)
	\( \,\, 1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{-18} \,\, C\)
	\( \,\, 1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19}\)
	Das Atom erreicht nach jedem Prozess seinen Grundzustand nach wenigen Augenblicken. Man kann es daher als nach außen hin elektrisch neutral ansehen.
Lösungsweg Antwort 3 ist korrekt! Im Grundzustand ist ein Atom nach außen hin neutral. Es besitzt die selbe Anzahl an Protonen wie auch Elektronen. Nach einer chemischen Reaktion oder einem physikalischen Prozess wie der Bestrahlung mit einem Laser können Außenelektronen das Atom verlassen. Dann ist die Anzahl der Elektronen des Atoms ungleich der Anzahl an Protonen \(\rightarrow\) Es besitzt nun nach außen hin eine elektrische Ladung Q. Diese Ladung lässt sich durch die Anzahl der Ladungsträger bestimmen welche zu dieser Ladung beitragen. Verliert ein Atom beispielsweise 3 Außenelektronen, so besitzt es 3 Protonen mehr als Elektronen. Daher ist dessen Gesamtladung gegeben durch diese 3 Protonen. Im Allgemeinen gilt: \(Q \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, e_{0}\) Hierbei ist \(e_0 \,\, = \,\, 1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19} \,\, C\) die Elementarladung. Um nun die Anzahl der relevanten Ladungsträger zu bestimmen muss die obige Gleichung nach n umgeformt werden. \(n \,\, = \,\, \frac{Q}{e_0} \,\, = \,\, \frac{3 \,\, C}{1.602 \,\, \cdot \,\, 10^{-19}\,\, C} \,\, = \,\, 1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19}\) Insgesamt tragen also \(1.87 \,\, \cdot \,\, 10^{19} \,\,\) Protonen dazu bei, dass das Atom eine äußere Ladung von \(3 \,\, C\) besitzt.

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