Blended Learning - Übungstest

Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 1 Fragen zu Ideales Gasgesetz.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Welche mittlere kinetische Energie $\overline{E_{kin}}$ besitzt 1 mol eines idealen Gases bei einer Temperatur von 20°C? Nr. 4785
	$2550 \,\, J \,\,$
	$8.5 \,\, kJ$
	$360000 \,\, J$
	$1.1 \,\, kJ$
	$3.7 \,\, kJ$
Lösungsweg Antwort 5 ist korrekt. Das ideale Gasgesetz lautet $p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,$ . Hierbei ist auf der linken Seite der Gleichung $p$ der Druck und $V$ das Volumen. Die rechte Seite beinhaltet die Stoffmenge $n$ , die Temperatur $T$ und $R$ , die universelle Gaskonstante. Aus der kinetischen Gastheorie und mit der statistischen Mechanik kann die mittleren kinetische Energie $\overline{E_{kin}}$ der Gasteilchen als Funktion des Drucks $p$ und des Volumens $V$ hergeleitet werden. Man betrachtet dabei den Druck eines in einem Behälter eingeschlossenen idealen Gases als Summe der Stöße der $N$ Gasteilchen gegen die Wände des Behälters. (Die genaue Herleitung findet sich in jeder Literatur zur statistisch mechanischen Betrachtung eines idealen Gases.) $p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \frac{m}{2} \,\, \cdot \,\, \overline{v^2} \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}}$ Jetzt kann die rechte Seite der Gleichung mit der rechten Seite des idealen Gasgesetzes zu einer neuen Gleichung umgeformt werden. $\,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,$ $N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,$ Die Gleichung kann durch die Boltzmann-Konstante $k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,$ und der Beziehung $n \,\, = \,\, \frac{N}{N_{A}}$ dargestellt werden. $N_{A}$ ist hierbei die Avogadro-Zahl und sie beträgt $N_{A} \,\, = \,\, 6.02214 \,\, \cdot \,\, 10^{23} \,\,$ Atome oder Moleküle. 1 mol eines jeden Stoffes besitzt immer diese Anzahl an kleinsten Einheiten (entweder Atome oder Moleküle, je nachdem was betrachtet wird. Beispielsweise enthält 1 mol Wasser-Moleküle, also $H_2 \,O$ , genau 1 mol Sauerstoff-Atome und 2 mol Wasserstoff-Atome). $N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, \frac{N}{N_{A}} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, N_{A} \,\, \cdot \,\, T \,\,$ $N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,$ $\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,$ Dies ist die mittlere kinetische Energie für ein Gasteilchen. Multipliziert man diese Energie mit der Avogadro-Zahl $N_{A}$ so erhält man die mittlere kinetische Gesamtenergie von 1 mol an Gasteilchen. Die universelle Gaskonstante beträgt $R \,\, = \,\, 8.3145 \,\,\,\,\,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K}$ und die Boltzmann-Konstante beträgt $k_{B} \,\, = \,\, 1.38065 \,\, \cdot \,\, 10^{-23} \,\, \frac{J}{K}$ . Die Temperatur wird in Kelvin angegeben und beträgt $T \,\, = \,\, 293.15 \,\, K$ . Setzt man alle Werte in die Gleichung $\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,$ und mupliziert man das Ergebnis mit der Avogadro-Zahl $N_{A}$ so erhält man für die mittlere kinetische Gesamtenergie einen Wert von $\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, 3656 \,\, J \,\, = 3.656 \,\, \cdot \,\, 10^{3} \,\, J \,\, = \,\, 3.7 \,\, kJ$ $\left(1 \,\, kJ \,\, = \,\, 10^3 \,\, J\right)$

Welche mittlere kinetische Energie $\overline{E_{kin}}$ besitzt 1 mol eines idealen Gases bei einer Temperatur von 20°C?

Nr. 4785

$2550 \,\, J \,\,$

$8.5 \,\, kJ$

$360000 \,\, J$

$1.1 \,\, kJ$

$3.7 \,\, kJ$

Lösungsweg

Antwort 5 ist korrekt.

Das ideale Gasgesetz lautet $p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,$ .

Hierbei ist auf der linken Seite der Gleichung $p$ der Druck und $V$ das Volumen. Die rechte Seite beinhaltet die Stoffmenge $n$ , die Temperatur $T$ und $R$ , die universelle Gaskonstante.

Aus der kinetischen Gastheorie und mit der statistischen Mechanik kann die mittleren kinetische Energie $\overline{E_{kin}}$ der Gasteilchen als Funktion des Drucks $p$ und des Volumens $V$ hergeleitet werden. Man betrachtet dabei den Druck eines in einem Behälter eingeschlossenen idealen Gases als Summe der Stöße der $N$ Gasteilchen gegen die Wände des Behälters.

(Die genaue Herleitung findet sich in jeder Literatur zur statistisch mechanischen Betrachtung eines idealen Gases.)

$p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \frac{m}{2} \,\, \cdot \,\, \overline{v^2} \,\, = \,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}}$

Jetzt kann die rechte Seite der Gleichung mit der rechten Seite des idealen Gasgesetzes zu einer neuen Gleichung umgeformt werden.

$\,\, \frac{2}{3} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,$

$N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,$

Die Gleichung kann durch die Boltzmann-Konstante $k_{B} \,\, = \,\, \frac{R}{N_{A}} \,\,$ und der Beziehung $n \,\, = \,\, \frac{N}{N_{A}}$ dargestellt werden. $N_{A}$ ist hierbei die Avogadro-Zahl und sie beträgt $N_{A} \,\, = \,\, 6.02214 \,\, \cdot \,\, 10^{23} \,\,$ Atome oder Moleküle. 1 mol eines jeden Stoffes besitzt immer diese Anzahl an kleinsten Einheiten (entweder Atome oder Moleküle, je nachdem was betrachtet wird. Beispielsweise enthält 1 mol Wasser-Moleküle, also $H_2 \,O$ , genau 1 mol Sauerstoff-Atome und 2 mol Wasserstoff-Atome).

$N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, \frac{N}{N_{A}} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, N_{A} \,\, \cdot \,\, T \,\,$

$N \,\, \cdot \,\, \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, N \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,$

$\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,$

Dies ist die mittlere kinetische Energie für ein Gasteilchen. Multipliziert man diese Energie mit der Avogadro-Zahl $N_{A}$ so erhält man die mittlere kinetische Gesamtenergie von 1 mol an Gasteilchen.
Die universelle Gaskonstante beträgt $R \,\, = \,\, 8.3145 \,\,\,\,\,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K}$ und die Boltzmann-Konstante beträgt $k_{B} \,\, = \,\, 1.38065 \,\, \cdot \,\, 10^{-23} \,\, \frac{J}{K}$ . Die Temperatur wird in Kelvin angegeben und beträgt $T \,\, = \,\, 293.15 \,\, K$ .

Setzt man alle Werte in die Gleichung $\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,$ und mupliziert man das Ergebnis mit der Avogadro-Zahl $N_{A}$ so erhält man für die mittlere kinetische Gesamtenergie einen Wert von $\overline{E_{kin}} \,\, = \,\, 3656 \,\, J \,\, = 3.656 \,\, \cdot \,\, 10^{3} \,\, J \,\, = \,\, 3.7 \,\, kJ$

$\left(1 \,\, kJ \,\, = \,\, 10^3 \,\, J\right)$

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