Der Maschensatz besagt folgendes:

Alle Teilspannungen einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null. Die Richtung für den Umlauf kann beliebig gewählt werden, ist sie jedoch einmal festgelegt, dann bestimmt sie die Vorzeichen der Teilspannungen. Wenn Zählpfeile entgegen die Umlaufrichtung zeigen, sind die Spannungen mit umgekehrtem Vorzeichen zu versehen.

Dabei haben die Urspannungen (Spannungsquellen) ein anderes Vorzeichen als die Teilspannungen (Spannungsabfälle in einer Masche).

Um den Maschensatz anwenden zu können, müssen zunächst die Stromrichtungen eingetragen werden:

Entsprechend der technischen Stromrichtung fließt der Strom zunächst vom positiven Pol weg (würde man den Strom in die andere Richtung eintragen, würden sich lediglich die Vorzeichen umdrehen - das Ergebnis wäre das selbe). Im ersten Knotenpunkt muss sich daher der zufließende Strom in die Teilströme \(I1\) und \(I3\) wie im Bild gezeigt aufteilen. Die Ströme \(I2\) und \(I4\) ergeben sich sich analog.

Nun können nach dem Ohm'schen Gesetz:

\(U = R\cdot I\)

die Teilspannungen ermittelt werden.

Somit ergeben sich folgende Gleichungen:

\(R1\cdot I1+R2\cdot I2=UB \) für Masche \(I\)

\(R3\cdot I3+R\cdot I-R1\cdot I1=0\) für Masche \(II\)

\(R4\cdot I4-R2\cdot I2-R\cdot I=0\) für Masche \(III\)

Antwort 3 ist korrekt.

Das Schaltbild stellt ein Gleichstromnetzwerk mit 2 Knoten und 3 Maschen dar. Die Spannungsquelle ist hier eine Batterie welche eine Gleichspannung liefert und damit fließt auch nur ein Gleichstrom durch die Schaltung.

Um die Stromstärken \(I\), \(I_1\) und \(I_3\) zu berechnen ist ein gutes Verständnis der Kirchhoffschen Gesetze notwendig. Ebenso ist hier die Kenntnis vom Gauß-Algorithmus notwendig welches für das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit 3 Unbekannten verwendet wird.

Zuerst müssen korrekte Gleichungen aufgestellt werden in denen die unbekannten Größen vorkommen. Bei 3 unbekannten Größen müssen 3 Gleichungen aufgestellt werden bevor man das Gauß-Verfahren anwenden kann.

Die gesuchten Gleichungen liefern uns die Kirchhoffschen Regeln. 

Die Kirchhoffschen Regeln beinhalten die Maschenregel und Knotenregel.

Wiederholung zu Kirchhoffschen Regeln:

Die Knotenregel besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen. Damit die Summe 0 wird ist es zwecksmäßig zufließende Ströme mit einem positiven Vorzeichen und abfließende Ströme mit einem negativen Vorzeichen  zu beschriften (umgekehrt geht es auch).

Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen (Spannungsquellen und Spannungsabfälle) in einer Masche gleich 0 ist. Dabei ist eine Masche definiert als ein geschlossener Umlauf in der Schaltung. Wie bei der Knotenregel müssen auch die Spannungen mit entsprechenden Vorzeichen versehen werden mit deren Summe 0 wird. Bei nur einer Spannungsquelle ist es zweckmäßig die Quellspannung mit einem positiven Vorzeichen und alle Spannungsabfälle mit einem negativen Vorzeichen kennzuzeichnen (umgekehrt geht es auch). Ebenso kann man den Umlaufsinn von Quellspannungen und Spannungabfälle im Schaltbild einzeichen und alle in Uhrzeigersinn gerichteten Spannungen mit einem positiven und alle gegen den Uhrzeigersinn gerichteten Spannungen mit einem negativen Vorzeichen zu beschriften.

Die Knotenregel liefert an beiden Knotenpunkten die selbe Gleichung: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\)

Durch die Maschenregel stellen wir 2 weitere Gleichungen auf. Dabei ist es egal welche Masche gewählt wird.

Die erste Masche liefert die Spannungsgleichung: \(U_0 \,\, - \,\, U_1 \,\, - \,\, U_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\) 

Anwenden des Ohmschen Gesetzes auf die obrige Gleichung liefert: \(U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Die dritte Masche (ganz äußerste) liefert die Spannungsgleichung: \(U_0 \,\, - \,\, U_1 \,\, - \,\, U_3 \,\, - \,\, U_4 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Anwenden des Ohmschen Gesetzes auf die obrige Gleichung liefert: \(U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_4 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Das fertige Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:

\((1) \,\, : \,\,\,\, I \,\, - \,\, I_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((2) \,\, : \,\,\,\, U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((3) \,\, : \,\,\,\, U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_4 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Eingesetzt mit den gegebenen Werten:

\((1) \,\, : \,\,\,\, I \,\, - \,\, I_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((2) \,\, : \,\,\,\,10 \, V \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, 5 \, \Omega \,\, - \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, 6 \, \Omega \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((3) \,\, : \,\,\,\,10 \, V \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, 5 \, \Omega \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, 8 \, \Omega \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, 4 \, \Omega \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Nun kann der Gaußsche Algorithmus (auch Gaußsches Eliminationsverfahren genannt) angewendet werden. Dabei werden Gleichungen mit multiplikativen Konstanten multipliziert und Gleichungen miteinander addiert/subtrahiert. Da dies äquivalente Umformungen sind, verändert sich die Lösungsmenge der Gleichungen nicht.

Das Ziel ist es die Gleichungen so umzuformen damit Unbekannte Größen auf einfachere Weise direkt gelöst werden können.

Der unten vorgestellte Lösungsweg ist nur ein möglicher von Vielen. Es muss nicht unbedingt nach diesem vorgegangen werden. Wichtig ist nur, dass die richtigen Stromstärken berechnet werden.

Üblicherweise versucht man beim Gauß-Algorithmus (Gaußschen Eliminationsverfahren) das Gleichungssystem in eine Dreiecksform umzuwanden. In der unten vorgestellten Lösungsmethode werden einfacherweise 2 Gleichungen so umgestaltet, sodass beide die selben 2 unbekannten Größen besitzen. Anschließend wird das nun vereinfachte Gleichungssystem mit nur 2 unbekannten Größen gelöst.

Im ersten Schritt wird Gleichung (3) von Gleichung (2) subtrahiert. Damit wird die unbekannte Größe \(I\) eliminiert.

\((2) \,\, - \,\, (3) \,\,\,\, : \,\, -\,6 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, + \,\, 12 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Wir kennzeichnen die neue Gleichung mit 2*.

Im nächsten Schritt Gleichung (1) mit der Konstante 5 multipliziert und anschließend wird diese Gleichung zu Gleichung (3) addiert:

\((3) \,\, + \,\, 5 \, \cdot \, (1) \,\,\,\,\,\,\,\, : \,\,\,\,\,\, 10 \, V \,\, -\,5 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, - \,\, 17 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Wir kennzeichnen die neue Gleichung als 3*.

Unser Gleichungssystem sieht jetzt folgendermaßen aus:

 \((1) \,\, : \,\,\,\, I \,\, - \,\, I_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((2*) \,\,\,\, : \,\, -\,6 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, + \,\, 12 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((3*) \,\,\,\,\,\,\,\, : \,\,\,\,\,\, -\,5 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, - \,\, 17 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 10 \, V \,\,\)

Gleichung 2* und 3* besitzen beide die selben 2 Unbekannten. Daher kann auf die beiden Gleichungen eines der herkömmlichen Verfahren zur Lösung von Gleichungssystem mit 2 Unbekannten verwendet werden (Eliminationsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren).

Hier wurde zuerst das Additionsverfahren verwendet um die unbekannte Stromstärke \(I_2\) zu berechnen. Dazu wird Gleichung 2* mit der Konstante 5 multipliziert. Gleichung 3* wird mit der Konstante 6 multipliziert. Mit anschließendem Addieren der beiden modifizierten Gleichungen eliminieren wir die Unbekannte \(I_1\) und können somit die unbekannte Stromstärke \(I_2\) bestimmen.

\(I_2 \,\, = \,\, 0.37037037 \,\, A \,\, \approx \,\, 0.37 \,\, A \,\,\)

Jetzt kann der berechnete Wert für \(I_2\) in eine der modifizierten Gleichungen eingesetzt werden damit \(I_1\) berechnet werden kann. Anschließend können beide Werte für \(I_1\) und \(I_2\) in die ursprüngliche Gleichung (1) eingesetzt werden um die Stromstärke \(I\) zu bestimmen.

\(I_1 \,\, = \,\, 0.74074074 \,\, A \,\, \approx \,\, 0.74 \,\, A \,\,\)

\(I \,\, = \,\, 1.111111112 \,\, A \,\, \approx \,\, 1.11 \,\, A \,\,\)

Antwort 2 ist korrekt.

Die Skizze zeigt einen Knotenpunkt in dem die 2 Ströme \(I_{1}\) und \(I_{2}\) reinfließen und die Summe der beiden Ströme \(I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\) ausfließt.

Diese oben beschriebene Tatsache wird direkt durch die Knotenregel beschrieben.

Die Knotenregel besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen. Damit die Summe 0 wird ist es zwecksmäßig zufließende Ströme mit einem positiven Vorzeichen und abfließende Ströme mit einem negativen Vorzeichen  zu beschriften (umgekehrt geht es auch).

Keine Ladung darf an einem Knoten verloren gehen und daher spricht man auch von der Erhaltung der Ladung.

Anders ausgedrückt: Die algebraische Summe der bei einem Knotenpunkt auftretenden Ströme (zufließend und abfließend) ist gleich 0.

Antwort 5 ist korrekt.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein gutes Verständnis der Kirchhoffschen Regeln notwendig.

Mit Hilfe dieser Gesetze können die 4 Ohmschen Widerstände  \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\)  aus Schaltbild (1) zu einem gemeinsamen Ersatzwiderstand \(R\) zusammengefasst werden. 

Die Aufgabe erfolgt in Teilschritten. Man versucht zuerst Widerstände welche in Serie zueinander geschaltet sind und durch dessen der selbe Strom fließt zusammenzufassen. Anschließend fasst man parallel geschaltete Widerstände zusammen.

Im ersten Schritt werden die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) zu einem Widerstand \(R_{12}\) zusammengefasst. Die beiden Widerstände sind in Serie geschalten und in beiden fließt der selbe Teilstrom (durch den obrigen Knotenpunkt kommt es zur Aufteilung des Stroms \(I\) in die Teilströme \(I_1\) und \(I_2\)).

Eine Serienschaltung von mehreren Ohmschen Widerständen durch welche der gleiche elektrische Strom fließt können durch dessen Summe ersetzt werden. Dies folgt aus der Maschenregel. 

Wir ersetzen die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) durch dessen Summe \(R_{12}\).

\(R_{12} \,\, = \,\, R_1 \,\, + \,\, R_2 \,\, = \,\, 12 \, \Omega \,\, + \,\, 38 \,\, \Omega \,\, = \,\, 50 \,\, \Omega\)

Die nebenstehende Skizze beschreibt nun wie sich durch diesen Schritt das Schaltbild verändert hat:

Im nächsten Schritt wird die Parallelschaltung der beiden Widerstände \(R_3\) und \(R_{12}\) zu einem Widerstand \(R_{123}\) zusammengefasst.

Bei einer Parallelschaltung von mehreren Widerständen welche die gleiche Quellspannung besitzen wird die Inverse des Ersatzwiderstands durch die Summe der Inversen der einzelnen Widerstände dargestellt.

Anwendung der Knotenregel auf das Schaltbild liefert die Gleichung: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\). Anschließende Anwendung des Ohmschen Gesetzes liefert die Gleichung: \(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_{12}} \,\, \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_3} \,\, + \,\, \frac{1}{R_{12}} \,\, ) \)

Damit können die Inverse der beiden Widerstände \(R_3\) und \(R_{12}\) durch die Inverse des neuen Ersatzwiderstands \(R_{123}\) dargestellt werden : \(\frac{1}{R_{123}} \,\, = \,\, \frac{1}{R_3} \,\, + \,\, \frac{1}{R_{12}} \,\,\) 

Bei Addition und Subtraktion von Brüchen muss ein gemeinsamer Nenner gebildert werden. Anschließende Umstellung der Gleichung liefert uns den Ausdruck: 

\(R_{123} \,\, = \,\, \frac{\,\, R_{3} \,\, \cdot \,\, R_{12} \,\,}{\,\, R_{3} \,\, + \,\, R_{12} \,\,} \,\, \)

\(R_{123} \,\, = \,\, \frac{\,\, 50 \, \Omega \,\, \cdot \,\, 50 \, \Omega \,\,}{\,\, 50 \, \Omega \,\, + \,\, 50 \, \Omega \,\,} \,\, = \,\, 25\, \Omega\)

Die nebenstehende Skizze beschreibt nun wie sich durch diesen Schritt das Schaltbild verändert hat:

Durch die beiden Widerstände \(R_{123}\) und \(R_4\) fließ jetzt der selbe Gesamtstrom \(I\) und daher können die beiden Widerstände (wie im ersten Schritt) durch dessen Summe ersetzt werden.

\(R \,\, = \,\, R_4 \,\, + \,\, R_{123} \,\, = \,\, 25 \, \Omega \,\, + \,\, 25 \, \Omega \,\, = \,\, 50 \, \Omega \,\, \)

Jetzt ist unser Schaltbild gleich dem fertigen Ersatzschaltbild (2).

Es muss nur noch der Strom \(I\) selbst berechnet werden.

Dies geschieht am Einfachsten durch Anwendung des Ohmschen Gesetzes auf das Ersatzschaltbild (2).

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R} \,\, = \,\, \frac{9 \,\, V}{50 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 0.18 \,\, A \,\, \)

Um zu Überprüfen ob auch die Berechnungen richtig sind, kann auch der Gesamtstrom im ursprünglichen Schaltbild (1) bestimmt werden. Dies führt auf ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten \(I_1\), \(I_2\) und \(I\).

Dieses kann entweder mit einem Computerprogram oder durch Einsatzes des Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden.

Antwort 2 ist korrekt.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein gutes Verständnis der 1. Kirchhoffschen Regel, der Knotenregel nötig um sich den Zusammenhang zwischen den 2 parallel geschalteten Widerständen in Schaltung (1) und dem Widerstand \(R\) im Ersatzschaltbild (2) herzuleiten.

Der Strom \(I\) kann auf 2 Möglichkeiten bestimmt werden.

Zum Einen kann er durch Bestimmung der beiden Teilströme \(I_1\) und \(I_2\) und anschließender Anwendung der Knotenregel in Schaltung 1 berechnet werden.

Einfacher kann er durch direkte Anwendung des Ohmschen Gesetzes (mit Hilfe des berechneten Ersatzwiderstand \(R\)) in Schaltung 2 bestimmt werden.

Um sich die Beziehung zwischen den beiden Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) und dem Ersatzwiderstand \(R\) herzuleiten muss die Knotenregel auf das Schaltbild (1) angewandt werden.

Diese besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen.

Im ersten Knotenpunkt teilt sich der Gesamtstrom \(I\) in 2 Teilströme \(I_1\) und \(I_2\) auf. Anwendung der Knotenregel liefert die Gleichung \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\).

Die selbe Gleichung gilt auch im 2. Knotenpunkt da sich die beiden Teilströme treffen und gemeinsam als Gesamtstrom \(I\) zurück zur Spannungsquelle zufließen.

Als nächstes wird das Ohmsche Gesetz (\(U \,\, = \,\, R \,\, \cdot \,\, I \,\,\)) auf die beiden Teilströme angewandt und die vorige Gleichung verändert sich zu:

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\,\)  Diese Gleichung kann umgeformt werden zu \(I \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\, ) \)

Daraus folgt die Beziehung zwischen dem Ersatzwiderstand \(R\) und den 2 Einzelwiderständen \(R_1\) und \(R_2\)  :

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\,\)

Wir wollen die Gleichung nach dem Ersatzwiderstand \(R\) umformen um diesen berechnen zu können.

(Falls die Lösung von Bruchgleichungen kein Problem für Sie darstellt, können Sie den folgenden Abschnitt überspringen.)

Bei der Addition/Subtraktion von Brüchen muss der gemeinsame Nenner gefunden werden. Am Einfachsten iist es den gemeinsamen Nenner als das Produkt von allen Einzelnennern zu setzen: 

Gemeinsamer Nenner (GN) : \(R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \)

Nun wird der Zähler von jedem Bruch mit denjenigen Faktoren vom GN multipliziert, welche nicht im Nenner vorkommen. 

Der erste Bruch wird zu \(\frac{R_2}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\,}\)  und der zweite Bruch wird zu \(\frac{R_1}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\,}\).

Diese ersetzen die Gleichung und anschließend können alle Zähler unter den gleichen Nenner gesetzt werden:

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\ \frac{R_2\,\, + \,\, R_1 \,\,}{\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\,}\)

Durch Multiplizieren und Dividieren kann diese Gleichung nach R umgeformt werden: 

 \(R \,\, = \,\, \frac{\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\,}{\,\, R_1 \,\, + \,\, R_2 \,\,}\)

Die Kirchhoff'schen Gesetze sind die Basis für die Analyse einer elektrischen Schaltung/Netzwerk.

Bei Kenntnis von bestimmten elektrischen Größen in einer Schaltung können die Kirchhoff'schen Gesetze verwendet werden, um die unbekannten elektrischen Größen in der Schaltung zu berechnen.

Man unterscheidet zwischen der Maschenregel, welche besagt, dass die Summe aller Spannungen in einem geschlossenen Umlauf gleich 0 ist und der Knotenregel, welche besagt, dass die Summe von zufließenden und abfließenden Strömen in einem Knoten gleich 0 ist.

Maschenregel: \(\sum\limits_{i = 1}^{N} \,\, U_i \,\, = \,\, 0\) 

Bei der Maschenregel ist zu beachten, dass alle Quellenspannungen (Spannungen, welche von Spannungsquellen wie Batterien und Akkumulatoren der Schaltung zur Verfügung gestellt werden) ein positives Vorzeichen erhalten. Spannungsabfälle an Verbrauchern (Widerstände, Lampen, etc.) erhalten ein negatives Vorzeichen. Die Summe der Spannungen soll ja 0 werden.

Knotenregel: \(\sum\limits_{i = 1}^{N} \,\, I_i \,\, = \,\, 0\)

Bei der Knotenregel ist zu beachten, dass zum Knoten zufließende Ströme ein positives Vorzeichen und vom Knoten abfließende Ströme ein negatives Vorzeichen erhalten.

Wenn man die Knotenregel an jedem der 4 Knoten der Schaltung anwendet, kommt man auf Gleichung: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\, + \,\, I_3 \,\,\) wobei \(I\) der Gesamtstrom ist, welcher sich durch die Knoten in Teilströme aufspaltet.

Hier kommen wir aber noch nicht wirklich weiter, da wir keine der vorkommenden Größen kennen. Mit der Knotenregel können wir also nicht mit der Berechnung starten.

Wir müssen daher mit der Maschenregel beginnen. Hier ist egal, welche Masche wir zuerst wählen.

Einfachheitshalber betrachten wir zuerst die inneren Maschen. Daher starten wir mit der ganz linken Masche zuerst.

Anwendung der Maschenregel gibt uns die Gleichung: \(\,\, U_0 \,\, - \,\, U_1 \,\, - \,\, U_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\(U_0\) ist die Spannung, welche von der Batterie zur Verfügung gestellt wird, und daher hat sie ein positives Vorzeichen. An den Widerständen gibt es Spannungsabfälle und daher besitzen \(U_1\) und \(U_2\) negative Vorzeichen.

Umformen der Gleichung liefert: \(\,\, U_0 \,\, = \,\, U_1 \,\, + \,\, U_2 \,\,\) und durch Anwenden des Ohm'schen Gesetzes (\(U \,\, = \,\ I \,\ \cdot \,\ R \,\\)) kommen wir auf die Gleichung: \(\,\, U_0 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, + \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\,\). Durch die beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) fließt der Teilstrom \(I_1\).

Diese Gleichung kann jetzt umgeformt werden, sodass wir direkt den Teilstrom \(I_1\) berechnen können: \(I_1 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1 \,\, + \,\, R_2}\)

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt für uns einen Teilstrom von \(I_1 \,\, = \,\, 0.2 \,\, A \,\, \).

Jetzt können wir durch das Ohm'sche Gesetz die Spannungsabfälle \(U_1\) und \(U_2\) in dieser Masche bestimmen:

\(U_1 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_1\) und  \(U_2 \,\, = \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2\) und wir erhalten: \(U_1 \,\, = \,\,1 \,\, V\) und \(U_2 \,\, = \,\, 7 \,\, V \,\,\).

Genau das gleiche Prinzip kann auf alle anderen Maschen angewendet werden, um die Teilströme und Spannungsabfälle zu berechnen. Anschließend kann nach Berechnung der Teilströme der Gesamtstrom durch die Kirchhoff'sche Regel bestimmt werden.

Anwendung der Maschenregel auf die 2. äußerste Masche liefert uns die Spannungsgleichung: \(\,\, U_0 \,\, = \,\, U_3 \,\,\)

Anwendung des Ohm'schen Gesetzes liefert uns für den Teilstrom \(I_2\) die Gleichung: \(I_2 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_3}\)

Damit erhalten wir durch Einsetzen der gegebenen Werte: \(U_3 \,\, = \,\, 8 \,\, V \,\,\) und \(I_2 \,\, = \,\, 0.8 \,\, A \,\,\)

Das selbe Prinzip verwenden wir auf die dritte Masche (ganz äußerste) und erhalten die Spannungsgleichung: \(U_0 \,\, = \,\, U_4 \,\, + \,\, U_5 \,\, + \,\, U_6 \,\,\)

Anwendung des Ohm'schen Gesetzes liefert uns für den Teilstrom \(I_3\) die Gleichung: \(I_3 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_4 \,\, + \,\, R_5 \,\, + \,\, R_6} \)

Somit erhalten wir durch Einsetzen der gegebenen Werte: \(I_3 \,\, = \,\, 1 \,\, A \,\,\), \(U_4 \,\, = \,\, 3\,\, V \,\,\), \(U_5 \,\, = \,\, 2\,\, V \,\,\) und \(U_6 \,\, = \,\, 3\,\, V \,\,\)

Es fehlt noch der Gesamtstrom \(I\), aber diesen können wir jetzt durch die Knotenregel direkt berechnen: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\, + \,\, I_3 \,\,\)

\(I \,\, = \,\, 0.2\,\, A \,\, + \,\, 0.8 \,\, A \,\, + \,\, 1\,\, A \,\, = \,\, 2 \,\, A \,\,\)

Antwort 4 ist korrekt.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein gutes Verständnis der 1. Kirchhoffschen Regel, der Knotenregel nötig um sich den Zusammenhang zwischen den 3 parallel geschalteten Widerständen in Schaltung (1) und dem Ersatzwiderstand \(R\) in Schaltung (2) herzuleiten.

Der Strom \(I\) kann auf 2 Möglichkeiten bestimmt werden.

Zum Einen kann er durch Bestimmung der Teilströme und anschließender Anwendung der Knotenregel in Schaltung 1 berechnet werden.

Einfacher kann er durch direkte Anwendung des Ohmschen Gesetzes (mit Hilfe des berechneten Ersatzwiderstand \(R\)) in Schaltung 2 bestimmt werden.

(Im Schaltbild (1) sind ebenso die Spannungsabfälle \(U_1\), \(U_2\) und  \(U_3\) sowie der Spannungsanfall \(U\) im Ersatzschalbild (2) eingezeichnet. Diese werden jedoch für dieses Beispiel nicht in die Berechnung miteinbezogen.)

Um sich die Beziehung zwischen den einzelnen Widerständen \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) und den Ersatzwiderstand \(R\) herzuleiten muss die Knotenregel auf das Schaltbild (1) angewandt werden.

Diese besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen.

Im ersten Knotenpunkt teilt sich der Gesamtstrom \(I\) in 2 Teilströme \(I_1\) und \(I_x\) auf. Dadurch erhält man durch die Knotenregel die Gleichung \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_x \,\,\). 

Der Strom \(I_x\) teilt sich  im nächsten Knotenpunkt auf weitere 2 Teilströme \(I_2\) und \(I_3\) und für den 2. Knotenpunkt gilt nach der Knotenregel die Gleichung: \(I_x \,\, = \,\, I_2 \,\, + \,\, I_3 \,\,\)

Daher gilt für den 1. Knotenpunkt die Gleichung \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,+ \,\, I_3 \,\,\). Hierbei war also \(I_x\) nur ein Übergangsstrom welcher nur für die Herleitung dieser Gleichung relevant ist aber von jetzt an keine Bedeutung mehr in unseren Berechnungen hat. Ebenso gilt die selbe Gleichung für unteren Knotenpunkt (Der selbe Gesamtstrom muss zur Spannungsquelle wieder zufließen).

Als nächstes wird das Ohmsche Gesetz (\(U \,\, = \,\, R \,\, \cdot \,\, I \,\,\)) auf jeden der Teilströme angewandt und die vorige Gleichung verändert sich zu:

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\,+ \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\,\)  Diese Gleichung kann umgeformt werden zu \(I \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \,\, ) \)

Daraus folgt die Beziehung zwischen dem Ersatzwiderstand \(R\) und den 3 Einzelwiderständen \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\):

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \,\,\)

Wir wollen die Gleichung nach dem Ersatzwiderstand \(R\) umformen um diesen berechnen zu können.

(Falls die Lösung von Bruchgleichungen kein Problem für Sie darstellt, können Sie den folgenden Abschnitt überspringen.)

Bei der Addition/Subtraktion von Brüchen muss der gemeinsame Nenner gefunden werden. Bei 3 oder mehr Brüchen ist es am Einfachsten den gemeinsamen Nenner als das Produkt von allen Einzelnennern zu setzen: 

Gemeinsamer Nenner (GN) : \(R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, \)

Nun wird der Zähler von jedem Bruch mit denjenigen Faktoren vom GN multipliziert, welche nicht im Nenner vorkommen. 

Daher für den ersten Bruch: \(\frac{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\) , für den zweiten Bruch: \(\frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\), für den dritten Bruch: \(\frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\)

Diese ersetzen die Gleichung und anschließend können alle Zähler unter den gleichen Nenner gesetzt werden:

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\ \frac{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, + \,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\,+\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\)

Durch Multiplizieren und Dividieren kann diese Gleichung nach R umgeformt werden: 

 \(R \,\, = \,\, \frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, + \,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\,+\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}\)

Durch Einsetzen der einzelnen Widerstände in die obrige Gleichung erhalten wir für den Ersatzwiderstand \(R\):

\(R \,\, = \,\, 1.2 \,\, \Omega \,\,\)

Durch Anwendung des Ohmschen Gesetztes auf die Ersatzschaltung (2) kann auch der Strom \(I\) bestimmt werden.

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{1.2 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 5 \,\, A \,\,\)

Alternativ:

Ebenso kann der Strom \(I\) als Summe der Teilströme \(I_1\), \(I_2\) und \(I_3\) bestimmt werden.

\(I_1 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{4 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 1.5 \,\, A\)

\(I_2 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{2 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 3 \,\, A\)

\(I_3 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{12 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 0.5 \,\, A\)

\(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,+ \,\, I_3 \,\, = \,\, 1.5 \,\, A \,\, + \,\, 3 \,\, A \,\, + \,\, 0.5 \,\, A \,\, = \,\, 5 \,\, A \,\,\)

Wie bereits am Anfang erwähnt muss der Strom \(I\) in der Schaltung (1) und in der Ersatzschaltung (2) der Gleiche sein. Unsere Rechnungen bestätigen dies.

Antworten 3 und 4 sind korrekt.

Bei einem Knotenpunkt in einer elektrischen Schaltung gilt das 1. Kirchhoffsche Gesetzt, die Knotenregel. Diese besagt, dass die Summe der rein- und rausfließenden Ströme gleich 0 ist. Wenn alle auftretenden Ströme mit einem positiven oder negativen Vorzeichen beschrieben dann ist deren Summe nie 0.

Es müssen entweder die reinfließenden Ströme positiv und die rausfließenden Ströme negativ oder die die reinfließenden Ströme negativ und die rausfließenden Ströme positiv. Es ist jedem selbst überlassen welche der beiden Möglichkeiten er nimmt. 

Es ist aber wichtig konsistent zu bleiben. Es darf bei einer größeren Schaltung nicht vergessen werden welches Vorzeichen man für welche Stromrichtung gewählt hat.