Antwort 2  ist korrekt.

Das ideale Gas ist das hier betrachtete thermodynamische System. Das Ziel ist es, die Wärmemenge \(dQ\) zu bestimmen, welche die am System ausgeübte mechanische Arbeit \(dW\) kompensiert.

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt die Änderung der inneren Energie \(U\), welche von den Änderungen der am System augeübten oder vom System abgeführten Arbeit \(W\)und die in das System einfließende oder vom System abfließende Wärmemenge \(Q\). Daher: \(dU \,\, = \,\, dQ \,\, + \,\, dW\)

Die Temperatur des Systems wird konstant gehalten. Die innere Energie eines idealen Gases hängt von dessen Temperatur ab.

\( \overline{E_{kin}} \,\, = \,\, \frac{3}{2} \,\, \cdot \,\, k_{B} \,\, \cdot \,\, T \,\,\) 

Beim idealen Gas ist dessen innere Energie \(U\) gleich der mittleren kinetischen Energie \( \overline{E_{kin}}\) aller Gasteilchen. Wenn also die Temperatur konstant bleibt, dann bleibt auch die innere Energie \(U\)konstant und daher kann sich diese nicht ändern. Es gilt also \(dU \,\, = \,\, 0\).

Die Gleichung \(dU \,\, = \,\, dQ \,\, + \,\, dW\) verändert sich daher zu \(dW \,\, = \,\, -\,\, dQ\). Eine Zustandsänderung bei der die Temperatur konstant bleibt wird als isotherm bezeichnet.

Die mechanische Arbeit \(dW\), welche einem Gas zugeführt oder vom Gas abgeführt wird, kann man auch umschreiben als \(dW \,\, = \,\, p \,\, \cdot \,\, dV\). Man bezeichnet das als die Volumenänderungsarbeit. Das ist die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um das Volumen eines Körpers (in unserem Beispiel das Gas) gegen dessen Druck zu verändern.

Dazu die Herleitung: \(dW \,\, = \,\, F \cdot \,\, ds\) (Also Kraft mal Wegstück). Wir setzen ein: \(F \,\, = \,\, p \,\, \cdot \,\, A\) (Druck mal Fläche), \(dV \,\, = \,\, A \,\, \cdot \,\, ds\) (Fläche mal Wegstück) und kommen dann auf die Gleichung \(dW \,\, = \,\, p \cdot \,\, dV\).

Unsere Gleichung lautet jetzt \(\,\, - \,\, dQ \,\, = \,\, p \,\, \cdot \,\, dV\). Wir integrieren auf beiden Seiten.

\(- \,\, \displaystyle \,\, \int _{0}^{Q} \,\, \,\, dQ \ \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V_{1}}^{V_{2}} \,\,\,\, p \,\, dV \ \)

Auf der rechten Seite integrieren wir vom Anfangsvolumen 24,47 L zum Endvolumen 18 L. Auf der linken Seite wird von der Wärmemenge 0 (am Anfang wird ja keine Wärme abfließen) zur Wärmemenge \(Q\), welche abfließen muss, damit die Volumsänderung durch die Kompression kompensiert wird.

Für das ideale Gas gilt das ideale Gasgesetz \(p \,\, \cdot \,\, V \,\, = \,\, n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\,\). Hierbei ist n die Stoffmenge (geben in Mol), \(R\) die universelle Gaskonstante und \(T\) die Temperatur des Gases. Die ideale Gaslgleichung wird nach dem Druck \(p\) umgeformt und in das rechte Integral eingesetzt (statt \(p\)).

\(- \,\, Q \,\, = \,\, \displaystyle \,\, \int _{V_{1}}^{V_{2}} \,\,\,\, \frac{n \,\, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T}{V} \,\, dV \ \)

\(-\, Q \, = \, n \, \cdot \, R \, \cdot \,T \,\cdot\, \left[\,\, ln(V_{2}) \,\, - \, ln(V_{1}) \,\right] \, = \, n \, \cdot \,\, R \,\, \cdot \,\, T \,\, \cdot ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\)

\(n \,\, = \,\, 1\) (1 Mol), \(R \,\, = \,\, 8.314 \,\, \,\, \,\, \frac{J}{mol \,\, \cdot \,\, K}\)

Eine Temperatur von 25°C entspricht \(T \,\, = \,\, (25 \,\, + \,\, 273.15 \,\,) \,\, K \,\, = \,\, 298.15 \,\, K\). Die Einheit Kelvin wird verwendet, weil sie die SI-Einheit der Temperatur ist.

Die beiden Volumina \(V_{1} \,\, = \,\, 24,47 \,\, dm^3\) und \(V_{2} \,\, = \,\, 18 \,\, dm^3\) \((1 \,\, L \,\, = \,\, 1 \,\, dm^3)\) müssen nicht in ihre jeweiligen SI-Einheiten umgewandelt werden, weil die beiden in einem Bruch stehen und dadurch kommt unabhängig von der jeweiligen Längen- bzw. Volumseinheit der gleiche Wert heraus.

Daraus folgt für den Betrag der Wärmemenge, welche aus dem System in den Wärmespeicher abfließen muss \(Q \,\, = \,\, 761.2 \,\, J \,\, = \,\, 0.7612 \,\, kJ\).