Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Ideales Gasgesetz.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimme die mittlere Geschwindigkeit \(\overline{v}\) von Stickstoff-Molekülen \(N_{2}\) bei einer Temperatur von 35°C. Nimm die Gestalt der Moleküle dabei als kugelförmig an. (Hierbei ist die Masse eines Stickstoff-Moleküls gleich \(m_{N_{2}} \,\, = \,\, 28.1 \,\, \cdot \,\, 1.66 \,\, \cdot \,\, 10^{-27} \,\, kg\)) Nr. 4790
	\(\,\, 320 \,\, \frac{m}{s}\)
	\(\,\, 524 \,\, \frac{m}{s}\)
	\(\,\, 635 \,\, \frac{m}{s}\)
	\(\,\, 462 \,\, \frac{m}{s}\)
Lösungsweg Anntwort 2 ist korrekt. Stickstoff-Moleküle sind keine punktförmigen Massenpunkte, aber dennoch kann man das ideale Gasgesetz anwenden, um ein realitätsnahes Ergebnis zu erhalten. Das ideale Gasgesetz lautet \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\). Mit Einführung der Boltzmann-Konstante \(k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,\) und der Relation \(n \,\, = \,\, \frac{N}{N_{A}}\) zwischen Stoffmenge \(n\) und Teilchenzahl \(N\) kann das ideale Gasgesetz umgeformt werden zu: \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) Aus der statistischen Mechanik kann eine Relation zwischen der mittleren kinetischen Energie eines Gasteilchens und der Temperatur hergeleitet werden (Gleichverteilungssatz): \(\frac{m}{2} \,\, \cdot \,\, \overline{v^2} \,\, = \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) (Eine genauere Herleitung findet man in der Physik-Literatur zum Thema "Statistische Mechanik" und dem idealen Gas.) Zu Beachten ist, dass in vielen Büchern die Anzahl der Freiheitsgrade eines 2-atomigen Moleküls um 2 höher als eines einzelnen Atoms ist. Das Stickstoff-Molekül kann man sich als Hantel-förmiges Konstrukt vorstellen welches auch um die eigene Achse rotieren kann. Daher würde der Faktor \(\frac{5}{2}\) stehen. (3 Freiheitsgrade im Raum + 2 Freiheitsgrade durch die Rotation). Für dieses Beispiel wurde dies einfachheitshalber nicht berücksichtigt. Jetzt muss die Gleichung nur nach der mittleren Geschwindigkeit \(\overline{v}\) umgeformt werden. \(\overline{v} \,\, = \,\, \sqrt{\frac{3 \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T}{m}}\) Die Temperatur in Kelvin beträgt \(T \,\, = \,\, 308.15 \,\, K\) Für die Stickstoff-Moleküle ergibt sich eine mittlere Geschwindigkeit von \(\overline{v} \,\, = \,\, 524.03 \,\, \frac{m}{s}\). Zum Vergleich: Bei einer Temperatur von 0°C hätten die Sickstoff-Moleküle eine mittlere Geschwindigkeit von \(\overline{v} \,\, = \,\, 508.24 \,\, \frac{m}{s}\). Die Temperatur hat also einen signifikanten Einfluss auf die Geschwindigkeit der Gasteilchen.

4 erreichbare Punkte

1 Mol eines idealen Gases besitzt anfänglich ein Volumen von \(V_{1} \,\, = \,\, 15 \,\,dm^3\) bei einer Temperatur von 20°C. Danach expandiert das Gas isotherm (Temperatur bleibt während der Expansion konstant) und besitzt das Volumen \(V_{2} \,\, = \,\, 25 \,\,dm^3\). Welche Wärmemenge \(Q\) wird für diese isotherme Expansion benötigt? Nr. 4778
	\(2.2 \,\, kJ\)
	\(85 \,\, kJ\)
	\(1.25 \,\, kJ\)
	\(0.0125 \,\, kJ\)
	\(4.2 \,\, kJ\)
Lösungsweg Antwort 3 ist korrekt. Die Änderung der inneren Energie \(\Delta \,\, U\) eines Systems ist gegeben durch die Gleichung \(\Delta U \,\, = \,\, \Delta W + \,\, \Delta Q\) . Hierbei ist \(\Delta W\) die dem System zugeführte oder vom System verrichtete mechanische Arbeit. \(\Delta Q\) ist die dem System zugeführte oder vom System abfließende Wärmemenge. Bei einem idealen Gas ist die innere Energie \(U\)nur gleich der kinetischen Energie aller Gasteilchen. Diese kinetische Energie ist abhängig von der Temperatur des idealen Gases. \(U \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, n \,\, \cdot \,\, R} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) Hierbei ist n die Stoffmenge (geben in Mol) und R die universelle Gaskonstante. Wenn die Temperatur konstant ist, dann wird bei einem Gas mit konstanter Teilchenzahl die innere Energie konstant sein. Bei einer isothermen Zustandsänderung wird die Temperatur konstant gehalten und damit ist die Änderung der inneren Energie \(\Delta \,\, U\) gleich 0 (Wenn eine Größe konstant bleibt, dann ändert sie sich nicht). Die obere Gleichung für die innere Energie ändert sich zu: \( \Delta Q \,\, = \,\, -\,\, \Delta W\) Würde die Expansion des Gases nicht isotherm erfolgen, dann würde die Temperatur des Gases sinken. Um aber die Temperatur konstant zu halten, holt das Gas die nötige Wärmemenge aus der Umgebung, um die Arbeit für die Expansion zu bewältigen. Daher auch das Minus-Vorzeichen bei der Arbeit. Es wird keine Arbeit in das System (System ist hier unser ideales Gas) hineingesteckt, sondern das System muss die Arbeit selbst ausrichten. Für die mechanische Arbeitsänderung \(\Delta W\) in der Thermodynamik wird der Ausdruck \(\Delta W \,\, = \,\, p \cdot \,\, dV\)verwendet, wobei p der Druck ist und \(dV\)die Volumsänderung. Warum die Arbeit gleich dem Druck mal der Volumsänderung ist wird hier in den nachfolgenden Schritten gezeigt: \(\Delta W \,\, = \,\, F \cdot \,\, ds\) (Also Kraft mal Wegstück). Wir setzen ein: \(F \,\, = \,\, p \,\, \cdot \,\, A\) (Druck mal Fläche), \(dV \,\, = \,\, A \,\, \cdot \,\, ds\) (Fläche mal Wegstück) und kommen dann auf die Gleichung \(\Delta W \,\, = \,\, p \cdot \,\, dV\). Für die gesamte Arbeit \(W\), welche benötigt wird um das Gas vom Volumen \(V_{1}\) zum Volumen \(V_{2}\) zu verändern, benötigt man das Integral des obigen Ausdrucks für \(\Delta W \,\,\)mit den beiden Volumina als Grenzen. \(W \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V_{1}}^{V_{2}} \,\,\,\, p \,\, dV \ \) Das ideale Gasgesetz lautet \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\). Diese wird nach p umgeformt und in den Integranden eingesetzt. \(W \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V_{1}}^{V_{2}} \,\,\,\, \frac{n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T}{V} \,\, dV \ \) Jetzt hat man im Integranden einen Ausdruck, der nur vom Volumen \(V\) abhängt. Das Integral davon lautet: \(W \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\, \cdot \,\left[\,\left (ln(V_{2}\right) \,\, - \,\left (ln(V_{1}\right) \,\right]\) \(W \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\, \cdot \,\, ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\) Die zu bestimmende Wärmemenge ist gleich das Ergebnis des Integrals. Für die Temperatur verwenden wir immer die SI-Einheit Kelvin. Eine Temperatur von 20°C enspricht \(T \,\, = \,\, (20 \,\, + \,\, 273.15 \,\,) \,\, K \,\, = \,\, 293.15 \,\, K\) Die Stoffmenge beträgt \(n \,\, = \,\, 1 \,\, mol\) und die universelle Gaskonstante beträgt \(R \,\, = \,\, 8.314 \,\, \,\, \,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K}\). Bei den Volumina können die Werte in \(dm^3\) eingesetzt werden. Die Division der beiden Werte ergibt in \(dm^3\) sowie in \(m^3\) wie in jeder anderen Längeneinheit den gleichen Wert (es muss also nicht auf die entsprechende SI-Einheit \(m^3\) umgeformt werden). \(W \,\, = \,\, 1 \,\, mol \,\, \cdot \,\, \,\, 8.314 \,\, \,\, \,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K} \,\, \cdot \,\, \,\, 293.15 \,\, K \,\, \cdot \,\, ln\left(\frac{25 \,\, dm^3}{15 \,\, dm^3}\right)\) \(W \,\, = \,\, 1245 \,\, J \,\, \approx \,\, 1.25 \,\, kJ \,\,\) Da die Arbeit vom System ausgeführt und nicht in das System reingebracht wird, muss ein negatives Vorzeichen dabei stehen. Daher: \(W \,\, = \,\, - \,\, 1.25 \,\, kJ \,\,\) Die innere Energie \(U\) soll konstant bleiben und daher ist die benötigte Wärmemenge, um diese vom System ausgeführte Arbeit auszugleichen, gleich \(Q \,\, = \,\, 1.25 \,\, kJ\).

5 erreichbare Punkte

Ein ideales Gas ist in einem würfelförmigen Behälter mit der Seitenlänge \(l \,\, = \,\, 10 \,\, cm\) verschlossen. Der Druck des Gases beträgt \(p \,\, = \,\, 3.5 \,\, bar \,\,\)und wir nehmen an, das Gas beinhaltet 100 Teilchen. Welche Temperatur könnte diesem Gas zugeordnet werden? Nr. 4788
	\(\,\, 3 \,\ \cdot \,\ 10^{\,\,-\,\, 16} \,\, K\)
	\(\,\, 2.5 \,\ \cdot \,\ 10^{23} \,\, K\)
	\(28.15\,^{\circ}C\)
	\(\,\, 28.15 \,\, \cdot \,\, 10^3 \,\, K\)
	\(2.81\,\cdot 10^{15}\,^{\circ}C\)
Lösungsweg Für dieses Beispiel genügt die ideale Gasgleichung: \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\). Dabei sind \(R\) die universelle Gaskonstante und \(n\) die Stoffmenge (in mol). Allerdings wollen wir die Temperatur \(T\) eines idealen Gases bestimmen, welches aus nur 100 Teilchen besteht. Daher verwenden wir die Beziehungen \(k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,\) und \(n = \frac{N}{N_A} = \frac{\mathrm{Anzahl\qquad der\qquad Gasteilchen}}{\mathrm{Avogadro-Konstante }}\) um die exakte Teilchenzahl \(N\) in der Gleichung zu haben. Dadurch wird die ideale Gasgleichung zu \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\). Wir formen die Gleichung nach \(T\) um: \(T \,\, = \,\, \frac{p \,\, \cdot \,\, V}{N \,\, \cdot \,\, k_{B}} \,\,\) \(k_{B}\) ist hierbei die Boltzmann-Konstante und diese beträgt \(k_{B} \,\, = \,\, 1.38064 \,\, \cdot \,\, 10^{-23} \,\, \,\, \frac{J}{K}\). Die Teilchenzahl beträgt 100, daher \(N \,\, = \,\, 100\). Das volumen ist gleich \(V \,\, = \,\, (0.4 \,\, m)^3\), weil sich das Gas in einem würfelförmigen Behälter befindet. Der Druck wird in Pascal angegeben. \(1 \,\, bar \,\, = \,\, 10^{\,5} \,\, Pa \,\, = \,\, 10^{\,5} \,\, \frac{N}{m^2}\). Man sollte also so gut wie möglich alle Größen auf SI- Einheiten zurückführen, damit man beim Ergebnis überprüfen kann, ob auch die richtige Einheit rauskommt. Für dieses Beispiel soll am Ende die Einheit der Temperatur, Kelvin, herauskommen. Dies kann man überprüfen, indem man in die Gleichung \(T \,\, = \,\, \frac{p \,\, \cdot \,\, V}{N \,\, \cdot \,\, k_{B}} \,\,\) nur die jeweiligen SI-Einheiten einsetzt und so weit wie möglich kürzt. Setzen wir alles in die Gleichung \(T \,\, = \,\, \frac{p \,\, \cdot \,\, V}{N \,\, \cdot \,\, k_{B}} \,\,\) ein, so erhalten wir für die Temperatur einen Wert von \(T \,\, = \,\, 2.54 \,\ \cdot \,\ 10^{23} \,\, K\). Um die Temperatur in Celsius zu erhalten müsste man nur den Zahlenwert \(273.15\) vom Ergebnis abziehen. (\(T_{Celsius} \,\, = \,\, T_{Kelvin} \,\, - \,\, 273.15\))

5 erreichbare Punkte

Welche mittlere kinetische Energie \(\overline{E_{kin}}\) besitzt 1 mol eines idealen Gases bei einer Temperatur von 20°C? Nr. 4785
	\(2550 \,\, J \,\,\)
	\(8.5 \,\, kJ\)
	\(360000 \,\, J\)
	\(1.1 \,\, kJ\)
	\(3.7 \,\, kJ\)
Lösungsweg Antwort 5 ist korrekt. Das ideale Gasgesetz lautet \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\). Hierbei ist auf der linken Seite der Gleichung \(p\) der Druck und \(V\) das Volumen. Die rechte Seite beinhaltet die Stoffmenge \(n\), die Temperatur \(T\) und \(R\), die universelle Gaskonstante. Aus der kinetischen Gastheorie und mit der statistischen Mechanik kann die mittleren kinetische Energie \(\overline{E_{kin}}\) der Gasteilchen als Funktion des Drucks \(p\) und des Volumens \(V\) hergeleitet werden. Man betrachtet dabei den Druck eines in einem Behälter eingeschlossenen idealen Gases als Summe der Stöße der \(N\) Gasteilchen gegen die Wände des Behälters. (Die genaue Herleitung findet sich in jeder Literatur zur statistisch mechanischen Betrachtung eines idealen Gases.) \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \frac{m}{2} \,\, \cdot \,\, \overline{v^2} \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}}\) Jetzt kann die rechte Seite der Gleichung mit der rechten Seite des idealen Gasgesetzes zu einer neuen Gleichung umgeformt werden. \(\,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\) \(N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\) Die Gleichung kann durch die Boltzmann-Konstante \(k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,\) und der Beziehung \(n \,\, = \,\, \frac{N}{N_{A}}\) dargestellt werden. \(N_{A}\) ist hierbei die Avogadro-Zahl und sie beträgt \(N_{A} \,\, = \,\, 6.02214 \,\, \cdot \,\, 10^{23} \,\,\) Atome oder Moleküle. 1 mol eines jeden Stoffes besitzt immer diese Anzahl an kleinsten Einheiten (entweder Atome oder Moleküle, je nachdem was betrachtet wird. Beispielsweise enthält 1 mol Wasser-Moleküle, also \(H_2 \,O\), genau 1 mol Sauerstoff-Atome und 2 mol Wasserstoff-Atome). \(N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, \frac{N}{N_{A}} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, N_{A} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) \(N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) \(\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) Dies ist die mittlere kinetische Energie für ein Gasteilchen. Multipliziert man diese Energie mit der Avogadro-Zahl \(N_{A}\) so erhält man die mittlere kinetische Gesamtenergie von 1 mol an Gasteilchen. Die universelle Gaskonstante beträgt \(R \,\, = \,\, 8.3145 \,\,\,\,\,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K}\) und die Boltzmann-Konstante beträgt \(k_{B} \,\, = \,\, 1.38065 \,\, \cdot \,\, 10^{-23} \,\, \frac{J}{K}\). Die Temperatur wird in Kelvin angegeben und beträgt \(T \,\, = \,\, 293.15 \,\, K\). Setzt man alle Werte in die Gleichung \(\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\)und mupliziert man das Ergebnis mit der Avogadro-Zahl \(N_{A}\) so erhält man für die mittlere kinetische Gesamtenergie einen Wert von \( \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, 3656 \,\, J \,\, = 3.656 \,\, \cdot \,\, 10^{3} \,\, J \,\, = \,\, 3.7 \,\, kJ\) \(\left(1 \,\, kJ \,\, = \,\, 10^3 \,\, J\right)\)

5 erreichbare Punkte

Ein ideales Gas nimmt in einem Zylinder ein gewisses Volumen \(V\)ein. Mit einem Kolben wird das Volumen des Gases auf \(\frac{1}{10}\) seines ursprünglichen Volumens verringert. Die Kompression durch den Kolben wird so schnell durchgeführt, sodass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung möglich ist. Die Anfangstemperatur des Gases beträgt 15°C. Welche Temperatur besitzt das Gas nach der Kompression durch den Kolben? Nr. 4805
	\(\,\, 2674 \,\, K\)
	\(\,\, 13375 \,\, K\)
	\(\,\, 62 \,\, K\)
	\(\,\, 1337 \,\, K\)
	\(\,\, 2881 \,\, K\)
Lösungsweg Antwort 3 ist korrekt. Da keine Wärmefluss mit der Umgebung möglich ist, handelt es sich um eine adiabatische Kompression. Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik reduziert sich auf die Gleichung \(dU \,\, = \,\, dW\). Die durch die Kompression am System ausgeübte Arbeit \(dW\) bewirkt eine Änderung der inneren Energie um den Anteil \(dU\). Da die innere Energie eines idealen Gases eine Funktion von dessen Temperatur ist, muss sich also die Temperatur ändern. Ein aus dem Gas austretender Wärmefluss \(dQ\), welcher diese Temperaturerhöhung entgegenwirken würde gibt es nicht, da der Prozess adiabatisch ist. Die Adiabatengleichung lautet: \(p \,\, \cdot \,\, V^{\kappa} \,\, = \,\, const.\) Hierbei ist \(p\) der im Gas herrschende Druck und \(V\)das vom Gas eingenommene Volumen im Zylinder. \(\kappa\) ist der Adiabatenkoeffizient und für ein ideales Gas beträgt dieser \(\kappa \,\, = \,\, \frac{5}{3}\). Äquivalent dazu ist die Adiabatengleichung \(T \,\, \cdot \,\, V^{\kappa \,\, - \,\, 1} \,\, = \,\, const.\) Hierbei ist \(T\) die Temperatur des Gases. Diese Form erhält man indem man die obige Adiabatengleichung \(p \,\, \cdot \,\, V^{\kappa} \,\, = \,\, const.\) mit der idealen Gasgleichung \(\frac{p \,\, \cdot \,\, V}{T} \,\, = \,\, const.\) kombiniert. Das Produkt der Größen \(T\) und \(V^{\kappa \,\, - \,\, 1}\) ist zu jeder Zeit konstant. Daher gilt: \(T_{1} \,\, \cdot \,\, V_{1}^{\,\,\,\, \kappa \,\, - \,\, 1} \,\, = \,\, T_{2} \,\, \cdot \,\, V_{2}^{\,\,\,\, \kappa \,\, - \,\, 1} \,\,\) Diese Gleichung kann nach der Endtemperatur \(T_{2}\) umgeformt werden. \(T_{2} \,\, = \,\, T_{1} \,\, \cdot \,\, \left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\,\,\,\, \kappa \,\, -1\,\,}\) Wir kennen die exakten Volumina vom Gas weder zu Beginn, noch am Ende nach der Kompression. Wir wissen aber, dass nach der Kompression durch den Kolben, das Endvolumen nur noch \(\frac{1}{10}\) des Anfangsvolumen besitzt. Daher muss das Verhältnis \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) gleich dem Wert 10 sein. Nehmen wir beispielsweise an, das Volumen beträgt am Anfang \(100 \,\, L\) und nach der Kompression auf ein Zehntel davon, also \(10 \,\, L\). Setzen wird diese Werte in den Bruch \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) ein, so kommt der Wert 10 raus. Die Anfangstemperatur wird in Kelvin umgewandelt nach der Formel: \(T_{Kelvin} \,\, = \,\, T_{Celsius} \,\, + \,\, 273.15\) \(T_{2} \,\, = \,\, 288.15 \,\, K \,\, \cdot \,\, 10^{\,\,\,\, \frac{5}{3} \,\, -1\,\,} \,\, = \,\, 288.15 \,\, K \,\, \cdot \,\, 10^{\,\,\,\, \frac{2}{3}} \,\, = \,\, 1337.47 \,\, K\)

5 erreichbare Punkte

Wie verhalten sich die Teilchen eines idealen Gases beim absoluten Nullpunkt? Nr. 4787
	Sie erreichen ihre maximale mittlere kinetische Energie.
	Sie bewegen sich nicht.
	Nur noch ein paar Gasteilchen bewegen sich. Die mittlere kinetische Energie der Teilchen ist sehr gering.
	Nur an dieser Temperatur kondensiert an den Gasteilchen Wasser und es bilden sich Tröpfchen.
Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt. Der absolute Nullpunkt liegt bei \(T \,\, = \,\, - \,\, 273.15 \,\, ^\circ C = 0 \,\,K\). Das Gesetz von Gay-Lussac beschreibt die direkte Proportionalität zwischen der Temperatur und dem Volumen eines idealen Gases. Beim absoluten Nullpunkt und darunter wäre das Volumen aber gleich und kleiner als 0, was keinen physikalischen Sinn ergeben würde. Ebenso muss dann die mittlere kinetische Energie der Teilchen gleich 0 sein, da die mittlere kinetische Energie eines idealen Gases eine Funktion der Temperatur ist (von der Temperatur abhängt). Daher hätten die Gasteilchen auch keine Geschwindigkeit und somit würden sie sich nicht bewegen. Anmerkung: In der Realität aber wurde quantenmechanisch gezeigt, dass die Gasteilchen eines realen Gases am absoluten Nullpunkt eine Nullpunktsenergie aufweisen und somit nicht komplett ruhen. Das ist aber nicht mehr Gebiet der klassischen Thermodynamik, sondern der Quantenmechanik.

4 erreichbare Punkte

Welche Unterschiede gibt es zwischen einem realen Gas und dem Modell des idealen Gases? Nr. 4783
	Beim idealen Gasmodell besitzen alle Gasteilchen den gleichen Radius und eine Ladung (egal ob positiv oder negativ). Jegliche Stöße gegeneinander und gegen Wänden sind volkommen elastisch.
	Die Gasteilchen werden beim idealen Gasmodell als Massenpunkte ohne Ausdehnung betrachtet. Sie üben untereinander keinerlei Kräfte aus und sind elektrisch neutral. Jegliche Stöße gegeneinander und gegen Wänden sind vollkommen elastisch.
	Die Gasteilchen sind beim idealen Gasmodell immer größer als beim echten Gas. Sie sind alle elektrisch neutral und jegliche Stöße gegeneinander und gegen Wänden sind volkommen elastisch.
	Die Gasteilchen sind beim idealen Gasmodell alle elektrisch neutral und jegliche Stöße gegeneinander und gegen Wänden sind nie elastisch und daher geht bei jeder Kollision von Teilchen Energie verloren.
	Die Stöße zwischen Gasteilchen (und auch gegen Wände) beim idealen Gasmodell sind immer elastisch und es geht daher keine Energie verloren.
Lösungsweg Antwort 2 ist korrekt. Das Modell des idealen Gases ist eine idealisierte Vorstellung eines realen Gases. Bei diesem betrachtet man die einzelnen Gasteilchen als Massenpunkte (welche also keine Ausdehnung besitzen und deren Masse sich an einem Punkt konzentriert). Ebenso üben die Gasteilchen untereinander keine Kräfte aus und Kollisionen gegeneinander und gegen Wände sind volkommen elastisch, sie verlieren bei Stößen keine Energie. Die idealen Gasteilchen sollen auch keine Ladung besitzen, um keine elektrischen Kräfte aufeinander auszuüben. Trotz diesen vielen Rahmenbedingungen für das ideale Gasmodell, verhalten sich viele Gase bei niedrigen Drücken und nicht zu niedrigen Temperaturen tatsächlich wie ideale Gase. Daher hat das Modell bis heute einen wichtigen Stellenwert in der Thermodynamik von Gasen.

5 erreichbare Punkte

Auf ein ideales Gas, welches in einem Zylinder eingeschlossen ist, wird mit einem Kolben mechanische Arbeit ausgeübt. Zu Beginn nimmt das Gas ein Volumen von 30 L ein und der herrschende Druck im Gas beträgt 0.5 bar. Durch einen Wärmespeicher mit hoher Wärmekapazität wird die Temperatur des Gases konstant gehalten. Nach der Kompression durch den Kolben nimmt das Gas nur noch ein Volumen von 10 L ein. Welcher Druck herrscht nun im Gas? Nr. 4801
	\(\,\, 2 \,\, bar\)
	\(\,\, 0.5 \,\, bar\)
	\(\,\, 1 \,\, bar\)
	\(1.5 \,\, bar\)
	\(\,\, 2 \,\, bar\)
Lösungsweg Antwort 4 ist korrekt. Jegliche Zustandsänderungen, bei der sich Volumen und Druck des betrachteten Systems verändern, aber die Temperatur konstant bleibt, werden durch das Gesetz von Boyle-Mariotte beschrieben. Dieses besagt, dass das Produkt aus Druck und Volumen in Prozessen, bei denen die Temperatur gleich bleibt, immer konstant ist. \(P \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, const.\) Das gilt auch zu jedem Zeitpunkt. Daher muss das Produkt aus Anfangsdruck \(P_{1}\) und Anfangsvolumen \(V_{1}\) gleich dem Produkt aus Enddruck \(P_{2}\) und Endvolumen \(V_{2}\) sein. Daher: \(P_{1} \,\, \cdot \,\, V_{1} \,\, = \,\, P_{2} \,\, \cdot \,\, V_{2} \,\,\) Damit kann man, um den Druck \(P_{2}\) nach der Kompression durch den Kolben zu erhalten, die obige Gleichung nach \(P_{2}\) umformen. \(P_{2} \,\, = \,\, \frac{P_{1} \,\, \cdot \,\, V_{1} }{V_{2}}\) Setzt man alle Werte ein, kommt man für \(P_{2}\) auf den folgenden Druck: \(P_{2} \,\, = \,\, 1.5 \,\, bar\) Laut dem Boyle-Mariotte-Gesetz soll sich der Druck bei einer Volumserniedrigung erhöhen und das passiert auch. Druck und Volumen verhalten sich also umgekehrt proportional zueinander: das Volumen ist auf 1/3 gesunken, während der Druck verdreifacht wurde.

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