Antwort 4 ist korrekt.

Die Bewegungsgleichung einer gedämpften Federschwingung lautet folgendermaßen: \(F_k \,\, = m\,\,\cdot \,\, a = \,\, - \,\, k \,\, \cdot \,\, x \,\, - \,\, d \,\, \cdot \,\, v \,\,\).

Dabei ist \(F_k\) die rücktreibende Federkraft, \(m\) die Masse des schwingenden Körpers und \(a = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\) dessen Beschleunigung, \(k\) die Federkonstante, \(x\) die Auslenkung der Pendelkörpers, \(d\) der Dämpfungsfaktor sowie \(v\) die Geschwindigkeit des Pendelkörpers. Auslenkung, Geschwindigkeit und Kraft sind alles Funktionen der Zeit \(t\).

Die Ortsfunktion \(x\,(\,t\,)\,\), welche diese Bewegungsgleichung löst, lautet: \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, \left(\frac{t}{t_L}\right)} \,\,cos \,(\, \omega_d \,\, t \,\,) \,\).

Diese Lösungsfunktion kann entweder durch Lösen der obigen Bewegungsgleichung (welche eine Differentialgleichung 2. Grades ist) mit Lösungsmethoden für Differentialgleichungen 2. Grades oder durch graphisches "Erraten" erhalten werden. Für ein Grundlagenstudium in der Physik ist es aber nicht unbedingt notwendig dies zu können und es genügt, aus der Literatur (wie zb. Giancoli) allein die Lösungsfunktion nachzusehen. Es ist aber empfehlenswert, zumindest den Herleitungsprozess selbst gesehen und verstanden zu haben (in diverser Physik-Literatur wie Giancoli wird darauf näher eingegangen).

Dabei gilt:

\(t_L\) wird als die mittlere Schwingungsdauer des Systems definiert. Sie gibt an, wie lange das Federpendel schwingen kann, bis es zur Ruhe kommt.

\(A_0\) ist die maximale Amplitude zur Anfangszeit (bevor jegliche Dämpfung stattfindet).

\(\omega_d\) ist die Kreisfrequenz des gedämpften Schwingsystems.

Vergleicht man diese Lösungsfunktion mit der Lösungsfunktion der ungedämpfen Federschwingung: \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, A \,\, \cdot \,\, cos \,(\, \omega \,\, t \,\, ) \,\)erkennt man wie die Amplitudenfunktion \(A\,(\,t\,)\,\) aussehen muss: \(\,A\,(\,t\,) \, \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, \left(\frac{t}{t_L}\right)}\)

Ebenso gilt: Die Ortsfunktion \(x\,(\,t\,) \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, \left(\frac{t}{t_L}\right)} \,\,cos \,(\, \omega_d \,\, t \,\,) \,\) ist nur dann wirklich eine Lösung der Bewegungsgleichung wenn die folgenden Gleichungen gelten:

\(\omega_d \,\, = \,\, \sqrt{\frac{k}{m} \,\, - \,\, \frac{d^2}{4 \,\, \cdot \,\, m^2}} \,\,\)

\(t_L\,\, = \,\, \frac{2 \,\, \cdot \,\, m}{d}\)

Für diese Aufgabe ist die 2. Gleichung wichtig.

Setzen wir die Gleichung für die mittlere Schwingungsdauer \(t_L\) in die obige Amplitudenfunktion \(A\,(\,t\,)\,\) dann erhalten wir:

\(\,A\,(\,t\,) \, \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, t \,\, \cdot \,\, \left(\frac{d}{2 \, \cdot \, m}\right)}\)

Wir kennen die Amplitude nach einer Zeit \(t_x \,\, = \,\, 5 \,\, s \,\,\) und daher: \(\,A\,(\,t_x\,) \, \,\, = \,\, A_0 \,\, \cdot \,\, e^{\,\, - \,\, t_x \,\, \cdot \,\, \left(\frac{d}{2 \, \cdot \, m}\right)}\)

Die obige Gleichung muss daher nach der Anfangsamplitude \(A_0\) umgeformt werden:

\(\,A_0 \,\, = \,\, \,A\,(\,t_x\,) \, \,\, \cdot \,\, e^{ \,\, t_x \,\, \cdot \,\, \left(\frac{9 \,\, \frac{}{}}{2 \, \cdot \, 5 \,\, kg}\right)}\)

Wir können alle gegebenen Werte in die Gleichung einsetzen und erhalten direkt die Anfangsamplitude:

\(\,A_0 \,\, = \,\, 0.2 \,\, m \, \,\, \cdot \,\, e^{ \,\, 5 \,\, s \,\, \cdot \,\, \left(\frac{9 \,\, \frac{kg}{s}}{2 \, \cdot \, 5 \,\, kg}\right)} \,\, \approx \,\, 18 \,\, m\)