Antwort 2 ist korrekt.

Der absolute Nullpunkt liegt bei \(T \,\, = \,\, - \,\, 273.15 \,\, ^\circ C = 0 \,\,K\). Das Gesetz von Gay-Lussac beschreibt die direkte Proportionalität zwischen der Temperatur und dem Volumen eines idealen Gases. Beim absoluten Nullpunkt und darunter wäre das Volumen aber gleich und kleiner als 0, was keinen physikalischen Sinn ergeben würde.

Ebenso muss dann die mittlere kinetische Energie der Teilchen gleich 0 sein, da die mittlere kinetische Energie eines idealen Gases eine Funktion der Temperatur ist (von der Temperatur abhängt). Daher hätten die Gasteilchen auch keine Geschwindigkeit und somit würden sie sich nicht bewegen.

Anmerkung:

In der Realität aber wurde quantenmechanisch gezeigt, dass die Gasteilchen eines realen Gases am absoluten Nullpunkt eine Nullpunktsenergie aufweisen und somit nicht komplett ruhen. Das ist aber nicht mehr Gebiet der klassischen Thermodynamik, sondern der Quantenmechanik.

Antwort 3 ist korrekt.

Das Gesetz von Boyle-Mariotte liefert den Zusammenhang zwischen dem Druck \(P\) und dem Volumen \(V\) eines idealen Gases bei einer konstanten Temperatur \(T\).

Das ideale Gasgesetz/allgemeine Gasgleichung lautet \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

Hierbei ist \(n\) die Stoffmenge (in Mol) und \(R\) die allgemeine Gaskonstante. Bei einer festen Stoffmenge und bei einer konstanten Temperatur müssen der Druck und das Volumen indirekt proportional sein, damit der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung konstant bleibt.

Somit gilt:

\(T \,\, = \,\, const. \,\,\,\,\rightarrow \,\, P \,\, \sim \,\, V^{-1}\)

Antwort 4 ist korrekt.

Jegliche Zustandsänderungen, bei der sich Volumen und Druck des betrachteten Systems verändern, aber die Temperatur konstant bleibt, werden durch das Gesetz von Boyle-Mariotte beschrieben.

Dieses besagt, dass das Produkt aus Druck und Volumen in Prozessen, bei denen die Temperatur gleich bleibt, immer konstant ist.

\(P \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, const.\)

Das gilt auch zu jedem Zeitpunkt.

Daher muss das Produkt aus Anfangsdruck \(P_{1}\) und Anfangsvolumen \(V_{1}\) gleich dem Produkt aus Enddruck \(P_{2}\) und Endvolumen \(V_{2}\) sein. Daher:

\(P_{1} \,\, \cdot \,\, V_{1} \,\, = \,\, P_{2} \,\, \cdot \,\, V_{2} \,\,\)

Damit kann man, um den Druck \(P_{2}\) nach der Kompression durch den Kolben zu erhalten, die obige Gleichung nach \(P_{2}\) umformen.

\(P_{2} \,\, = \,\, \frac{P_{1} \,\, \cdot \,\, V_{1} }{V_{2}}\)

Setzt man alle Werte ein, kommt man für \(P_{2}\) auf den folgenden Druck:

\(P_{2} \,\, = \,\, 1.5 \,\, bar\)

Laut dem Boyle-Mariotte-Gesetz soll sich der Druck bei einer Volumserniedrigung erhöhen und das passiert auch.

Druck und Volumen verhalten sich also umgekehrt proportional zueinander: das Volumen ist auf 1/3 gesunken, während der Druck verdreifacht wurde.

Antwort 5 ist korrekt.

Das ideale Gasgesetz lautet \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\).

Hierbei ist auf der linken Seite der Gleichung \(p\) der Druck und \(V\) das Volumen. Die rechte Seite beinhaltet die Stoffmenge \(n\), die Temperatur \(T\) und \(R\), die universelle Gaskonstante.

Aus der kinetischen Gastheorie und mit der statistischen Mechanik kann die mittleren kinetische Energie \(\overline{E_{kin}}\) der Gasteilchen als Funktion des Drucks \(p\) und des Volumens \(V\) hergeleitet werden. Man betrachtet dabei den Druck eines in einem Behälter eingeschlossenen idealen Gases als Summe der Stöße der \(N\) Gasteilchen gegen die Wände des Behälters.

(Die genaue Herleitung findet sich in jeder Literatur zur statistisch mechanischen Betrachtung eines idealen Gases.)

\(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \frac{m}{2} \,\, \cdot \,\, \overline{v^2} \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}}\)

Jetzt kann die rechte Seite der Gleichung mit der rechten Seite des idealen Gasgesetzes zu einer neuen Gleichung umgeformt werden.

\(\,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

\(N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

Die Gleichung kann durch die Boltzmann-Konstante \(k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,\) und der Beziehung \(n \,\, = \,\, \frac{N}{N_{A}}\) dargestellt werden. \(N_{A}\) ist hierbei die Avogadro-Zahl und sie beträgt \(N_{A} \,\, = \,\, 6.02214 \,\, \cdot \,\, 10^{23} \,\,\) Atome oder Moleküle. 1 mol eines jeden Stoffes besitzt immer diese Anzahl an kleinsten Einheiten (entweder Atome oder Moleküle, je nachdem was betrachtet wird. Beispielsweise enthält 1 mol Wasser-Moleküle, also \(H_2 \,O\), genau 1 mol Sauerstoff-Atome und 2 mol Wasserstoff-Atome).

\(N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, \frac{N}{N_{A}} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, N_{A} \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

\(N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

\(\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

Dies ist die mittlere kinetische Energie für ein Gasteilchen. Multipliziert man diese Energie mit der Avogadro-Zahl \(N_{A}\) so erhält man die mittlere kinetische Gesamtenergie von 1 mol an Gasteilchen.

Die universelle Gaskonstante beträgt \(R \,\, = \,\, 8.3145 \,\,\,\,\,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K}\) und die Boltzmann-Konstante beträgt \(k_{B} \,\, = \,\, 1.38065 \,\, \cdot \,\, 10^{-23} \,\, \frac{J}{K}\). Die Temperatur wird in Kelvin angegeben und beträgt \(T \,\, = \,\, 293.15 \,\, K\).

Setzt man alle Werte in die Gleichung \(\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\)und mupliziert man das Ergebnis mit der Avogadro-Zahl \(N_{A}\) so erhält man für die mittlere kinetische Gesamtenergie einen Wert von  \( \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, 3656 \,\, J \,\, = 3.656 \,\, \cdot \,\, 10^{3} \,\, J \,\, = \,\, 3.7 \,\, kJ\)

\(\left(1 \,\, kJ \,\, = \,\, 10^3 \,\, J\right)\)

Antwort 3 ist korrekt.

Da keine Wärmefluss mit der Umgebung möglich ist, handelt es sich um eine adiabatische Kompression. Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik reduziert sich auf die Gleichung \(dU \,\, = \,\, dW\). Die durch die Kompression am System ausgeübte Arbeit \(dW\) bewirkt eine Änderung der inneren Energie um den Anteil \(dU\). Da die innere Energie eines idealen Gases eine Funktion von dessen Temperatur ist, muss sich also die Temperatur ändern. Ein aus dem Gas austretender Wärmefluss \(dQ\), welcher diese Temperaturerhöhung entgegenwirken würde gibt es nicht, da der Prozess adiabatisch ist.

Die Adiabatengleichung lautet:

\(p \,\, \cdot \,\, V^{\kappa} \,\, = \,\, const.\)

Hierbei ist \(p\) der im Gas herrschende Druck und \(V\)das vom Gas eingenommene Volumen im Zylinder.

\(\kappa\) ist der Adiabatenkoeffizient und für ein ideales Gas beträgt dieser \(\kappa \,\, = \,\, \frac{5}{3}\).

Äquivalent dazu ist die Adiabatengleichung \(T \,\, \cdot \,\, V^{\kappa \,\, - \,\, 1} \,\, = \,\, const.\)

Hierbei ist \(T\) die Temperatur des Gases.

Diese Form erhält man indem man die obige Adiabatengleichung \(p \,\, \cdot \,\, V^{\kappa} \,\, = \,\, const.\) mit der idealen Gasgleichung \(\frac{p \,\, \cdot \,\, V}{T} \,\, = \,\, const.\) kombiniert.

Das Produkt der Größen \(T\) und \(V^{\kappa \,\, - \,\, 1}\) ist zu jeder Zeit konstant. Daher gilt: \(T_{1} \,\, \cdot \,\, V_{1}^{\,\,\,\, \kappa \,\, - \,\, 1} \,\, = \,\, T_{2} \,\, \cdot \,\, V_{2}^{\,\,\,\, \kappa \,\, - \,\, 1} \,\,\)

Diese Gleichung kann nach der Endtemperatur \(T_{2}\) umgeformt werden.

\(T_{2} \,\, = \,\, T_{1} \,\, \cdot \,\, \left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\,\,\,\, \kappa \,\, -1\,\,}\)

Wir kennen die exakten Volumina vom Gas weder zu Beginn, noch am Ende nach der Kompression. Wir wissen aber, dass nach der Kompression durch den Kolben, das Endvolumen nur noch \(\frac{1}{10}\) des Anfangsvolumen besitzt. Daher muss das Verhältnis \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) gleich dem Wert 10 sein. Nehmen wir beispielsweise an, das Volumen beträgt am Anfang \(100 \,\, L\) und nach der Kompression auf ein Zehntel davon, also \(10 \,\, L\). Setzen wird diese Werte in den Bruch \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) ein, so kommt der Wert 10 raus.

Die Anfangstemperatur wird in Kelvin umgewandelt nach der Formel: \(T_{Kelvin} \,\, = \,\, T_{Celsius} \,\, + \,\, 273.15\)

\(T_{2} \,\, = \,\, 288.15 \,\, K \,\, \cdot \,\, 10^{\,\,\,\, \frac{5}{3} \,\, -1\,\,} \,\, = \,\, 288.15 \,\, K \,\, \cdot \,\, 10^{\,\,\,\, \frac{2}{3}} \,\, = \,\, 1337.47 \,\, K\)

Antwort 2 ist korrekt.

Das Modell des idealen Gases ist eine idealisierte Vorstellung eines realen Gases.

Bei diesem betrachtet man die einzelnen Gasteilchen als Massenpunkte (welche also keine Ausdehnung besitzen und deren Masse sich an einem Punkt konzentriert). Ebenso üben die Gasteilchen untereinander keine Kräfte aus und Kollisionen gegeneinander und gegen Wände sind volkommen elastisch, sie verlieren bei Stößen keine Energie.

Die idealen Gasteilchen sollen auch keine Ladung besitzen, um keine elektrischen Kräfte aufeinander auszuüben.

Trotz diesen vielen Rahmenbedingungen für das ideale Gasmodell, verhalten sich viele Gase bei niedrigen Drücken und nicht zu niedrigen Temperaturen tatsächlich wie ideale Gase. Daher hat das Modell bis heute einen wichtigen Stellenwert in der Thermodynamik von Gasen.

Für dieses Beispiel genügt die ideale Gasgleichung: \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\).

Dabei sind \(R\) die universelle Gaskonstante und \(n\) die Stoffmenge (in mol).

Allerdings wollen wir die Temperatur \(T\) eines idealen Gases bestimmen, welches aus nur 100 Teilchen besteht. Daher verwenden wir die Beziehungen \(k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,\) und \(n = \frac{N}{N_A} = \frac{\mathrm{Anzahl\qquad der\qquad Gasteilchen}}{\mathrm{Avogadro-Konstante }}\) um die exakte Teilchenzahl \(N\) in der Gleichung zu haben. Dadurch wird die ideale Gasgleichung zu \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\).

Wir formen die Gleichung nach \(T\) um:

\(T \,\, = \,\, \frac{p \,\, \cdot \,\, V}{N \,\, \cdot \,\, k_{B}} \,\,\)

\(k_{B}\) ist hierbei die Boltzmann-Konstante und diese beträgt \(k_{B} \,\, = \,\, 1.38064 \,\, \cdot \,\, 10^{-23} \,\, \,\, \frac{J}{K}\). Die Teilchenzahl beträgt 100, daher \(N \,\, = \,\, 100\). Das volumen ist gleich \(V \,\, = \,\, (0.4 \,\, m)^3\), weil sich das Gas in einem würfelförmigen Behälter befindet. Der Druck wird in Pascal angegeben. \(1 \,\, bar \,\, = \,\, 10^{\,5} \,\, Pa \,\, = \,\, 10^{\,5} \,\, \frac{N}{m^2}\).

Man sollte also so gut wie möglich alle Größen auf SI- Einheiten zurückführen, damit man beim Ergebnis überprüfen kann, ob auch die richtige Einheit rauskommt. Für dieses Beispiel soll am Ende die Einheit der Temperatur, Kelvin, herauskommen. Dies kann man überprüfen, indem man in die Gleichung \(T \,\, = \,\, \frac{p \,\, \cdot \,\, V}{N \,\, \cdot \,\, k_{B}} \,\,\) nur die jeweiligen SI-Einheiten einsetzt und so weit wie möglich kürzt.

Setzen wir alles in die Gleichung \(T \,\, = \,\, \frac{p \,\, \cdot \,\, V}{N \,\, \cdot \,\, k_{B}} \,\,\) ein, so erhalten wir für die Temperatur einen Wert von \(T \,\, = \,\, 2.54 \,\ \cdot \,\ 10^{23} \,\, K\). Um die Temperatur in Celsius zu erhalten müsste man nur den Zahlenwert \(273.15\) vom Ergebnis abziehen.

(\(T_{Celsius} \,\, = \,\, T_{Kelvin} \,\, - \,\, 273.15\))

Anntwort 2 ist korrekt.

Stickstoff-Moleküle sind keine punktförmigen Massenpunkte, aber dennoch kann man das ideale Gasgesetz anwenden, um ein realitätsnahes Ergebnis zu erhalten.

Das ideale Gasgesetz lautet \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\).

Mit Einführung der Boltzmann-Konstante \(k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,\) und der Relation \(n \,\, = \,\, \frac{N}{N_{A}}\) zwischen Stoffmenge \(n\) und Teilchenzahl \(N\)  kann das ideale Gasgesetz umgeformt werden zu:

\(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

Aus der statistischen Mechanik kann eine Relation zwischen der mittleren kinetischen Energie eines Gasteilchens und der Temperatur hergeleitet werden (Gleichverteilungssatz):

\(\frac{m}{2} \,\, \cdot \,\, \overline{v^2} \,\, = \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\)

(Eine genauere Herleitung findet man in der Physik-Literatur zum Thema "Statistische Mechanik" und dem idealen Gas.)

Zu Beachten ist, dass in vielen Büchern die Anzahl der Freiheitsgrade eines 2-atomigen Moleküls um 2 höher als eines einzelnen Atoms ist. Das Stickstoff-Molekül kann man sich als Hantel-förmiges Konstrukt vorstellen welches auch um die eigene Achse rotieren kann. Daher würde der Faktor \(\frac{5}{2}\) stehen. (3 Freiheitsgrade im Raum + 2 Freiheitsgrade durch die Rotation). Für dieses Beispiel wurde dies einfachheitshalber nicht berücksichtigt.

Jetzt muss die Gleichung nur nach der mittleren Geschwindigkeit \(\overline{v}\) umgeformt werden.

\(\overline{v} \,\, = \,\, \sqrt{\frac{3 \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T}{m}}\)

Die Temperatur in Kelvin beträgt \(T \,\, = \,\, 308.15 \,\, K\)

Für die Stickstoff-Moleküle ergibt sich eine mittlere Geschwindigkeit von \(\overline{v} \,\, = \,\, 524.03 \,\, \frac{m}{s}\).

Zum Vergleich: Bei einer Temperatur von 0°C hätten die Sickstoff-Moleküle eine mittlere Geschwindigkeit von \(\overline{v} \,\, = \,\, 508.24 \,\, \frac{m}{s}\). Die Temperatur hat also einen signifikanten Einfluss auf die Geschwindigkeit der Gasteilchen.