Antwort 4 ist korrekt.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist ein gutes Verständnis der 1. Kirchhoffschen Regel, der Knotenregel nötig um sich den Zusammenhang zwischen den 3 parallel geschalteten Widerständen in Schaltung (1) und dem Ersatzwiderstand \(R\) in Schaltung (2) herzuleiten.

Der Strom \(I\) kann auf 2 Möglichkeiten bestimmt werden.

Zum Einen kann er durch Bestimmung der Teilströme und anschließender Anwendung der Knotenregel in Schaltung 1 berechnet werden.

Einfacher kann er durch direkte Anwendung des Ohmschen Gesetzes (mit Hilfe des berechneten Ersatzwiderstand \(R\)) in Schaltung 2 bestimmt werden.

(Im Schaltbild (1) sind ebenso die Spannungsabfälle \(U_1\), \(U_2\) und  \(U_3\) sowie der Spannungsanfall \(U\) im Ersatzschalbild (2) eingezeichnet. Diese werden jedoch für dieses Beispiel nicht in die Berechnung miteinbezogen.)

Um sich die Beziehung zwischen den einzelnen Widerständen \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) und den Ersatzwiderstand \(R\) herzuleiten muss die Knotenregel auf das Schaltbild (1) angewandt werden.

Diese besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen.

Im ersten Knotenpunkt teilt sich der Gesamtstrom \(I\) in 2 Teilströme \(I_1\) und \(I_x\) auf. Dadurch erhält man durch die Knotenregel die Gleichung \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_x \,\,\). 

Der Strom \(I_x\) teilt sich  im nächsten Knotenpunkt auf weitere 2 Teilströme \(I_2\) und \(I_3\) und für den 2. Knotenpunkt gilt nach der Knotenregel die Gleichung: \(I_x \,\, = \,\, I_2 \,\, + \,\, I_3 \,\,\)

Daher gilt für den 1. Knotenpunkt die Gleichung \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,+ \,\, I_3 \,\,\). Hierbei war also \(I_x\) nur ein Übergangsstrom welcher nur für die Herleitung dieser Gleichung relevant ist aber von jetzt an keine Bedeutung mehr in unseren Berechnungen hat. Ebenso gilt die selbe Gleichung für unteren Knotenpunkt (Der selbe Gesamtstrom muss zur Spannungsquelle wieder zufließen).

Als nächstes wird das Ohmsche Gesetz (\(U \,\, = \,\, R \,\, \cdot \,\, I \,\,\)) auf jeden der Teilströme angewandt und die vorige Gleichung verändert sich zu:

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1} \,\, + \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\,+ \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\,\)  Diese Gleichung kann umgeformt werden zu \(I \,\, = \,\, U_0 \,\, \cdot \,\, (\,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \,\, ) \)

Daraus folgt die Beziehung zwischen dem Ersatzwiderstand \(R\) und den 3 Einzelwiderständen \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\):

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\, \frac{1}{R_1} \,\, + \,\, \frac{1}{R_2} \,\, + \,\, \frac{1}{R_3} \,\,\)

Wir wollen die Gleichung nach dem Ersatzwiderstand \(R\) umformen um diesen berechnen zu können.

(Falls die Lösung von Bruchgleichungen kein Problem für Sie darstellt, können Sie den folgenden Abschnitt überspringen.)

Bei der Addition/Subtraktion von Brüchen muss der gemeinsame Nenner gefunden werden. Bei 3 oder mehr Brüchen ist es am Einfachsten den gemeinsamen Nenner als das Produkt von allen Einzelnennern zu setzen: 

Gemeinsamer Nenner (GN) : \(R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, \)

Nun wird der Zähler von jedem Bruch mit denjenigen Faktoren vom GN multipliziert, welche nicht im Nenner vorkommen. 

Daher für den ersten Bruch: \(\frac{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\) , für den zweiten Bruch: \(\frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\), für den dritten Bruch: \(\frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\)

Diese ersetzen die Gleichung und anschließend können alle Zähler unter den gleichen Nenner gesetzt werden:

\(\frac{1}{R} \,\, = \,\ \frac{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, + \,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\,+\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}\)

Durch Multiplizieren und Dividieren kann diese Gleichung nach R umgeformt werden: 

 \(R \,\, = \,\, \frac{R_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, \cdot \,\, R_3}{R_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, + \,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\,+\,\, R_1 \,\, \cdot \,\, R_2}\)

Durch Einsetzen der einzelnen Widerstände in die obrige Gleichung erhalten wir für den Ersatzwiderstand \(R\):

\(R \,\, = \,\, 1.2 \,\, \Omega \,\,\)

Durch Anwendung des Ohmschen Gesetztes auf die Ersatzschaltung (2) kann auch der Strom \(I\) bestimmt werden.

\(I \,\, = \,\, \frac{U_0}{R} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{1.2 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 5 \,\, A \,\,\)

Alternativ:

Ebenso kann der Strom \(I\) als Summe der Teilströme \(I_1\), \(I_2\) und \(I_3\) bestimmt werden.

\(I_1 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_1} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{4 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 1.5 \,\, A\)

\(I_2 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_2} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{2 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 3 \,\, A\)

\(I_3 \,\, = \,\, \frac{U_0}{R_3} \,\, = \,\, \frac{6 \,\, V}{12 \,\, \Omega} \,\, = \,\, 0.5 \,\, A\)

\(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,+ \,\, I_3 \,\, = \,\, 1.5 \,\, A \,\, + \,\, 3 \,\, A \,\, + \,\, 0.5 \,\, A \,\, = \,\, 5 \,\, A \,\,\)

Wie bereits am Anfang erwähnt muss der Strom \(I\) in der Schaltung (1) und in der Ersatzschaltung (2) der Gleiche sein. Unsere Rechnungen bestätigen dies.