Antwort 3 ist korrekt.

Das Schaltbild stellt ein Gleichstromnetzwerk mit 2 Knoten und 3 Maschen dar. Die Spannungsquelle ist hier eine Batterie welche eine Gleichspannung liefert und damit fließt auch nur ein Gleichstrom durch die Schaltung.

Um die Stromstärken \(I\), \(I_1\) und \(I_3\) zu berechnen ist ein gutes Verständnis der Kirchhoffschen Gesetze notwendig. Ebenso ist hier die Kenntnis vom Gauß-Algorithmus notwendig welches für das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit 3 Unbekannten verwendet wird.

Zuerst müssen korrekte Gleichungen aufgestellt werden in denen die unbekannten Größen vorkommen. Bei 3 unbekannten Größen müssen 3 Gleichungen aufgestellt werden bevor man das Gauß-Verfahren anwenden kann.

Die gesuchten Gleichungen liefern uns die Kirchhoffschen Regeln. 

Die Kirchhoffschen Regeln beinhalten die Maschenregel und Knotenregel.

Wiederholung zu Kirchhoffschen Regeln:

Die Knotenregel besagt, dass in einem Knotenpunkt in einer Schaltung die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Dabei ist ein Knotenpunkt definiert als ein Verbindungspunkt von mindestens 3 Zuführungsleitungen. Damit die Summe 0 wird ist es zwecksmäßig zufließende Ströme mit einem positiven Vorzeichen und abfließende Ströme mit einem negativen Vorzeichen  zu beschriften (umgekehrt geht es auch).

Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen (Spannungsquellen und Spannungsabfälle) in einer Masche gleich 0 ist. Dabei ist eine Masche definiert als ein geschlossener Umlauf in der Schaltung. Wie bei der Knotenregel müssen auch die Spannungen mit entsprechenden Vorzeichen versehen werden mit deren Summe 0 wird. Bei nur einer Spannungsquelle ist es zweckmäßig die Quellspannung mit einem positiven Vorzeichen und alle Spannungsabfälle mit einem negativen Vorzeichen kennzuzeichnen (umgekehrt geht es auch). Ebenso kann man den Umlaufsinn von Quellspannungen und Spannungabfälle im Schaltbild einzeichen und alle in Uhrzeigersinn gerichteten Spannungen mit einem positiven und alle gegen den Uhrzeigersinn gerichteten Spannungen mit einem negativen Vorzeichen zu beschriften.

Die Knotenregel liefert an beiden Knotenpunkten die selbe Gleichung: \(I \,\, = \,\, I_1 \,\, + \,\, I_2 \,\,\)

Durch die Maschenregel stellen wir 2 weitere Gleichungen auf. Dabei ist es egal welche Masche gewählt wird.

Die erste Masche liefert die Spannungsgleichung: \(U_0 \,\, - \,\, U_1 \,\, - \,\, U_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\) 

Anwenden des Ohmschen Gesetzes auf die obrige Gleichung liefert: \(U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Die dritte Masche (ganz äußerste) liefert die Spannungsgleichung: \(U_0 \,\, - \,\, U_1 \,\, - \,\, U_3 \,\, - \,\, U_4 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Anwenden des Ohmschen Gesetzes auf die obrige Gleichung liefert: \(U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_4 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Das fertige Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:

\((1) \,\, : \,\,\,\, I \,\, - \,\, I_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((2) \,\, : \,\,\,\, U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, R_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((3) \,\, : \,\,\,\, U_0 \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, R_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_3 \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, R_4 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Eingesetzt mit den gegebenen Werten:

\((1) \,\, : \,\,\,\, I \,\, - \,\, I_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((2) \,\, : \,\,\,\,10 \, V \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, 5 \, \Omega \,\, - \,\, I_1 \,\, \cdot \,\, 6 \, \Omega \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((3) \,\, : \,\,\,\,10 \, V \,\, - \,\, I \,\, \cdot \,\, 5 \, \Omega \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, 8 \, \Omega \,\, - \,\, I_2 \,\, \cdot \,\, 4 \, \Omega \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Nun kann der Gaußsche Algorithmus (auch Gaußsches Eliminationsverfahren genannt) angewendet werden. Dabei werden Gleichungen mit multiplikativen Konstanten multipliziert und Gleichungen miteinander addiert/subtrahiert. Da dies äquivalente Umformungen sind, verändert sich die Lösungsmenge der Gleichungen nicht.

Das Ziel ist es die Gleichungen so umzuformen damit Unbekannte Größen auf einfachere Weise direkt gelöst werden können.

Der unten vorgestellte Lösungsweg ist nur ein möglicher von Vielen. Es muss nicht unbedingt nach diesem vorgegangen werden. Wichtig ist nur, dass die richtigen Stromstärken berechnet werden.

Üblicherweise versucht man beim Gauß-Algorithmus (Gaußschen Eliminationsverfahren) das Gleichungssystem in eine Dreiecksform umzuwanden. In der unten vorgestellten Lösungsmethode werden einfacherweise 2 Gleichungen so umgestaltet, sodass beide die selben 2 unbekannten Größen besitzen. Anschließend wird das nun vereinfachte Gleichungssystem mit nur 2 unbekannten Größen gelöst.

Im ersten Schritt wird Gleichung (3) von Gleichung (2) subtrahiert. Damit wird die unbekannte Größe \(I\) eliminiert.

\((2) \,\, - \,\, (3) \,\,\,\, : \,\, -\,6 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, + \,\, 12 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Wir kennzeichnen die neue Gleichung mit 2*.

Im nächsten Schritt Gleichung (1) mit der Konstante 5 multipliziert und anschließend wird diese Gleichung zu Gleichung (3) addiert:

\((3) \,\, + \,\, 5 \, \cdot \, (1) \,\,\,\,\,\,\,\, : \,\,\,\,\,\, 10 \, V \,\, -\,5 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, - \,\, 17 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

Wir kennzeichnen die neue Gleichung als 3*.

Unser Gleichungssystem sieht jetzt folgendermaßen aus:

 \((1) \,\, : \,\,\,\, I \,\, - \,\, I_1 \,\, - \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((2*) \,\,\,\, : \,\, -\,6 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, + \,\, 12 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 0 \,\,\)

\((3*) \,\,\,\,\,\,\,\, : \,\,\,\,\,\, -\,5 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_1 \,\, - \,\, 17 \, \Omega \,\, \cdot \,\, I_2 \,\, = \,\, 10 \, V \,\,\)

Gleichung 2* und 3* besitzen beide die selben 2 Unbekannten. Daher kann auf die beiden Gleichungen eines der herkömmlichen Verfahren zur Lösung von Gleichungssystem mit 2 Unbekannten verwendet werden (Eliminationsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren).

Hier wurde zuerst das Additionsverfahren verwendet um die unbekannte Stromstärke \(I_2\) zu berechnen. Dazu wird Gleichung 2* mit der Konstante 5 multipliziert. Gleichung 3* wird mit der Konstante 6 multipliziert. Mit anschließendem Addieren der beiden modifizierten Gleichungen eliminieren wir die Unbekannte \(I_1\) und können somit die unbekannte Stromstärke \(I_2\) bestimmen.

\(I_2 \,\, = \,\, 0.37037037 \,\, A \,\, \approx \,\, 0.37 \,\, A \,\,\)

Jetzt kann der berechnete Wert für \(I_2\) in eine der modifizierten Gleichungen eingesetzt werden damit \(I_1\) berechnet werden kann. Anschließend können beide Werte für \(I_1\) und \(I_2\) in die ursprüngliche Gleichung (1) eingesetzt werden um die Stromstärke \(I\) zu bestimmen.

\(I_1 \,\, = \,\, 0.74074074 \,\, A \,\, \approx \,\, 0.74 \,\, A \,\,\)

\(I \,\, = \,\, 1.111111112 \,\, A \,\, \approx \,\, 1.11 \,\, A \,\,\)