Antwort 4 ist korrekt.

In der Physik beschreibt das schwingende Federpendel eine harmonische Schwingung. Eine harmonisches Schwingungssystems wird auch als harmonischen Oszillator bezeichnet (Das Wort Oszillieren ist gleichbedeutend mit Schwingen). Dabei wird eine Schwingungsbewegung harmonisch genannt wenn die rücktreibende Kraft (welche den Pendelkörper wieder zurück zu seiner Gleichgewichtslage befördert) proportional zur dessen Auslenkung ist. Die maximale Auslenkung der Schwingung wird Amplitude \(A\) genannt.

Die Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators lautet:

\(F_k \,\, = \,\, - \,\, k \,\, \cdot \,\, x \,\,\)

Dabei ist \(F_k\) die rücktreibende Federkraft und \(x\) der Weg um den der Pendelkörper ausgelengt wird. Das negative Vorzeichen kommt daher weil die Federkraft der Auslenkung \(x\) entgegengerichtet ist. Nach einer anfänglichen Auslenkung aus der Gleichgewichtslage (diese wird üblich bei \(x \,\, = \,\, 0 \,\,\) gesetzt) bewegt sich der Pendelkörper zwischen den Punkten \(x \,\, = \,\, A \,\,\) und \(x \,\, = \,\, - \,\, A \,\,\) periodisch hin und her.

Bei einer Dämpfung kommt zur obrigen Bewegungsgleichung noch ein weiterer Term hinzu:

\(F_k \,\, = \,\, - \,\, k \,\, \cdot \,\, x \,\, - \,\, d \,\, \cdot \,\, v \,\,\)

\(v\) ist hierbei die momentane Geschwindigkeit des Pendelkörpers zur gegebenen Zeit. Der Term \(- \,\, d \,\, \cdot \,\, v \,\, \) ist der Dämpfungsterm welcher durch den Luftwiderstand und inneren Reibung des schwingenden Systems zu Stande kommt. Schwingungsenergie wird in Wärme umgewandelt und dies bewirkt eine mit der Zeit abklingenden Amplitude A bis der Pendelkörper bei der Gleichgewichtslage \(x \,\, = \,\, 0 \,\,\) komplett ruht.

Beide obrigen Gleichungen sind Differentialgleichungen 2. Grades welche mit einem exponentiellen Ansatz gelöst werden können. Dies muss getan werden um die Frequenz \(f\) des schwingenden Systems zu bestimmen. Bei solchen harmonischen Schwingungen ist es aber üblich die Formeln bereits auswendig zu lernen.

Falls sie an der Lösung der Differentialgleichung interessiert sind, dann betrachten Sie den folgenden Abschnitt. Andernfalls können Sie zum übernächsten Lösungsabschnitt springen.

Die Eigenfrequenz \(f\) steht im engen Zusammenhang mit der Kreisfrequenz \(\omega\). Um die Eigenfrequenz \(f\) des schwingenden Systems zu bestimmen muss die obrige Bewegungsgleichung gelöst werden. Die Eigenfrequenz bezeichnet die Frequenz des Systems mit der System nach einmaliger Auslenkung schwingt.

Betrachten wir zuerst die Bewegungsgleichung des ungedämpften Systems: \(F_k \,\, = \,\, - \,\, k \,\, \cdot \,\, s \,\,\)

Ersetzen wir die Kraft durch das 2. Newtonsche Gesetz und formen wir die Gleichung um, so erhalten wir:

\(m \,\, \cdot \,\, \ddot{x} \,\, + \,\, k \,\, \cdot \,\, x \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Der momentane Ort \(x\) des Pendelkörpers ist eine Funktion der Zeit \(t\). Die Bezeichnung \(\ddot{x}\) bedeutet, dass die Ortsfunktion \(x\,(\,t\,) \,\) 2 mal nach der Zeit abgeleitet wird. Wir müssen uns jetzt überlegen welche Ortsfunktion \(x\,(\,t\,) \,\) diese obrige Gleichung erfüllt. Mit Erfüllen meint man, dass wenn die Ortsfunktion in die obrige Gleichung eingesetzt wird, dann muss am Ende auf der rechten Seite 0 rauskommen.

Diese Ortsfunktion ist \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, A \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_0 \,) \,\). Es wird diese Ortsfunktion gewählt (alternativ kann auch der Sinus gewählt werden), da durch die Periodizität der Winkelfunktionen dessen 2. Ableitung fast den gleichen Term ergibt: \(\ddot{x}\,(\,t\,) \,\, = \,\, - \,\, A \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, + \,\, \phi_0 \,) \,\, \cdot \,\, \omega^2 \,\,\). Winkelfunktionen wie Cosinus und Sinus haben als Argument immer einen Winkel. Sie haben immer die gleichen Wertebereiche: \(\,[\,\,-1\,,\, 1\,\,]\,\). Die Kreisfrequenz \(\omega\) beschreibt den zurückgelegten Phasenwinkel des Schwingungsystems pro Zeiteinheit. Multipliziert mit der Zeit \(t\) ergibt also der Term \(\,\, \omega \,\, \cdot \,\, t \,\,\) einen gewissen Phasenwinkel.

Wir setzen beide Terme in die obrige Gleichung ein. Zusätzlich dividieren wir die gesamte Gleichung durch die Masse des Pendelkörpers \(m\) und die Gleichung sieht nun so aus:

\(- \,\, A \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\,) \,\, \cdot \,\, \omega^2 \,\, + \,\, \frac{k}{m} \,\, \cdot \,\, A \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\,) \,\, = \,\, 0 \)  Hierbei war \(\phi_0\) der Anfangswinkel der Schwingung welcher weggelassen wurde da wir annehmen, dass unser schwingendes System im Ursprung startet.

Jetzt können wir sehen:

Die gewähle Ortsfunktion löst die obrige Gleichung nur dann wenn gilt: \(\omega^2 \,\, = \,\, \frac{k}{m} \,\,\) und damit gilt für die Kreisfrequenz \(\omega\) die Formel:

\(\omega \,\, = \,\, \sqrt{\frac{k}{m}} \,\,\)

Diese Gleichung wird meistens bereits auswendig gelernt, dass sie für ein harmonisch schwingendes System ohne Betrachtung der Reibung immer gleich ausschaut.

Wenn man die Lösungsfunktion \(x\,(\,t\,) \,\) nicht erraten kann, dann muss ein exponentiellen Ansatz verwendet werden um die Differentialgleichung zu löen. Wir machen den Ansatz: \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, e^{\,\, \lambda \,\, \cdot \,\, t \,\,}\) und setzen diese in die Differentialgleichung ein. Aus dieser Methode kommen wir ebenso auf die gewählte Ortsfunktion. Wir werden aber hier nicht näher drauf eingehen da für diese Methode Wissen aus den komplexen Zahlen erforderlich ist.

Bei der Bewegungsgleichung mit Dämpfung muss der exponentielle Ansatz verwendet werden, da durch den zusätzlichen Term, dass Erraten der richtigen Ortsfunktion um Einiges erschwert wird. Aus der Literatur oder eigenem Lösen der Differentialgleichung kommen wir auf die richtige Ortsfunktion: \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, A \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, \left(\frac{t}{t_L}\right)} \,\,cos \,(\, \omega_d \,\, t \,\,) \,\)

\(t_l\) wird als die mittlere Schwingungsdauer des Systems bezeichnet, daher wie lange das System bis zur kompletten Ruhe schwingen kann.

Diese Ortsfunktion löst die Bewegungsgleichung nur dann wenn für die Kreisfrequenz gilt: \(\omega_d \,\, = \,\, \sqrt{\frac{k}{m} \,\, - \,\, \frac{d^2}{4 \,\, \cdot \,\, m^2}} \,\,\)

Hier kommt also ein weiterer Term hinzu welcher den Dämpfungsfaktor \(d\) beinhaltet. Der zusätzliche Term bewirkt eine Reduktion der Kreisfrequenz.

Aus der Literatur oder der oben beschriebenen Lösungswege erhalten wir für die Kreisfrequenzen:

Ohne Dämpfung: \(\omega \,\, = \,\, \sqrt{\frac{k}{m}} \,\,\)

Mit Dämpfung: \(\omega_d \,\, = \,\, \sqrt{\frac{k}{m} \,\, - \,\, \frac{d^2}{4 \,\, \cdot \,\, m^2}} \,\,\)

Die Frequenz \(f\) steht mit der Kreisfrequenz \(\omega\) in folgendem Zusammenhang: \(f \,\, = \,\, \frac{\omega}{2 \,\, \cdot \,\, \pi}\).

\(\pi\) beschreibt einer halben Kreisumdrehung in Radianten, \(\pi \,\, \approx \,\, 3.14 \,\,\)

Daher:

Ohne Dämpfung: \(f_0 \,\, = \,\, \frac{1}{2 \,\, \cdot \,\, \pi} \,\, \cdot \,\, \sqrt{\frac{k}{m}} \,\,\)

Mit Dämpfung: \(f_d \,\, = \,\, \frac{1}{2 \,\, \cdot \,\, \pi} \,\, \cdot \sqrt{\frac{k}{m} \,\, - \,\, \frac{d^2}{4 \,\, \cdot \,\, m^2}} \,\,\)

Setzen wir alle Größen aus der Angabe ein so erhalten wir:

Ohne Dämpfung: \(f_0 \,\, \approx \,\, 0.26 \,\, \frac{1}{s} \,\,\)

Mit Dämpfung: \(f_d \,\, \approx \,\, 0.23 \,\, \frac{1}{s} \,\,\)

Die Frequenz des gedämpften Schwingungssystems ist kleiner als die des ungedämpften Systems. Dies entspricht unseren Erwartungen.