Antwort 5 ist korrekt.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein gutes Verständnis der Kirchhoffschen Regeln notwendig.

Mit Hilfe dieser Gesetze können die 4 Ohmschen Widerstände  \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\)  aus Schaltbild (1) zu einem gemeinsamen Ersatzwiderstand \(R\) zusammengefasst werden. 

Die Aufgabe erfolgt in Teilschritten. Man versucht zuerst Widerstände welche in Serie zueinander geschaltet sind und durch dessen der selbe Strom fließt zusammenzufassen. Anschließend fasst man parallel geschaltete Widerstände zusammen.

Im ersten Schritt werden die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) zu einem Widerstand \(R_{12}\) zusammengefasst. Die beiden Widerstände sind in Serie geschalten und in beiden fließt der selbe Teilstrom (durch den obrigen Knotenpunkt kommt es zur Aufteilung des Stroms \(I\) in die Teilströme \(I_1\) und \(I_2\)).

Eine Serienschaltung von mehreren Ohmschen Widerständen durch welche der gleiche elektrische Strom fließt können durch dessen Summe ersetzt werden. Dies folgt aus der Maschenregel. 

Wir ersetzen die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) durch dessen Summe \(R_{12}\).

\(R_{12} \,\, = \,\, R_1 \,\, + \,\, R_2 \,\, = \,\, 12 \, \Omega \,\, + \,\, 38 \,\, \Omega \,\, = \,\, 50 \,\, \Omega\)

Die nebenstehende Skizze beschreibt nun wie sich durch diesen Schritt das Schaltbild verändert hat:

Im nächsten Schritt wird die Parallelschaltung der beiden Widerstände \(R_3\) und \(R_{12}\) zu einem Widerstand \(R_{123}\) zusammengefasst.

Bei einer Parallelschaltung von mehreren Widerständen welche die gleiche Quellspannung besitzen wird die Inverse des Ersatzwiderstands durch die Summe der Inversen der einzelnen Widerstände dargestellt.

Anwendung der Knotenregel auf das Schaltbild liefert die Gleichung: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\). Anschließende Anwendung des Ohmschen Gesetzes liefert die Gleichung: \(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_{12}} \,\, \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_3} \,\, + \,\, \frac{1}{R_{12}} \,\, ) \)

Damit können die Inverse der beiden Widerstände \(R_3\) und \(R_{12}\) durch die Inverse des neuen Ersatzwiderstands \(R_{123}\) dargestellt werden : \(\frac{1}{R_{123}} \,\, = \,\, \frac{1}{R_3} \,\, + \,\, \frac{1}{R_{12}} \,\,\) 

Bei Addition und Subtraktion von Brüchen muss ein gemeinsamer Nenner gebildert werden. Anschließende Umstellung der Gleichung liefert uns den Ausdruck: 

\(R_{123} \,\, = \,\, \frac{\,\, R_{3} \,\, \cdot \,\, R_{12} \,\,}{\,\, R_{3} \,\, + \,\, R_{12} \,\,} \,\, \)

\(R_{123} \,\, = \,\, \frac{\,\, 50 \, \Omega \,\, \cdot \,\, 50 \, \Omega \,\,}{\,\, 50 \, \Omega \,\, + \,\, 50 \, \Omega \,\,} \,\, = \,\, 25\, \Omega\)

Die nebenstehende Skizze beschreibt nun wie sich durch diesen Schritt das Schaltbild verändert hat:

Durch die beiden Widerstände \(R_{123}\) und \(R_4\) fließ jetzt der selbe Gesamtstrom \(I\) und daher können die beiden Widerstände (wie im ersten Schritt) durch dessen Summe ersetzt werden.

\(R \,\, = \,\, R_4 \,\, + \,\, R_{123} \,\, = \,\, 25 \, \Omega \,\, + \,\, 25 \, \Omega \,\, = \,\, 50 \, \Omega \,\, \)

Jetzt ist unser Schaltbild gleich dem fertigen Ersatzschaltbild (2).

Es muss nur noch der Strom \(I\) selbst berechnet werden.

Dies geschieht am Einfachsten durch Anwendung des Ohmschen Gesetzes auf das Ersatzschaltbild (2).

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R} \,\, = \,\, \frac{9 \,\, V}{50 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 0.18 \,\, A \,\, \)

Um zu Überprüfen ob auch die Berechnungen richtig sind, kann auch der Gesamtstrom im ursprünglichen Schaltbild (1) bestimmt werden. Dies führt auf ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten \(I_1\), \(I_2\) und \(I\).

Dieses kann entweder mit einem Computerprogram oder durch Einsatzes des Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden.

Antwort 1 ist korrekt.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein gutes Verständnis der Kirchhoffschen Regeln notwendig. 

Mit Hilfe dieser Gesetze können die 4 Ohmschen Widerstände  \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\)  aus Schaltbild (1) zu einem Widerstand \(R\) zusammengefasst werden. 

Um zu überprüfen ob die Berechnung des Ohmschen Widerstands \(R\)  korrekt verlaufen ist, kann der Gesamtstrom \(I\) in beiden Schaltbildern bestimmt werden. Für eine korrekte Berechnung muss Der Gesamtstrom \(I\) in beiden Schaltbildern gleich sein.

Die Aufgabe erfolgt in Teilschritten.

Im ersten Schritt werden die Widerstände \(R_3\) und \(R_4\) zu einem Widerstand \(R_{34}\) zusammengefasst.

Eine Serienschaltung von mehreren Ohmschen Widerständen durch welche der gleiche elektrische Strom fließt können durch dessen Summe ersetzt werden. Dies folgt aus der Maschenregel. 

(Vorsicht: Dies geht wirklich nur wenn der gleiche Strom durch die Widerstände fließt. Wir können also NICHT! die drei Widerstände \(R_1\), \(R_3\) und \(R_4\) durch dessen Summe ersetzen. Durch \(R_1\) fließt der Gesamtstrom \(I\) und durch die Widerstände \(R_3\) und \(R_4\) fließt der Teilstrom \(I_2\).)

Wir ersetzen die Widerstände \(R_3\) und \(R_4\) durch dessen Summe \(R_{34}\).

\(R_{34} \,\, = \,\, R_3 \,\, + \,\, R_4 \,\, = \,\, 30 \, \Omega \,\, + \,\, 60 \,\, \Omega \,\, = \,\, 90 \,\, \Omega\)

Die nebenstehende Skizze beschreibt nun das neue Schaltbild:

Im nächsten Schritt wird die Parallelschaltung der beiden Widerstände \(R_2\) und \(R_{34}\) in einen Widerstand \(R_{234}\) zusammengefasst.

Eine Parallelschaltung von mehreren Widerständen welche die gleiche Quellspannung besitzen wird durch die Summe von dessen Kehrwerten ersetzt. 

Anwendung der Knotenregel auf das Schaltbild liefert die Gleichung: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\). Anschließende Anwendung des Ohmschen Gesetzes liefert die Gleichung: \(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_{34}} \,\, \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_{34}} \,\, ) \)

Damit können die Kehrwerte der beiden Widerstände \(R_2\) und \(R_{34}\) durch den Kehrwert des neuen Widerstands \(R_{234}\) ersetzt werden : \(\frac{1}{R_{234}} \,\, = \,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_{34}} \,\,\) 

Bei Addition und Subtraktion von Brüchen muss ein gemeinsamer Nenner gebildert werden. Anschließende Umstellung der Gleichung liefert uns den Ausdruck: 

\(R_{234} \,\, = \,\, \frac{\,\, R_{2} \,\, \cdot \,\, R_{34} \,\,}{\,\, R_{2} \,\, + \,\, R_{34} \,\,} \,\, \)

\(R_{234} \,\, = \,\, \frac{\,\, 45 \, \Omega \,\, \cdot \,\, 90 \, \Omega \,\,}{\,\, 45 \, \Omega \,\, + \,\, 90 \, \Omega \,\,} \,\, = \,\, 30\, \Omega\)

Die nebenstehende Skizze beschreibt das neue Schaltbild:

Durch die beiden Widerstände \(R_{234}\) und \(R_1\) fließ jetzt der selbe Gesamtstrom \(I\) und daher können die beiden Widerstände (wie im ersten Schritt) durch dessen Summe ersetzt werden.

\(R \,\, = \,\, R_1 \,\, + \,\, R_{234} \,\, = \,\, 10 \, \Omega \,\, + \,\, 30 \, \Omega \,\, = \,\, 40 \, \Omega \,\, \)

Jetzt ist unser Schaltbild gleich dem vereinfachten Schaltbild (2).

Jetzt muss nur noch der Strom \(I\) selbst berechnet werden.

Dies geschieht am Einfachsten durch Anwendung des Ohmschen Gesetzes auf das Ersatzschaltbild (2).

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R} \,\, = \,\, \frac{8 \,\, V}{40 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 0.2 \,\, A \,\, \)

Wenn man überprüfen möchte ob man den Widerstand \(R\) richtig bestimmt hat, dann berechnet man auch den \(I\) den Gesamtstrom im Schaltbild (1).

Dazu müssen erst die beiden Teilströme \(I_1\) und \(I_2\) bestimmt werden. Dies erfordert aber in diesem Beispiel das Lösen eines Gleichungssystems mit 3 Unbekannten \(I_1\), \(I_2\) und \(I\) worauf hier aber nicht weiter eingegangen wird.

Wir wissen:

In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Entsprechend der technischen Stromrichtung fließt der Strom zunächst vom positiven Pol weg (würde man den Strom in die andere Richtung eintragen, würden sich lediglich die Vorzeichen umdrehen - das Ergebnis wäre das selbe). Im ersten Knotenpunkt muss sich daher der zufließende Strom in die Teilströme \(I1\) und \(I3\) wie im Bild gezeigt aufteilen. Die Ströme \(I2\) und \(I4\) ergeben sich sich analog.

Dabei ist zu beachten, dass zu- und abfließende Ströme unterschiedliche Vorzeichen erhalten. Üblicherweise wird für zufließende ein positives und für abfließende entsprechend ein negatives Vorzeichen gewählt.

Somit ergibt sich:

\(I3-I4-I=0 \) für Knotenpunkt A

\(I1+I-I2=0\) für Knotenpunkt B

Antwort 4 ist korrekt.

Hier ist eine gute Kenntnis der Kirchhoffschen Regeln notwendig.

Wiederholung zu Kirchhoffschen Regeln:

Die Knotenregel besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen. Damit die Summe 0 wird ist es zwecksmäßig zufließende Ströme mit einem positiven Vorzeichen und abfließende Ströme mit einem negativen Vorzeichen  zu beschriften (umgekehrt geht es auch).

Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen (Spannungsquellen und Spannungsabfälle) in einer Masche gleich 0 ist. Dabei ist eine Masche definiert als ein geschlossener Umlauf in der Schaltung. Wie bei der Knotenregel müssen auch die Spannungen mit entsprechenden Vorzeichen versehen werden mit deren Summe 0 wird. Bei nur einer Spannungsquelle ist es zweckmäßig die Quellspannung mit einem positiven Vorzeichen und alle Spannungsabfälle mit einem negativen Vorzeichen kennzuzeichnen (umgekehrt geht es auch). Ebenso kann man den Umlaufsinn von Quellspannungen und Spannungabfälle im Schaltbild einzeichen und alle in Uhrzeigersinn gerichteten Spannungen mit einem positiven und alle gegen den Uhrzeigersinn gerichteten Spannungen mit einem negativen Vorzeichen zu beschriften.

Wendet man die Knotenregel auf den 1. Knoten oben im Schaltbild an erhält man die Gleichung: 

\(I \,\, - \,\, I_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Wendet man die Knotenregel auf den 2. Knoten unten im Schaltbild an erhält man die Gleichung:

\(I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\, - \,\, I \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Beide Gleichungen sind ident: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\)

Wendet man die Maschenregel in der ersten, linken Masche an, erhält man die Spannungsgleichung: 

\(U_0 \,\, - \,\, U_1 \,\, - \,\, U_3 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können die Spannungsabfälle \(U_1\) und \(U_3\) ersetzt werden:

\(U_0 \,\, - \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Wendet man die Maschenregel in der zweiten Masche (äußerste) an, erhält man die Spannungsgleichung: 

\(U_0 \,\, - \,\, U_2 \,\, - \,\, U_3 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können die Spannungsabfälle  \(U_2\) und \(U_3\) ersetzt werden:

\(U_0 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Wendet man die Maschenregel in der dritten, rechten Masche (äußerste) an, erhält man die Spannungsgleichung: 

\(U_1 \,\, - \,\, U_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes können die Spannungsabfälle  \(U_1\) und \(U_2\) ersetzt werden:

\(I_1 \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Vergleicht man die aufgestellten Gleichungen mit den Antworten, so erkennt man, dass Antwort 4 die Einzige ist bei welcher alle 4 Gleichungen korrekt sind.

Antwort 2 ist korrekt.

Die Skizze zeigt einen Knotenpunkt in dem die 2 Ströme \(I_{1}\) und \(I_{2}\) reinfließen und die Summe der beiden Ströme \(I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\) ausfließt.

Diese oben beschriebene Tatsache wird direkt durch die Knotenregel beschrieben.

Die Knotenregel besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen. Damit die Summe 0 wird ist es zwecksmäßig zufließende Ströme mit einem positiven Vorzeichen und abfließende Ströme mit einem negativen Vorzeichen  zu beschriften (umgekehrt geht es auch).

Keine Ladung darf an einem Knoten verloren gehen und daher spricht man auch von der Erhaltung der Ladung.

Anders ausgedrückt: Die algebraische Summe der bei einem Knotenpunkt auftretenden Ströme (zufließend und abfließend) ist gleich 0.

Antwort 2 ist korrekt.

Die Regeln der Kirchhoffschen Gesetze müssen verwendet werden um diese Aufgabe zu lösen.

Dazu werden zuerst durch Anwandung der Maschenregel alle Widerstände zusammengefasst durch welche der selbe Strom fließt.

Durch Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) fließt der selbe Strom \(I_1\).

Aus der Maschenregel ergibt die Spannungsgleichung: \(U_0 \,\, = \,\, U_1 \,\, + \,\, U_2 \,\,\).

Durch Anwendung des Ohmschen Gesetzes verändert sich die Gleichung zu: \(U_0 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, + \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, (\,\, R_1 \,\, + \,\, R_2 \,\,) \,\,\)

Und dadurch kann man die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) zum Gesamtwiderstand \(R_{1 \,\, 2}\) zusammenfassen. \(R_{1 \,\, 2} \,\, = \,\, R_1 \,\, + \,\, R_2 \,\,\)

Nun haben wir statt den beiden Einzelwiderstände \(R_1\) und \(R_2\) einen Gesamtwiderstand \(R_{1 \,\, 2}\). Die Schaltung ist nun also eine Parallelschaltung von den beiden Widerständen \(R_{1 \,\, 2}\) und \(R_3\).

Durch Anwendung der Knotenregel kann man die beiden Widerstände \(R_{1 \,\, 2}\) und \(R_3\) zu einem gemeinsamen Widerstand \(R\) zusammenfassen:

\(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_{12}} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_{12}} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \,\,)\,\,\)

Damit gilt: \(\,\, \frac{1}{R} \,\, = \,\, \frac{1}{R_{12}} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \) und durch Anwendung der Regeln des Bruchrechnens kann diese Gleichung nach \(R\) umgeformt werden.

Für die Parallelschaltungen aus den 2 Widerständen \(R_{1 \,\, 2}\) und \(R_3\) gilt folgende Gleichung: \(R \,\, = \,\, \frac{\,\, R_{12} \,\, \cdot \,\, R_3 \,\,}{\,\, R_{12} \,\, + \,\, R_3 \,\,}\)

Mit den gebenen Widerstandswerten kann jetzt der gemeinsame Widerstand R bestimmt werden.

\(R_{1 \,\, 2} \,\, = \,\, 6 \,\, \Omega \,\, + \,\, 4 \,\, \Omega \,\, = \,\, 10 \,\, \Omega\)

\(R \,\, = \,\, \frac{\,\, 10 \,\, \Omega \,\, \cdot \,\, 10 \,\, \Omega \,\,}{\,\, 10 \,\, \Omega \,\, + \,\, 10 \,\, \Omega \,\,} \,\, = \,\, 5 \,\, \Omega\)

Durch Anwendung der Gesetze von Kirchoff ersetzen wir mehrere Widerstand mit einem Einzelnen und daher muss der Gesamtstrom \(I\) in beiden Schaltungen gleich sein. Man kann den Gesamtstrom \(I\) nach der Knotenregel in Schaltung berechnen (dazu müssen aber die Teilströme \(I_1\) und \(I_2\) bestimmt werden) oder wir berechnen den Gesamtstrom \(I\) in Schaltung 2 direkt durch das Ohmsche Gesetz.

Es gilt \(U_0 \,\, = \,\, I \,\, \cdot \,\, R \,\, \) und daher \(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R} \,\, = \,\, \frac{\,\, 10 \,\, V \,\,}{\,\, 5 \,\, \Omega \,\,} \,\, = \,\, 2 \,\, A \,\,\)

Antwort 4 ist korrekt.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein gutes Verständnis der 1. Kirchhoffschen Regel, der Knotenregel nötig um sich den Zusammenhang zwischen den 3 parallel geschalteten Widerständen in Schaltung (1) und dem Ersatzwiderstand \(R\) in Schaltung (2) herzuleiten.

Der Strom \(I\) kann auf 2 Möglichkeiten bestimmt werden.

Zum Einen kann er durch Bestimmung der Teilströme und anschließender Anwendung der Knotenregel in Schaltung 1 berechnet werden.

Einfacher kann er durch direkte Anwendung des Ohmschen Gesetzes (mit Hilfe des berechneten Ersatzwiderstand \(R\)) in Schaltung 2 bestimmt werden.

(Im Schaltbild (1) sind ebenso die Spannungsabfälle \(U_1\), \(U_2\) und  \(U_3\) sowie der Spannungsanfall \(U\) im Ersatzschalbild (2) eingezeichnet. Diese werden jedoch für dieses Beispiel nicht in die Berechnung miteinbezogen.)

Um sich die Beziehung zwischen den einzelnen Widerständen \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) und den Ersatzwiderstand \(R\) herzuleiten muss die Knotenregel auf das Schaltbild (1) angewandt werden.

Diese besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen.

Im ersten Knotenpunkt teilt sich der Gesamtstrom \(I\) in 2 Teilströme \(I_1\) und \(I_x\) auf. Dadurch erhält man durch die Knotenregel die Gleichung \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_x \,\,\). 

Der Strom \(I_x\) teilt sich  im nächsten Knotenpunkt auf weitere 2 Teilströme \(I_2\) und \(I_3\) und für den 2. Knotenpunkt gilt nach der Knotenregel die Gleichung: \(I_x \,\, = \,\, I_2 \,\, + \,\, I_3 \,\,\)

Daher gilt für den 1. Knotenpunkt die Gleichung \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,+ \,\, I_3 \,\,\). Hierbei war also \(I_x\) nur ein Übergangsstrom welcher nur für die Herleitung dieser Gleichung relevant ist aber von jetzt an keine Bedeutung mehr in unseren Berechnungen hat. Ebenso gilt die selbe Gleichung für unteren Knotenpunkt (Der selbe Gesamtstrom muss zur Spannungsquelle wieder zufließen).

Als nächstes wird das Ohmsche Gesetz (\(U \,\, = \,\, R \,\, \cdot \,\, I \,\,\)) auf jeden der Teilströme angewandt und die vorige Gleichung verändert sich zu:

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\,+ \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\,\)  Diese Gleichung kann umgeformt werden zu \(I \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \,\, ) \)

Daraus folgt die Beziehung zwischen dem Ersatzwiderstand \(R\) und den 3 Einzelwiderständen \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\):

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \,\,\)

Wir wollen die Gleichung nach dem Ersatzwiderstand \(R\) umformen um diesen berechnen zu können.

(Falls die Lösung von Bruchgleichungen kein Problem für Sie darstellt, können Sie den folgenden Abschnitt überspringen.)

Bei der Addition/Subtraktion von Brüchen muss der gemeinsame Nenner gefunden werden. Bei 3 oder mehr Brüchen ist es am Einfachsten den gemeinsamen Nenner als das Produkt von allen Einzelnennern zu setzen: 

Gemeinsamer Nenner (GN) : \(R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, \)

Nun wird der Zähler von jedem Bruch mit denjenigen Faktoren vom GN multipliziert, welche nicht im Nenner vorkommen. 

Daher für den ersten Bruch: \(\frac{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\) , für den zweiten Bruch: \(\frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\), für den dritten Bruch: \(\frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\)

Diese ersetzen die Gleichung und anschließend können alle Zähler unter den gleichen Nenner gesetzt werden:

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\ \frac{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, + \,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\,+\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\)

Durch Multiplizieren und Dividieren kann diese Gleichung nach R umgeformt werden: 

 \(R \,\, = \,\, \frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, + \,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\,+\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}\)

Durch Einsetzen der einzelnen Widerstände in die obrige Gleichung erhalten wir für den Ersatzwiderstand \(R\):

\(R \,\, = \,\, 1.2 \,\, \Omega \,\,\)

Durch Anwendung des Ohmschen Gesetztes auf die Ersatzschaltung (2) kann auch der Strom \(I\) bestimmt werden.

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{1.2 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 5 \,\, A \,\,\)

Alternativ:

Ebenso kann der Strom \(I\) als Summe der Teilströme \(I_1\), \(I_2\) und \(I_3\) bestimmt werden.

\(I_1 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{4 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 1.5 \,\, A\)

\(I_2 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{2 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 3 \,\, A\)

\(I_3 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{12 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 0.5 \,\, A\)

\(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,+ \,\, I_3 \,\, = \,\, 1.5 \,\, A \,\, + \,\, 3 \,\, A \,\, + \,\, 0.5 \,\, A \,\, = \,\, 5 \,\, A \,\,\)

Wie bereits am Anfang erwähnt muss der Strom \(I\) in der Schaltung (1) und in der Ersatzschaltung (2) der Gleiche sein. Unsere Rechnungen bestätigen dies.

Die Kirchhoff'schen Gesetze sind die Basis für die Analyse einer elektrischen Schaltung/Netzwerk.

Bei Kenntnis von bestimmten elektrischen Größen in einer Schaltung können die Kirchhoff'schen Gesetze verwendet werden, um die unbekannten elektrischen Größen in der Schaltung zu berechnen.

Man unterscheidet zwischen der Maschenregel, welche besagt, dass die Summe aller Spannungen in einem geschlossenen Umlauf gleich 0 ist und der Knotenregel, welche besagt, dass die Summe von zufließenden und abfließenden Strömen in einem Knoten gleich 0 ist.

Maschenregel: \(\sum\limits_{i = 1}^{N} \,\, U_i \,\, = \,\, 0\) 

Bei der Maschenregel ist zu beachten, dass alle Quellenspannungen (Spannungen, welche von Spannungsquellen wie Batterien und Akkumulatoren der Schaltung zur Verfügung gestellt werden) ein positives Vorzeichen erhalten. Spannungsabfälle an Verbrauchern (Widerstände, Lampen, etc.) erhalten ein negatives Vorzeichen. Die Summe der Spannungen soll ja 0 werden.

Knotenregel: \(\sum\limits_{i = 1}^{N} \,\, I_i \,\, = \,\, 0\)

Bei der Knotenregel ist zu beachten, dass zum Knoten zufließende Ströme ein positives Vorzeichen und vom Knoten abfließende Ströme ein negatives Vorzeichen erhalten.

Wenn man die Knotenregel an jedem der 4 Knoten der Schaltung anwendet, kommt man auf Gleichung: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\, + \,\, I_3 \,\,\) wobei \(I\) der Gesamtstrom ist, welcher sich durch die Knoten in Teilströme aufspaltet.

Hier kommen wir aber noch nicht wirklich weiter, da wir keine der vorkommenden Größen kennen. Mit der Knotenregel können wir also nicht mit der Berechnung starten.

Wir müssen daher mit der Maschenregel beginnen. Hier ist egal, welche Masche wir zuerst wählen.

Einfachheitshalber betrachten wir zuerst die inneren Maschen. Daher starten wir mit der ganz linken Masche zuerst.

Anwendung der Maschenregel gibt uns die Gleichung: \(\,\, U_0 \,\, - \,\, U_1 \,\, - \,\, U_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\(U_0\) ist die Spannung, welche von der Batterie zur Verfügung gestellt wird, und daher hat sie ein positives Vorzeichen. An den Widerständen gibt es Spannungsabfälle und daher besitzen \(U_1\) und \(U_2\) negative Vorzeichen.

Umformen der Gleichung liefert: \(\,\, U_0 \,\, = \,\, U_1 \,\, + \,\, U_2 \,\,\) und durch Anwenden des Ohm'schen Gesetzes (\(U \,\, = \,\ I \,\ \cdot \,\ R \,\\)) kommen wir auf die Gleichung: \(\,\, U_0 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, + \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\,\). Durch die beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) fließt der Teilstrom \(I_1\).

Diese Gleichung kann jetzt umgeformt werden, sodass wir direkt den Teilstrom \(I_1\) berechnen können: \(I_1 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1 \,\, + \,\, R_2}\)

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt für uns einen Teilstrom von \(I_1 \,\, = \,\, 0.2 \,\, A \,\, \).

Jetzt können wir durch das Ohm'sche Gesetz die Spannungsabfälle \(U_1\) und \(U_2\) in dieser Masche bestimmen:

\(U_1 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_1\) und  \(U_2 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2\) und wir erhalten: \(U_1 \,\, = \,\,1 \,\, V\) und \(U_2 \,\, = \,\, 7 \,\, V \,\,\).

Genau das gleiche Prinzip kann auf alle anderen Maschen angewendet werden, um die Teilströme und Spannungsabfälle zu berechnen. Anschließend kann nach Berechnung der Teilströme der Gesamtstrom durch die Kirchhoff'sche Regel bestimmt werden.

Anwendung der Maschenregel auf die 2. äußerste Masche liefert uns die Spannungsgleichung: \(\,\, U_0 \,\, = \,\, U_3 \,\,\)

Anwendung des Ohm'schen Gesetzes liefert uns für den Teilstrom \(I_2\) die Gleichung: \(I_2 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_3}\)

Damit erhalten wir durch Einsetzen der gegebenen Werte: \(U_3 \,\, = \,\, 8 \,\, V \,\,\) und \(I_2 \,\, = \,\, 0.8 \,\, A \,\,\)

Das selbe Prinzip verwenden wir auf die dritte Masche (ganz äußerste) und erhalten die Spannungsgleichung: \(U_0 \,\, = \,\, U_4 \,\, + \,\, U_5 \,\, + \,\, U_6 \,\,\)

Anwendung des Ohm'schen Gesetzes liefert uns für den Teilstrom \(I_3\) die Gleichung: \(I_3 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_4 \,\, + \,\, R_5 \,\, + \,\, R_6} \)

Somit erhalten wir durch Einsetzen der gegebenen Werte: \(I_3 \,\, = \,\, 1 \,\, A \,\,\), \(U_4 \,\, = \,\, 3\,\, V \,\,\), \(U_5 \,\, = \,\, 2\,\, V \,\,\) und \(U_6 \,\, = \,\, 3\,\, V \,\,\)

Es fehlt noch der Gesamtstrom \(I\), aber diesen können wir jetzt durch die Knotenregel direkt berechnen: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\, + \,\, I_3 \,\,\)

\(I \,\, = \,\, 0.2\,\, A \,\, + \,\, 0.8 \,\, A \,\, + \,\, 1\,\, A \,\, = \,\, 2 \,\, A \,\,\)