Blended Learning - Übungstest

In einem geschlossenen Behälter mit konstantem Volumen befinden sich 10 mol Kohlenmonoxid mit Temperatur \(T_1 = 25\,^{\circ}C\). Durch Wärmezufuhr wird die Temperatur des Gases auf \(T_2 = 50\,^{\circ}C\) erhöht. Die molare Masse von \(\mathrm{CO}\) beträgt \(M_{\mathrm{CO}} = 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}}\) und die spezifische Wärmekapazität beträgt \(c = 750\;\frac{J}{kg\,\cdot\,K}\). Bestimmen Sie die Änderung der Entropie \(\Delta S\) für diesen Vorgang. Nehmen Sie dabei das Gas als ein ideales Gas an. Nr. 4827
	\(\Delta S = 16.9\quad\frac{J}{K}\)
	\(\Delta S = -16.9\quad\frac{J}{K}\)
	\(\Delta S = 146\quad\frac{J}{K}\)
	\(\Delta S = -146\quad\frac{J}{K}\)
	\(\Delta S = 1.69\quad\frac{kJ}{K}\)
Lösungsweg Die Änderung der Entropie berechnen wir durch Integration ihres Differentials: \(\Delta S = S_2 -S_1 = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T}\) Da es sich um einen isochoren Prozess handelt (das Volumen des Gases in dem geschlossenen Behälter bleibt gleich), wird keine Volumenarbeit verrichtet. Aus dem 1. Hauptsatz folgt daher: \(\Delta U = Q + \underbrace{W}_{=0} \qquad \Rightarrow \qquad \Delta U = Q\) Die aufgenommene Wärmemenge geht also direkt in die Erhöhung der inneren Energie ein. Mit der Definition der spezifischen Wärmekapazität \(c = \frac{Q}{m\,\cdot\,\Delta T}\) lässt sich die Erhöhung der inneren Energie ausdrücken: \(\Delta U = c\,\cdot \,m\,\cdot \Delta T\). Dabei bezeichnet \(m\) die Gesamtmasse des Gases. Mit der molaren Masse \(M_{\mathrm{CO}} = 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}}\) lässt sich die Masse \(m\) berechnen: \(m = n\,\cdot\,M_{\mathrm{CO}} = 10\,\mathrm{mol}\,\cdot 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}} = 280\,g = 0.28\,kg\). Und damit: \(\Delta U = c\,\cdot \,m\,\cdot \Delta T\) Die Temperatur ist also die Integrationsvariable und wir erhalten: \(\Delta S = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T} = m\,\cdot\,c\,\cdot\displaystyle\int\limits^{T_2}_{T_1}\frac{1}{T}\;\mathrm{d}T\) \(\Delta S = m\cdot\,c\cdot\displaystyle\int\limits^{T_2}_{T_1}\frac{1}{T}\;\mathrm{d}T = m\cdot\,c\cdot \left[\ln(T_2) - \ln(T_2) \right]\) Das lässt sich weiter umformen zu \(\Delta S = m\cdot\, c\cdot\, \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\) Umrechnen der Temperaturen in die SI-Einheit Kelvin: \(T_1 = 25\,^{\circ}C = (25 + 273.15)\,K = 298.15\,K\) \(T_2 = 50\,^{\circ}C = 323.15\,K\) Die gegebenen Größen eingesetzt erhalten wir schließlich: \(\Delta S = m\cdot\, c\cdot\, \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = 0.28\,kg\cdot\,750\,\,\frac{J}{kg\,K}\cdot\,\ln\left(\frac{323.15\, K}{298.15\, K} \right)\) \(\Delta S = 16.9\quad\frac{J}{K}\)

In einem geschlossenen Behälter mit konstantem Volumen befinden sich 10 mol Kohlenmonoxid mit Temperatur \(T_1 = 25\,^{\circ}C\). Durch Wärmezufuhr wird die Temperatur des Gases auf \(T_2 = 50\,^{\circ}C\) erhöht. Die molare Masse von \(\mathrm{CO}\) beträgt \(M_{\mathrm{CO}} = 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}}\) und die spezifische Wärmekapazität beträgt \(c = 750\;\frac{J}{kg\,\cdot\,K}\).

Bestimmen Sie die Änderung der Entropie \(\Delta S\) für diesen Vorgang. Nehmen Sie dabei das Gas als ein ideales Gas an.

Nr. 4827

\(\Delta S = 16.9\quad\frac{J}{K}\)

\(\Delta S = -16.9\quad\frac{J}{K}\)

\(\Delta S = 146\quad\frac{J}{K}\)

\(\Delta S = -146\quad\frac{J}{K}\)

\(\Delta S = 1.69\quad\frac{kJ}{K}\)

Lösungsweg

Die Änderung der Entropie berechnen wir durch Integration ihres Differentials:

\(\Delta S = S_2 -S_1 = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T}\)

Da es sich um einen isochoren Prozess handelt (das Volumen des Gases in dem geschlossenen Behälter bleibt gleich), wird keine Volumenarbeit verrichtet. Aus dem 1. Hauptsatz folgt daher:

\(\Delta U = Q + \underbrace{W}_{=0} \qquad \Rightarrow \qquad \Delta U = Q\)

Die aufgenommene Wärmemenge geht also direkt in die Erhöhung der inneren Energie ein.
Mit der Definition der spezifischen Wärmekapazität \(c = \frac{Q}{m\,\cdot\,\Delta T}\) lässt sich die Erhöhung der inneren Energie ausdrücken:

\(\Delta U = c\,\cdot \,m\,\cdot \Delta T\).

Dabei bezeichnet \(m\) die Gesamtmasse des Gases. Mit der molaren Masse \(M_{\mathrm{CO}} = 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}}\) lässt sich die Masse \(m\) berechnen:

\(m = n\,\cdot\,M_{\mathrm{CO}} = 10\,\mathrm{mol}\,\cdot 28\;\frac{g}{\mathrm{mol}} = 280\,g = 0.28\,kg\).

Und damit: \(\Delta U = c\,\cdot \,m\,\cdot \Delta T\)

Die Temperatur ist also die Integrationsvariable und wir erhalten:

\(\Delta S = \displaystyle\int\limits^{S_2}_{S_1}\frac{\mathrm{d}Q}{T} = m\,\cdot\,c\,\cdot\displaystyle\int\limits^{T_2}_{T_1}\frac{1}{T}\;\mathrm{d}T\)

\(\Delta S = m\cdot\,c\cdot\displaystyle\int\limits^{T_2}_{T_1}\frac{1}{T}\;\mathrm{d}T = m\cdot\,c\cdot \left[\ln(T_2) - \ln(T_2) \right]\)

Das lässt sich weiter umformen zu \(\Delta S = m\cdot\, c\cdot\, \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\)
Umrechnen der Temperaturen in die SI-Einheit Kelvin:

\(T_1 = 25\,^{\circ}C = (25 + 273.15)\,K = 298.15\,K\)

\(T_2 = 50\,^{\circ}C = 323.15\,K\)

Die gegebenen Größen eingesetzt erhalten wir schließlich:

\(\Delta S = m\cdot\, c\cdot\, \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = 0.28\,kg\cdot\,750\,\,\frac{J}{kg\,K}\cdot\,\ln\left(\frac{323.15\, K}{298.15\, K} \right)\)

\(\Delta S = 16.9\quad\frac{J}{K}\)

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Derzeit kommt es beim Rendern der Formeln leider zu einem Problem. Wir sind bemüht das Problem zu lösen.

Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

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Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
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